Spin dan Qubit
5.12 Alice, Bob, Eve, dan Protokol BB84
Kita sering ingin mengirim pesan aman. Semua perdagangan internet bergantung padanya. Cara baku agar pesan dienkripsi dan didekripsi menggunakan dua langkah.
Langkah pertama adalah saat kontak pertama dibuat. Kedua pihak sepakat pada sebuah kunci sebagai string panjang digit biner. Setelah keduanya memiliki kunci yang sama, mereka kemudian menggunakannya untuk menyandikan dan mendekode pesan satu sama lain. Keamanan metode berasal dari kunci. Tidak mungkin untuk memecahkan kode pesan antara kedua pihak tanpa mengetahui kuncinya.
Alice dan Bob ingin berkomunikasi dengan aman. Eve ingin menguping. Alice dan Bob ingin menyepakati sebuah kunci, tetapi mereka harus yakin bahwa Eve tidak mengetahuinya.
Protokol BB84 mendapatkan namanya dari penemunya, Charles Bennett dan Gilles Brassard, dan tahun diciptakannya, 1984. Ia menggunakan dua basis terurut
ortonor-mal: yang baku, "
yang kita gunakan untuk mengukur putaran dalam arah vertikal, dan dilambangkan
dengan V, dan
yang kita gunakan untuk mengukur putaran dalam arah horizontal, dan dilambangkan dengan H. Dalam kedua kasus, bit klasik 0 akan sesuai dengan vektor pertama dalam basis berurutan dan 1 dengan vektor kedua.
MathQuantum, Copyright: ©2022 the author Subiono
182 Spin dan Qubit..
Alice memilih kunci yang ingin dia kirim ke Bob. Ini adalah rangkaian bit klasik.
Untuk setiap bit, Alice memilih salah satu dari dua basis V dan H secara acak dan dengan probabilitas yang sama. Dia kemudian mengirim Bob qubit yang terdiri dari vektor basis yang sesuai. Misalnya, jika dia ingin mengirim 0 dan memilih V, dia akan
mengirim
"
1 0
#
, bila dia memilih H, dia akan mengirim
√1
−12
√2
. Dia mengikuti proses yang sama untuk setiap bit, mencatat basis mana yang dia gunakan untuk setiap bit. Jika stringnya adalah 4n digit biner, dia akan berakhir dengan string dengan panjang 4n yang terdiri dari Vs dan Hs. (Alasan kita menggunakan 4n dan bukan n akan menjadi jelas dalam sekejap, tetapi n seharusnya merupakan angka yang cukup besar.)
Bobjuga memilih antara dua basis secara acak dan dengan probabilitas yang sama.
Dia kemudian mengukur qubit berdasarkan pilihannya. Bob melakukan ini untuk setiap bit, dan dia mencatat basis mana yang telah dia gunakan. Pada akhir transmisi dia juga berakhir dengan dua string dengan panjang 4n, satu terdiri dari 0sdan 1sdari pengukurannya, yang lainnya terdiri dari Vsdan Hssesuai dengan basis yang dia pilih.
Alice dan Bob memilih basis untuk setiap bit secara acak. Separuh waktu mereka berakhir menggunakan basis yang sama, sementara separuh waktu mereka menggu-nakan basis yang berbeda. Jika mereka berdua memilih basis yang sama, maka Bob akan mendapatkan bit yang dikirim Alice dengan pasti. Jika mereka memilih basis yang berbeda, maka separuh waktu Bob mendapatkan bit yang benar, tetapi separuh waktu itu adalah bit yang salah, tidak ada informasi yang dikirimkan ketika mereka memilih basis yang berbeda.
Alicedan Bob sekarang membandingkan string Vsdan H mereka melalui baris yang tidak terenkripsi. Mereka menyimpan bit yang sesuai dengan waktu ketika mereka berdua menggunakan basis yang sama dan menghapus bit yang sesuai dengan waktu mereka menggunakan basis yang berbeda. Jika Eve tidak mencegat pesan tersebut, keduanya berakhir dengan string digit biner yang sama yang memiliki panjang sekitar 2n. Mereka sekarang harus memeriksa untuk melihat apakah Eve mendengarkan.
Bila Eve mencegat qubit dalam perjalanan dari Alice ke Bob, dia benar-benar in-gin mengkloningnya, mengirimkan satu salinan ke Bob dan mengukur qubit lainnya.
Sayangnya bagi Eve, ini tidak mungkin. Untuk memperoleh informasi apa pun, dia harus mengukur qubit yang dikirim Alice, dan ini dapat mengubah qubit yang akan berakhir sebagai salah satu vektor basis dalam basis yang dia pilih untuk diukur. Hal terbaik yang bisa dia lakukan adalah memilih salah satu dari dua basis secara acak, mengukur qubitnya, dan kemudian mengirimkan qubit tersebut ke Bob. Mari lihat apa yang terjadi.
Alice dan Bob hanya tertarik pada pengukuran di mana mereka memilih basis yang sama. Kita akan membatasi perhatian kita pada saat-saat ini. Ketika Alice dan Bobsetuju atas basis tersebut, sebagian Eve juga akan setuju, dan separuh waktu lagi dia akan memilih basis yang lain. Jika ketiganya sepakat atas basis tersebut, maka mereka semua akan mendapatkan bit yang sama dengan hasil pengukurannya. Bila
Alice, Bob, Eve, dan Protokol BB84.. 183 Eve memilih basis yang salah, dia akan mengirim qubit yang berada di superposisi keadaan basis Bob. Ketika Bob mengukur qubit ini, dia akan mendapatkan 0 dan 1 dengan probabilitas yang sama; dia akan mendapatkan bagian yang benar di paruh waktu.
Kita sekarang kembali ke Alice dan Bob dan string bit panjang mereka, pada saat ini, dari 2n. Mereka tahu bahwa jika Eve tidak mencegat qubit, string ini akan identik.
Tetapi mereka tahu bahwa jika Eve mencegat qubit, dia akan memilih basis yang salah di sebagian waktu, dan dalam kasus ini Bob akan berakhir dengan paruh waktu yang salah. Jadi, jika Eve mencegat qubit, seperempat bit Bob tidak akan sesuai dengan milik Alice. Mereka sekarang membandingkan setengah dari 2n bit melalui baris yang tidak terenkripsi. Jika mereka setuju pada semuanya, mereka tahu Eve tidak mendengarkan dan dapat menggunakan n bit lainnya sebagai kuncinya. Bila mereka tidak setuju pada seperempat bagian, mereka tahu bahwa Eve mencegat qubit mereka. Mereka tahu bahwa mereka perlu mencari cara lain untuk mengamankan komunikasi mereka.
Ini adalah contoh yang bagus untuk mengirim satu qubit pada satu waktu. Namun, ada sangat sedikit hal yang dapat kita lakukan dengan qubit yang tidak berinteraksi satu sama lain. Di bab selanjutnya kita akan melihat apa yang terjadi jika kita memiliki dua qubit atau lebih. Secara khusus, kita melihat fenomena lain yang bukan bagian dari pandangan dunia klasik kita, tetapi memainkan bagian penting dari dunia kuantum yaitu : keterjeratan (entanglement).
MathQuantum, Copyright: ©2022 the author Subiono
184 Spin dan Qubit..
Bab 6
Keterjeratan (Entanglement)
Sebelum membahas istilah "keterjeratan", kita memberikan sejarah istilah ini dalam sudut pandang "fisika", yaitu mekanika kuantum. Disini kita memberikan paradoks EPR (Einstein-Podolsky-Rose).
Prediksi berlawanan dari mekanika kuantum tentang sistem berkorelasi kuat per-tama kali dibahas oleh Albert Einstein pada tahun 1935, dalam makalah bersama dengan Boris Podolsky dan Nathan Rosen. Dalam studi ini, ketiganya merumuskan paradoks Einstein-Podolsky-Rosen (paradoks EPR), sebuah eksperimen pemikiran yang berusaha menunjukkan bahwa "deskripsi mekanika kuantum dari realitas fisik yang diberikan oleh fungsi gelombang tidak lengkap." Namun, ketiga ilmuwan itu tidak menciptakan kata "keterjeratan", mereka juga tidak menggeneralisasi sifat-sifat khusus dari keadaan yang mereka pertimbangkan. Setelah makalah EPR, Erwin Schrödinger menulis surat kepada Einstein dalam bahasa Jerman di mana ia menggunakan kata Verschränkung (diterjemahkan sendiri sebagai keterjeratan) "untuk menggambarkan korelasi antara dua partikel yang berinteraksi dan kemudian berpisah, seperti dalam eksperimen EPR."
Schrödinger tidak lama kemudian menerbitkan makalah yang menjelaskan dan mendiskusikan gagasan "keterjeratan". Dalam makalahnya, dia mengakui pentingnya konsep tersebut, dan menyatakan: "Saya tidak akan menyebut [keterjeratan] satu mela-inkan sifat karakteristik mekanika kuantum, yang memaksa seluruh keberangkatannya dari garis pemikiran klasik." Seperti Einstein, Schrödinger tidak puas dengan konsep keterjeratan, karena tampaknya melanggar batas kecepatan transmisi informasi yang tersirat dalam teori relativitas. Einstein kemudian mencemooh keterjeratan sebagai
"spukhafte Fernwirkung" atau "aksi seram di kejauhan".
Makalah EPR menghasilkan minat yang signifikan di kalangan fisikawan, yang mengilhami banyak diskusi tentang dasar-dasar mekanika kuantum (mungkin inter-pretasi Bohm yang paling terkenal tentang mekanika kuantum), tetapi menghasilkan relatif sedikit karya lain yang diterbitkan. Meskipun menarik, titik lemah dalam argu-men EPR tidak ditemukan sampai tahun 1964, ketika John Stewart Bell membuktikan bahwa salah satu asumsi kunci mereka, prinsip lokalitas, sebagaimana diterapkan pada jenis interpretasi variabel tersembunyi yang diharapkan oleh EPR, secara matematis
185
186 Keterjeratan (Entanglement)..
tidak konsisten. dengan prediksi teori kuantum.
Secara khusus, Bell menunjukkan batas atas, terlihat dalam pertidaksamaan Bell, mengenai kekuatan korelasi yang dapat dihasilkan dalam teori apa pun yang mematuhi realisme lokal, dan menunjukkan bahwa teori kuantum memprediksi pelanggaran batas ini untuk sistem terjerat tertentu. Pertidaksamaannya dapat diuji secara eksperimental, dan ada banyak eksperimen yang relevan, dimulai dengan karya perintis Stuart Freed-man dan John Clauser pada tahun 1972 dan eksperimen Alain Aspect pada tahun 1982.
Sebuah terobosan eksperimental awal adalah karena Carl Kocher, yang pada tahun 1967 telah mempresentasikan suatu perangkat di mana dua foton berturut-turut dipancarkan dari atom kalsium yang terbukti terjerat - kasus pertama cahaya tampak terjerat. Kedua foton melewati polarizer paralel yang diposisikan secara diametris dengan probabilitas lebih tinggi daripada yang diprediksi secara klasik tetapi dengan korelasi dalam ke-sepakatan kuantitatif dengan perhitungan mekanis kuantum. Dia juga menunjukkan bahwa korelasi hanya bervariasi pada (sebagai kuadrat kosinus) sudut antara pengatu-ran polarizer dan menurun secara eksponensial dengan jeda waktu antara foton yang dipancarkan. Perangkat Kocher, dilengkapi dengan polarizer yang lebih baik, digu-nakan oleh Freedman dan Clauser yang dapat mengkonfirmasi ketergantungan cosinus kuadrat dan menggunakannya untuk menunjukkan pelanggaran pertidaksamaan Bell untuk satu set sudut tetap. Semua eksperimen ini telah menunjukkan kesepakatan dengan mekanika kuantum daripada prinsip realisme lokal.
Selama beberapa dekade, masing-masing telah membuka setidaknya satu celah yang memungkinkan untuk mempertanyakan validitas hasil. Namun, pada tahun 2015 se-buah eksperimen dilakukan yang secara bersamaan menutup celah deteksi dan lokali-tas, dan digembar-gemborkan sebagai "bebas celah"; percobaan ini mengesampingkan kelas besar teori realisme lokal dengan pasti. Alain Aspect mencatat bahwa "celah pengaturan-kemerdekaan" yang ia sebut sebagai "tidak masuk akal", namun, "celah sisa"
yang "tidak dapat diabaikan" belum ditutup, dan kehendak bebas/superdeterminisme celah tidak dapat ditutup; mengatakan "tidak ada eksperimen, seideal itu, yang bisa dikatakan benar-benar bebas celah."
Karya Bell mengangkat kemungkinan menggunakan korelasi super kuat ini sebagai sumber komunikasi. Hal ini menyebabkan penemuan 1984 protokol distribusi kunci kuantum, paling terkenal BB84 oleh Charles H. Bennett dan Gilles Brassard dan E91 oleh Artur Ekert. Meskipun BB84 tidak menggunakan keterjeratan, protokol Ekert menggunakan pelanggaran pertidaksamaan Bell sebagai bukti keamanan [5].
Dalam bab ini kita mempelajari matematika keterjeratan. Untuk melakukan ini, kita perlu memperkenalkan satu gagasan lagi dari aljabar linier: hasilkali tensor. Kita mulai dengan melihat dua sistem tanpa interaksi di antara keduanya. Karena tidak ada interaksi, kita dapat mempelajari setiap sistem dengan sendirinya, tanpa referensi ke sistem lain, tetapi kita akan menunjukkan bagaimana kita dapat menggabungkan kedua sistem menggunakan produk tensor. Kemudian kita perkenalkan hasil kali tensor dari dua ruang vektor dan menunjukkan bahwa sebagian besar vektor dalam hasil kali ini mewakili apa yang disebut sebagai keadaan terjerat.
Sepanjang bab ini akan ada dua qubit. Alice punya satu, dan Bob punya yang
Qubit Alice dan Bob Bukan Keterjeratan.. 187 lain. Kita akan memulai bahasan kita dengan memeriksa kasus di mana tidak ada interaksi antara sistem Alice dan Bob. Analisis ini pada awalnya mungkin tampak membuat sesuatu yang sangat sederhana terlihat agak rumit, tetapi begitu kita telah mendeskripsikan semuanya dalam bentuk produk tensor, akan menjadi cukup mudah untuk memperluas gagasan yang mendasari ke kasus terjerat umum.
Pendekatan yang kita ambil, bagaimanapun, bukanlah pendekatan yang telah kita ambil sejauh ini. Alih-alih menyajikan eksperimen fisik dan kemudian mendapatkan model matematika, kita melanjutkan ke arah lain. Kita akan memperluas model kita dengan cara yang sesederhana mungkin dan kemudian melihat prediksi model yang harus ditemukan saat kita melakukan eksperimen. Kita menemukan bahwa model memprediksi eksperimen secara akurat, tetapi kesimpulannya cukup mengejutkan.