Aljabar Liniear
4.13 Basis-basis Terurut
Suatu basis terurut adalah basis di mana vektor diberi urutan, yaitu ada vektor per-tama, vektor kedua, dan seterusnya. Bila {|b1i , |b2i , . . . , |bni} adalah suatu basis, kita menotasikan basis yang terurut dengan (|b1i , |b2i , . . . , |bni). Kita mengubah tanda ku-rung dari kurawal menjadi kuku-rung biasa. Sebagai contoh, kita akan melihat R2. Ingatlah bahwa basis bakunya adalah{|↑i , |↓i}. Dua himpunan sama jika mereka memiliki ele-men yang sama urutan eleele-men tidak ele-menjadi masalah, jadi{|↑i , |↓i} = {|↓i , |↑i} Kedua himpunan itu sama.
Akan tetapi, untuk basis yang terurut, urutan vektor basis memberikan suatu hal, jadi (|↑i , |↓i) , (|↓i , |↑i). Vektor pertama dalam basis berurutan di sebelah kiri tidak sama dengan vektor pertama dalam basis berurutan di sebelah kanan, sehingga dua basis terurut itu berbeda.
Panjang Vektor.. 161 Perbedaan antara basis tak berurutan dan basis terurut mungkin tampak agak berlebihan, tetapi sebenarnya tidak. Kita akan melihat beberapa contoh di mana kita memiliki himpunan vektor basis yang sama dengan urutan yang berbeda. Permutasi vektor basis akan memberi kita informasi penting.
Sebagai contoh, sebelumnya kita mencatat bahwa basis baku{|↑i , |↓i}, sesuai dengan mengukur spin elektron dalam arah vertikal. Basis yang terurut (|↑i , |↓i) akan sesuai dengan mengukur putaran ketika magnet selatan berada di atas alat pengukur kita.
Jika kita membalik peralatan hingga 180◦, kita juga akan membalik elemen basis dan menggunakan basis yang terurut (|↓i , |↑i).
4.14 Panjang Vektor
Misalkan diberikan suatu ket |vi dan suatu basis ortonormal {|b1i , |b2i , . . . , |bni}, kita telah mengetahui bagimana menulis |vi sebagai kombinasi linier dari vektor-vektor basis, yaitu
|vi = hb1|vi |b1i + hb2|vi |b2i + · · · + hbn|vi |bni . Untuk menyederhanakan, kita akan menulis ini sebagai
|vi = c1|b1i + c2|b2i + · · · + cn|bni . Ada rumus yang berguna untuk panjang|vi, yaitu
| |vi |2 =c21+c22+· · · + c2n.
Mari kita lihat dengan cepat mengapa ini benar. Kita tahu bahwa| |vi |2 =hv|vi.
Gunakanhv| = c1hb1| + c2|v hb2| + · · · + cnhbn|, kita peroleh
hv|vi = (c1hb1| + c2hb2| + · · · + cnhbn|)(c1|b1i + c2|b2i + · · · + cn|bni).
Langkah selanjutnya adalah melakukan hasil kali suku-suku di dalam tanda kurung.
Ini terlihat seolah-olah akan menjadi tidak sederhana, tetapi sebenarnya tidak. Kita kembali menggunakan fakta bahwa hbi|bki = 0 bila i , k dan hbi|bki = 1 bila i = k.
Semua hasil perkalian bra-ket dengan subskrip yang berbeda adalah 0. Satu-satunya bra-ket yang bukan nol adalah yang memiliki subskrip yang sama diulang, dan ini semua adalah 1. Akibatnya, kita mendapatkan
hv|vi = c21+c22+· · · + c2n.
4.15 Matriks
Matriks adalah susunan bilangan persegi panjang. Matriks M dengan m baris dan n kolom disebut matriks m× n. Berikut ini beberapa contohnya:
A =
"
−2 1 3 3 2 −1
# , B =
3 6 2 5 1 4
,
MathQuantum, Copyright: ©2022 the author Subiono
162 Aljabar Liniear..
A memiliki dua baris dan tiga kolom jadi ini adalah matriks 2× 3. Sedangkan B adalah matriks 3× 2. Kita dapat menganggap bra dan ket sebagai jenis matriks khusus: bra hanya memiliki satu baris, dan ket hanya memiliki satu kolom.
Transpos dari M matriks m× n, dilambangkan MT, adalah matriks n× m dibentuk dengan menukar baris dan kolom dari M. Baris ke-i dari M menjadi kolom ke-i dari MT, dan kolom ke-j dari M menjadi baris ke-j dari M. Untuk matriks A dan B kita memiliki:
AT =
Vektor kolom dapat dianggap sebagai matriks hanya dengan satu kolom, dan vektor baris dapat dianggap sebagai matriks hanya dengan satu baris. Dengan interpretasi ini, hubungan antara bra dan ket dengan nama yang sama diberikan oleh ha| = |aiT dan
|ai = ha|T.
Mengingat matriks umum yang memiliki beberapa baris dan kolom, kita mengang-gap baris sebagai bra dan kolom menunjukkan ket. Dalam contoh kita, kita dapat menganggap A terdiri dari dua bra yang ditumpuk satu sama lain atau sebagai tiga ket berdampingan. Demikian pula, B dapat dianggap sebagai tiga bra yang ditumpuk satu sama lain atau sebagai dua ket berdampingan.
Perkalian dari matriks A dan B menggunakan gagasan ini. Perkalian dilambangkan dengan AB. Ini dihitung dengan menganggap A terdiri dari bra dan B terdiri dari ket.
(Ingatlah bahwa bra selalu datang sebelum ket.) A =
Perkalian AB dihitung sebagai berikut:
AB =
Perhatikan bahwa dimensi bra di A sama dengan dimensi ket di B. Kita perlu memiliki ini agar produk bra-ket dapat ditentukan. Perhatikan juga bahwa AB , BA.
Matriks.. 163 Dalam contoh kita, BA adalah matriks 3× 3, jadi ukurannya bahkan tidak sama dengan AB.
Secara umum, diberikan m× r matriks A dan r × n matriks B, tulis A dalam istilah braberdimensi-r dan B dalam ket berdimensi-r,
A =
Perkalian AB adalah matriks m× n yang memiliki hai|bji sebagai elemen pada baris ke-i dan kolom ke-j, yaitu,
AB =
Membalik urutan perkalian menghasilkan BA, tetapi kita bahkan tidak dapat mem-ulai perhitungan jika m tidak sama dengan n karena bra dan ket memiliki dimensi yang berbeda. Bahkan jika m sama dengan n, dan kita dapat mengalikannya, kita akan men-dapatkan matriks yang berukuran r×r. Ini tidak sama dengan AB, yang berukuran n×n, untuk n tidak sama dengan r. Bahkan dalam kasus ketika n, m dan r semuanya sama satu sama lain, biasanya AB tidak sama dengan BA. Kita mengatakan bahwa perkalian matriks tidak komutatif untuk menunjukkan fakta ini.
Matriks dengan yang banyaknya baris sama dengan banyaknya kolom disebut ma-triks persegi. Diagonal utama mama-triks persegi terdiri dari elemen-elemen diagonal mulai dari kiri atas matriks hingga kanan bawah. Matriks persegi yang memiliki se-mua elemen diagonal utama sama dengan 1 dan sese-mua elemen lainnya sama dengan 0 disebut matriks identitas. Matriks identitas n× n dilambangkan dengan In, jadi
I2 =
Matriks identitas mendapatkan namanya dari fakta bahwa mengalikan matriks den-gan identitas analog denden-gan mengalikan bilanden-gan denden-gan 1. Misalkan A adalah matriks m× n. Maka ImA = AIn=A.
Matriks memberi kita cara mudah untuk melakukan komputasi yang melibatkan bradan ket. Bagian selanjutnya menunjukkan bagaimana kita akan menggunakannya.
MathQuantum, Copyright: ©2022 the author Subiono
164 Aljabar Liniear..