Fungsi Partisi Klasik dan Rumus Produk Euler

Dengan berbagai substitusi q dan z, persamaan produk rangkap tiga Jacobi memberikan banyak hasil yang menarik. Misalnya, jika kita memasukkan q = q^3/2 dan kemudian z =−q^−1/2 ke (13.1), kita dapatkan

n∈Z

(−1)ⁿq^(3n2−n)² = Y∞

n=1

(1− q³ⁿ)(1− q³ⁿ⁻²)(1− q³ⁿ⁻¹) = Y∞

n=1

(1− qⁿ), (14.1) yang disebut rumus produk Euler. Kita membuktikan bahwa itu berlaku ketika|q| < 1.

Oleh karena itu, ia juga berlaku sebagai persamaan deret pangkat formal dalam q (lihat Bab10). Rumusnya juga dapat ditulis menggunakan perkalian Euler

ϕ(q) = Y∞

n=1

(1− qⁿ), sebagai

ϕ(q) = Y

n∈Z

(−1)ⁿq^eⁿ, (14.2)

dengan

en = 3n²− n

2 (14.3)

disebut bilangan pentagonal. Pembaca didorong untuk mengalikan beberapa faktor pertama dari perkalian Euler untuk menemukan fakta yang menakjubkan bahwa me-mang koefisien ke-enadalah (−1)ⁿdan semua koefisien lainnya adalah nol.

Definisi 14.1 Fungsi partisi klasik p(n) didefinisikan pada himpunan bilangan bulat dengan p(n) untuk n > 0 adalah banyaknya cara untuk mempartisi n menjadi jumlah bilangan bulat positif (tidak menghitung urutan penjumlahan). Bila n < 0, maka p(n) = 0 dan p(0) = 1.

•

50 Fungsi Partisi Klasik dan Rumus Produk Euler..

Misalnya, p(1) = 1 karena satu-satunya cara untuk menuliskan 1 sebagai penjumla-han adalah 1 = 1; p(2) = 2 sebab 2 = 2 dan 2 = 1 + 1; p(3) = 3 sebab 3 = 3 , 3 = 2 + 1 dan 3 = 1 + 1 + 1; p(4) = 5 sebab 4 = 4, 4 = 3 + 1, 4 = 2 + 2, 4 = 2 + 1 + 1 dan 4 = 1 + 1 + 1 + 1, dan seterusnya. Pertumbuhan lambat p(n) untuk nilai kecil n ini menipu, karena pada kenyataannya, kita tahu itu

p(n)∼ 1 4√

3ne^π^√^2n/3 untuk n→ ∞.

Jadi waktu yang dibutuhkan untuk menghitung semua partisi di n tumbuh secara eksponensial dengan meningkatnya n.

Proposisi berikut menunjukkan bagaimana ϕ(q) terkait dengan partisi bilangan bulat.

Proposisi 14.1 Kita memiliki persamaan deret pangkat formal berikut dalam q:

1 ϕ(q) =

X∞ n=0

p(n)qⁿ. (14.4)

Bukti

Argumen dikenal ini akan sering digunakan di bagian Bab selanjutnya. Dengan asumsi bahwa|q| < 1 dan menggunakan ekspansi deret geometris, kita dapatkan

ϕ(n) = 1

(1− q)(1 − q²)(1− q³)· · ·

= (1 + q + q²+q³+· · · )(1 + q²+q⁴+q⁶+· · · )(1 + q³+q⁶+q⁹+· · · ) · · · . Perhatikan bahwa pangkat dari q dalam faktor ke-n adalah kelipatan bilangan bulat nonnegatif dari n. Jika kita mengembangkan hasil kali di sisi kanan menjadi deret pangkat, setiap suku akan dalam bentuk

qⁿ¹q²ⁿ²q³ⁿ³· · · = q¹ⁿ¹⁺²ⁿ²⁺³ⁿ³⁺^···

dimana ni adalah semuanya bilangan bulat nonnegatif. Suatu suku qⁿ diperoleh jika n = 1n1+2n2+3n3+· · · , untuk beberapa ni, dan setiap suku qⁿsesuai dengan cara untuk menyatakan n sebagai jumlah bilangan bulat positif, yaitu jumlah dari 1n1, 2n2, 3n3dan seterusnya. Juga, cara lain untuk mempartisi n akan menyumbangkan satu suku qⁿ baru. Oleh karena itu, koefisien qⁿ, atau jumlah suku qⁿ, adalah banyaknya cara untuk mempartisi n menjadi jumlah bilangan bulat positif.

•

Dengan interpretasi ϕ(q) di atas, kita dapat menerapkan persamaan produk Eu-ler untuk mendapatkan hubungan antara bilangan p(n). Relasi ini dinyatakan dalam teorema berikut.

Teorema 14.1 Untuk sebarang bilangan bulat positif n kita miliki

p(n) = p(n− e1) + p(n− e−1)− p(n − e2)− p(n − e−2) + p(n− e3) + p(n− e−3)− · · · , (14.5)

dengan enadalah bilangan pentagonal yang ditentukan oleh (14.3).

Bukti

Menggunakan (14.2) dan (14.4), kita mempunyai

1 =



X

j∈Z

(−1)^jq^e^j









k∈Z

p(k)q^k



 . (14.6)

Ketika kita mengekspansikan produk, kita mendapatkan suatu suku (−1)^jp(k)qⁿ jika n = ej +k untuk beberapa bilangan bulat j dan k. Oleh karena itu, untuk n > 0, saat menyamakan koefisien di kedua sisi kita akan mendapatkan

0 = p(n− e0)− p(n − e1)− p(n − e−1) + p(n− e2) + p(n− e−2)− p(n − e3)− p(n − e−3) +· · · , (14.7) Karena e0 =0, maka pembuktiannya lengkap.

•

Rumus (14.5) adalah rumus rekursif yang sangat mudah digunakan untuk kalkulasi cepat p(n). Misalnya,

p(5) = p(4) + p(3)− p(0) = 5 + 3 − 1 = 7, p(6) = p(5) + p(4)− p(1) = 11,

dan yang lainnya. Waktu yang dibutuhkan untuk mengevaluasi p(n) menggunakan rumus (14.5) tumbuh lebih lambat dari n, yang, tentu saja, jauh lebih sedikit dari yang dibutuhkan untuk menghitung semua partisi dari n.

Seperti yang ditunjukkan oleh namanya, bilangan pentagonal en memiliki arti geo-metris. Hal tersebut dijelaskan pada gambar berikut:

pentagon yang mirip satu sama lain dapat digambar dengan menggabungkan sim-pul ke-n pada setiap sinar. Jumlah simsim-pul yang diapit oleh pentagon yang dihitung pada tepinya) adalah bilangan pentagonal. Misalnya, segi lima nontrivial pertama mel-ingkupi e2 = 5 simpul dan yang kedua e3 = 12 simpul. Rumus umum en di bawah interpretasi ini dapat dengan mudah dibuktikan dengan induksi menjadi (14.3).

52 Fungsi Partisi Klasik dan Rumus Produk Euler..

Sekarang kita memiliki bilangan pentagonal, kita dapat mendefinisikan bilangan m-gonal untuk m≥ 3 dengan cara yang sama. Dua jenis bilangan poligonal yang paling umum adalah bilangan segitiga,

△ⁿ = n(n + 1)

2 ,

dan tentu saja, bilangan persegi,

n=n².

Secara umum, kita dapat menyimpulkan secara geometris rumus untuk bilangan m-gonal ke-n:

mn=(m− 2) △ⁿ−1+n = n(mn− 2n − m + 4)

2 .

Persamaan untuk bilangan segitiga dan persegi yang mirip dengan rumus perkalian Euler juga dapat diturunkan dari persamaan produk rangkap tiga Jacobi. Kedua per-samaan yang diberikan di bawah ini ditemukan oleh Gauss (sebelum Jacobi menemukan persamaan produk rangkap tiga Jacobi).

Proposisi 14.2

Substitusi q dan z dengan q^1/2 di (13.1). Kita mendapatkan X sampai ke−∞. Oleh karena itu, kita mempunyai

X∞ dengan demikian hasil yang diinginkan diperoleh.

•

Proposisi 14.3

n∈Z

(−q)ⁿ² = Y∞

n=1

1− qⁿ

1 + qⁿ. (14.11)

Bukti

Substitusi z =−1 di (13.1). Kita mendapatkan X

n∈Z

q^△ⁿ = Y∞

n=1

(1− q²ⁿ)(1− q²ⁿ⁻¹)(1− q²ⁿ⁻¹)

= Y∞

n=1

(1− qⁿ)(1− q²ⁿ⁻¹)

= Y∞

n=1

1− qⁿ 1 + qⁿ,

di mana kami telah menggunakan (14.10) dalam persamaan terakhir.

•

Persamaan (14.8) dan (14.11) akan berguna nantinya ketika kita mempelajari pem-bagian bilangan bulat sebagai penjumlahan bilangan segitiga atau bilangan persegi.

Sebelum melanjutkan, makna kombinatorial dari (14.10) patut mendapat perhatian.

Produk di sebelah kiri (14.10) adalah

(1− q)(1 − q²)(1− q³)· · · .

Suatu suku qⁿmuncul dalam ekspansi jika n = al+a₂+a₃+· · · , dimana aiberbeda. Meng-gunakan argumen serupa dalam bukti Proposisi14.1, koefisien qⁿadalah banyaknya cara untuk menuliskan n sebagai jumlah dari bilangan bulat positif yang berbeda. Di sisi lain, produk di sisi kanan adalah

(1 + q + q²+q³+· · · )(1 + q³+q⁶+q⁹+· · · )(1 + q⁵+q¹⁰+q¹⁵+· · · ) · · · .

Setiap suku qⁿ sesuai dengan cara mengekspresikan n sebagai jumlah dari bilangan ganjil. Oleh karena itu, (14.10) menyiratkan bahwa banyaknya cara untuk mempartisi n menjadi bilangan positif berbeda adalah sama dengan banyaknya cara untuk mempartisi n menjadi bilangan ganjil.

Untuk menyimpulkan bab ini, kita menyela secara singkat diskusi kita tentang kalkulus-q dengan memperkenalkan fungsi penting dalam teori bilangan yang memiliki relasi rekursif yang sama dengan p(n) pada (14.5).

Teorema 14.2 Untuk sebarang bilangan bulat tak-nol n, didefinisikan fungsi

d(n) =









jumlah pembagi positif dari n, n > 0

0. n < 0.

54 Fungsi Partisi Klasik dan Rumus Produk Euler..

Maka untuk n > 0, kita mempunyai

d(n) = d(n− e1) + d(n− e−1)− d(n − e2)− d(n − e−2) +· · · , (14.12) dimana kita mengambil d(0) = n jika ia masuk ke ruas kanan.

Bukti Dengan mengganti urutan penjumlahan, kita mempunyai

D(q) =

Dengan menggunakan (14.2), kita mempunyai

 Dengan membandingkan koefisien qⁿdi kedua sisi, kita mempunyai

hal ini sama dengan (14.12), karena j = n− ek ≥ 1 dan d(n) didefinisikan sebagai nol untuk sebarang n negatif.

Fungsi Partisi Klasik dan Rumus Produk Euler

•

•

•

•

•

•

Bab 15

Fungsi Hipergeometrik-q dan Rumus