Selain partisi menjadi bilangan kuadrat, rumus perkalian Ramanujan juga dapat diter-apkan untuk mempelajari pembagian menjadi jumlah dua atau empat bilangan segitiga.
Mari kita ingat kembali definisi bilangan segitiga ke-n, yang diperkenalkan pada Bab14:
△n = n(n + 1) 2
Karena△−n−1 =△n, barisan bilateral{△n}n∈Z, adalah simetris, dan kita akan membatasi definisi "bilangan segitiga" menjadi n ≥ 0 saja. Seperti dalam kasus bilangan kuadrat, kita mendefinisikan deret pangkat berikut yang serupa:
△(q) = X∞
n=0
q△n.
(Tidak seperti (18.1), penjumlahan hanya diambil dari bilangan bulat tak negatif.) Maka, banyaknya cara untuk menyatakan N sebagai jumlah m bilangan segitiga, menghitung urutan penjumlahan, adalah sama dengan koefisien qN dalam deret pangkat△(q)m, dan dilambangkan dengan△m(N). Alasannya mirip dengan jumlah bilangan kuadrat.
Teorema 19.1 Untuk sebarang bilangan bulat positip N kita mempunyai
△2(N) = jumlah pembagi positif dari 4N + 1 yang kongruen 1 modulo 4
− jumlah pembagi positif dari 4N + 1 yang kongruen 3 modulo 4. (19.1) Bukti
Jika kita mengganti q dengan−q dan z dengan −√q di (17.7), di mana 0 < q < 1, dengan 75
76 Rumus Eksplisit untuk Jumlah Dua dan Empat Bilangan Segitiga..
di mana kita telah mengganti m dengan m− 1 dan n dengan n − 1 pada penjumlahan pertama. Jika m + n ganjil, suku-suku yang bersesuaian dalam dua penjumlahan saling meniadakan. Oleh karena itu, kita memiliki
SRKi = 2 X keduanya genap. Jika keduanya ganjil, 2m− 1 ≡ 1 mod 4, dan, jika keduanya genap, 2m− 1 ≡ 3 mod 4. Oleh karena itu, setiap faktor dari 4N + 1 kongruen dengan 1 modulo 4 menyumbang +1, dan setiap faktor 4N + 1 yang kongruen dengan 3 modulo 4 menyumbang−1, pada koefisien qN. Ini melengkapi buktinya.
•
XKhususnya, ketika 4N + 1 adalah bilangan prima, kita memiliki kesimpulan berikut.
Kesimpulan 19.1 Jika N adalah bilangan bulat positif sehingga 4N + 1 adalah bilangan prima, maka N dapat direpresentasikan secara tunggal sebagai jumlah dari dua bilangan
77
segitiga yang berbeda, hingga menyusun ulang penjumlahannya.
Bukti
Jelas bahwa jika 4N + 1 adalah bilangan prima, semua pembagi dari 4N + 1 adalah 1 dan 4N + 1, keduanya kongruen dengan 1 modulo 4, dan Teorema 19.1 menyiratkan
△2(N) = 2− 0 = 2. Perhatikan bahwa berdasarkan definisinya sebagai koefisien dari
△(q)m,△m menghitung setiap pengurutan ulang dari penjumlahan yang berbeda. Oleh karena itu,△2(N) = 2 menyiratkan bahwa semua cara yang mungkin untuk menyatakan N sebagai jumlah dari dua bilangan segitiga adalah
N = △k +△l =△l+△k, k , l atau
N =△k+△k = △l +△l, k , l.
Kasus kedua jelas tidak valid karena barisan{△n}n≥0 benar-benar meningkat. Jadi buk-tinya lengkap. Cara alternatif untuk menolak kasus kedua adalah dengan memper-hatikan bahwa N = 2△k menyiratkan 4N + 1 = (2k + 1)2, yang bukan prima.
•
XContoh dari kesimpulan adalah 7 = 1 + 6, 13 = 3 + 10, dan 43 = 15 + 28. Teorema lain menyangkut partisi menjadi empat bilangan segitiga.
Teorema 19.2 Untuk sebarang bilangan bulat positip N kita mempunyai
△4(N) = jumlah dari semua pembagi dari 2N + 1. (19.3) Bukti
Jika kita membagi kedua ruas (17.7) dengan 1− qz−2, ganti q dengan q2, dan misalkan z mendekati q, dan dengan (14.8) kita peroleh
SRKa = Y∞
n=1
(1− q2n)2(1− q2n)(1− q2n)
(1− q2n−1)2(1− q2n−1)2 =△(q)4,
Karena ruas kanan berhingga, demikian pula ruas kirinya. Oleh karena itu, kita dapat menerapkan aturan L’Hospital:
MathQuantum, Copyright: ©2022 the author Subiono
78 Rumus Eksplisit untuk Jumlah Dua dan Empat Bilangan Segitiga..
Karena ekspresi simetris dalam m dan n, kita dapat menulis ulang Sisi Ruas Kiri dan memperoleh
△(q)4 = X∞ m,n=1
(2m− 1)q2mn−m−n.
Selanjutnya dengan menuliskan k = 2m− 1 dan ℓ = 2n − 1, kita peroleh
△(q)4 = X
k,ℓ≤1
k,ℓ ganjil
kqkℓ−12 . (19.4)
Suatu suku qNmuncul dalam penjumlahan jika dan hanya jika N = kℓ2−1, atau 2N+1 = kℓ, untuk beberapa bilangan ganjil k dan ℓ. Karena setiap pembagi 2N + 1 adalah ganjil, koefisien dari qNadalah X
k|2N+1
k.
•
XBab 20
Antiderivatif-q
Setelah mempelajari berbagai aplikasi, kita kembali ke kalkulus-q. Sejauh ini, kita hanya berbicara tentang diferensiasi kuantum. Bagaimana dengan integral kuantum? Kita pertimbangkan dulu suatu antiderivatif-q.
Definisi 20.1 Fungsi F(x) adalah suatu antiderivatif-q dari f (x) jika DqF(x) = f (x). Dalam hal ini dilambangkan dengan
Z
f (x)dq(x).
•
(20.1)Perhatikan bahwa kita mengatakan "suatu" q sebagai pengganti antiderivatif-q, karena, seperti dalam kalkulus biasa, antiderivatif tidak tunggal. Dalam kalkulus biasa, ketunggalannya tergantung pada penambahan konstanta, karena turunan dari suatu fungsi nol jika dan hanya jika konstanta. Situasi dalam kalkulus kuantum lebih halus. Dqϕ(x) = 0 jika dan hanya jika ϕ(qx) = ϕ(x), yang tidak selalu berarti ϕ suatu konstanta. Penambahan fungsi ϕ yang demikian tidak mengubah derivatif-q dari suatu fungsi. Namun, jika kita memerlukan ϕ untuk menjadi deret pangkat formal, kondisi ϕ(qx) = ϕ(x) menyiratkan qncn=cn, untuk setiap n, di mana cnadalah koefisien dari xn. Ini hanya mungkin jika cn = 0 untuk setiap n ≥ 1, yaitu, ϕ adalah konstan.Oleh karena itu, jika
f (x) = X∞
n=0
anxn
adalah deret pangkat formal, maka di antara deret pangkat formal, f (x) memiliki antiderivatif-q tunggal hingga suku konstan, yaitu
Z
f (x)dq(x) = X∞
n=0
anxn+1 [n + 1]q
+C. (20.2)
Jika f (x) adalah fungsi umum, kita masih dapat meningkatkan ketunggalan den-gan menerapkan beberapa pembatasan pada antiderivatif-q. Pertimbangkan lagi fungsi
79
80 Antiderivatif-q..
ϕ(x) , yang memiliki derivatif-q sama dengan nol. Kondisi ϕ(qx) = ϕ(x) mirip dengan fungsi periodik, tetapi periodenya lebih kecil karena x mendekati 0. Untuk melihat ini, misalkan q = 0.1. Maka, contoh periodenya adalah (0.1, 1], (0.01, 0.1], (0.001, 0.01], dst.
Jika grafik ϕ pada (0.1, 1] adalah garis lurus tetapi tidak mendatar , pada periode tsb.
mendekati 0, grafik memiliki bentuk yang sama, tetapi semakin curam dan semakin cu-ram, membuat ϕ diskontinue pada x = 0. Gagasan umum terkandung dalam proposisi berikutnya.
Proposisi 20.1 Misalkan 0 < q < 1. Maka, hingga menambahkan konstanta, fungsi apa pun f (x) memiliki paling banyak satu antiderivatif-q yang kontinu di x = 0.
Bukti
Misalkan F1 dan F2 adalah dua antiderivatif-q dari f yang kontinu di 0. Misalkan ϕ = F1− F2. Fungsi ϕ juga kontinu di 0, dan memiliki sifat ϕ(qx) = ϕ(x) untuk setiap x, karena Dqϕ = 0. Untuk beberapa A > 0, misalkan
m = inf{ϕ(x) | qA ≤ x ≤ A}, M = sup{ϕ(x) | qA ≤ x ≤ A},
yang mungkin tak terhingga jika ϕ tidak terbatas di atas dan/atau di bawah.
Dengan asumsi m < M, setidaknya satu dari ϕ(0) , m dan ϕ(0) , M benar. Misalkan ϕ(0) , m. Dengan kontinuitas pada x = 0, jika ε > 0 cukup kecil, kita selalu dapat menemukan δ sedemikian rupa sehingga
m + ε < ϕ((0, δ)).
Di sisi lain, qNA < δ untuk beberapa N yang cukup besar. Karena ϕ(qx) = ϕ(x), kita memiliki
m + ε∈ (m, M) ⊂ ϕ([qA, A]) = ϕ([qN+1A, qNA])⊂ ϕ((0, δ)),
mengarah pada kontradiksi. Oleh karena itu, m = M dan ϕ adalah konstan dalam [qA, A], yang berarti konstan di mana-mana.
•
XProposisi memberitahu kita bahwa ketunggalan antiderivatif-q secara substansial ditingkatkan dengan membutuhkan kontinuitas pada x = 0. Masalah eksistensi akan dibahas pada bab selanjutnya.
Kita menyimpulkan bab ini dengan rumus berikut untuk perubahan variabel u = u(x) = αxβ, dimana α dan β adalah konstanta. Misalkan F(x) adalah antiderivatif-q dari
f (x). Maka
Z
f (u)dqu = F(u) = F(u(x)).
81
Menggunakan (3.15) dan untuk sebarang q′kita mempunyai, F(u(x)) =
Z
Dq′F(u(x))dq′x
= Z
(Dq′βF)(u(x))· Dq′u(x)dq′x
= Z
(Dq′βF)(u(x))dq′u(x).
Memilih q′ =q1/β, kita memiliki Dq′βF = DqF = f , dan dengan demikian Z
f (u)dqu = Z
f (u(x))dq1/βu(x). (20.3) Rumus ini berarti bahwa f (u(x))Dq1/βu(x) adalah salah satu antiderivatif-q dari f (u).
MathQuantum, Copyright: ©2022 the author Subiono
82 Antiderivatif-q..
Bab 21
Integral Jackson
Misalkan f (x) adalah sebarang fungsi. Untuk membangun antiderivatif-qnya F(x), ingat operator ˆMq, yang didefinisikan oleh ˆMq(F(x)) = F(qx) pada Bab7. Maka kita memiliki definisi derivatif-q :
1
(q− 1)x( ˆMq− 1)F(x) = F(qx)− F(x)
(q− 1)x = f (x). (21.1)
Perhatikan bahwa urutan itu penting, karena operator tidak komutatif. Maka kita dapat secara formal menulis antiturunan-q sebagai
F(x) = 1 1− ˆMq
(1− q)x f (x)
=(1− q) X∞
j=0
Mˆqj x f (x) ,
menggunakan ekspansi deret geometri, dengan demikian kita mendapatkan Z
f (x)dqx = (1− q)x X∞
j=0
qjf (qjx). (21.2)
Deret ini disebut integral Jackson dari f (x). Dari definisi ini seseorang dengan mudah memperoleh rumus yang lebih umum:
Z
f (x)Dqg(x)dqx = (1− q)x X∞
j=0
qjf (qjx)Dqg(qjx)
= (1− q)x X∞
j=0
qjf (qjx)g(qjx)− g(qj+1x) (1− q)qjx ,
atau Z
f (x)dqg(x) = X∞
j=0
f (qjx)
g(qjx)− g(qj+1x)
. (21.3)
83
84 Integral Jackson..
Kita hanya menurunkan (21.2) secara formal, dan belum memeriksa dalam kondisi apa ia benar-benar konvergen ke antiderivatif-q. Teorema di bawah ini memberikan kondisi yang cukup untuk ini.
Teorema 21.1 Misalkan 0 < q < 1, Jika | f (x)xα| dibatasi pada interval (0, A] untuk be-berapa 0 ≤ α < 1, maka integral Jackson didefinisikan oleh (21.2) konvergen ke fungsi F(x) pada (0, A] yang merupakan suatu antiturunan-q dari f (x) Selain itu, F(x) kontinu di x = 0 dengan F(0) = 0.
Bukti
Misalkan| f (x)xα| < M pada (0, A]. Untuk sembarang 0 < x ≤ A, j ≥ 0,
| f (qjx)| < M(qjx)−α. Jadi, untuk setiap 0 < x≤ A, kita memiliki
|qjf (qjx)| < Mqj(qjx)−α =Mx−α(q1−α)j. (21.4) Karena 1− α > 0 dan 0 < q < 1, kita melihat bahwa deret kita diutamai oleh deret geometri konvergen. Oleh karena itu, ruas kanan (21.2) konvergen secara titik demi titik ke beberapa fungsi F(x). Ini mengikuti langsung dari (21.2) bahwa F(0) = 0. Fakta bahwa F(x) kontinu pada x = 0, yaitu, F(x) cenderung nol karena x → 0, jelas jika kita pertimbangkan, menggunakan (21.4),
Untuk memverifikasi bahwa F(x) adalah suatu antiderivatif-q, kita menurunkan-qnya:
DqF(x) = 1
Dengan Proposisi 20.1, jika asumsi Teorema 21.1 terpenuhi, integral Jackson mem-berikan suatu antiderivatif-q tunggal yang kontinu pada x = 0, hingga menambahkan konstanta. Sebaliknya, jika kita mengetahui bahwa F(x) adalah suatu antiderivatif-q
85
dari f (x) dan F(x) kontinu pada x = 0, maka F(x) harus diberikan, hingga menambahkan konstanta, dengan rumus Jackson (21.2), karena jumlah parsial integral Jackson adalah
(1− q)x
Untuk melihat contoh di mana rumus Jackson gagal, pertimbangkan f (x) = 1/x.
Karena
Namun, rumus Jackson memberikan Z 1
xdqx = (1− q) X∞
j=0
1 =∞.
Rumus gagal karena f (x)xα tidak terbatas untuk 0 ≤ α < 1. Perhatikan bahwa log(x) tidak kontinu pada x = 0.
Sekarang kita terapkan rumus Jackson (21.2) untuk mendefinisikan integral-q ter-tentu.
Definisi 21.1 Misalkan 0 < a < b. Integral-q tertentu didefinisikan sebagai Z b
Seperti sebelumnya (lihat21.3), kita menurunkan dari (21.7) suatu formula yang lebih
umum: Z b
MathQuantum, Copyright: ©2022 the author Subiono
86 Integral Jackson..
Perhatikan bahwa definisi ini sesuai dengan fakta bahwa integral Jackson bernilai nol di x = 0. Secara geometris, integral dalam (21.7) sesuai dengan luas gabungan dari sejumlah persegi panjang yang tak terbatas, seperti yang digambar di bawah ini.
Pada [ε, b], di mana ε adalah bilangan positif kecil, jumlahnya terdiri dari banyak suku, dan sebenarnya merupakan jumlah Riemann. Oleh karena itu, karena q→ 1, lebar persegi panjang mendekati nol, dan jumlah tersebut cenderung ke integral Riemann pada [ε, b]. Karena ε adalah sebarang, maka kita memilikinya, asalkan f (x) kontinu dalam interval [0, b],
limq→1
Z b
0
f (x)dqx = Z b
0
f (x)dx. (21.10)
Kita tidak dapat memperoleh definisi yang baik dari integral tak wajar hanya dengan memberikan b→ ∞ dalam (21.7). Sebaliknya, karena
Z qj
qj+1
f (x)dqx = Z qj
0
f (x)dqx− Z qj+1
0
f (x)dqx
= (1− q) X∞
k=0
qj+kf (qj+k)− (1 − q) X∞
k=0
qj+k+1f (qj+k+1), jadi,
Z qj qj+1
f (x)dqx = (1− q)qjf (qj). (21.11) Dengan demikian wajar untuk mendefinisikan integral tak wajar-q sebagai berikut.
Definisi 21.2 Integral-q tak wajar dari f (x) pada [0, +∞) didefinisikan sebagai Z ∞
0
f (x)dqxdef= X∞ j=−∞
Z qj
qj+1
f (x)dqx, (21.12)
87
Proposisi 21.1 Integral tak wajar-q yang didefinisikan di atas konvergen jika xαf (x) dibatasi dalam lingkungan x = 0 dengan beberapa α < 1 dan untuk x cukup besar dengan beberapa α > 1.
Bukti
Dengan (21.11), kami memiliki Z ∞
tetap tidak berubah jika kita mengganti q dengan q−j, cukup untuk mempertimbangkan kasus q < 1. Konvergensi jumlah pertama dibuktikan dengan Teorema 21.1. Untuk jumlah kedua, misalkan untuk x besar kita memiliki |xαf (x)| < M di mana α > 1 dan M > 0. Maka, untuk j yang cukup besar kita memiliki
|q−jf (q−j)| = qj(α−1)|q−jαf (q−j)| < Mqj(α−1).
Oleh karena itu, jumlah kedua juga diprioritaskan oleh deret geometri konvergen, dan dengan demikian konvergen.
•
XSekarang kita bahas perubahan variabel u = u(x) = αxβ pada integral tertentu. Jika integral Jackson dari suatu fungsi konvergen, rumus Jackson dapat digunakan untuk menurunkan (20.3). Memang, pertimbangkan Ruas Sisi Kanannya:
RSKa =
MathQuantum, Copyright: ©2022 the author Subiono
88 Integral Jackson..
dimana kita telah menggunakan (21.3). Mengganti x dengan a dan b di atas, diperoleh dengan mudah
Z u(b)
u(a)
f (u)dqu = Z b
a
f (u(x))dq1/βu(x). (21.14) Dengan rumus Newton-Leibniz (22.1) yang akan diperkenalkan pada bab berikutnya, (21.14) dapat ditunjukkan lebih langsung, karena kedua sisinya sama dengan F(u(b))− F(u(a)), di mana F adalah suatu antiderivatif-q dari f kontinudi x = 0. Karena (22.1) benar untuk integral tak wajar, kita lihat bahwa jika α, β > 0, sehingga u(+∞) = +∞, (21.14) juga berlaku untuk b = +∞. Secara khusus, kami memiliki untuk α > 0, β = 1,
Z ∞
0
f (αx)dqx = 1 α
Z ∞
0
f (x)dqx. (21.15)