PADAMATERI LIMIT FUNGSI
HASIL DAN PEMBAHASAN Plan (Perencanaan)
Plan yang pertama dilakukan pada hari Senin, 24 Pebruari 2014. Pada kegiatan Planyang pertamadilakukan diagnosis permasalahan pembelajaran untuk menentukan fokus masalah yang diteliti.Materi limit fungsi merupakan materi baru untuk kelas X SMK dan sebagian besar siswa merasakan kesulitan. Siswa tidak tahu kegunaan belajar materi ini. Metode yangdigunakan guru untuk mengajarkan materi ini adalah siswa langsung diberi rumus dan contoh soal. Siswa merasa dengan metode tersebut mereka hanya menghafal langkah pengerjaan yang dicontohkan guru. Mereka tidak bisa memahami konsep limit fungsi yang sebenarnya. Selama pembelajaran siswa merasa bahasa yang digunakan guru dan yang ada di buku tidak bisa mereka pahami dengan baik. Mereka perlu pendekatan dan penggambaran yang lebih jelas berkaitan dengan limit fungsi. Pendekatan dan penggambaran itu dimaksudkan agar siswa lebih aktif dalam berinteraksi dengan materi. Terhadap permasalahan-permasalahan tersebut peneliti merencanakan dua hal pokok untuk mengatasinya yaitu: (1) menggunakan pendekatan pembelajaran yang sesuai dengan kondisi siswa sehingga merangsang komunikasi dan keaktifan mereka, (2) menggunakan alat bantu atau media pembelajaran untuk meningkatkan keaktifan siswa serta meningkatkan representasi limit fungsi.Menurut Sfard (dalam Nillson & Ryve, 2010) komunikasi bisa dipandang sebagai usaha seseorang untuk membuat orang lain mengetahui, mengenali sesuatu atau melakukan kegiatan seperti yang dia inginkan. Dengan peningkatan aktifitas komunikasi matematis dapat meningkatkan pemahaman matematika siswa(Hirschfeld, 2008). Sedangkan berkaitan dengan media Ruthven (2009) mengungkapkan bahwa penggunaan media pembelajaran yang tepat dapat meningkatkan aktifitas siswa yang pada akhirnya meningkatkan kemampuan matematika mereka.
Metode pembelajaran yang dipilih pada penelitian ini adalah pendekataan kooperatif model grup investigasi. Metode tersebut dipandang sesuai karena pembelajaran kooperatif adalah pembelajaran dimana siswa bekerja sama untuk saling berinteraksi dan membantu dalam belajar (Slavin, 2006: 45), sedangkan untuk mempelajari materi limit fungsi diperlukan kerjasama tersebut.Jumlah kelompok yang digunakan adalah 2 orang dengan pertimbangan jika terlalu banyak anggota dalam satu kelompok maka akan terlalu ramai sehingga aktifitas kelompok tidak efektif. Pertimbangan jumlah kelompok ini sesuai yang disarankan Kagan & Kagan (2009) bahwa jumlah kelompok yang paling efektif dalam kelas kooperatif adalah dua orang. Sedangkan untuk media pembelajaran yang dipakai peneliti memilih komputer sebagai alat bantu pembelajaran. Pemilihan teknologi komputer ini berdasarkan pendapat Niess (2010) yang menyatakan bahwa penggunaan tehnologi komputer sekarang ini adalah bagian penting dalam pengembangan pembelajaran matematika. Penggunaan komputer memungkinkan guru untuk mendesain pembelajaran dan mengekplorasi matematika secara lebih variatif dan mendalam (Santos, 2008). Disamping itu, penggunaan komputer memungkinkan siswa untuk menggunaan strategi yang berbeda-beda (Tabach, 2008).
Plan yang kedua dilaksanakan pada hari Jum‟at, 14 Maret 2014. Plankedua ini merupakan perencanaan pembelajaran berdasarkan hasil observasi dan refleksi dari pelaksanaan Do yang pertama. Tahap ini berupa perencanaan pelaksanaan pembelajaran yang merupakan perbaikan dari pelaksanaan pembelajaran Do yang pertama berdasarkan hasil observasi para observer. Hasil dari Planyang kedua ini adalah: (1) Perlu perubahan kelompok dari 2 orang per kelompok menjadi 3 orang per kelompok. Perubahan kelompok ini dianggap perlu karena dengan 2 orang perkelompok aktifitas diskusi kurang optimal. Yang terjadi jika kelompok beranggotakan dua orang adalah lebih pada pembagian tugas dari pada diskusi. (2) Guru perlu memberikan bimbingan yang lebih intens berkaitan dengan materi prasyarat menggambar grafik fungsi, karena ada banyak siswa belum bisa menggambar grafik. (3) Guru perlu memberikan pengawasan lebih karena ada beberapa siswa yang membuka web site yang tidak mendukung pembelajaran. (4) Guru perlu memberikan apersepsi yang lebih menarik dengan memanfaatkan komputer karena apersepsi yang diberikan kurang menarik perhatian siswa. (5) Guru perlu memberikan contoh dan soal yang lebih bervariatif untuk mengekplorasi dan menambah pengetahuan siswa.
Do (Pelaksanaan Pembelajaran)
Pelaksanaan Do yang pertama adalah di kelas X Word pada hari Jum‟at, 14 Maret 2014. Pelaksanaan Do yang pertama ini merupakan implementasi dari hasil kegiatan Plan yang pertama dengan materi limit fungsi. Pertama kali guru membentuk kelompok. Satu kelompok terdiri atas 2 orang. Setelah itu guru memberikan apersepsi bahwa materi ini digunakan dalam banyak hal salah satunya untuk menghitung percepatan, kecepatan dan jarak yang ditempuh
suatu benda. Dengan apersepsi guru tersebut sebagian besar siswa terlihat sangat termotivasi meskipun kelihatan juga mereka belum memahami secara jelas.Sebelum masuk ke materi limit fungsi, guru mengecek pengetahuan prasyarat siswa yaitu tentang fungsi. Guru memberikan dua fungsi yaitu: (1) 𝑓 𝑥 = 2𝑥 + 3, dan (2) 𝑓 𝑥 =𝑥+3𝑥−2. Guru meminta untuk: (1) menghitung f(1) dan f(3)dari masing – masing fungsi, serta (2) menggambarkan grafik masing-masing fungsi. Dengan masalah yang diberikan guru ini sebagian besar siswa bisa menentukan nilai funsi tetapi sebagian besar tidak bisa menggambar grafiknya.
Untuk masuk ke materi limit guru berangkat dari masalah sehari-hari yaitu “satu kue donat untuk banyak orang”. Semua siswa terlihat sibuk mendiskusikan masalah tersebut. Ada beberapa anak yang menggambar donatpada buku mereka. Guru memberi pertanyaan-pertanyaan dan mengarahkan siswa untuk memperoleh hasil seperti pada tabel 1.
Tabel 1. Masalah satu kue donat untuk banyak orang
Banyak orang 1 2 10 1.000.000 Mendekati tak hingga
Bagian masing -masing orang 1 1 2 1 10 1 1.000.000 Mendekati nol
Guru menjelaskan bahwa dengan menyelesaikan masalah tersebut sebetulnya siswa telah menghitung limit yaitu lim𝑥→∞1𝑥 = 0. Mendengar pernyataan guru tersebut siswa merasa sangat antusias dan gembira bahwa mereka bisa mengerjakan soal secara tidak sengaja.Setelah siswa mempunyai gambaran awal tentang limit, guru memberikan konsep dasar limit fungsi. Limit adalah pendekatan nilai suatu fungsi jika daerah asalnya mendekati suatu nilai tertentu. Limit suatu fungsi ada jika nilai limit kiri dan limit kanan fungsi tersebut ada dan bernilaisama. Untuk memperjelas konsep tersebut guru memberikan representasi limit dengan grafik (gambar 3) menggunakan maple.
Gambar 3. Representasi grafik dari𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟐𝒙𝟐
Siswa memperhatikan penjelasan guru, ada beberapa siswa yang bertanya jika fungsinya berbeda. Guru memberikan contoh fungsi yang berbeda. Dengan penjelasan tersebut terlihat beberapa siswa lebih memahami konsep-konsep yang diberikan guru.
Setelah siswa memahami konsep limit fungsi, maka guru membagikan lembar kerja. Lembar kerja ini berupa soal mencari nilai limit fungsi dengan metode numerik dan grafik. Dalam mengerjakannya siswa tidak diperkenankan memakai alat bantu apapun. Pada pengerjaan ini, siswa terlihat bisa mengerjakan limit fungsi linier. Mereka kelihatan kesulitan menggambar fungsi yang lebih rumit yaitu limit fungsi pecahan dan fungsi bentuk akar.Setelah siswa secara berkelompok selesai mengerjakan lembar kerja mereka, mereka diminta untuk menukarkan hasil pekerjaan kelompok mereka dengan kelompok lain. Setelah itu mereka diminta untuk mengoreksi hasil kerja kelompok lain dengan alat bantumaple dengan arahan guru. Dengan bantuan maple siswa bisa mengoreksi kesalahan-kesalahan mereka sebelumnya. Siswa menjadi memahami bagaimana limit fungsi untuk fungsi pecahan dan fungsi bentuk akar (gambar 4).
Gambar 4. Limit fungsi pecahan
Pada kegiatan ini siswa terlihat lebih antusias dalam pembelajaran. Terlihat dengan bantuan maple siswa lebih aktif dalam berdiskusi, berkomunikasi dan berinteraksi. Mereka juga semakin kreatif untuk mencoba mencari limit fungsi dan representasinya di luar soal yang diberikan. Dengan maplepengetahuan mereka tentang limit fungsi dan representasinya semakin bertambah.
Pelaksanaan Doyang kedua dilaksanakan di kelas X Visio pada hari Sabtu, 15 Maret 2014. Pelaksanaan Do yang ke dua ini merupakan perbaikan dari Doyang pertama. Doyang kedua ini dilaksanakan sesuai dengan Planyang kedua yang telah direncanakan sebelumnya. Beberapa hal yang diperbaiki dalam Doyang kedua ini adalah: (1) pembentukan kelompok, (2) apersepsi, (3) penekanan materi prasyarat, (4) pengoptimalan penggunaan komputer, (5) variasi contoh, dan (6) variasi soal.
Hal pertama yang diperbaiki guru pada Do yang kedua ini adalah jumlah anggota kelompok. Guru membentuk kelompok dimana satu kelompok terdiri atas 3 orang, karena kelompok yang beranggotakan 2 orang seperti pada Do yang pertama kurang optimal dalam mengaktifkan siswa. Setelah itu guru melakukan perbaikan pada apersepsi. Pada apersepsi Do yang kedua ini guru memberikan apersepsi berupa masalah “peluncuran rudal” menggunakan alat bantukomputer. Dengan alat bantukomputerapersepsi yang diberikan guru terlihat lebih nyata dan menarik perhatian siswa.
Gambar 5. Apersepsi guru (peluncuran rudal)
Guru memberikan apersepsi bahwa materi limit ini digunakan dalam banyak hal salah satunya untuk menghitung percepatan, kecepatan dan jarak yang ditempuh suatu rudal (Gambar 5). Dengan apersepsi guru dengan bantuan komputer tersebut sebagian besar siswa terlihat sangat termotivasi. Antusiasme siswa meningkat jika dibandingkan dengan Doyang pertama.
Perbaikan lain adalah pada materi prasyarat. Pada Doyang kedua ini guru lebih menekankan pada bagaimana menggambarkan grafik masing-masing fungsi. Setelah penekanan dari guru, pada Do kedua ini siswa terlihat lebih mahir dalam menggambar grafik suatu fungsi.Perbaikan selanjutnya adalah pada ilustrasi yang digunakan untuk masalah “satu kue donat untuk banyak orang”. Agar lebih mudah dipahamiguru memberikan ilustrasi gambar donat dengan media maple. Para siswa terlihat lebih antusias dengan gambar tersebut, kemudian
guru mengarahkan siswa untuk menuliskan masalah tersebut kedalam bentuk tabel seperti yang terlihat pada tabel 1.
Selanjutnya guru melakukan perbaikan pada penanaman konsep dasar limit, limit kiri, dan limit kanan guru tidak hanya menampilkan satu grafik saja tetapi beberapa grafik dan di beberapa titik. Guru memberikan representasi lim𝑥→2𝑥, lim𝑥→2𝑥2, dan lim𝑥→0𝑥2, dan lim𝑥→0𝑥3. Tindakan ini dilakukan guru dengan harapan semakin memperluas pengetahuan siswa tentang limit fungsi. Siswa terlihat semakin aktif berdiskusi. Dengan semakin aktifnya siswa berdiskusi diharapkan dapat meningkatkan pengetahuan siswa karena menurut temuan Kosko (2010) diskusi antar teman dapat meningkatkan pemahaman.
Semua soal yang diberikan guru pada Doyang pertama merupakan limit fungsi yang dapat ditentukan nilainya. Pada Doyang kedua ini dilengkapi dengan soal yang limit kiri dan limit kanannya tidak sama sehingga nilai limit fungsinya tidak ada (gambar 6). Hal ini untuk menambah pengetahuan siswa bahwa ada fungsi yang tidak punya nilai limit pada titik – titik tertentu.
Gambar 6. Representasi
Dengan representasi grafik tersebut guru bisa mengekplorasi pengetahuan dan argumentasi siswa mengapa tidak ada.
Observasi dan Refleksi
Selama proses observasi diperoleh banyak hal berkaitan dengan pelaksanaan Do pertama dan kedua yang kemudian direfleksikan untuk perbaikan pembelajaran. Dengan pendekataan kooperatif dan dibentuk kelompok terbukti dapat meningkatkan komunikasi siswa tetapi pembentukan kelompok dimana satu kelompok beranggotakan dua orang pada pembelajaran ini kurang efektif. Hal itu karena pada kelompok tersebut tidak terjadi diskusi melainkan pembagian tugas. Yang terjadi ketika anggota kelompok berjumlah dua orang adalah anggota kelompok yang pertama mengoperasikan komputer dan yang kedua menulis jawaban. Berdasarkan hal itu pada Do yang kedua guru disarankan untuk membentuk kelompok beranggotan tiga orang. Kelompok beranggotakan tiga orang tersebut terbukti lebih efektif untuk mengaktifkan siswa. Siswa terlihat lebih aktif berinteraksi dan berkomunikasi dengan teman-teman dalam kelompok mereka.
Apersepsi yang diberikan guru pada Do yang pertama terlihat dapat menarik perhatian siswa, tetapi apersepsi tersebut akan semakin baik jika guru bisa mengoptimalkan penggunaankomputer. Observer melihat pada Do yang pertama komputer hanya dipakai pada pembelajaran inti, sedangkan pada kegiatan apersepsi masih menggunakan apersepsi secara lisan. Berdasarkan hal tersebut pada Do yang kedua guru disarankan agar mengoptimalkan penggunaan komputer untuk kegiatan apersepsi. Penggunaan apersepsi dengan komputer tersebut terbukti dapat semakin menarik perhatian siswa dan memotivasi mereka untuk belajar limit fungsi. Mereka terlihat semakin antusias untuk mengikuti pelajaran. Hal serupa juga disarankan pada ilustrasi yang digunakan untuk menggambarkan kue donatpada Do yang pertama. Agar lebih mudah dipahami dan menarik guru disarankan untuk memberikan representasi matematika masalah tersebutmenggunakan multi media.Representasi yang tepat penting untuk memfasilitasi belajar dan mengkomunikasikan ide – ide matematis (Panaoura, 2010). Terlihat hampir semua siswa lebih antusias dengan representasi yang diberikan guru tersebut.
Hal selanjutnya yang harus diperhatikan guru adalah berkaitan dengan materi prasyarat. Pada Do yang pertama siswa terlihat sudah bisa menghitung nilai fungsi, tetapi mereka kurang mahir dalam menggambar grafik. Pada Doyang kedua guru disarankan lebih menekankan pada bagaimana menggambarkan grafik fungsi. Penekanan oleh guru ini sangat dibutuhkan karena interaksi siswa dalam kelas sangat dipengaruhi oleh orientasi proses yang ditekankan oleh guru (Nuhrenborger & Steinbring, 2009). Setelah penekanan dari guru, pada Dokedua siswa terlihat lebih mahir dalam menggambar grafik suatu fungsi. Kemampuan siswa untuk menggambar grafik fungsi sangat berguna untuk merepresentasikan limit fungsi.
Adanya maple memungkinkan guru untuk menanamkan konsep dengan menggunakan berbagai macam grafik dan pendekataan. Hal itu belum dimaksimalkan guru pada Do yang pertama. Pada Do yang kedua guru disarankan dalam merepresentasikan konsep dasar limit, limit kiri, dan limit kanan tidak hanya menampilkan satu grafik saja tetapi beberapa grafik dan di beberapa titik. Tindakan ini perlu dilakukan guru dengan harapan semakin memperluas pandangan dan pengetahuan siswa tentang limit fungsi karena representasi tidak hanya berguna untuk menggambarkan dan mengkomunikasikan obyek matematika tetapi juga untuk berkerja dengan matematika (Duvan dalam Nunes & Bryant, 2007).Pada Do kedua terlihat dengan banyaknya representasi yang diberikan guru siswa semakin aktif berkomunikasi dan berinteraksi. Mereka mendiskusikan perbedaan dan persamaan representasi grafik yang diberikan guru.
Strategi guru membagi kegiatan diskusi kelompok menjadi dua sesi (kegiatan mengerjakan secara manual dan kegiatan mengoreksi pekerjaan kelompok lain dengan bantuan maple) terbukti efektif dalam meningkatkan komunikasi dan representasi siswa. Representasi siswa yang meningkat tersebut dapat meningkatkan kemampuan mereka dalam proses pemecahan masalah (Pyke, 2003). Kekurangan pada kegiatan tersebut menurut observer adalah pada soal yang diberikan. Observer melihat semua soal yang diberikan guru pada Do yang pertama merupakan limit fungsi yang dapat ditentukan nilainya. Pada Do yang kedua guru disarankan untuk melengkapi dengan soal yang limitnya tidak ada. Hal ini dimaksudkan untuk menambah pengetahuan siswa bahwa ada fungsi yang tidak punya nilai limit pada titik – titik tertentu. Terlihat pada Do yang kedua, dengan soal yang semakin bervariatif siswa lebih aktif dalam berkomunikasi dan mengekplorasi representasi limit fungsi dalam bentuk grafik dan numerik.
KESIMPULAN
Pembelajaran kooperatif berbantuan maple dapat meningkatkan komunikasi dan representasi siswa pada materi limit fungsi di kelas X TKJ SMK Negeri 1 Badegan Ponorogo. Mapledapat digunakan untuk membangun dan memperluas representasi konvensional serta untuk membantu diskusi ide – ide matematis di balik limit fungsi. Pembelajaran berbantuan mapleyang diiringi dengan aktifitas yang sesuai dapat digunakan untuk membelajarkan siswa tentang materi limit fungsi dengan lebih baik dan menarik.
SARAN
Penggunaan komputer memungkinkan guru untuk mendesain pembelajaran dan mengekplorasi matematika secara lebih variatif dan mendalam. Penggunaan komputer memungkinkan siswa untuk menggunaan strategi yang berbeda-beda. Komputer memang merupakan salah satu pilihan bagus yang dapat meningkatkaninteraksi siswa dalam kelas meskipun begitu peran guru tetaplah yang terpenting dalam memfasilitasi siswa belajar serta menentukan arah pembelajaran yang tepat.
DAFTAR RUJUKAN
Abdullah, Sopiah & Shariff, Adilah. (2008). The Effects of Inquiry – Based Computer Simulation with Cooperative Learning on Scientific Thinking and Conceptual Understanding. Eurasia Journal of Mathematics, Science & Technology Education, 2008, 4(4), 387 – 398
Alias, M. (2008). Integrating Technology in to Classroom Instructions for Reduced Misconceptions in Statistics. International Electronic Journal of Mathematics Education, Vol. 4, Number 2, July 2009: 77 – 91.
Andersen, Teena. (2009). Using Cooperative Learning in Sixth Grade Math Classroom. Department Of Mathematics. University of Nebraska.
Burghes, David. (2009). Lesson Study: Enhacing Mathematics Teaching and Learning. CFBT Education Trust: United States of America.
Buyukkoroglu, Taner et all. (2004). The Effect of Computer on Teaching The Limit Concept. Department of Mathematics. Science Faculty. Anadolu University. Turkiye.
Hirschfeld, Kimberly. (2008). Mathematical Communication, Conceptual Understanding and Students‟ Attitude Toward Mathematics. Department Of Mathematics. University of Nebraska.
Hwang, W. Y. et all. (2007). Multiple Representation Skills and Creativity Effects on Mathematical Problem Solving using a Multimedia Whiteboard System. Educational Technology & Society, 10 (2), 191 – 212.
Kagan, Spencer & Kagan, Miguel. (2009). Kagan Cooperative Learning. Kagan Publishing: Cale Amencer, San Clemente, CA 92673
Kennedy, Leonard M., et all. (2008). Guiding Children‟s Learning of Mathematics, Eleventh Edition. Thomson Waswordth: United States of America.
Keong, Chong Chee. (2005). A Study on the Use of ICT in Mathematics Teaching. Malaysian On line Journal of Instructional Technology. Malaysia
Kosko, Karl W. (2010). Mathematical Communication and Its Relation to The Frequency of Manipulative Use. International Electronic Journal of Mathematics Education, Vol. 5, Number 2, July 2010: 79 – 90.
NCTM. (2000). Principles and Standarts for School Mathematics. NCTM Inc: United States of America.
Niess, Margaret L. (2006). Preparing Teachers to Teach Mathematics With Technology. Oregon State University. niessm@onid.oregonstate.edu
Nillson, Per & Ryve, Andreas. (2010). Focal Event, Contextualization and Effective Communication In The Mathematics Classroom. Springer Science & Busines Media. B. V
Nuhrenborger, Marcus & Steinbring, Heinz. (2009). Forms of Mathematical Interaction in Different Social Settings: Examples from Students‟, Teachers‟ and Teacher Students‟ Communication About Mathematics. Journal Math Teacher Education (2009) 12: 111 – 132. Springer Science & Business Media B. V.
Nunes, Terezhinha & Bryant, Peter. (2007). Understanding Relations and Their Graphical Representation. Key Understandings in Mathematics Learning. Nuffield Foundation. Panaoura, Areti. (2010). Young Students‟ Self – Beliefs About Using Representations In
Relation To The Geometry Understanding. Frederick University, Nicosia. Pre.pm@frederick.ac.cy
Pyke, Curtis L. (2003) The Use of Symbols, Words, And Diagrams as Indicators Of Mathematical Cognition: A Causal Model. Journal for Research in Mathematics Education. 2003, Vol. 34, No. 5, 406 – 432
Ruthven, Kenneth. (2009). Using Graphing Software to Teach About Algebraic Forms: A Study of Technology Supported Practice in Secondary School Mathematics. Education Student Mathematics (2009) 71: 279 – 297. Springer Science & Business Media B. V. Santos, Manuel. (2008). An Inquiry Approach to Construct Instructional Trajectories Based on
The Use of Digital Technologies. Eurasia Journal of Mathematics, Science & Technology Education, 2008, 4 (4), 347 – 357
Slavin, Robert E. (2006) Educational Psychology: Theory and Practice. 8th ed. Pearson: United States of America.
Snyder, Sandra S. (2006). Cooperative Learning Groups in the Middle School Mathematics Classroom. Department Of Mathematics. University of Nebraska.
Subanji. 2014. Panduan Praktik Pengalaman Lapangan (PPL) Berbasis Lesson Study Prodi S2 Pendidikan Matematika. Pasca Sarjana Universitas Negeri Malang: Malang.
Tabach, Michal. (2008). Transitions Among Different Symbolic Generalizations By Algebra Beginners In a Computer Intensive Environment. Education Student Mathematics (2008) 69: 53 – 71. Springer Science & Business Media B. V.
Tarim, Kamuran. (2009). The Effects Of Cooperative Learning On Preschoolers‟ Mathematics Problem Solving Ability. Education Student Mathematics (2009) 72: 325 – 340. Springer Science & Business Media B. V.
The Literacy and Numeracy Secretariat. (2010). Communication in Mathematics Class Room. Capacity Building Series. The Literacy and Numeracy Secretariat. Ontario.