BAB 4 HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1 Mesin Carnot Kuantum
4.1.1. Keadaan Awal
Keadaan awal sistem untuk siklus Carnot berdasarkan Gambar 14 adalah ketika sistem berada di kondisi A (L = LA, F = FA). Keadaan awal ketika probabilitas keadaan sistem, yaitu ketika kedua partikel tepat berada pada keadaan pertama dan kedua (first and second energy eigenstates). Dengan fungsi gelombang yang mewakili keadaan sistem adalah
( ) =
√ , ( ) ( ) ( ) ( )- (4.15) Fungsi Eigen (4.15) berasosiasi dengan nilai eigen energi di keadaan awal (u1 = 1, u2 = 2 ) ditunjukkan pada persamaan (4.16) yaitu
EAB (L) =
2 =
(4.16)
Keadaan awal diwakili fungsi gelombang pada persamaan (4.15) dan nilai eigen pada persamaan (4.16). Nilai harap Hamiltonian pada keadaan awal dengan lebar sumur L = LA adalah
=
(4.17)
Mengingat pada keadaan awal, probabilitas keadaan sistem tepat berada pada keadaan pertama dan kedua (first and second energy eigenstates). Oleh karena itu berlaku persamaan (4.18). Nilai mutlak kuadrat dari koefisien ekspansi merupakan representasi probabilitas keadaan eigen dari masing-masing keadaan sistem.
∑ | | (4.18)
4.1.2. Proses A-B (Ekspansi Isotermal)
Proses dari kondisi A-B merupakan proses ekspansi isotermal. Pada proses ini sistem mengalami kontak dengan reservoir panas sehingga sistem menyerap kalor (QH) tanpa mengalami perubahan energi internal karena dalam proses kompresi maupun ekspansi isotermal sistem berada pada temperatur konstan. Tinjauan hukum pertama termodinamika menunjukkan bahwa kalor yang diserap oleh sistem dari tandon panas hanya digunakan untuk menghasilkan kerja dan sebaliknya
dU = dQ –dW
dU = 0 dQ = dW (4.19)
Hukum pertama termodinamika ketika diimplemetasikan ke dalam sistem kuantum seperti pada persamaan (4.14) untuk proses isotermal tidak terjadi perubahan energi internal yang mengimplikasikan bahwa nilai harap Hamiltonian sepanjang proses isotermal adalah tetap. Kalor yang diserap sistem melalui proses isotermal pada sistem kuantum hanya digunakan untuk menghasilkan kerja seperti halnya termodinamika klasik.
dU = d〈 〉 ∑ {∑ }
dL (4.20) Kalor yang diserap sistem dari reservoir panas akan mengeksitasi partikel dari keadaan pertama dan kedua (first and second energy eigenstates) menuju keadaan yang lebih tinggi sehingga probabilitas dari keberadaan partikel di keadaan tertentu sepanjang lebar sumur potensial satu dimensi (L) di daerah LA< L< LB tidaklah 100%. Perubahan tingkat keadaan partikel menyebabkan jumlah probabilitas dari bilangan kuantum setiap keadaan juga mengalami perubahan.
Nilai harap Hamiltonian di L = LA nilainya sama dengan nilai harap Hamiltonian di sepanjang L = LA-B karena sepanjang proses tersebut merupakan proses isotermal dimana prosesnya tidak mengalami perubahan energi internal, maka
= (L)
ekspansi dari masing-masing partikel. Dengan menggunakan persamaan (4.6) dapat dihitung nilai harap Hamiltonian sepanjang proses A-B yaitu
EA-B (L)=
(| | +4| | | |+ | | | |+ 9| | (4.21.1) EA-B (L)=
(4.21.2)
Pada saat ekspansi isotermal berlangsung, gaya yang bekerja pada dinding sumur potensial mengikuti cara perhitungan yang sama seperti persamaan (4.21.1) dan sesuai dengan persamaan (4.13) dinyatakan sebagai
FA-B (L) =
(4.22)
Usaha pada proses isotermal sepanjang A-B didapat dengan mengintegralkan fungsi gaya F(L) yang bekerja pada dinding sumur potensial satu dimensi pada persamaan (4.22) terhadap partisi infinitesimal dari lebar sumur potensial satu dimensi (dL) melakukan kerja untuk mengekspansi lebar sumur potensial satu dimensi.Lebar maksimum pada proses ekspansi isotermal sepanjang A sampai B berada di L = LB dimana dalam hal ini penulis mengasumsikan probabilitas partikel a1=b1=0, a2=b3=1, (atau a3= b2=1), artinya partikel 100% berada di keadaan eigen kedua dan ketiga (second and third energy eigenstates) ketika proses mencapai kondisi B.
Fungsi gelombang yang mendeskripsikan keadaan sistem ketika di B adalah ( ) =
√ , ( ) ( ) ( ) ( )- (4.24) Ketika sistem berada di kondisi B berlaku
∑ | | ∑ | | dan (4.25.1)
∑ | | ∑ | | atau ∑ | | ∑ | | ) (4.25.2) (Wibowo et al., 2012)
Nilai harap Hamiltonian di A adalah sama dengan nilai harap Hamiltonian di B Sehingga LB dapat dicari dengan meninjau nilai Hamiltonian dari proses A-B adalah konstan, sehingga berlaku
=
2 2
(4.26)
Persamaan (4.26) disubstitusikan ke dalam persamaan (4.23) akan menghasilkan bentuk persamaan dari kerja A-B yang lebih sederhana
WA-B =
ln √ (4.27)
Persamaan (4.27) menunjukkan bahwa LB tidak bisa bernilai sembarang karena perbandingan antara LB dan LA bernilai bilangan bulat positif tergantung dari tingkat keadaan maksimum yang dibatasi oleh sistem. Kalor (QH) yang diserap sistem dari reservoir panas berdasarkan persamaan (4.19) menunjukkan bahwa nilainya sama dengan kerja sepanjang proses isotermal A-B yang terdapat pada persamaan (4.27) . Kalor yang diserap sebesar
QH Carnot =
ln√ (4.28)
4.1.3. Proses B-C (Ekspansi Adiabatik)
Proses B-C adalah proses ekspansi adiabatik. Selama proses adiabatik, lebar sumur potensial satu dimensi mengalami perubahan dari L = LB hingga mencapai lebar maksimum proses di L = LC . Proses adiabatik pada sistem termodinamika klasik tidak diikuti oleh proses transfer kalor antara sistem dengan lingkungan. Pada sistem adiabatik kuantum tidak mengalami perubahan probabilitas tiap tingkat keadaan, dengan kata lain keadaan partikel tidak mengalami eksitasi. Untuk kasus ini, keadaan sistem tetap berada di keadaan tertingginya. Proses adiabatik pada sistem termodinamika kuantum tidak disertai perubahan probabilitas dari tiap keadaan eigen, sehingga pernyataan hukum pertama untuk proses adiabatik kuantum
tertera dalam persamaan (4.29) karena untuk nilai perubahan probabilitas tingkat keadaannya nol dPn(L) = 0), maka
dU = d〈 〉 {∑ }
dL (4.29)
Persamaan (4.29) menunjukkan bahwa pada proses adiabatik berlaku bahwa perubahan nilai harap Hamiltonian tidak lain adalah kerja yang dihasilkan atau dikenakan pada sistem.Pada saat proses ekspansi adiabatik berlangsung, kedua fermion tetap berada pada keadaan u2 dan yang lainnya pada keadaan u3. Nilai harap Hamiltonian sistem tersebut diberikan oleh persamaan (4.30) yaitu
(L)=
(4.30)
Gaya yang bekerja pada dinding sumur potensial saat proses ekspansi adiabatik berlangsung diberikan oleh
(L)=
(4.31)
Kerja atau usaha pada proses ekspansi dari LB sampai LC ditunjukkan pada persamaan (4.32) yaitu
= ∫ =
* + (4.32)
Kerja pada proses B-C berdasarkan persamaan (4.32) bernilai positif . Dalam hal ini maka proses B-C menunjukkan bahwa sistem melakukan kerja untuk mengekspansi lebar sumur potensial satu dimensi dari LB hingga LC.
4.1.4. Proses C-D (Kompresi Isotermal)
Proses yang berlangsung pada C-D merupakan proses isotermal. Sistem pada proses ini tidak mengalami perubahan nilai harap Hamiltonian seperti halnya pada proses A-B karena secara klasik pada proses ini tidak terjadi perubahan energi internal karena temperatur konstan sepanjang proses. Pembeda antara proses C-D dengan proses A-B adalah pada proses C-D sistem mengalami kompresi yang menyebabkan lebar sumur potensial satu dimensi berubah menjadi lebih pendek dari lebar awal. Sedangkan pada proses A-B, sistem mengalami ekspansi yang menyebabkan lebar sumur potensial satu dimensi berubah menjadi lebih panjang.Proses kompresi isotermal mengalami transfer kalor antara sistem dan
lingkungan karena sistem dan lingkungan mengalami kontak yang menyebabkan aliran kalor berpindah dari sistem yang bertemperatur lebih tinggi ke sistem lain yang bertemperatur lebih rendah untuk mencapai kesetimbangan. Pada proses C-D terjadi aliran kalor dari sistem menuju ke reservoir temperatur rendah dan sistem mengalami kompresi hingga kembali ke keadaan awal dengan lebar sistem di L= LD. Sepanjang proses C-D, tingkat keadaan partikel mengalami penurunan ke keadaan yang lebih rendah (relaksasi). Fungsi gelombang yang mendeskripsikan keadaan partikel ketika di C ditunjukkan pada persamaan (4.33) dimana probabilitas tingkat keadaan partikel 100% berada di keadaan maksimum ( di u2= 2, u3= 3).
( ) =
√ , ( ) ( ) ( ) ( )- (4.33) Oleh karena probabilitas tingkat keadaan sistem 100% berada di keadaan (u2 = 2, u3= 3), ketika di kondisi C, sehingga berlaku
∑ | | ∑ | | dan (4.34.1)
∑ | | ∑ | | atau ∑ | | ∑ | | ) (4.34.2) (Wibowo et al., 2012) Juga probabilitas tingkat keadaan yang dimiliki sistem pada kondisi C masih belum mengalami relaksasi, yakni
EC =
(4.35)
Nilai harap Hamiltonian di sepanjang proses C-D adalah konstan, maka di dapatkan hubungan Dengan menggunakan persamaan (4.36) dapat dihitung nilai harap Hamiltonian sepanjang proses C-D yaitu
EC-D (L)=
(| | +4| | | |+ | | | |+ 9| | (4.36.1) EC-D (L)=
(4.36.2)
Pada saat kompresi isotermal berlangsung, gaya yang bekerja pada dinding sumur potensial mengikuti cara perhitungan yang sama seperti persamaan (4.36.1) dan sesuai dengan persamaan (4.41) dinyatakan sebagai
FC-D (L) =
(4.37)
Usaha pada proses isotermal sepanjang C-D didapat dengan mengintegralkan fungsi gaya F(L) yang bekerja pada dinding sumur potensial satu dimensi pada persamaan (4.37) terhadap partisi infinitesimal dari lebar sumur potensial satu dimensi (dL)
Keadaan partikel akan mencapai batas minimum ketika probabilitas di keadaan awal (di u1= 1, u2= 2), adalah 100% ketika sistem berada pada kondisi D dengan fungsi keadaan sistem ditunjukkan pada persamaan (4.39).
( ) =
√ , ( ) ( ) ( ) ( )- (4.39) Ketika sistem berada di kondisi D berlaku
∑ | | ∑ | | dan (4.40.1)
Nilai harap Hamiltonian di C adalah sama dengan nilai harap Hamiltonian di D sehingga LC dapat dicari dengan meninjau nilai Hamiltonian dari proses C-D
(4.42)
Persamaan (4.42) disubstitusikan ke dalam persamaan (4.38) akan menghasilkan bentuk persamaan dari kerja C-D yang lebih sederhana
WC-D =
ln √ (4.43)
Persamaan (4.43) bernilai negatif , hal ini bermakna bahwa sistem dikenai kerja. Kalor (QC) yang dilepas sistem ke reservoir dingin berdasarkan persamaan (4.19) menunjukkan bahwa besarnya akan sama dengan kerja sepanjang proses kompresi isotermal, yaitu
QCCarnot=
ln √ (4.44)
berdasarkan persamaan (4.44) bernilai negatif menunjukkan terjadinya aliran kalor keluar dari sistem dan menuju lingkungan (reservoir temperatur rendah).
4.1.5. Proses D-A (Kompresi Adiabatik)
Proses D-A merupakan proses adiabatik. Seperti hal nya pada proses B-C yaitu tidak ada transfer kalor antara sistem dengan lingkungan. Yang membedakan antara proses B-C dengan D-A adalah proses D-A merupakan proses kompresi adiabatik, yaitu proses yang mengalami perubahan lebar sumur potensial sau dimensi menjadi lebih pendek dari lebar semula. Sedangkan proses B-C adalah proses ekspansi dimana perubahan lebar sumur potensial satu dimensi menjadi lebih panjang dari lebar semula.
Proses adiabatik pada sistem kuantum dicirikan dengan tidak adanya perubahan probabilitas keadaan sistem. Pada proses terakhir dari siklus Carnot kuantum ini, partikel dan juga keadaan sistem tetap berada pada keadaan awal dan lebar sumur potensial berubah dari L=LD menjadi L = LA. Selama proses kompresi adiabatik berlangsung, nilai harap Hamiltonian sistem dinyatakan sebagai
ED-A(L)=
(4.45)
Dan gaya yang bekerja pada dinding sumur potensial satu dimensi diberikan oleh persamaan (4.46) yaitu
FD-A (L) =
(4.46)
Kerja pada proses D-A diperoleh dengan mengintegralkan persamaan (4.46) terhadap partisi infinitesimal dL sepanjang proses kompresi adiabatik berlangsung yaitu sepanjang proses D-A yang dinyatakan sebagai
Efisiensi mesin adalah persentasi dari energi panas yang ditransformasikan menjadi kerja. Nilai efisiensi dari mesin Carnot dengan mengacu pada persamaan (2.27) dengan kalor yang masuk ke dalam sistem yakni pada persamaan (4.28) dan Persamaan (4.48) menujukkan nilai efisiensi tidak mungkin mencapai 100%
dan sesuai dengan Pernyataan Kelvin-Planck. Terdapat korelasi antara sistem termodinamika klasik dengan sistem termodinamika kuantum untuk sistem siklus Carnot.