BAB 4 HASIL DAN PEMBAHASAN
4.2. Mesin Otto Kuantum
4.2.1. Keadaan awal
Kondisi awal partikel untuk sistem mesin Otto kuantum berbeda dengan mesin Carnot kuantum karena proses awal siklus Otto berdasarkan Gambar 16 dimulai di kondisi D dimana lebar sistem L = LD. Sedangkan mesin Carnot kuantum berdasarkan Gambar 14 untuk proses awal siklus berada di kondisi A dimana lebar sistem L = LA. Keadaan awal sistem adalah ketika partikel tepat berada pada keadaan pertama dan kedua (first and second energy eigenstates). Fungsi gelombang yang mewakili keadaan awal sistem pada siklus Otto adalah
( ) =
√ , ( ) ( ) ( ) ( )- (4.49) Fungsi Eigen (4.49) berasosiasi dengan nilai eigen energi di keadaan awal (u1 = 1, u2 = 2 ) ditunjukkan pada persamaan (4.50) yaitu
ED-A (L) =
2 =
(4.50)
Keadaan awal diwakili fungsi gelombang pada persamaan (4.49) dan nilai eigen pada persamaan (4.50) di keadaan awal (u1 = 1, u2 = 2 ). Nilai harap Hamiltonian untuk partikel 100% di keadaan awal dengan L = LD pada mesin Otto kuantum ditunjukkan pada persamaan (4.51), yaitu
=
(4.51)
4.2.2. Proses D - A (Kompresi Adiabatik)
Proses D-A merupakan proses adiabatik. Pada proses ini tidak terjadi transfer kalor antara sistem dengan lingkungan sehingga tidak terjadi perubahan probabilitas tiap keadaan eigen. Hukum pertama termodinamika untuk proses adiabatik pada sistem kuantum ditunjukkan pada persamaan (4.52), yaitu
dU= d〈 〉 {∑ }
dL (4.52)
Hukum pertama termodnimakika untuk proses adiabatik pada sistem termodinamika kuantum yang ditunjukkan pada persamaan (4.52) hanya berlaku apabila tidak ada transfer kalor antara sistem dengan lingkungan. Sehingga perubahan nilai harap Hamiltonian hanya bergantung pada kerja yang dihasilkan atau dikenai pada sistem. Selama proses kompresi adiabatik berlangsung, nilai harap Hamiltonian sistem dinyatakan sebagai
Kerja pada proses D-A diperoleh dengan mengintegralkan persamaan (4.54) terhadap partisi infinitesimal dL sepanjang proses kompresi adiabatik berlangsung yaitu sepanjang proses D-A yang dinyatakan sebagai
bernilai positif kurang dari satu, hal ini bermakna bahwa sistem dikenai kerja sepanjang proses kompresi adiabatik (sepanjang D-A).
4.2.3. Proses A - B (Isokhorik / Isovolume)
Proses A-B merupakan proses isokhorik. Pada proses ini tidak terjadi
perubahan volume untuk termodinamika klasik. Pada sistem termodinamika kuantum ditunjukkan dengan tidak adanya perubahan lebar sumur potensial satu dimensi sehingga LA = LB . Proses isokhorik pada termodinamika mengalami proses transfer kalor antara sistem dengan lingkungan tanpa disertai perubahan volume sehinga sistem tidak melakukan kerja atau dikenai kerja. Mengingat tidak ada kerja sepanjang proses isokhorik (dW= 0) maka dari hukum pertama termodinamika berlaku persamaan (4.56), yaitu
dU= dQ (4.56)
Hukum pertama termodinamika yang ditunjukkan pada persamaan (4.56) menginformasikan bahwa transfer kalor antara sistem dengan lingkungan hanya mempengaruhi energi internal. Energi internal akan meningkat ketika kalor dari reservoir panas masuk ke dalam sistem dan energi internal akan menurun apabila kalor dari sistem dilepaskan ke reservoir dingin. Hukum pertama termodinamika pada proses isokhorik untuk sistem mekanika kuantum dengan dua partikel fermion sebagai zat kerja ditunjukkan pada persamaan (4.57)
dU= d〈 〉 ∑ = ∑
(4.57) Karena sistem tidak melakukan kerja atau dikenai kerja, maka energi eigen tiap keadaan n tetap, tetapi probabilitas partikel akan berubah sedemikian rupa agar sistem selalu dalam keadaan setimbang termodinamik. Kalor yang masuk atau keluar sistem pada proses isokhorik hanya bergantung dari perubahan nilai harap Hamiltonian. Nilai harap Hamiltonian sistem saat dikondisi A adalah ketika probabilitas keadaan sistem 100% masih berada di keadaan awal (u1= 1, u2= 2), karena probabilitas tingkat keadaan yang dimiliki sistem pada kondisi A masih belum tereksitasi, yakni
EA =
(4.58)
Fungsi keadaan yang mendeskripsikan keadaan partikel di kondisi A adalah fungsi keadaan ( ) seperti pada persamaan (4.49) tetapi dengan lebar sumur potensialnya adalahL = LA, yaitu
( ) =
√ , ( ) ( ) ( ) ( )- (4.59) Oleh karena probabilitas tingkat keadaan sistem 100% berada di keadaan (u1= 1, u2= 2), ketika di kondisi A, sehingga berlaku
∑ | | ∑ | | dan (4.60.1)
∑ | | ∑ | | atau ∑ | | ∑ | | ) (4.60.2) (Wibowo et al., 2012) Dimana dengan ∑ | | , adalah sama seperti yang telah didefenisikan sebelumnya, yang merupakan koefisien ekspansi dari masing-masing partikel.Kalor yang masuk atau keluar sistem pada proses isokhorik saling bergantung dengan perubahan nilai harap Hamiltonian. Keadaan partikel akan mencapai batas maksimum ketika probabilitas di keadaan tertingginya (di u2= 2, u3= 3), adalah 100% ketika sistem berada padakondisi B dengan keadaan sistem adalah
( ) =
√ , ( ) ( ) ( ) ( )- (4.61) Ketika sistem berada di kondisi B berlaku
∑ | | ∑ | | dan (4.62.1) mengacu pada persamaan (4.56) sama dengan selisih antara nilai harap Hamiltonian sistem ketika di kondisi B dan nilai harap Hamiltonian sistem ketika kondisi di A.
EB EA = QH (4.64)
Selisih nilai harap Hamilonian antara kondisi A dan kondisi B dengan mensubstitusikan persamaan (4.63) dan (4.58) menghasilkan nilai kalor yang diserap sistem untuk mengeksitasi probabilitas tingkat keadaan partikel dari keadaan awal hingga ke keadaan maksimum, yaitu
QH = EB EA =
=
(4.65)
Persamaan (4.71) bernilai positif yang mengindisikan bahwa transfer kalor berasal dari lingkungan yang masuk ke sistem.
4.2.4. Proses B-C (Ekspansi Adiabatik)
Proses B-C adalah proses adiabatik kuantum seperti halnya pada proses D-A.
Sistem tidak mengalami perubahan probabilitas tingkat keadaan sistem, karena tidak adanya perpindahan kalor antara sistem dengan lingkungan. Partikel pada proses B-C tidak mengalami perubahan probabilitas tiap tingkat energi dimana probabilitas keadaan sistem 100% berada di keadaan maksimum yang berasosiasi dengan eigen-energy tertinggi. Fungsi gelombang yang mendeskripsikan keadaan sistem ketika di C ditunjukkan
( ) =
√ , ( ) ( ) ( ) ( )- (4.66) Selama proses ekspansi adiabatik berlangsung, nilai harap Hamiltonian sistem dinyatakan sebagai
EB-C (L) =
(4.67)
Dan gaya yang bekerja pada dinding sumur potensial satu dimensi diberikan oleh persamaan (4.68) yaitu
FB-C (L) =
(4.68)
Kerja pada proses B-C diperoleh dengan mengintegralkan persamaan (4.68) terhadap partisi infinitesimal dL sepanjang proses kompresi adiabatik berlangsung yaitu sepanjang proses B-C yang dinyatakan sebagai
WB-C =∫
Persamaan (4.69) bernilai positif karena nilai LB2
/ LC2
bernilai positif kurang dari satu, hal ini bermakna bahwa sistem melakukan kerja sepanjang proses ekspansi adiabatik (sepanjang B-C).
4.2.5. Proses C-D (Isokhorik / Isovolume)
Proses C-D merupakan proses isokhorik seperti halnya proses A-B dimana tidak mengalami perubahan volume sehingga pada sistem tidak menghasilkan atau
dikenai kerja. Hukum pertama termodinamika untuk proses isokhorik tercantum pada persamaan (4.56) dan (4.57) dimana persamaan tersebut menunjukkan bahwa transfer kalor hanya saling berpengaruh terhadap energi internal sistem. Transfer kalor antara sistem dan lingkungan menyebabkan perubahan keadaan partikel sehingga probabilitas tingkat keadaan sistem mengalami perubahan.
Proses C-D terjadi pelepasan kalor dari sistem ke reservoir dingin sehingga tingkat keadaan partikel mengalami penurunan ke keadaan yang lebih rendah (relaksasi). Fungsi gelombang yang mendeskripsikan keadaan partikel ketika di C ditunjukkan pada persamaan (4.66) dimana probabilitas tingkat keadaan partikel 100% berada di keadaan maksimum ( di u2= 2, u3= 3). Karena probabilitas tingkat keadaan yang dimiliki sistem pada kondisi C masih belum mengalami relaksasi, yakni
EC =
(4.70)
Oleh karena probabilitas tingkat keadaan sistem 100% berada di keadaan (u2= 2, u3= 3), ketika di kondisi C, sehingga berlaku
∑ | | ∑ | | dan (4.71.1)
∑ | | ∑ | | atau ∑ | | ∑ | | ) (4.71.2) (Wibowo et al., 2012) Keadaan partikel akan mencapai batas minimum ketika probabilitas di keadaan awal (di u1= 1, u2= 2), adalah 100% ketika sistem berada pada kondisi D dengan fungsi keadaan sistem ditunjukkan pada persamaan (4.49). Ketika sistem berada di kondisi D berlaku isokhorik C-D selisih antara nilai harap Hamiltonian sistem ketika di kondisi D dan nilai harap Hamiltonian sistem ketika kondisi di C.
ED EC = QC (4.74) Selisih nilai harap Hamilonian antara kondisi D dan kondisi C dengan mensubstitusikan persamaan (4.70) dan (4.73) menghasilkan nilai kalor yang dilepas sistem untuk mengembalikan probabilitas tingkat keadaan partikel dari keadaan maksimum ke keadaan awal, yaitu
Persamaan (4.75) bernilai negatif yang mengindisikan bahwa kalor keluar dari sistem ke lingkungan.