KAJIAN PUSTAKA A.Hal-Hal Teoritik
7. Materi Keliling dan Luas Segiempat
Segiempat adalah suatu bidang datar yang dibentuk/dibatasi oleh
empat garis lurus sebagai sisinya. Keliling bidang datar merupakan
jumlah panjang semua sisi yang membatasi bidang datar tersebut,
sedangkan luas bidang datar merupakan besar ukuran daerah tertutup
suatu permukaan bangun datar. Jenis-jenis segiempat antara lain
jajargenjang, persegi panjang, belah ketupat , persegi, trapesium dan
a. Jajargenjang
Jajargenjang merupakan segiempat dengan kekhususan yaitu sisi
yang berhadapan sejajar.
Dalam Geometry; 1974 : 296-297, Jacobs, Harold mengemukakan teorema-teorema mengenai sifat-sifat jajargenjang yakni
Teorema 1
The opposite sides of a parallelogram are aqual (sisi-sisi yang berhadapan pada sebuah jajargenjang sama panjang)
Bukti :
Diketahui : jajargenjang ABCD, buktikan AB = DC dan AD = BC !
No Pernyataan Alasan
1 Jajargenjang ABCD Diketahui
2 AB ‖ DC definisi jajargenjang 3 BD transversal Dikondisikan
4 <ABD = <CDB sudut dalam berseberangan 5 AD ‖ BC definisi jajargenjang 6 <ADB = <CBD sudut dalam berseberangan 7 BD = BD Berimpit
8 ∆ABD ≡ ∆CDB sudut, sisi, sudut (4, 7, 6) 9 AB = DC; AD = BC 8 C Gambar 2.a D B A O
Teorema 2
The consecutive angles of a parallelogram are supplementary
(sudut-sudut yang berdekatan pada suatu jajargenjang merupakan
sudut pelurus, sehingga mengakibatkan sudut yang berhadapan
pada sebuah jajargenjang sama besar)
Bukti :
Diketahui : jajargenjang ABCD,
buktikan <DAB + <CBA = 1800 ; <ADC + <BCD = 1800 ; <BAD
+ <CDA = 1800; <ABC + <DCB = 1800 !
No Pernyataan Alasan
1 Jajargenjang ABCD Diketahui 2 AB ‖ DC
definisi jajargenjang 3 AD ‖ BC
4 Perpanjang garis AB dan DC
Dikondisikan 5 Buat garis EF ‖ BC
6 AB dan DC transversal AD dan BC Dikondisikan
7 <DAB = <CBE sudut sehadap (4,5,6) 8 <CBA + <CBE = 1800 sudut berpelurus 9 <ADC = <BCF sudut sehadap (4,5,6) 10 <BCD + <BCF = 1800 sudut berpelurus 11 Perpanjang garis AD dan BC Dikondisikan 12 Buat garis GH ‖ CD Dikondisikan
C Gambar 2.b D B A E F H G
No Pernyataan Alasan
13 AD dan BC transversal AB dan DC Dikondisikan
14 <BAD = <EDH sudut sehadap (11,12,13) 15 <CDA + <EDH = 1800 sudut berpelurus
16 <ABC = <DCG sudut sehadap (11,12,13) 17 <DCB + <DCG = 1800 sudut berpelurus 18 <DAB + <CBA = 1800 7,8 19 <ADC + <BCD = 1800 9,10 20 <BAD + <CDA = 1800 14,15 21 <ABC + <DCB = 1800 16,17 22 <A = <C; <B = <D 18,19,20,21 Teorema 3
The diagonal of a parallelogram bisect each other (diagonal-diagonal dari jajargenjang saling berpotongan ditengah)
Bukti :
Diketahui jajargenjang ABCD (perhatikan gambar 2.a!), buktikan AO
= OC dan BO = OD !
No Pernyataan Alasan
1 Jajargenjang ABCD Diketahui 2 AB ‖ DC Definisi jajargenjang 3 AD ‖ BD 4 BD transversal AB dan DC Dikondisikan 5 AC transversal AD dan BC 6 <ABD = <CDB
sudut dalam berseberangan 7 <BAC = <DCA
8 AB = DC Teorema 1
9 ∆ABO ≡ ∆CDO sudut, sisi, sudut (6,8,7) 10 AO = OC; BO = OD 9
1. Keliling jajargenjang
Perhatikan gambar 2.c !
Menentukan keliling jajargenjang dapat dilakukan dengan cara
menjumlahkan semua panjang sisinya. Sisi-sisi pada jajargenjang yang
sejajar adalah sama panjang. Apabila panjang dua sisi yang tidak sejajar
adalah m dan n, maka keliling jajargenjang dapat ditentukan oleh :
K = m + n + m + n = 2(m + n)
2. Luas jajargenjang
Gambar 2.d.i merupakan jajargenjang dengan alas a dan tinggi
t, kemudian dipotong seperti gambar 2.d.ii dan selanjutnya dirangkai
seperti gambar 2.d.iii. Luas gambar 2.b.i sama dengan luas gambar
2.d.iii, sehingga luas bangun jajargenjang 2.d.i adalah L = a . t
Rumus luas setiap jajargenjang dengan alas a, tinggi t, dan luas L, maka berlaku : L = a . t
m Gambar 2.c m n n Gambar 2.d.ii t Gambar 2.d Gambar 2.d.iii t a t a Gambar 2.d.i
b. Persegi panjang
Persegi panjang adalah jajargenjang dengan sebuah sudut siku-siku.
Dalam Geometry; 1974 : 311, Jacobs, Harold mengemukakan teorema-teorema mengenai sifat-sifat persegi panjang yakni
Teorema 4
All four angles of a rectangle are right angles (keempat sudut sebuah persegi panjang merupakan sudut tegak lurus (900)
Bukti :
Diketahui persegi panjang ABCD, buktikan <A, <B, <C, <D = 900!
No Pernyataan Alasan
1 Persegi panjang ABCD Diketahui
2 <A = 900 definisi persegi panjang
3 <A + <B + <C + <D = 1800 Definisi jumlah besar sudut dari sebuah bangun datar
4 <A = <B = <C = <D = 900 2,3
Teorema 5
All rectangles are parallelogram (semua persegi panjang adalah jajargenjang)
Teorema ini terbukti berdasarkan definisi persegi panjang yang telah
Teorema 6
The diagonals of rectangle are aqual (diagonal-diagonal dari persegi panjang adalah sama)
Bukti :
Diketahui persegi panjang ABCD, buktikan AC = BD!
No Pernyataan Alasan
1 Persegi panjang ABCD Diketahui
2 AD = BC definisi persegi panjang 3 AB = AB Identitas
4 <A = <B definisi persegi panjang 5 ∆DAB ≡ ∆CBA sisi,sudut,sisi (2,4,3)
6 AC = BD 5
1. Keliling persegi panjang
Keliling persegi panjang merupakan jumlah seluruh panjang
sisinya. Perhatikan gambar 2.f !
D C B A l l p p Gambar 2.f D C B A Gambar 2.e
Keliling persegi panjang ABCD = AB + BC + CD + DA
Karena AB = CD dan BC = AD, maka :
Keliling persegi panjang ABCD = 2. AB + 2. BC
Jika AB disebut panjang (p satuan panjang), BC disebut lebar (l
satuan panjang), dan keliling persegi panjang ABCD (K satuan panjang), maka :
Rumus keliling persegi panjang adalah :
K = 2p + 2l atau K = 2(p + l)
2. Luas persegi panjang
Luas persegi panjang merupakan hasil kali panjang dan
lebarnya. Berdasarkan gambar 2.a, maka luas ABCD = panjang ×
lebar dan dapat ditulis sebagai :
L = p × l
c. Belah ketupat
Belah ketupat adalah sebuah jajargenjang dengan dua sisi berdekatan yang
sama panjang.
Dalam Geometry; 1974 : 307, Jacobs, Harold mengemukakan teorema-teorema mengenai sifat-sifat persegi panjang yakni
Teorema 7
The diagonals of a rhombus are perpendicular to each other
(diagonal-diagonal sebuah belah ketupat berpotongan tegak lurus)
Bukti :
Diketahui belah ketupat ABCD, buktikan AC ┴ BD !
No Pernyataan Alasan
1 Belah ketupat ABCD Diketahui
2 AB = BC definisi belah ketupat 3 AD = DC definisi belah ketupat
4 AC ┴ BD jika dua buah titik berjarak sama terhadap ujung-ujung suatu garis yang diberikan, garis yang menghubungkan kedua titik itu membagi dua tegak lurus garis yang diberikan
1. Keliling belah ketupat
Perhatikan gambar belah ketupat ABCD berikut !
O s s s s D C B A Gambar 2.h D C B A Gambar 2.g
Dengan panjang sisi sama dengan s dan titik potong antar diagonalnya di O maka keliling ABCD = AB + BC + CD + DA
= s + s + s + s = 4s , sehingga Rumus keliling setiap belah ketupat = 4 × s
2. Luas belah ketupat
Luas belah ketupat dapat ditentukan dengan menggunakan
rumus jajargenjang yaitu alas × tinggi, karena belah ketupat
merupakan bentuk khusus dari jajar genjang. Rumus belah ketupat
dapat ditunjukkan sebagai berikut :
Bila a dan b adalah panjang diagonal-diagonal sebuah belah
ketupat maka belah ketupat (gambar 2.i.i) dapat diubah menjadi persegi
panjang (gambar 2.i.ii) dengan panjang sisi 1
2a dan b atau persegi panjang dengan sisi a dan 1
2b.
Luas belah ketupat = (a × b) atau Luas belah ketupat =
S R Q P P S Q R a b 1 2a b a S P Q R 1 2b
Gambar 2.i.i Gambar 2.i.ii
Gambar 2.i.iii
d. Persegi
Persegi merupakan sebuah persegi panjang dengan dua sisi yang
berdekatan sama panjang.
1. Keliling persegi
Keliling persegi merupakan panjang seluruh sisi-sisinya.
Perhatikan gambar 2.j !
Keliling persegi ABCD = AB + BC + CD + DA
Karena AB = BC = CD = DA, maka :
Keliling persegi ABCD = 4. AB
Jika AB = s satuan panjang dan keliling persegi ABCD = K satuan panjang, maka :
Rumus keliling setiap persegi adalah :
K = 4s
2. Luas persegi
Pada gambar 2.f, daerah yang diarsir menunjukkan luas
persegi ABCD yang memiliki ukuran panjang dan lebar yang sama
dan disebut sisi. Oleh karena itu luas persegi ABCD sama dengan
kuadrat panjang sisinya atau dapat ditulis : s s s s D C A B Gambar 2.j
Rumus luas setiap persegi adalah :
L = s . s atau s2
e. Trapesium
Trapesium merupakan sebuah segiempat yang memiliki tepat dua
sisi yang saling sejajar.
1. Keliling trapesium
Perhatikan gambar berikut !
Keliling trapesium ABCD di tentukan oleh rumus berikut :
Keliling = alas + atap + kaki + kaki atau Keliling = p + q + r + s 2. Luas trapesium b t a Gambar 2.l.i 1 2 b a Gambar 2.l.iii Gambar 2.l Gambar 2.l.ii a 1 2 1 2 b B t D C A t s r q p Gambar 2.k
Bila a dan b merupakan sisi-sisi sejajar dan t merupakan tinggi
trapesium 2.l.i, maka dapat dipotong menjadi dua seperti 2.l.ii,
kemudian dibuat sebuah jajargenjang 2.l.iii, sehingga
diperoleh :
Luas trapesium = + .
3. Layang-layang
Layang-layang merupakan segiempat yang dibentuk oleh dua
segitiga sama kaki yang alasnya sama panjang dan berhimpit.
a. Keliling layang-layang
Perhatikan gambar layang ABCD di atas. Jika
layang-layang ABCD mempunyai panjang sisi yang terpanjang = x
dan panjang sisi yang terpendek = y maka :
Keliling layang-layang = 2 (x + y)
b. Luas layang-layang
Perhatikan gambar layang-layang ABCD (gambar 2.m).
Diagonal AC dan BD berpotongan tegak lurus, sehingga : D C B A y y x x O Gambar 2.m
Luas layang-layang ABCD = luas ∆ABC + luas ∆ACD = 1 2 . + 1 2 . = 1 2 . ( + ) = 1 2 .
Karena AC dan BD merupakan diagonal, maka:
Luas layang-layang = × ( � )
