Model ARCH

2 TINJAUAN PUSTAKA

2.9 Teori Model Ekonometrika yang Digunakan

2.9.1 Model ARCH

Variabel atau besaran dalam bidang ekonomi biasanya dapat dimodelkan dalam sebuah persamaan ekonometrika, baik dalam persamaan tunggal maupun persamaan simultan. Namun besaran resiko pada variabel yang diukur (dependent

variable) biasanya tidak dimasukkan ke dalam model dalam bentuk variabel

tersendiri (independent variable). Besarnya resiko dalam sebuah model di tunjukkan dengan besaran variabel eror (residual) yang akan menyertai setiap model ekonometrika.

Besaran variabel eror dalam sebuah model ekonometrika biasanya diasumsikan stasioner sepanjang waktu [dengan rata-rata = E(e_t) = 0 dan varian = var (e_t) = s²]. Namun pada kenyataannya besaran variabel eror tidak selalu stasioner sejalan dengan perubahan waktu. Meskipun nilai dugaan rata-ratanya tetap 0 [E(et) = 0] namun simpangan bakunya mengalami fluktuasi [var (et) ? var (ei) untuk t ? i]. Adanya fluktuasi pada besaran variabel eror, maka secara tidak langsung menunjukkan adanya perubahan besaran resiko pada variabel sejalan dengan perubahan waktu.

Berdasarkan uraian di atas, maka dalam mengukur keuntungan dan resiko dalam berinvestasi pada industri perbankan nasional adalah kurang tepat bila yang diukur hanya besaran absolutnya saja. Sebab selain besaran absolut, perlu juga diperhitungkan tingkat fluktuasi (volatility) dari keuntungan (profit) dan resiko (risk) yang harus ditanggung industri perbankan.

Tingkat fluktuasi keuntungan (profit) dan resiko (risk) yang harus ditanggung industri perbankan, diukur dengan menggunakan model

autoregressive conditional heterocedasticity ( ARCH). Hal ini karena model

tersebut dapat digunakan untuk menggambarkan fluktuasi eror dalam model-model ekonometrika yang dibentuk. Namun sebelum membahas model-model ARCH, terlebih dahulu akan dijelaskan beberapa model ekonometrika untuk data runtun waktu (time series). Model-model tersebut adalah autoregressive (AR), moving

average (MA), autoregressive-moving average (ARMA) dan autoregressive integrated moving average (ARIMA). Hal ini penting dijelaskan, sebab

model-model tersebut yang melatarbelakangi munculnya model-model ARCH.

1 Model autoregressive (AR)

Model AR ini menunjukkan nilai prediksi variabel tak bebas Yt hanya merupakan fungsi linier dari sejumlah nilai Yt sebelumnya. Jika nilai Yt hanya dipengaruhi oleh nilai tersebut pada satu periode sebelumnya (lag 1) maka model tersebut disebut sebagai model autoregressive orde satu atau AR(1), persamaannya dapat dinyatakan sebagai berikut:

……… (2.7) Adapun bentuk umum model AR adalah sebagai berikut:

……… (2.8) Keterangan:

Y_t = Variabel tak bebas

Y_t-1, Y_t-2, Y_t-p = Lag dari Y

e_t = Eror

p = Tingkat AR

Eror pada persamaan (2.8) memiliki sifat: rata-rata nol, varian konstan dan korelasi antar eror adalah nol. Dengan demikian model AR menunjukkan bahwa nilai prediksi variabel tak bebas Yt merupakan fungsi linier dari nilai Yt sebelumnya.

2 Model moving average (MA)

Model MA ini menunjukkan nilai prediksi variabel tak bebas Yt hanya merupakan fungs i linier dari sejumlah nilai eror periode sebelumnya. Jika nilai Y_t hanya dipengaruhi oleh nilai eror pada satu periode sebelumnya maka model tersebut disebut sebagai model MA orde satu atau MA(1), persamaannya dapat dinyatakan sebagai berikut:

……… (2.9)

Adapun bentuk umum model MA adalah sebagai berikut:

……… (2.10) t t t

a ae a e v

Y =

0

+

1 1

+

2 ₋1

+

t q t q t a a e a e a e v Y = 0 + 1 1+ 2 2+....+ − + t t t

Y e

Y =β

0

+β

1 −1

+

t p t p t t t Y Y Y e Y = β0+β1 ₋1+β2 ₋2 +....+β ₋ +

Keterangan:

et = Variabel tak bebas

et-1,et-2, et-q = Lag dari Eror

vt = Eror model

q = Tingkat MA

Dengan demikian model MA menunjukkan bahwa nilai prediksi variabel tak bebas Y_t merupakan kombinasi linier dari nilai eror (e_t) sebelumnya.

3 Model autoregressive-moving average (ARMA)

Perilaku data time series sering kali dapat dijelaskan dengan baik melalui penggabungan model AR dan model MA. Gabungan model ini disebut dengan

autoregressive-moving average (ARMA). Jika nilai Y_t dipengaruhi oleh nilai Y_t orde satu dan eror orde satu maka modelnya menjadi model ARMA (1,1), persamaannya dapat dinyatakan sebagai berikut:

……… (2.11) Adapun bentuk umum model ARMA adalah sebagai berikut:

(2.12) Keterangan:

Yt = Variabel tak bebas

Yt-1, Yt-2, Yt-p = Lag dari Y

et-1,et-2, et-q = Lag dari eror

vt = Eror model

p = Tingkat AR

q = Tingkat MA

4 Model autoregressive integrated moving average (ARIMA)

Model AR, MA dan ARMA mensyaratkan bahwa data time series yang diamati harus bersifat stasioner. Data dikatakan stasioner jika mempunyai rata-rata, varian dan kovarian yang konstan. Pada kenyataanya data time series sering kali tidak stasioner, tetapi dapat menjadi stasioner pada proses differencing. Data yang menjadi stasioner setelah melalui proses differencing dapat membentuk model ARIMA. Jika data stasioner pada proses differencing d kali dan

t t t t

Y e v

Y = β

0

+β

1 ₋1

+

₋1

+

t q t q t p t p t t t Y Y Y a e a e v Y = β0+β1 −1+β2 −2+....+β − + 1 −1 +....+ − +

menerapkan ARMA (p,q), maka modelnya disebut ARIMA (p,d,q). dimana p adalah orde AR, d tingkat proses untuk membuat data stasioner dan q merupakan orde MA.

5 Model autoregressive conditional heterocedasticity (ARCH)

Setelah ARIMA berkembang, Engle memperkenalkan model ARCH pada tahun 1982. ARCH adalah singkatan dari autoregressive conditional

heterocedasticity. Model ini dikembangkan terutama untuk menjawab persoalan

adanya fluktuasi (volatility) pada data ekonomi dan bisnis, khususnya dalam bidang keuangan. Hal ini disebabkan karena model-model sebelumnya kurang mampu mendekati kondisi aktual akibat adanya fluktuasi. Fluktuasi ini tercermin dalam varian eror yang tidak memenuhi asumsi homokedastisitas (varian eror konstan sepanjang waktu). Bollerslev pada tahun 1986 kemudian mengembangkan model ini menjadi GARCH, yaitu singkatan dari generalized

autoregressive conditional heterocedasticity. Dua model ini masih terus

dikembangkan pada dekade 1990- an. Di Indonesia dua model ini populer pada saat memasuki era millennium (Firdaus 2006).

Sebagai contoh aplikasi dari ARCH, misalkan diambil penelitian tingkat pengembalian (return) saham sebuah perusahaan. Misalkan Y1, Y2, ... Yt merupakan deret waktu pengamatan return dimana (Yt) adalah sebuah proses yang mengikuti persamaan ARMA (p,q). dalam bentuk persamaan ditulis sebagai berikut:

Y_t = ß₀+ ß₁Y_t-1 - ß₂Y_t-2 - . . . - ß_pY_t-p + ?₁ e_t-1 + ?₂ e_t-2 . . . + ?_q e_t-q +v_t .. (2.13)

Atau

Y_t - ß₀ - ß₁Y_t-1 - ß₂Y_t-2 - . . . - ß_pY_t-p - ?₁ e_t-1 - ?₂ e_t-2 . . . - ?_q e_t-q = v_t .. (2.14) Dimana e_t white noise. Persamaan tersebut dapat ditulis dalam bentuk backshift (ß_p B) Y_t = (?_q B) e_t. Variabel B adalah operator backshift (lag mundur). Jika variabel q = 0, ARMA (p,q) sama dengan proses AR dengan orde p atau AR (p), yang dapat ditulis dalam bentuk persamaan sebagai berikut:

Yt = ß0 + ß1Yt-1 - ß2Yt-2 - . . . - ßpYt-p + et ……….… (2.15) dengan:

dan

s², untuk t = t

E (e_t , e_t) =

0 , untuk selainnya

Proses ini memiliki persamaan varian stasioner jika: 1- ß₁Y¹ - . . . - ß_pY^p = 0.

Sedangkan peramalan linier yang optimal dari Y_t untuk proses AR (p) adalah:

Ê (Y_t?Y_t-1 - Y_t-2 - . . .) = ß₀ + ß₁Y_t-1 - ß₂Y_t-2 - . . . - ß_pY_t-p ……….. (2.16) Dimana Ê (Y_t?Y_t-1 - Y_t-2 - . . . ) adalah proyeksi linier dari Y_t terhadap konstanta (ß₀) dan lag Yt sebelumnya (Yt ?Yt-1 - Yt-2 - . . .). Jika rataan bersyarat dari Yt berubah-ubah pada tiap titik waktu mengikuti persamaan di atas dan proses tersebut memiliki peragam yang stasioner, maka rataan tak bersyarat dari Yt adalah

konstanta sebagai berikut: E(Yt) = ß0 / (1- ß1 - ß2 - . . . - ßp ). ……….. (2.17) Hal yang menarik dalam persamaan ini tidak hanya peramalan dari Yt saja, tapi juga peramalan varian. Perubahan dalam varian sangat penting misalnya dalam memahami pasar saham atau pasar keuangan, terutama bagi investor yang menghendaki return yang tertinggi sebagai kompensasi atas resiko aset yang ditanggungnya. Varian yang berubah-ubah pada setiap titik waktu juga mempnyai implikasi terhadap validitas dan efisiensi dalam estimasi parameter (?, ß₁, ß₂, . . . ß_p ). Walaupun persamaan awal di atas berimplikasi bahwa varian bersyarat dari e_t

adalah konstan sebesar s², namun pada kenyataannya varian bersyarat dari et dapat berubah-ubah terhadap titik waktu. Satu pendekatan yang digunakan untuk mendeskripsikan kuadrat dari et adalah nilainya mengikuti proses AR (m) atau

e²t = ? + a1 e²t-1 + a2 e²t-2 + . . . + am e²t-m + ?t …………….. (2.18) Peubah ?t adalah proses white noise yang baru, dengan:

E (?t) = 0

dan

?², untuk t = t

E (?_t , ?_t) =

Karena e_t juga merupakan eror dari peramalan Y_t, persamaan di atas berimplikasi

bahwa proyeksi linier kuadrat eror dari ramalan Yt terhadap m kuadrat eror peramalan sebelumnya adalah sebagai berikut

E (e²t / e²t-1 , e²t-2 , . . .) = ? + a1 e²t-1 + a2 e²t-2 + . . . + am e²t-m ………….. (2.19) Proses white noise et yang memenuhi persamaan di atas dikenal sebagai model autoregressive conditional heterochedastic dengan orde m atau ARCH (m). Proses ini dinotasikan: et ~ ARCH (m).

Persamaan ini sering juga ditulis sebagai berikut:

h_t = ? + a₁ e²_t-1 + a₂ e²_t-2 + . . . + a_m e²_t-m ……….. (2.20) Dimana h_t = E (e²_t / e²_t-1 , e²_t-2 , . . .) yang sering disebut sebagai ragam. Proses e_t ~

ARCH ( m) dicirikan oleh e²_i = h_t . v_t dimana v_t ~ N (0,1).