Gaya Antar Nukleon
4.3 Model Pertukaran Partikel
Sampai dengan awal abad ke-20, salah satu gaya yang perilakunya di-ketahui dengan baik adalah gaya elektromagnetik.1 Interaksi elektro-magnetik dipahami sebagai interaksi yang timbul karena pertukaran foton antara dua partikel yang bermuatan listrik. Foton tersebut me-miliki massa diam 0, muatan listrik 0, dan spin 1. Dikatakan bahwa foton merupakan partikel pembawa (carrier particle) untuk interaksi elektromagnetik. Ide bahwa sebuah interaksi timbul karena adanya partikel yang dipertukarkan, dikenal sebagai model pertukaran par-tikel (particle exchange model ).2 Selanjutnya, jika terdapat interaksi antar nukleon dalam inti, lalu apakah jenis partikel pembawanya?
Orang yang mula-mula menerapkan model pertukaran partikel un-tuk memahami interaksi antar nukleon pada inti adalah fisikawan Je-pang, Hideki Yukawa, pada tahun 1935. Dia berpendapat, bahwa partikel pembawa untuk interaksi antar nukleon adalah meson.3 Ke-lak partikel ini dikonfirmasi dalam eksperimen oleh C.F. Powell pada
1Kita mengenal 4 interaksi fundamental, yaitu interaksi gravitasi, interaksi elek-tromagnetik, interaksi kuat, dan interaksi lemah.
2Secara kualitatif, anda dapat memandang interaksi antara Na dan Cl terjadi setelah ada elektron yang ‘dipertukarkan’ di antara keduanya.
3
tahun 1947, dan dikenal sebagai meson π (π-meson) atau disingkat pion. Kita dapat menduga massa pion dengan menggunakan ketida-kpastian Heisenberg (∆E) (∆t) ≥ ~. Jika pion bergerak di dalam inti dengan kecepatan cahaya c, dan jangkauan interaksi kuat adalah r0, maka massa pion adalah
mπc2 = ~ ∆t = ~ r0/c = ~c r0 = 197, 3 MeV fm r0fm . (4.3)
Misalkan jangkauan interaksi nuklir adalah 1 fm, maka menurut Per-samaan (4.3), massa pion adalah 197, 3 MeV/c2.
Contoh : Memperkirakan massa pion
Berapakah massa pion, jika (i) jangkau interaksi antar nukleon sama dengan jarak antar nukleon dalam inti, dan (ii) jika jarak interaksinya adalah 1,5 fm
Penyelesaian
Jarak antar nukleon dalam inti adalah
r0 = volume inti jumlah nukleon 1/3 = 4 3πR3 A !1/3 = 4 3πR03A A !1/3 = 4 3π 1/3 R0 = 1, 93 fm.
Dengan demikian, maka massa pion adalah mπc2 = 197,3 MeV fm1,93 fm ≈ 102 MeV, atau mπ = 102 MeV/c2. Selanjutnya, jika dipakai r0 = 1, 5 fm, maka mπ = 131, 5 MeV/c2.
Karena semua nukleon (proton maupun netron) memiliki spin yang sama, berarti spin pion adalah 0.4 Secara terperinci, interak-si antar nukleon dapat berlangsung antara proton, proton-netron, dan netron-netron. Dengan demikian, kita dapat menduga bahwa interaksi tersebut bisa muncul dalam 3 model, yaitu
bahwa fisikawan menduga massa meson adalah antara massa elektron yang ringan dan massa nukleon yang berat.
4
Adalah suatu fakta, bahwa semua partikel pembawa interaksi memiliki spin bilangan bulat, dan dikenal sebagai boson.
Gambar 4.1: Diagram Feynmann untuk berbagai jenis interaksi nukleon-nukleon. Perhatikan bahwa waktu bergerak dari bawah ke atas. Partikel yang dipertukarkan kita tulis sebagai garis putus-putus.
• Interaksi di mana baik partikel pemberi pion maupun penerima pion tidak berubah muatannya. interaksi ini terkait dengan pion netral atau π0. Contoh reaksinya adalah (p untuk proton dan n netron, serta indeks 1 untuk nukleon pemberi pion dan indeks 2 untuk nukleon penerima pion)
– n1→ n1+ π0 dan n2+ π0 → n2 – p1 → p1+ π0 dan p2+ π0 → p2
– p1 → p1+ π0 dan n2+ π0 → n2 (dan sebaliknya)
• Interaksi di mana partikel pemberi pion berkurang muatannya sedang penerima pion bertambah muatannya. interaksi ini ter-kait dengan pion positif atau bermuatan +1, yaitu π+. Contoh reaksinya adalah p1→ n1+ π+ dan n2+ π+→ p2.
(Perhatikan bahwa reaksi p1 → n1+ π+ dan p2+ π+→? tidak mungkin terjadi. Mengapa?)
• Interaksi di mana partikel pemberi pion bertambah muatannya sedang penerima pion berkurang muatannya. interaksi ini ter-kait dengan pion positif atau bermuatan -1, yaitu π−. Contoh reaksinya adalah n1 → p1+ π− dan p2+ π−→ n2.
(Perhatikan bahwa reaksi n1→ p1+ π− dan n2+ π−→? tidak mungkin terjadi. Mengapa?)
Diagram Feynmann untuk ketiga reaksi tersebut disajikan pada Gam-bar 4.1. Dari data eksperimen didapatkan bahwa mπ+ = mπ− =
139, 6 MeV/c2 dan mπ0 = 135, 0 MeV/c2.5 Sifat-sifat pion ditunjukk-an pada Tabel 4.1. Kedekatditunjukk-an nilai eksperimen dengditunjukk-an nilai dugaditunjukk-an massa pion pada jangkau interaksi 1,5 fm, memaksa kita mengambil kesimpulan bahwa interaksi antar nukleon dengan pion sebagai par-tikel pembawa terjadi pada jangkauan 1 - 1.5 fm. Pada jarak 0,5 - 1 fm, pertukaran pion menjadi sumber energi ikat inti. Pada ja-rak yang lebih dekat (0,25 fm), partikel pembawanya adalah meson ω (mω = 783 MeV/c2) dan menghasilkan gaya yang saling menolak. Pada jarak yang lebih dekat lagi (x < 0,25 fm), partikel pembawanya adalah meson ρ (mρ= 783 MeV/c2) dan bertanggung jawab atas spin dan orbit interaksi.6
Berikutnya, kita akan mencari ungkapan untuk gaya nuklir. Kita mulai dengan ungkapan energi total relativistik
E2 = (pc)2+ mc22.
Selanjutnya kita pakai ungkapan operator ˆE = i~∂t∂ dan ˆp = −i~∇ sehingga didapatkan ˆE2= −~2 ∂∂t22 dan ˆp2 = −~2∇2, dan
∇2−mc ~ 2 φ = 1 c2 ∂2φ ∂t2.
Persamaan terakhir dikenal sebagai persamaan Klein-Gordon. Untuk kasus statis, (φ 6= φ (t)), maka persamaan terakhir tereduksi menjadi persamaan Helmholtz, atau
∇2− k2 φ = 0,
di mana k = mc/~. Dalam koordinat radial, persamaan terakhir memiliki solusi dalam bentuk
φ = ge
−kr
r . (4.4)
5
Fakta bahwa pion terdiri atas 3 jenis partikel, serupa dengan nukleon yang bisa muncul dalam 2 bentuk partikel. Gejala ini dikenal sebagai isospin.
6
Fakta ini, juga persamaan (4.3), menunjukkan bahwa daya jangkau suatu in-teraksi berbanding terbalik dengan massa partikel pembawabya.
Tabel 4.1: Sifat-sifat pion π+ π0 π− massa (MeV/c2) 139,6 135 139,6 muatan (e) +1 0 -1 isospin (T) +1 0 -1 spin (~) 0 0 0
paritas ganjil ganjil ganjil
modus peluruhan π−→ µ−+ νµ π → γ + γ π+ → µ++ νµ modus pembentukan Tambang= 290 MeV p + p → p + n + π+ p + p → p + p + π0 p + n → p + n + π0 p + n → p + p + π− modus pembentukan Tambang= 600 MeV p + p → p + n + π0+ π0 p + p → p + p + π++ π− p + p → p + n + π0+ π+ p + p → n + n + π++ π+ Reaksi elastik dengan nukleon π++ p → π++ p π−+ p → π−+ p Reaksi inelastik dengan nukleon π++ p → π++ π0+ p π++ p → π++ π++ n Reaksi (n,p) dengan nukleon π −+ p → π0+ n
Bentuk terakhir, menjadi landasan model potensial Yukawa
VY ukawa(r) = −V0e
−r/r0
r ,
di mana r0 = ~
mc adalah jarak rata-rata interaksi nuklir kuat. Hasil ini sesuai dengan Persamaan (4.3).
Contoh : Memperkirakan jarak efektif gaya nuklir kuat Perkirakan jarak rata-rata interaksi kuat, dengan menggunakan Per-samaan (4.4).
Penyelesaian
Untuk mπ± = 139, 6 MeV/c2, didapatkan r0 = ~c
m:πc2 = 197,3139,6 = 1, 41 fm. Untuk mπ0 = 135 MeV/c2, didapatkan r0 = 197,3139,6 = 1, 46 fm.
Contoh : Memperkirakan bentuk dan jangkauan potensial elektromagnetik dan gravitasi
Perkirakan bentuk persamaan dan jangkauan potensial elektromag-netik dan gravitasi.
Penyelesaian
Pada kedua kasus di atas, gaya pembawanya adalah foton virtuil dan graviton, dengan massa diam nol. Dengan demikian, maka r0
bernilai tak berhingga, dan bentuk ungkapan potebsialnya adalah
V = −k1 r.
4.4 Isospin
Kita akhiri diskusi ini dengan membahas konsep isospin. Dalam fisika partikel, konsep isospin (asalnya dari isobaric spin) adalah bilangan kuantum (tambahan) yang terkait dengan interaksi kuat. Dua bu-ah partikel (atau lebih) yang memiliki massa hampir sama dan ber-interaksi dengan besar gaya kuat yang sama, sekalipun muatannya berbeda, dianggap sebagai partikel yang sama (isospin), tetapi dalam keadaan yang berbeda. Syarat memiliki massa yang sama atau ham-pir sama menghasruskan kelompok partikel tersebut memiliki nomor massa yang sama. Inilah asal istilah isobar spin. Contoh isospin dapat berupa
• partikel tunggal (isospin singlet ), seperti barion lambda (Λ0)
• dua partikel (isospin doublet ), misalnya nukleon (p dan n), me-son K (K− dan ¯K0 serta K+ dan K0)
• tiga partikel (isospin triplet ), misalnya meson pi atau pion (π−, π0, dan π+) dan barion sigma (Σ−, Σ0, dan Σ+)
• empat partikel (isospin quartret ), misalnya barion delta (∆−, ∆0, ∆+, dan ∆++) .
• lima partikel (isospin quintet ), misalnya pada inti dengan A=4 (4n, 4p, He-4, Li-4, dan Be-4) dan A=32 (Si-32, P-32, S-32, Cl-32, dan Ar-32).
Bukti bahwa proton dan netron berinteraksi dengan gaya nuklir yang sama besar, ditunjukkan pada Tabel 4.2.
Tabel 4.2: Energi ikat beberapa inti
A Inti B (MeV) Bc (MeV) B − BC (MeV)
3 H-3 8,436 0 8,486 He-3 7,723 0,829 8,552 13 C-13 97,10 7,631 104,734 N-13 94,10 10,683 104,770 23 Na-23 186,54 23,13 209,67 Mg-23 181,54 27,75 209,42 41 Ca-41 350,53 65,91 416,44 Sc-41 343,79 72,84 416,63
Jika bilangan isospin disimbolkan dengan T dan jumlah partikel-nya adalah N , maka berlaku hubungan
2T + 1 = N. (4.5)
Proyeksi T pada sumbu z atau biasa ditulis TZ adalah T, T − 1, ... − T . Nilai isospin dicantumkan pada Tabel 4.3
Contoh : Menghitung isospin pion Hitunglah nilai isospin T dari pion.
Penyelesaian
Karena terdapat 3 jenis pion, maka nilai isospin T -nya memenuhi 2T + 1 = 3. Ini berarti T = 1, dan Tz = +1 untuk π+, Tz = 0 untuk π0, dan Tz = −1 untuk π−,
Contoh : Menghitung isospin nukleon Hitunglah nilai isospin T dari nukleon.
Karena terdapat 2 jenis nukleon, maka nilai isospin T -nya meme-nuhi 2T + 1 = 3, yang berarti T = 12, dan Tz= +12 untuk proton dan Tz= −12 untuk netron,
Tabel 4.3: Nilai isospin beberapa jenis partikel
Jenis Jumlah Isospin Proyeksi Contoh
isospin partikel (T ) (Tz) partikel
singlet 1 0 0 barion lambda
doublet 2 12 12, −12 nukleon, kaon
triplet 3 1 1, 0, -1 pion, barion sigma
quarter 4 32 32, 12, −12, 32 barion delta
quintet 5 2 2, 1, 0, -1, -2 X-4, X-32
Contoh : Menghitung Tz
Hitunglah nilai isospin Tz dari isospin kuintet A=32 (Si-32, P-32, S-32, Cl-S-32, dan Ar-32).
Penyelesaian
Untuk kasus inti dengan Z proton dan N netron, nilai proyeksi spin diberikan oleh Tz= 12(Z − N ). Dengan demikian didapatkan
• Si-32 (Z = 14 dan N = 18), maka Tz = 12(14 − 18) = −2
• P-32 (Z = 15 dan N = 17), maka Tz= 12(15 − 17) = −1
• S-32 (Z = 16 dan N = 16), maka Tz= 12(16 − 18) = 0
• Cl-32 (Z = 17 dan N = 15), maka Tz = 12(17 − 15) = 1