MODEL ATOM THOMSON

f Frekuensi gelombang yang datang

PERSAMAAN SCHRODINGER

3. Dioda Terowong Piranti elektronik yang menggunakan gejala penerowongan ini adalah dioda terowong (tunnel dioda). Potensial yang

5.2 MODEL ATOM THOMSON

Model struktur atom pertama adalah yang dikemukakan oleh JJ. Thomson, yang telah terkenal karena keberhasilanya mencirikan elektron dan mengukur nisbah muatan terhadap massa (e/m) elektron. Model atom Thomson ini berhasil menerangkan banyak sifat atom yang diketahui seperti: ukuran, massa, jumlah elektron, dan kenetralan muatan elektrik.

Gaya pada sebuah elektron yang berjarak r dari pusat sebuah bola bermuatan positif berjari-jari R dapat dihitung menggunakan rumus-rumus dasarelektrostatik. Menurut gambar 6.1, fraksi volume sebuah bola berjari-jari r dari volume keseluruhan bola berjari-jari R sama dengan fraksi muatan dalam bola itu dari muatan total Ze. Jadi,

Q_dalam = Ze 4 3𝜋𝑟³ 4 3𝜋𝑅3 = Ze^𝑟3 𝑅3 (5.1)

Menutrut hukum Gauss, medan elektrik pada jarak r dapat dicari dari muatan total yang terkandung di dalam bola berjari-jari r:

𝑬. 𝑑𝑺 = ¹

𝜀0 q_dalam (5.2)

Karena sifat simetri bola dari persoalannya, medan elektrik E tetap nilainya di seluruh permukaan bola, sehingga integralnya dapat langsung dihitung dengan hasil E.4πr². Jadi, E = ¹

4𝜋𝜀₀ 𝑞𝑑𝑎𝑙𝑎𝑚

131

Gambar 5.1: Model atom Thomson. Z buah elektron mungil tersebar secara seragam dalam sebuah bola bermuatan positif Ze berjari-jari R. Setiap permukaan bola berjari-jari r mengandung fraksi muatan sebanding dengan r³/R³.

Dengan menggunakan Persamaan (5.1) bagi muatan total yang terkandung di dalam bola, kita peroleh

E = ¹

4𝜋𝜀0 𝑍𝑒 𝑅3 r

Karena sebuah elektron dengan muatan e menderita gaya sebesar F = eE, maka

F = ^𝑍𝑒 2

4𝜋𝜀0𝑅³ r = kr Dengan k = Ze²/4𝜋𝜀₀𝑅³.

Gambar 5.2 memperlihatkan pembelokan lintasan sebuah partikel, yang bergerak dengan laju v (kita menganggap v « sehingga dengan menggunakan mekanika tak relativistik, K = ½mv²) sepanjang seuah garis lurus berjarak b dari pusat atom seandainya tidak dibelokkan. [Jarak b disebut parameter impak (impact parameter)]. Tolakan gaya elektrik menyebabkan arah gerak partikel sedikit membelok, Sehingga setelah melewati atom, partikel bergerak sepanjang suatu lintasan yang agak membelok, sebesar sudut θ, dari arah gerak semulanya.

Gambar 5.2: Sebuah partikel alfa bermuatan positif yang menerobos masuk ke dalam model atom Thomson, mengalami pembelokan sebesar sudut θ. Koordinat r dan θ menentukan letak partikel alfa ketika berada di dalam atom.

132

Kita dapat menghitung sudut belok θ ini dengan meninjau impuls yang diterima partikel, yang memberikannya sebagian momentum dalam arah y

∆py≅ Fy dt (5.5)

Pada sembarang titik sepanjang lintasan proyektil, berlaku Fy = F cos 𝝓

Dengan menganggap proyektilnya bermuatan q = ze, maka gaya F yang dialaminya adalah qE, dengan E diberikan oleh Persamaan (6.3),

F = ¹

4𝜋 𝜀0 𝑧𝑍𝑒²

𝑅³ r = zkr (5.6)

di mana k adalah tetapan yang sama seperti yang didefinisikan oleh Persamaan (6.4). Karena cos 𝝓 ≅ b/r, kita peroleh

∆py≅ 𝑧𝑘𝑟.^𝑏_𝑟. dt = zkb 𝑑𝑡

= zkbT (5.7)

T adalah waktu total yang dibutuhkan proyektil untuk melewati atom, yang sama dengan jarak tempuh total dalam atom dibagi dengan laju rata-rata. Karena pembelokannya kecil, lintasannya dapat dihampiri dengan sebuah garis lurus, seperti diperlihatkan pada Gambar 6.3, dan karena laju rata-ratanya hampir sama dengan v, maka

T ≅^{2 𝑅2−𝑏2}

𝑣 (5.8)

Gambar 5.3 : Geometri hampiran bagi pembelokan sebuah partikel alfa oleh sebuah atom Thomson. Sudut hambur, yang nilai maksimumnya adalah sekitar 0,01^o, sengaja dibesarkan melebihi ukuran sebenarnya.

dan

∆py≅^{2𝑧𝑘𝑏}

𝑣 𝑅2− 𝑏2 (5.9)

133 tan θ = ^𝑝𝑦

𝑝𝑥 ≅ ^∆𝑝𝑦

𝑝 (5.10)

dan jika θ kecil, maka tan θ ≅ θ sehingga θ ≅ ^∆𝑝𝑦

𝑝 = ^{2𝑧𝑘𝑏}

𝑚 𝑣2 𝑅2− 𝑏2 (5.11)

Bila kita melakukan percobaan semacam ini yang dikenal sebagai percobaan hamburan, kita tidak dapat menembakkan satu proyektil k pada sebuah atom, dan juga tidak dapat mengendalikan atau menentukan parameter impak b. Yang kita lakukan adalah menembakkan seberkas partikel pada selembar tipis bahan tertentu. Berkasnya mungkin dibelokkan seperti yang diperlihatkan pada Gambar 6.4, dan kita dapat menentukan sudut hambur ⊖av atau sudut hambur ⊖maks-nya. (⊖ menyatakan sudut hambur yang diukur; sedangkan θ adalah sudut hambur oleh satu atom).

Gambar 5.4: Percobaan hamburan yang khas. Seberkas partikel datang dihamburkan oleh selembar tipis bahan; partikel-partikel yang dihamburkan diamati pada semua nilai ⊖ yang mungkin dalam laboratorium

Dengan menurunkan Persamaan (6.11) terhadap b, kita dapat memperoleh yakni sudut hambur θmaks bagi satu tumbukan:

θ_maks = ^{𝑧𝑘 𝑅} 2

𝑚 𝑣² (5.12)

Gambar 5.5 Geometri hamburan bagi satu atom. Partikel-partikel yangg memasuki suatu daerah cincin berjari-jari b dan lebar db dihamburkan ke dalam rentang sudut dθ pada θ.

134

Setiap kali proyektil memasuki daerah sebuah cincin berjari-jari b dengan lebar db, ia dihamburkan ke dalam rentang sudut dθsekitar θ(lihat Gambar 6.5). Fraksi partikel (dari berkas) datang pada atom yang memasuki cincin tersebut (dan dengan demikian yang terhambur pada sudut θ) adalah tidak lain daripada fraksi luas sasaran yang ditempati cincin tersebut, atau 2𝜋b db/𝜋R². Sudut hambur rata-rata bagi satu tumbukan diperoleh dengan merata-rata-rata-ratakan terhadap semua nilai b yang mungkin:

θ avg = ^{2𝜋b db}

𝜋𝑅2 𝑅

0 θ (5.13)

dengan melakukan integrasinya, dan mempergunakan θ dari Persamaan (6.11), akhirnya kita peroleh

θ avg =^𝜋

4 𝑧𝑘 𝑅²

𝑚 𝑣2 (5.14)

CONTOH 5.1

Dengan menggunakan model Thomson dengan R = 0,1 nm (jari-jari khas atom), hitunglah sudut belok rata-rata per tumbukan apabila berkas partikel alfa berenergi 5 MeV (z = 2) dihamburkan dari atom emas (Z = 79).

Pemecahan

Besaran zkR² dapat langsung dihitung, hasilnya: zkR² = 2 ^𝑍𝑒

2 4𝜋𝜀0𝑅³ R2

= 2,79 ^{1,44 𝑒𝑉𝑛𝑚}

0,1 𝑛𝑚 ≅ 2,3 keV

(Dengan mengingat bahwa e²/4𝜋𝜀₀ = 1,44 eV.nm).Karena mv² = 2K = 10 MeV, maka θ av≅ ^𝜋 4 2,3 𝑘𝑒𝑉 10 𝑀𝑒𝑉 ≅ 2 X 10-4 rad

Beberapa dari antara tumbukan ini memberikan hasil sudut belok total yang lebih besar, sedangkan yang lainnya memberikan hasil sudut belok total yang lebih kecil (lihat Gambar 6.6). Nilai sudut hambur total yang diamati ⊖ tunduk pada hukum-hukum statistik; khususnya bila terdapat N tumbukan, maka ⊖av = 𝑁θav

dan bahwa probabilitas hamburan pada sembarang sudut yang lebih besar daripada suatu sudut ⊖ adalah 𝑒− ⊖/⊖𝑎𝑣 ².

135

Gambar 5.6 : Gambaran mikroskopik dari hamburan. Beberapa hamburan tunggal cenderung memperbesar θ. Sedangkan yang lainnya cenderung memperkecil θ.

Pada kasus proyektil menembus selembar emas setebal 1 𝜇m (10-6 m), ia akan menumbuk sekitar 10⁴ buah atom (karena masing-masing atom memiliki diameter sekitar 0,1 nm). Karena itu, sudut hambur laboratoris rata-rata besarnya ⊖av sekitar 104θav, atau sekitar 1^o. Angka ini tidak menyimpang jauh dari yang diamati dalam berbagai percobaan seperti itu.

Tetapi, jika kita menguji probabilitas hamburan ini untuk sudut yang lebih besar (⊖>90^o), kita dapati bahwa ramalannya meleset jauh dari percobaan. Untuk ⊖av≅ 1^o, probabilitas yang kita perkirakan bagi sudut yang lebih besar daripada 90^o adalah 𝑒−90² = 𝑒−8100 = 10^-3500. Percobaan semacam ini dilakukan oleh Hans Geiger dan Ernest Marsden dalam laboratorium Profesor Ernest Rutherford pada 1910. Hasil yang mereka peroleh memperlihatkan bahwa probabilitas sebuah partikel alfa dihamburkan pada sudut-sudut yang lebih besar daripada 90^o adalah sekitar 10^-4. Penyimpangan yang cukup mencolok anatara hasil yang diperkirakan (yakni 10^-3500) dan nilai yang diamati (10^-4) dilukiskan oleh Prof. Rutherford dalam kata-kata berikut:

 Ini adalah peristiwa sangat tidak masuk akal yang pernah terjadi dalam hidup saya.

 Ini sama tidak massuk akalnya dengan ibarat anda menembakkan sebuah peluru 15 inci pada selembar kertas tissue dan peluru itu kemudian balik menembaki anda.

136 5.3 INTI ATOM RUTHERFORD

Apabila seberkas partikel, seperti berkas partikel alfa menumbuki sebuah sasaran tipis seperti selembar tipis emas, sudut hambur rata-ratanya kecil(dalam orde sekitar 1^o). Pembelokan besar yang teramati ternyata sangatlah kecil(10^-3500) bertentangan dengan hasil pengamatan eksperimen(10^-4). Cara paling mungkin bagi sebuah partikel alfa(m=4u) untuk dapat dibelokkan hingga mencapai sudut yang sangat besar adalah bila terjadi tumbukan tunggal dengan suatu objek sangat padat(masif). Gambar 5.7 melukiskan geometri hamburan bagi kasus ini. Proyektil, bermuatan ze, menderita gaya tolak oleh muatan positif inti sebesar:

𝐹 =^{(𝑧𝑒 )(𝑍𝑒)}

4𝜋 𝜀0 (5.15)

(Proyektilnya kita anggap selalu berada diluar inti, sehingga ia rasakan muatan inti Ze secara lengkap). Elektron-elektron atom, dengan massanya yang lebih kecil, tidak banyak mempengaruhi lintasan proyektil, jadi pengaruhnya pada hamburan dapat kita abaikan.

Gambar : 5.7 Hamburan oleh sebuah inti atom. Lintasan partikel terhambur

berbentuk sebuah hiperbola

Sebagaimana diperlihatkan oleh gambar 5.7, bagi setiap parameter impak b, terdapat suatu sudut hambur tertentu 𝜃. Jadi kita perlu mencari hubungan antara b dan 𝜃. Sebagaimana telah diturunkan dalam berbagai buku ajar, proyektil menempuh suatu lintasan berbentuk hiperbola; dalam koordinat polar r dan 𝜙, persamaan hiperbola adalah

1 𝑟 =¹

𝑏𝑠𝑖𝑛𝜙 + ^{𝑧𝑍 𝑒2}

8𝜋𝜀0𝑏2𝐾(cos 𝜙 − 1) (5.16)

Sebagaimana diperlihatkan oleh gambar 6.8, kedudukan awal partikel adalah pada 𝜙 = 0, 𝑟 → ∞, dan kedudukan akhir adalah pada 𝜙 = 𝜋 − 𝜃, 𝑟 → 8. Dengan menggunakan kedua koordinat kedudukan akhir, persamaan 5.16) tersederhanakan menjadi

137 𝑏 = ^{𝑧𝑍 𝑒2} 8𝜋 𝜀₀𝑏2𝐾cot ¹ 2𝜃 = ^𝑧𝑍 2𝐾 𝑒² 4𝜋 𝜀₀𝑐𝑜𝑡¹ 2𝜃 (5.17)

Gambar : 6.8 : Lintasan hiperbola dari sebuah partikel terhambur

Kajian kita terhadap hamburan partikel bermuatan oleh inti atom akan kita bagi dalam tiga bagian:

1) perhitungan fraksi partikel yang dihamburkan pada sudut yang lebih besar daripada 𝜃,

2) rumus Rutherford dan pembuktian kebenarannya lewat percobaan, dan 3) jarak terdekat ke inti atom, yang dapat dicapai oleh partikel bermuatan.

Masing-masing atom tampak sebagai sebuah piringan bundar, dengan luas 𝜋𝑅2. Jika lembar tersebut mengandung N buah atom , maka luas atomnya adalah 𝑁𝜋𝑅². Untuk hamburan untuk sudut yang lebih besar daripada 𝜃, parameter impaknya berada antara nol dan b – yang berarti bahwa jarak hampiran proyektil ke inti atom berada dalam daerah piringan bundar seluas 𝜋𝑏². Jika semua proyektil dianggap tersebar merata pada luas lembar tadi , fraksi proyektil yang berada dalam luas tersebut adalah 𝜋𝑏2/ 𝜋𝑅2.

Ketebalan lembar hambur yang sebenarnya, dapat mencapai sekitar susunan seribu atau sepuluh ribu buah atom. Andaikanlah t adalah ketebalan lembar hambur dan A adalah luasnya, dan andaikanlah pula bahwa 𝜌 adalah kerapatan dan M adalah massa molekul bahan pembuat lembar itu. Jadi, volume lembar tersebut adalah At, dan massanya 𝜌𝐴𝑡, sehingga jumlah molnya 𝜌𝐴𝑡/𝑀. Jadi jumlah atom atau inti per satuan volume adalah

𝑛 = 𝑁_𝐴^𝜌𝐴𝑡 𝑀

1

𝐴𝑡 = ^𝑁𝐴𝜌

𝑀 (5.18)

𝑁_𝐴 adalah bilangan Avogadro. Bagi sebuah proyektil datang, jumlah inti atom per satuan luas yang tampak baginya adalah 𝑛𝑡 = 𝑁_𝐴^𝜌𝑡

138 setiap inti memberi saham luas sebesar (𝑁_𝐴^𝜌𝑡

𝑀)-1

pada medan tampak proyektil. Untuk sudut hambur yang lebih besar daripada 𝜃, proyektil harus berada dalam daerah lingkaran seluas 𝜋𝑏2 yang berpusat pada sebuah atom. Dengan demikian, fraksi partikel yang dihamburkan pada sudut yang lebih besar daripada 𝜃 adalah tidak lain daripada jumlah partikel yang menghampiri sebuah atom dalam suatu daerah cakupan 𝜋𝑏2

𝑓_<𝑏 = 𝑓_>𝜃 = 𝑛𝑡𝜋𝑏² (5.19)

Dengan anggapan bahwa semua partikel datang tersebar merata pada luas lembar hambur.

Dengan anggapan bahwa semua partikel datang tersebar merata pada luas lembar hambur.

Contoh 6.2

Selembar emas (𝜌 = 19,3 𝑔/𝑐𝑚3, 𝑀 = 197 𝑔/𝑚𝑜𝑙)dengan ketebalan 2,0.10-3 cm, digunakan untuk menghamburkan partikel-partikel alfa berenergi kinetik 8,0 MeV. (a) berapa fraksi partikel alfa yang dihamburkan kedalam sudut yang lebih besar daripada 90⁰? (b) berapa fraksi partikel alfa yang dihambur dalam sudut antara 90⁰ dan 45⁰?

Pemecahan:

a) Untuk kasus ini, jumlah per satuan volume dapat dihitung sebagai berikut: 𝑛 =^{(6,02 x 10}

23 atom/mol)(19,3 g/𝑐𝑚3) 197𝑔/𝑚𝑜𝑙

= 5,9 𝑥10²⁸𝑎𝑡𝑜𝑚/𝑚

Untuk hamburan pada sudut 90⁰ , parameter impak b dapat dihitung dari persamaan (6.17):

𝑏 = ^{2 79}

2 8,0 𝑥106𝑒𝑉 1,44𝑒𝑉. 𝑛𝑚 cot 450 = 1,4 𝑥10−14𝑚 Sehingga 𝜋𝑏2 = 6,4 𝑥10−28𝑚2/𝑖𝑛𝑡𝑖, dan dengan demikian kita peroleh: 𝑓_>90 = (5,9 𝑥1028𝑖𝑛𝑡𝑖/𝑚3)(2,0 𝑥10−6𝑚)(6,4 𝑥10−28𝑚2/𝑖𝑛𝑡𝑖)

139

(a) Dengan mengulangi perhitungan diatas untuk 𝜃 = 450, kita peroleh: 𝑏 = ^{2 79}

2 8,0 𝑥10⁶𝑒𝑉 1,44𝑒𝑉. 𝑛𝑚 cot 22,50 = 3,4 𝑥10−14m

1. Rumus hamburan Rutherford dan bukti percobaanya. Agar kita dapat menghitung probabilitas hamburan sebuah partikel kedalam suatu selang sudut kecil pada 𝜃, kita syaratkan parameter impaknya terletak dalam suatu selang kecil db di b (lihat gambar 5.10).

Gambar 5.10 Partikel yang memasuki daerah cincin antara b dan b+db.

Dengan demikian, fraksi df adalah

𝑑𝑓 = 𝑛𝑡 2𝜋𝑏𝑑𝑏

Menurut persamaan (6.19). Dengan mendiferensiasikan persamaan (6.17), kita peroleh pernyataan db dalam𝑑𝜃 sebagai berikut:

𝑑𝑏 = ^𝑧𝑍 2𝐾 𝑒² 4𝜋𝜀0(1 − 𝑐𝑠𝑐2 1 2𝜃)(¹ 2𝑑𝜃) (5.20) Jadi, 𝑑𝑓 = 𝜋𝑛𝑡(^𝑧𝑍 2𝐾)2( ^𝑒2 4𝜋 𝜀0)2𝑐𝑠𝑐2 1 2𝜃𝑐𝑜𝑡¹ 2𝜃𝑑𝜃 (5.21)

(tanda minus pada persamaan (5.20) tidaklah begitu penting – ia hanyalah memberitahukan kita bahwa 𝜃 bertambah bila b berkurang). Andaikan kita tempatkan sebuah detektor bagi partikel yang terhambur pada sudut 𝜃 sejauh jarak r dari inti atom. Maka probabilitas bagi sebuah partikel untuk dihamburkan ke dalam detektor tersebut bergantung pada df. Namun demikian, df hanyalah memberikan peluang bagi semua proyektil yang dihamburkan pada sudut 𝜃 ke dalam 𝑑𝜃, dan dapat anda lihat bahwa semua proyektil itu akan terdistribusi

140

secara merata sekitar sebuah cincin berjari-jari r sin𝜃 dengan ketebalan r𝑑𝜃. Luas cincinnya adalah dA =(2𝜋𝑟𝑠𝑖𝑛𝜃) r𝑑𝜃. Selanjutnya, dengan melakukan suatu manipulasi perhitungan, akhirnya kita peroleh:

𝑁 𝜃 = ^𝑛𝑡 4𝑟2(^𝑧𝑍 2𝐾)²( ^𝑒2 4𝜋 𝜀0)^{2 1} 𝑠𝑖𝑛4 1 2𝜃 (5.22)

Ini adalah rumus hamburan Rutherford.

Rumus Rutherford ini kemudian diuji. Untuk percobaan ini, mereka menggunakan partikel-partikel alfa (z=2) dengan mengamati hamburannya dari berbagai jenis lembar tipis logam. Mengingat pada dewasa itu belum tersedia pencatat elektronik dan alat pemrosesnya, maka Geiger dan Marsden mengamati dan mencatat partikel-partikel alfanya dengan menghitung kerdipan cahaya(scintillatios) yang dihasilkan apabila partikel-partikel alfa tersebut menumbuk sebuah layar sulfida seng. Skema peralatan ini diperlihatkan pada gambar 6.11. hasilnya, keempat ramalan rumus hamburan Rutherford semuanya terbukti keberlakuannya:

(a) N 𝜃 ∝ 𝑡, untuk percobaan ini Geiger dan Marsden menggunakan sumber 8 MeV partikel alfa dari peluruhan radioaktif yang kemudian dihamburkan pada berbagai lembar hambur berketebalan t yang berbeda, dengan sudut hambur 𝜃 dipertahankan tetap pada 25⁰. Hasil-hasil yang mereka peroleh diperlihatkan pada gambar 6.12 yang menampakkan secara jelas ketergantungan N 𝜃 pada t secara linear. Juga terbukti bahwa pada sudut hamburan sedang ini pun, hamburan tunggal lebih berperan daripada hamburan jamak (multiple).

141

(b) N 𝜃 ∝ 𝑍2, untuk percobaan ini Geiger dan Marsden menggunakan beraneka jenis bahan penghambur,dengan ketebalan yang hampir sama. Hasil-hasil yang diperoleh sesuai dengan kebergantungan linear dari N 𝜃 pada 𝑍2.

(c) N 𝜃 ∝ 1/𝐾². Untuk menguji ramalan rumus hamburan Rutherford ini, Geiger dan Marsden mempertahankan ketebalan lembar hamburan tetap dan mengubah laju partikel-partikel alfanya. Semua hasil percobaan mereka itu diperlihatkan yang sekali lagi menampakkan kesesuaian yang luar biasa baik dengan hubungan yang diperkirakan.

(d) N 𝜃 ∝ 1/𝑠𝑖𝑛⁴1/2𝜃. Ketergantungan N pada 𝜃mungkin adalah ciri yang paling utama dan istimewa dari rumus hamburan Rutherford. Dengan demikian, semua ramalan rumus hamburan Rutherford terbuktikan kebenarannya lewat percobaan, yang sekaligus membuktikan keberadaan “inti atom”.

142

2. Jarak hampiri terdekat partikel hambur ke inti penghambur. Semakin dekat partikelnya menghampiri inti atom, maka semakin besar pula energi potensial yang ia peroleh,karena:

𝑉 = ¹ 4𝜋𝜀₀ 𝑧𝑍𝑒2 𝐼 𝐸 = ¹ 2𝑚𝑣_𝑚𝑖𝑛2+ ¹ 4𝜋 𝜀₀ 𝑧𝑍𝑒² 𝑟_𝑚𝑖𝑛 =¹ 2𝑚𝑣2 (5.23a) 𝑉 = 0 𝐾 = ¹ 2𝑚𝑣2 𝑙 = 𝑚𝑣𝑏 vmin 𝑉 =^{𝑧𝑍 𝑒2} 4𝜋 𝜀0 1 𝑟_𝑚𝑖𝑛 v r_min 𝐾 = ¹ 2𝑚𝑣_𝑚𝑖𝑛² b 𝑙 = 𝑚𝑣_𝑚𝑖𝑛𝑟_𝑚𝑖𝑛 d 𝑉 =^𝑧𝑍𝑒 2 4𝜋𝜀₀ 1 𝑑 K = 0

143

Momentum sudut juga kekal. Ketika jauh dari inti atom, momentum sudut partikel adalah mvb, dan pada r_min, momentum sudutnya adalah mv_minr_min. Karena itu,

𝑚𝑣𝑏 = 𝑚𝑣_𝑚𝑖𝑛𝑟_𝑚𝑖𝑛 Atau

𝑣_𝑚𝑖𝑛 = ^𝑏

𝑟_𝑚𝑖𝑛 𝑣 (5.23b)

Dengan menggunakan persamaan (5.23a) dan (5.23b) kita peroleh 1 2𝑚𝑣2 =¹ 2𝑚 ^𝑟2𝑣2 𝑟_𝑚𝑖𝑛2 + ¹ 4𝜋𝜀0 𝑧𝑍 𝑒² 𝑟_𝑚𝑖𝑛 (5.24)

Persamaan ini dapat dipecahkan untuk memperoleh nilai rmin.

Perhatikan bahwa energi kinetik partikel tidaklah nol pada rmin. Kecuali jika b = 0. Pada saat itu jarak terdekat ke inti atom adalah d, jarak hampiran terdekat. Jarak ini dapat kita dapati dengan memecahkan persamaan (6.24) bagi rmin untuk b = 0 yang memberikan 𝑑 = ¹ 4𝜋 𝜀₀ 𝑧𝑍𝑒² 𝐾 (5.25)