Mathematics Finance No Arbitrage Princip

(1)

Mathematics Finance Assignment Indira Puteri K.

No Arbitrage Principle

“There is never an opportunity to make a risk-free profit that gives a greater return

than that provided by the interest from a bank deposit”

1. Perbandingan nilai opsi put Eropa

 

P_E dan opsi put Amerika

 

P_E , yaitu nilai opsi put Amerika lebih dari nilai opsi put Eropa, atau secara matematis dituliskan :

E A P

P 

Akan dibuktikan P_A  P_E dengan memakai metode kontradiksi. Misalkan

E A P

P  , dengan asumsi memiliki waktu jatuh tempo yang sama



T_A T_E T



, dan nilai kontrak yang sama pula



K_A K_E  K



. Melalui kondisi ini, akan dibuktikan dimungkinkan terjadi risk-free profit.

Bukti :

Pada saatt0, lakukanlah hal berikut :

Beli satu opsi put Amerika Jual satu opsi put Eropa

Dari kegiatan ini, akan diperoleh dana sebesar PE PA 0, untuk kemudian disimpan di bank sebagai tabungan.

Pada saat t T , akan terdapat dua macam kemungkinan kondisi harga. Kedua kondisi ini akan dianalisa dampaknya masing-masing terhadap pelaku kegiatan diatas. Kondisi tersebut adalah harga pasar



S

 

T



lebih dari harga kontrak

 

K , atau harga pasar



S

 

T



kurang dari harga kontrak

 

K . Berikut disajikan analisa pada setiap kondisi :

a. S

 

T K

Opsi put Eropa tidak akan di-exercise (dijual) oleh pemiliknya kepada writer. Sedangkan opsi Put Amerika yang kita miliki juga tidak akan dikenai tindakan apapun (didiamkan). Pada kondisi ini, kita tetap akan memiliki simpanan dana di bank yang dapat diambil, sebesar



PE PA



erT 0

b. S

 

T K

Holder dapat membeli aset seharga S

 

T di pasar dan meng-exercise

(menjual) opsi put Eropa pada writer seharga K. Sedangkan, opsi put

(2)

Artinya, dengan kondisi P_A P_E, selalu dapat diperoleh risk-free profit yang melanggar prinsip No Arbitrage. Oleh karena itu, kondisi yang berlaku haruslah berupa P_A P_E.

2. Batas atas dan batas bawah opsi Put Eropa, yaitu P_E SKerT, dengan S

adalah nilai saham pada saat t0.

Akan dibuktikan P_E SKerT dengan menggunakan metode kontrakdiksi. Misalkan P_E SKerT. Pada kondisi ini akan diperlihatkan bahwa dimungkinkan terjadi risk-free profit.

Bukti :

Pada saat t 0, lakukan hal berikut :

Pinjam sejumlah uang di bank sebesar



P_E S



, tentunya akan dilunasi pada saat

T

t  , sebesar



P_E S



erT. Kemudian, lakukan pula hal berikut : Beli satu opsi put Eropa

Beli satu lembar saham



S

 

T



 



S

 

T



 

a. S

 

T K

Opsi put Eropa tidak dapat di-exercise, karena tidak akan memberi keuntungan apapun. Sedangkan saham yang kita miliki, dapat dijual (dilepas) ke writer

seharga K. Artinya, kita telah mendapatkan dana sebesar K. Sehingga dana yang tersisa setelah membayar kewajiban pelunasan pinjaman di bank adalah





rT E S e P

K  . Jelas, nilai dana ini bernilai positif, karena kita telah mengasumsikan di awal bahwa









0

0                 rT E rT E rT E rT E e S P K K e S P Ke S P Ke S P

b. S

 

T K

Opsi put dapat di-exercise (dijual), dengan menjualnya pada writer seharga

(3)

Dengan demikian, kondisi P_E SKerT selalu memungkinkan terjadinya risk-free profit, hal ini melanggar prinsip No Arbitrage. Sehingga kondisi yang berlaku haruslah P_E SKerT

3. Put Call Parity, yaitu P_E S C_E KerT. Pembuktian pernyataan ini dilakukan

dengan membuktikan bahwa kondisi P_E S C_E KerT akan mengakibatkan

risk-free profit (telah tuntas dibuktikan), dan kondisi P_E S C_E KerT juga akan mengakibatkan risk-free profit.

Dengan kata lain, kita akan membuktikan bahwa kondisi P_E S C_E KerT

akan mengakibatkan situasi risk-free profit.

Bukti :

Pada saat t 0, lakukanlah hal berikut : Jual satu opsi put Eropa

Jual satu lembar saham (dapat memakai mekanisme short selling) Beli satu opsi call Eropa

Dari kegiatan tersebut, diperoleh dana sebesar



PE SCE



KerT 0. Dana

ini dapat disimpan di bank untuk kemudian diambil kembali pada saat t T , menjadi sebesar



P_E SC_E



erT K 0.



S

 

T



 



S

 

T



 

a. S

 

T K

Opsi put Eropa tidak dapat di exercise. Opsi call Eropa dapat di-exercise, dengan membelinya pada writer seharga K. Dana yang kita dapat dari penjualan opsi call Eropa tadi (dibeli oleh holder), kita gunakan untuk membeli saham seharga K, untuk kemudian saham tersebut dikembalikan pada pemiliknya (jika ketika menjual, kita memakai mekanisme short selling). Sehingga dana yang tersisa adalah dana simpanan di bank yang telah dapat diambil, dikurangi oleh dana sebesar K tadi, yaitu



PE SCE



erT K 0.

b. S

 

T K

(4)

bank dikurangi oleh dana pembelian saham seharga S

 

T . Secara matematis, dapat ditulis



PE SCE



erT S

 

T 0.

Dengan demikian, kondisi rT

E

E S C Ke

P     selalu memungkinkan terjadinya