PENYELESAIAN PERSAMAAN KORTEWEG-DE VRIES
ORDE TINGGI DENGAN METODE EKSPANSI
RESTY BANGUN PRATIWI
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Penyelesaian Persamaan Korteweg-de Vries Orde Tinggi dengan Metode Ekspansi adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut Pertanian Bogor.
Bogor, Mei 2015
Resty Bangun Pratiwi
ABSTRAK
RESTY BANGUN PRATIWI. Penyelesaian Persamaan Korteweg-de Vries Orde Tinggi dengan Metode Ekspansi . Dibimbing oleh JAHARUDDIN dan ALI KUSNANTO.
Gelombang internal merupakan gelombang yang terjadi di bawah permukaan laut. Jenis gelombang internal yang sering diamati adalah gelombang soliter. Gelombang soliter internal adalah suatu gelombang berjalan yang dalam perambatannya mempertahankan bentuk dan kecepatannya. Salah satu model matematika yang dapat menjelaskan gelombang soliter internal adalah persamaan Korteweg-de Vries (KdV). Persamaan KdV diturunkan dari persamaan dasar fluida ideal, yaitu fluida yang taktermampatkan dan takkental. Persamaan KdV orde tinggi diselesaikan dengan metode ekspansi dan diperoleh penyelesaian dalam bentuk gelombang berjalan. Penggunaan metode ekspansi ini dilakukan dengan cara yang sederhana karena hanya melibatkan persamaan diferensial orde dua. Penyelesaian yang diperoleh diilustrasikan dalam grafik menggunakan software Mathematica 10.1.
Kata kunci: gelombang internal, metode ekspansi , persamaan KdV orde tinggi.
ABSTRACT
RESTY BANGUN PRATIWI. Solutions for a Higher Order of Korteweg-de Vries Equation Using Expansion Methods. Supervised by JAHARUDDIN and ALI KUSNANTO.
Internal wave is a wave which occurs on ocean subsurface. Another frequently considered kind of this wave is solitary wave. Solitary internal wave is a traveling wave which maintains its shape and velocity while propagating. One of mathematical models which describe this kind of wave is the Korteweg-de Vries (KdV) equation. This equation is derived from the basic ideal fluid equation, i.e., a fluid which has characteristics such as incompressible and unviscous. On this paper, the higher order KdV equation is solved by using expansion method, resulting a solution in traveling wave form. This method is full of simplicity since only second order differential equations get involved. The obtained solution is illustrated in graphical form using Mathematica 10.1 software.
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains
pada
Departemen Matematika
PENYELESAIAN PERSAMAAN KORTEWEG-DE VRIES
ORDE TINGGI DENGAN METODE EKSPANSI
RESTY BANGUN PRATIWI
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR
Judul Skripsi : Penyelesaian Persamaan Korteweg-de Vries Orde Tinggi dengan Metode Ekspansi
Nama : Resty Bangun Pratiwi NIM : G54110016
Disetujui oleh
Dr Jaharuddin, MS Pembimbing I
Drs Ali Kusnanto, MSi Pembimbing II
Diketahui oleh
Dr Toni Bakhtiar, MSc Ketua Departemen
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah subhanahu wa ta’ala atas segala karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Topik yang dipilih dalam karya ilmiah ini adalah penggunaan metode ekspansi untuk kasus gelombang internal yang dimodelkan dalam persamaan Korteweg-de Vries orde tinggi, dengan judul Penyelesaian Persamaan Korteweg-de Vries Orde Tinggi dengan Metode Ekspansi .
Penyusunan karya ilmiah ini tidak lepas dari bantuan berbagai pihak. Oleh karena itu penulis mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu dalam proses penyusunan karya ilmiah ini antara lain:
1 Nawawi (Ayah) dan Ernawati (Ibu) selaku orangtua, serta Ricky dan Velly selaku kakak, atas semua doa, dukungan, semangat, perhatian, nasihat dan kasih sayangnya sehingga penulis dapat menyelesaikan karya ilmiah ini. 2 Dr Jaharuddin, MS selaku dosen pembimbing pertama dan Drs Ali Kusnanto,
MSi selaku dosen pembimbing kedua atas semua ilmu, motivasi, saran, dan bantuannya selama penulisan karya ilmiah ini.
3 Elis Khatizah, SSi, MSi selaku dosen penguji atas saran dan kritik untuk perbaikan karya ilmiah ini.
4 Seluruh dosen Departemen Matematika FMIPA IPB atas semua ilmu yang telah diberikan kepada penulis.
5 Seluruh staf Departemen Matematika FMIPA IPB atas semua bantuan selama perkuliahan dan proses penyelesaian karya ilmiah ini.
6 Teman-teman satu bimbingan yaitu Vina dan Parara atas semua dukungan, saran, dan bantuannya dalam menyelesaikan karya ilmiah ini.
7 Teman-teman Matematika 48 atas segala dukungan, doa, semangat, perhatian dan bantuannya.
8 Rizky, Atikah, Intan, Riefdah, Alfi, Riski, Andini, Lidya, Putri, Hana, Sifa, Febiyana, Desi, Clara, dan Citra sebagai sahabat yang selalu memberikan saran, dukungan, perhatian dan kasih sayang.
9 Pihak-pihak lain yang telah membantu penulisan skripsi ini yang tidak dapat disebutkan satu per satu.
Penulis menyadari bahwa dalam karya ilmiah ini masih terdapat banyak kekurangan dan jauh dari kesempurnaan. Oleh karena itu penulis mengharapkan kritik dan saran yang membangun dari pembaca. Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat dan menjadi inspirasi bagi penelitian-penelitian selanjutnya.
Bogor, Mei 2015
DAFTAR ISI
DAFTAR GAMBAR vi
DAFTAR LAMPIRAN vi
PENDAHULUAN 1
Latar Belakang 1
Tujuan Penelitian 2
TINJAUAN PUSTAKA 2
Persamaan Korteweg-de Vries 2
Metode Ekspansi 4
HASIL DAN PEMBAHASAN 5
Transformasi Persamaan 5
Aplikasi Metode 6
SIMPULAN 16
DAFTAR PUSTAKA 17
LAMPIRAN 18
DAFTAR GAMBAR
1 Grafik Persamaan (38) sebagai penyelesaian persamaan KdV orde tinggi dengan - dan 15 2 Grafik Persamaan (38) sebagai penyelesaian persamaan KdV orde
tinggi dengan - dan 16
DAFTAR LAMPIRAN
1 Penurunan sistem persamaan (22) 18
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Persamaan diferensial parsial taklinear secara luas digunakan sebagai model untuk mengekspresikan banyak fenomena fisik. Umumnya persamaan diferensial parsial taklinear tersebut sulit untuk diselesaikan baik secara analitik maupun numerik jika dihadapkan pada perhitungan yang rumit. Salah satu fenomena alam yang dapat diekspresikan dengan persamaan diferensial parsial taklinear adalah fenomena gelombang yang sering terjadi di bawah permukaan laut yaitu gelombang internal.
Gelombang internal terjadi karena adanya perbedaan rapat massa pada setiap lapisan air laut. Perbedaan rapat massa terjadi karena perbedaan suhu dan kadar garam. Gelombang internal tidak dapat telihat secara kasat mata tetapi dapat terdeteksi keberadaannya berdasarkan pola tertentu di permukaan laut. Salah satu jenis gelombang internal yang sering diamati adalah gelombang soliter. Gelombang soliter internal adalah suatu gelombang berjalan yang dalam perambatannya mempertahankan bentuk dan kecepatannya. Gelombang soliter internal dapat menimbulkan masalah bagi lingkungan, seperti naiknya polutan dari dasar laut ke permukaan yang dapat mempengaruhi kehidupan biota laut.
Salah satu model matematika yang dapat menjelaskan gelombang soliter internal adalah model persamaan Korteweg-de Vries (KdV). Persamaan KdV menggunakan asumsi bahwa gelombang internal yang ditinjau bergerak hanya dalam satu arah dan panjang gelombang internal jauh lebih besar dari kedalaman fluida. Persamaan KdV diturunkan dari persamaan dasar fluida ideal yaitu fluida yang taktermampatkan dan takkental. Penyelesaian persamaan KdV orde rendah maupun tinggi menggunakan asumsi bahwa penyelesaiannya dalam bentuk gelombang berjalan.
Banyak penelitian telah dilakukan untuk memperoleh penyelesaian dari persamaan KdV orde tinggi dengan menggunakan berbagai metode, diantaranya menggunakan metode analisis homotopi eksponensial (Jaharuddin 2015) dan metode extended F-expansion (He et al. 2013). Dalam metode analisis homotopi eksponensial, penyelesaian persamaan KdV orde tinggi yang diperoleh hanya berupa pendekatan analitik dengan fungsi yang berbentuk eksponensial. Sedangkan pada metode extended F-expansion, persamaan umum KdV orde tinggi yang berupa persamaan diferensial parsial taklinear akan ditransformasi menjadi persamaan diferensial biasa taklinear. Penyelesaian persamaan KdV yang diperoleh menggunakan metode extended F-expansion berupa penyelesaian eksak dengan pemisalan penyelesaiannya dinyatakan dalam bentuk deret pangkat. Deret pangkat tersebut memuat fungsi F yang memenuhi suatu persamaan diferensial biasa tak linear.
Karya ilmiah ini akan mencari penyelesaian dari persamaan KdV orde tinggi menggunakan metode ekspansi . Metode ekspansi memiliki sedikit perbedaan dengan metode extended F-expansion. Pada metode ekspansi
2
Tujuan Penelitian
Berdasarkan latar belakang di atas, maka tujuan dari penelitian ini adalah 1 Mencari penyelesaian dari persamaan KdV orde tinggi dengan menggunakan
metode ekspansi .
2 Memberikan ilustrasi grafik penyelesaian persamaan KdV orde tinggi dengan bantuan aplikasi Mathematica 10.1.
TINJAUAN PUSTAKA
Pada bagian ini akan dibahas teori-teori yang mendukung penelitian ini. Teori-teori tersebut meliputi persamaan Korteweg-de Vries (KdV) dari Jaharuddin dan Pudjaprasetya (2002), Fokas (1995), dan konsep metode dari Yang et al. (2014).
Persamaan Korteweg-de Vries
Persamaan KdV diturunkan dari persamaan dasar fluida ideal, yaitu fluida yang taktermampatkan dan takkental. Persamaan dasar fluida ideal diperoleh berdasarkan gerak partikel fluida yang dinyatakan dalam dua dimensi dengan kecepatan partikel dalam arah horizontal dan vertikal berturut-turut adalah
u(x, z, t) dan w(x, z, t). Fluida memiliki rapat massa dengan x, z dan t
berturut-turut menyatakan koordinat horizontal, vertikal dan waktu.
Terdapat dua hukum fisika yang diperlukan untuk menurunkan persamaan dasar fluida ideal, yaitu hukum kekekalan massa dan hukum kekekalan momentum. Hukum kekekalan massa memberikan persamaan kontinuitas, sedangkan hukum kekekalan momentum memberikan persamaan Euler. Dengan demikian persamaan dasar fluida ideal diberikan dalam sistem persamaan berikut:
(1)
Dua persamaan pertama adalah persamaan kontinuitas, sedangkan dua persamaan terakhir adalah persamaan Euler dengan dan berturut-turut menyatakan tekanan dan percepatan gravitasi. Penyelesaian untuk Persamaan (1) saat kondisi diam adalah dengan
3
(2)
dengan dan .
Substitusikan Persamaan (2) ke dalam Persamaan (1) dan pertahankan suku dengan orde pada Persamaan (1) sehingga diperoleh persamaan yang dapat digunakan untuk menentukan , yaitu
(
(3)
Dengan memisalkan , maka Persamaan (3) menjadi persamaan yang bergantung terhadap sebagai berikut:
(
(4)
Kondisi batas untuk Persamaan (4) pada menggunakan fakta bahwa komponen vertikal dari kecepatan harus bernilai nol pada . Oleh karena itu, . Kondisi batas untuk Persamaan (4) pada diperoleh dari kondisi batas kinematik dan kondisi batas dinamik pada permukaan batas, yaitu
di (5) di (6) dengan ( .
Substitusikan Persamaan (2) ke dalam Persamaan (1) dan atur semua suku dengan orde menjadi nol sehingga diperoleh persamaan yang dapat digunakan untuk menentukan , yaitu
(
(7) dengan
(
Kondisi batas untuk Persamaan (7) adalah Persamaan (5) dan fakta bahwa bernilai nol saat . Dengan mengalikan Persamaan (7) terhadap dan mengintegralkannya terhadap z dari sampai 0, diperoleh
∫
atau
4 dengan
∫
∫
∫
∫ (9)
Persamaan (8) adalah persamaan KdV standar untuk gelombang internal.
Persamaan KdV standar terus dikembangkan oleh para peneliti untuk mendapatkan persamaan KdV dengan orde yang lebih tinggi. Persamaan KdV orde tinggi menurut Fokas (1995), yaitu
(10) Fungsi merepresentasikan simpangan pada permukaan fluida, dan
adalah parameter bebas. Asumsikan bahwa sehingga dan Selanjutnya, dengan mengabaikan dua orde tertinggi yang sangat kecil dari , maka Persamaan (10) dapat direduksi sehingga dihasilkan persamaan lain dari persamaan KdV orde tinggi, yaitu
(11)
Persamaan (11) merupakan kasus khusus dari Persamaan (10) saat
. Selanjutnya Persamaan (11) akan diselesaikan dengan metode ekspansi .
Metode Ekspansi
Metode ekspansi merupakan salah satu metode yang digunakan untuk mencari penyelesaian dari persamaan diferensial. Berikut ini akan dijelaskan konsep metode ekspansi Tinjau bentuk umum persamaan diferensial parsial taklinear dengan dua variabel bebas berikut:
(12) Fungsi F adalah fungsi yang bergantung pada dan turunan-turunan parsialnya, sedangkan adalah fungsi yang tidak diketahui. Persamaan (12) ditransformasikan menjadi persamaan diferensial biasa taklinear dengan menggunakan transformasi dan sehingga diperoleh
(13) dengan menyatakan turunan pertama terhadap .
Penyelesaian dari persamaan diferensial biasa (13) dinyatakan sebagai berikut:
∑
5 dengan adalah konstanta yang akan ditentukan kemudian, adalah bilangan bulat positif dan memenuhi persamaan diferensial orde dua sebagai berikut:
(15) di mana dan adalah konstanta real. Berdasarkan nilai , penyelesaian umum dari Persamaan (15) memiliki tiga kemungkinan berikut:
Saat diperoleh penyelesaian berupa fungsi hiperbolik
√ √ (16) Saat diperoleh penyelesaian berupa fungsi trigonometri
√ √ (17)
Saat diperoleh penyelesaian berikut
(18) dengan dan konstanta sembarang.
Substitusikan Persamaan (14) dan Persamaan (15) ke Persamaan (13) dan atur semua koefisien dari sistem yang dihasilkan menjadi nol sehingga diperoleh persamaan aljabar taklinear untuk dan Konstanta dan dapat diperoleh dengan menyelesaikan persamaan aljabar taklinear tersebut. Selanjutnya, substitusikan konstanta dan yang diperoleh serta penyelesaian umum Persamaan (15) ke dalam Persamaan (14), sehingga diperoleh penyelesaian eksplisit dari Persamaan (11). Penyelesaian yang didapatkan bermacam-macam, hal ini bergantung pada penyelesaian dari Persamaan (15) yang terbagi menjadi tiga kasus, yaitu saat , , dan . Setelah penyelesaian untuk setiap kasus diperoleh, selanjutnya penyelesaian tersebut akan diilustrasikan melalui grafik penyelesaian dengan bantuan aplikasi Mathematica 10.1.
HASIL DAN PEMBAHASAN
Pada bagian ini akan dibahas penggunaan dari metode ekspansi untuk menyelesaikan persamaan KdV orde tinggi. Selanjutnya, penyelesaian yang diperoleh akan diilustrasikan dengan grafik penyelesaian.
Transformasi Persamaan
Persamaan (11) yang berupa persamaan diferensial parsial di transformasi menggunakan transformasi sehingga dapat dinyatakan sebagai persamaan diferensial biasa berikut:
6
Selanjutnya integralkan Persamaan (19) terhadap dan asumsikan bahwa konstanta pengintegralan adalah nol sehingga diperoleh persamaan berikut:
(20)
Aplikasi Metode
Misalkan bahwa penyelesaian dari Persamaan (20) dinyatakan sebagai berikut:
(21)
Substitusi Persamaan (21) dan Persamaan (15) ke dalam Persamaan (20) dan atur semua koefisien menjadi nol sehingga diperoleh sistem persamaan aljabar taklinear dengan variabel sebagai berikut:
(22)
7 Nilai dapat diperoleh dari persamaan terakhir pada sistem persamaan (22). Sedangkan untuk nilai diperoleh dengan bantuan aplikasi
Mathematica 10.1 dan adalah bilangan real sembarang. Penyelesaian yang
diperoleh dibagi menjadi tiga kasus, sebagai berikut: KASUS PERTAMA
Pada kasus pertama nilai yang memenuhi sistem persamaan (22) adalah sebagai berikut:
(23)
Pembahasan kasus pertama
Substitusikan pada Persamaan (23) ke dalam Persamaan (21) sehingga diperoleh persamaan berikut:
(24)
Selanjutnya, substitusi penyelesaian umum dari Persamaan (15) yang diberikan pada Persamaan (16)−(18) ke dalam Persamaan (24), sehingga diperoleh tiga kemungkinan berikut:
Saat , maka diperoleh penyelesaian Persamaan (11) sebagai berikut:
[
√ ] [√ ]
[√ ] [√ ]
dengan
(25)
8
Kemudian, berdasarkan nilai dan , maka dapat ditinjau tiga kemungkinan dari Persamaan (25), yaitu:
1 Jika dan , maka
(√
(26)
2 Jika dan , maka
(√
(27)
3 Jika , dan , maka
(√
dengan
(28)
Saat , maka diperoleh penyelesaian Persamaan (11) sebagai berikut:
[√ ] [√ ]
[√ ] [√ ]
dengan .
(29)
Penurunan Persamaan (29) diberikan pada Lampiran 2.
Kemudian, berdasarkan nilai dan , maka dapat ditinjau tiga kemungkinan dari Persamaan (29), yaitu:
1 Jika dan , maka
(√
9 2 Jika dan , maka
(√
(31)
3 Jika , dan , maka
( (√
dengan .
(32)
Saat , maka diperoleh penyelesaian Persamaan (11) sebagai berikut:
(
dengan .
(33)
Penurunan Persamaan (33) diberikan pada Lampiran 2. KASUS KEDUA
Pada kasus kedua nilai yang memenuhi sistem persamaan (22) adalah sebagai berikut:
(34)
(
(
dengan √ √ ( (
10
Pembahasan kasus kedua
Substitusikan pada Persamaan (34) ke dalam Persamaan (21) sehingga diperoleh persamaan berikut:
(35)
Selanjutnya, substitusi penyelesaian umum dari Persamaan (15) yang diberikan pada Persamaan (16)−(18) ke dalam Persamaan (35), sehingga diperoleh tiga kemungkinan berikut:
Saat , maka diperoleh penyelesaian Persamaan (11) sebagai berikut:
[
[
√ ] [√ ]
[√ ] [√ ] ] dengan .
(36)
Penurunan Persamaan (36) diberikan pada Lampiran 3.
Kemudian, berdasarkan nilai dan , maka dapat ditinjau tiga kemungkinan dari Persamaan (36), yaitu:
1 Jika dan , maka
(√
(37)
2 Jika dan , maka
(√
11 3 Jika , dan , maka
(√
dengan .
(39)
Saat , maka diperoleh penyelesaian Persamaan (11) sebagai berikut:
[
[
√
] [√ ]
[√ ] [√ ] ]
dengan .
(40)
Penurunan Persamaan (40) diberikan pada Lampiran 3.
Kemudian, berdasarkan nilai dan , maka dapat ditinjau tiga kemungkinan dari Persamaan (40), yaitu:
1 Jika dan , maka
(√
(41)
2 Jika dan , maka
(√
12
3 Jika , dan , maka
[ ( (√ ]
dengan .
(43)
Saat , maka diperoleh penyelesaian Persamaan (11) sebagai berikut:
(
dengan .
(44)
Penurunan Persamaan (44) diberikan pada Lampiran 3 KASUS KETIGA
Pada kasus ketiga nilai yang memenuhi sistem persamaan (22) adalah sebagai berikut:
(45)
dengan √ √ ( (
13 Pembahasan kasus ketiga
Substitusikan pada Persamaan (45) ke dalam Persamaan (21) sehingga diperoleh persamaan berikut:
(46)
Selanjutnya, substitusi penyelesaian umum dari Persamaan (15) yang diberikan pada Persamaan (16)−(18) ke dalam Persamaan (46) sehingga diperoleh tiga kemungkinan berikut:
Saat , maka diperoleh penyelesaian Persamaan (11) sebagai berikut:
[
[ √
] [√ ]
[√ ] [√ ] ]
dengan .
(47)
Penurunan Persamaan (47) diberikan pada Lampiran 4.
Kemudian, berdasarkan nilai dan , maka dapat ditinjau tiga kemungkinan dari Persamaan (47), yaitu:
1 Jika dan , maka
(√
(48)
2 Jika dan , maka
(√
14
3 Jika , dan , maka
(√
dengan .
(50)
Saat , maka diperoleh penyelesaian Persamaan (11) sebagai berikut:
[
[
√
] [√ ]
[√ ] [√ ] ]
dengan .
(51)
Penurunan Persamaan (51) diberikan pada Lampiran 4.
Kemudian, berdasarkan nilai dan , maka dapat ditinjau tiga kemungkinan dari Persamaan (51), yaitu:
1 Jika dan , maka
(√
(52)
2 Jika dan , maka
(√
15 3 Jika , dan , maka
[ ( (√ ]
dengan .
(54)
Saat , maka diperoleh penyelesaian Persamaan (11) sebagai berikut:
(
dengan .
(55)
Penurunan Persamaan (55) diberikan pada Lampiran 4. Grafik Penyelesaian
Pada bagian ini, akan diilustrasikan grafik penyelesaian persamaan KdV orde tinggi yang telah diperoleh dengan menggunakan metode ekspansi . Namun, tidak semua penyelesaian yang diperoleh akan diilustrasikan, karena untuk semua ilustrasi grafik penyelesaian akan memberikan kesimpulan yang sama. Sehingga penyelesaian yang diilustrasikan hanya salah satu penyelesaian saja, yaitu penyelesaian pada kasus 2 saat dan saat .
(a) Saat
(b) Saat
Gambar 1 Grafik Persamaan (38) sebagai penyelesaian persamaan KdV orde tinggi dengan
Gambar 1 menunjukkan grafik persamaan (38) saat
16
(a) Saat
(b) Saat
Gambar 2 Grafik persamaan (38) sebagai penyelesaian persamaan KdV orde tinggi dengan
Gambar 2 menunjukkan grafik persamaan (38) saat
dan . Berdasarkan Gambar (a) dan Gambar (b), gelombang yang terbentuk memiliki satu puncak serta jika nilai diperbesar, maka gelombang yang terbentuk akan memiliki panjang gelombang yang semakin besar. Selanjutnya berdasarkan Gambar 2 bagian (a) dan Gambar 1 bagian (a), jika nilai nilai diperbesar, maka gelombang yang terbentuk akan memiliki amplitudo yang lebih kecil.
SIMPULAN
17 DAFTAR PUSTAKA
Fokas AS. 1995. On a Class of physically important integrable equations. Physica D. 87(1):145-150.doi:10.1016/0167-2789(95)00133-O.
He Y, Zhao YM, and Long Y. 2013. New exact solutions for a higher-order wave equation of KdV type using extended F-expansion method. Mathematical
Problem in Engineering. Volume 2013, Article ID 128970, 8
pages.doi:10.1155/2013/128970.
Jaharuddin and Pudjaprasetya SR. 2002. Evolution equations for density stratified fluid. Proceedings ITB. 34(1):131-142.
Jaharuddin. 2015. Approximate analytical solution of a higher order wave equation of KdV type. Far East Journal of Mathematical Sciences. 97(2):197-207. Yang H, Li W, and Yang B. 2014. The ( -expansion method and its
application for higher-order equations of KdV (III). Journal of Applied
Mathematics. Volume 2014 (2014), Article ID 384969, 6
18
Lampiran 1 Penurunan sistem persamaan (22) Dari Persamaan (21) diperoleh persamaan berikut: Substitusi Persamaan (1.6) ke Persamaan (1.3), (1.4), dan (1.5) diperoleh
21
Lampiran 2 Penurunan persamaan – persamaan pada kasus pertama
22
Substitusi Persamaan (2.1) ke dalam Persamaan (24), diperoleh
23
Substitusi Persamaan (2.2) ke dalam Persamaan (24), diperoleh
24
Penurunan Persamaan (33)
Substitusi Persamaan (2.3) ke dalam Persamaan (24), diperoleh
( (
( (
( ( ( (
(
(
25
Lampiran 3 Penurunan persamaan – persamaan pada kasus kedua
Penurunan Persamaan (36)
Substitusi Persamaan (2.1) ke dalam Persamaan (35), diperoleh
√ √ √ √ √
√ √ √ √ √
[
√
√ √
√ √
√
√ √
√ √
]
[
√ √ √ √ ]
[
√ √ √ √ ]
26
Penurunan Persamaan (40)
Substitusi Persamaan (2.2) ke dalam Persamaan (35), diperoleh
√ √ √ √ √
√ √ √ √ √
[
√
√ √
√ √
√
√ √
√ √
]
[
√ √ √ √ ]
[
√ √ √ √ ]
27 Penurunan Persamaan (44)
Substitusi Persamaan (2.3) ke dalam Persamaan (35), diperoleh
( (
( (
( ( ( (
(
(
28
Lampiran 4 Penurunan persamaan – persamaan pada kasus ketiga
Penurunan Persamaan (47)
Substitusi Persamaan (2.1) ke dalam Persamaan (46), diperoleh
√ √ √ √ √
√ √ √ √ √
[
√
√ √
√ √
√
√ √
√ √
]
[
√ √ √ √ ]
[
√ √ √ √ ]
29 Penurunan Persamaan (51)
Substitusi Persamaan (2.2) ke dalam Persamaan (46), diperoleh
√ √ √ √ √
√ √ √ √ √
[
√
√ √
√ √
√
√ √
√ √
]
[
√ √ √ √ ]
[
√ √ √ √ ]
30
Penurunan Persamaan (55)
Substitusi Persamaan (2.3) ke dalam Persamaan (46),diperoleh
( (
( (
( ( ( (
(
(
31 RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Bogor, Jawa Barat pada tanggal 23 November 1993 sebagai anak kedua dari dua bersaudara dari pasangan Nawawi dan Ernawati. Tahun 2011 penulis lulus dari SMA Negeri 3 Depok dan pada tahun yang sama penulis lulus seleksi masuk Institut Pertanian Bogor (IPB) melalui jalur SNMPTN Undangan dan diterima di Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.
