Bahan Ajar Relasi dan Fungsi (SMA kelas X

(1)

FAESHAN NOEL PURBA

(2)

MATERI

Pengertian Produk Cartesius

Jika A dan B adalah dua himpunan yang tidak kosong, maka produk Cartesius himpunan A dan himpunan B adalah himpunan semua pasangan terurut (x,y) dengan x  A dan y  B dan

A x B adalah produk Cartesius himpunan A dan B, maka relasi atau hubungan R dari A ke B adalah sembarang himpunan bagian dari produk Cartesius A x B.

Pada relasi R = {(x,y)| x  A dan x  B} dapat disebutkan bahwa :

a. Himpunan ordinat pertama dari pasangan terurut (x,y) disebut daerah asal (domain).

b. Himpunan B, disebut daerah kawan (kodomain).

c. Himpunan bagian dari B yang bersifat Ry dengan y  B disebut daerah hasil (range) relasi R.

Suatu relasi R = {(x,y) | x  A dan x  B} dapat ditulis dengan menggunakan : a. Diagram panah

b. Grafik pada bidang Cartesius

Contoh :

Relasi dari himpunan A : {1,2,3,4} ke himpunan B : {0,1,2,3,4} ditentukan oleh f : {(1,0), (2,1), (3,2), (4,3)} dapat dituliskan rumus fungsi f : {(x,y) | y = x-1, x  A, y  B}.

Fungsi f disajikan dalam diagram panah sebagai berikut :

(3)

Fungsi f dapat digambarkan grafik pada bidang kartesius :

Fungsi atau Pemetaan

Relasi dari himpunan A ke himpunan B disebut fungsi atau pemetaan, jika dan hanya jika tiap unsur dalam himpunan A berpasangan tepat hanya dengan sebuah unsur dalam himpunan B. f adalah suatu fungsi dari himpunan A ke himpunan B, maka fungsi f dilambangkan dengan f : A  B

jika x A dan y  B, sehingga (x,y)  f, maka y disebut peta atau bayangan dari x oleh fungsi f dinyatakan dengan lambang y : f (x)

(ditunjukkan dalam gambar disamping)

y = f (x) : rumus untuk fungsi f x disebut variabel bebas

y disebut variabel tak bebas Contoh :

Diketahi f : A  B dan dinyatakan oleh rumus f (x) = 2x – 1. Jika daerah asal A ditetapkan A : {x | 0  x  4. x  R} a. Tentukan f (0), f (1), f (2), f (3) dan f (4).

b. Gambarkan grafik fungsi y : f (x) = 2x – 1 dalam bidang kartesius. c. Tentukan daerah hasil dari fungsi f.

(4)

b. Grafik fungsi y : f (x) = 2x – 1

y = f (x) = 2x – 1

Daerah asal

c. Daerah hasil fungsi f  Rf = {y | -1  y  7, y  R}

Jika daerah asal dari suatu fungsi f tidak atau belum ditentukan, maka dapat diambil daerah asalnya himpunan dari semua bilangan real yang mungkin, sehingga daerah hasilnya merupakan bilangan real. Daerah asal yang ditentukan dengan cara seperti itu disebut daerah asal alami (natural domain).

Contoh :

Tentukan daerah asal dari fungsi berikut :

1. f (x) = 4

x+1 Jawab :

f (x) = 4

x+1 _{, supaya f (x) bernilai real maka x + 1}__{0 atau x}__-1 Jadi Df : {x | x  R, dan x  -1}

2. g (x) =

√

4 −x

2 Jawab :

g (x) =

√

4 −x

2 , supaya g (x) bernilai real maka : 4 – x2_₀

x2_{– 4}_₀

(5)

1. Barisan Geometri

Perhatikan barisan bilangan berikut.

• 2, 4, 8, 16,… • 81, 27, 9, 3,…

Pada kedua barisan tersebut, dapatkah Anda menentukan pola yang dimiliki oleh masing-masing barisan? Tentu saja pola yang didapat akan berbeda dengan pola yang Anda dapat ketika mempelajari barisan aritmetika. Selanjutnya, cobalah Anda bandingkan antara setiap dua suku yang berurutan pada masing-masing barisan tersebut. Apa yang Anda peroleh? Ketika Anda membandingkan setiap dua suku yang berurutan pada barisan tersebut, Anda akan mendapatkan perbandingan yang sama. Untuk barisan yang pertama, diperoleh perbandingan sebagai berikut.

4/2=2, 8/4=2, 16/8=2,….

Bilangan 2 disebut sebagai rasio dari barisan yang dilambangkan dengan r. Barisan yang memiliki rasio seperti ini dinamakan barisan geometri.

Definisi Barisan Geometri

Misalkan suatu barisan bilangan. Barisan bilangan tersebut dikatakan sebagai barisan geometri apabila memenuhi = = .. = = r, dengan r = rasio atau pembanding. Jika diketahui suatu barisan geometri , dan dimisalkan dengan rasionya r maka Anda dapat menuliskan:

. . .

Rumus Suku ke–n Barisan Geometri

Misalkan terdapat suatu barisan geometri maka rumus umum suku ke-n dengan suku pertamanya a dan rasionya r adalah

2. Deret Geometri

Secara umum, dari suatu barisan geometri dengan dan rasio r, Anda dapat memperoleh bentuk umum deret geometri, yaitu =

. Seperti pada deret aritmetika, jika Anda menjumlahkan barisan geometri maka Anda akan memperoleh deret geometri. Jika menyatakan jumlah n suku pertama dari suatu deret geometri maka Anda peroleh

…(1)

Untuk mendapatkan rumus jumlah n suku pertama deret geometri, kalikanlah persamaan (1) dengan r, diperoleh

…(2)

(6)

Sehingga :

Definisi Deret Geometri

Misalkan adalah barisan geometri maka pemjumlahan adalah deret geometri.

Definisi

Suku ke-n suatu barisan geometri adalah Un. Contoh :

langkah pertama tentukan nilai r. = 3k / k = 3

Selanjutnya, tentukan nilai k. =

3 =

9k = 8k + 4 k = 4

Oleh karena = k maka = 4, dengan demikian,

Rumus Jumlah n Suku Pertama dari Deret Geometri

Misalkan merupakan deret geometri, dengan suku pertama adan rasio r, maka jumlah n suku pertama ( ) dari deret tersebut adalah atau

Contoh :

Diketahui deret 4 + 12 + 36 + 108 … Tentukan:

a. rumus jumlah n suku pertama, b. jumlah 7 suku pertamanya Jawab:

4 + 12 + 36 + 108 …

(7)

Jadi, rumus umum jumlah n suku pertama deret tersebut adalah

Jumlah 7 suku pertama

= 2(2187 – 1) = 4372