Matematika SMA Jilid 2

(1)

Perbandingan triogonometri sudut-sudut di semua kuadran

Dalam pasal 5-2-1 telah di bahas perbandingan-perbandingan trigonometri suatu sudut pada sebuah segitiga siku-siku. Ini berarti bahwa sudut-sudut yang terlibat di dalamnya merupakan sudut-sudut yang lancip(yaitu sudut-sudut yang besarnya kurang dari 90°). Dalam pasal ini akan di pelajari perbandingan-perbandingan trigonometri untuk sudut-sudut yang terletak di semua kuadran, yaitu sudut-sudut yang besarnya antara 0° sampai dengan 360°. Sudut-sudut ini dikelompokkan menjadi empat wilayah atau kuadra di dasarkan pada besarnya sudut, yaitu : [1] Sudut-sudut yang terletak di kuadran I, yaitu sudut-sudut yang besarnya 0° sampai 90° atau 0° < α₁° < 90°.

[2] Sudut-sudut yang terletak di kuadran II, yaitu sudut-sudut yang besarnya antara 90° sampai 180° atau 90° < α₂° < 180°.

[3] Sudut-sudut yang yrtletak di kuadran III, yaitu sudut-sudut yang besarnya antara 180° sampai 270° atau 180° < α₃° < 270°.

[4] Sudut-sudut yang terletak di kuadran IV, yaitu sudut-sudut yang besarnya antara 270° sampai 360° atau 270° < α₄° < 360°.

Berdasarkan uraian di atas , maka definisi perbandingan trigonometri yang terdahulu (definisi 5-6) perlu didefinisika kembali (redefinition) supaya dapat digunakan untuk menentukan perbandingan trigonometri sudut-sudut di semua kuadran. Dalam pendefinisian kembali ini, sudut pandang pembahasan diubah dari yang semula pembahasan geometri pada bidang datar (segitiga siku-siku) menjadi pembahasan geometri analitis pada bidang Cartesius (system koordinat Cartesius).

(2)

[image:2.595.185.439.191.350.2]

Cara lain untuk menyajikan tanda-tanda perbandingan trigonometri sudut-sudut di berbagai kuadran adalah dengan menggunakan tabel. Perhatikan Tabel 5-2 berikut ini.

Tabel 5-2 Tanda-Tanda Perbandingan Trigonometri Perbandingan

Trigonometri

Sudut-sudut di Kuadran

I II III IV

sin + + -

-Cos + - - +

Tan + - +

-Cot + - +

-Sec + - - +

Cosec + + -

-Catatan : Tanda + (Positif) dan tanda – (negatif)

Agar lebih memahami dan terampil dalam menentukan nilai-nilai perbandingan trigonometri sudut-sudut di semua kuadran, simaklah beberapa contoh berikut.

CONTOH 19:

Pada Gambar 5-31 di samping ini, koordinat titik P(3, 4). a) Hitunglah panjang r atau OP.

b) Jika besar XOP=__{, hitunglah sin}__{, cos}__{, tan}__{, sec}__{, dan cosec} 

 . JAWAB:

a) a) _r __OP _ _x2__y2 _ 32_42 _5

b) sin _₌

r y

= 5 4

= 0,8 cot _₌ y x

= 4 3

= 0.75 cos _₌

r x

= 5 3

= 0,6 sec _₌

x r

= 3 5

tan _₌

x y

= 3 5

= cosec _₌

y r

= 4 5

(3)

CONTOH 20 :

Pada Gambar 5-32 berikut ini, koordinat titik Q (-12, 5). a) Hitunglah panjang r atau OQ.

b) Jika besar  XOQ = __{, hitunglah sin}__{, cos}__{, tan}__{, cot}__{, sec}_

, dan cosec __.

JAWAB:

a) _r __OQ_ _x2__y2 _ (_12)2_(5)2 _13

b) sin _₌ r y

= 13

5

cot _₌

y x

= 5

12 

= -2,4 cos _₌

r x

= 13

12 

= – 13 12

sec _₌ x r

= 12 13

 = –12 13

tan _₌ x y

= 12 5

 = –12 5

cosec _₌

y x

= 4 5

= 2,6

CONTOH 21:

Di antara tiap perbandingan trigonometri berikut ini, manakah yang bertanda positif dan manakah yang bertanda negatif?

a) sin 105° e) tan 98° i) sec 144°

b) sin 330° f) tan 281° j) sec 195°

c) cos 72° g) cot 87° k) cosec 312°

(4)

JAWAB:

a) sin 105° bertanda positif, sebab 105° sudut di kuadran II. b) sin 330° bertanda negatif, sebab 330° sudut di kuadran IV. c) cos 72° bertanda positif, sebab 72° sudut di kuadran I. d) cos 236° bertanda negatif, sebab 236° sudut di kuadran III. e) tan 98° bertanda negatif, sebab 98° sudut di kuadran II. f) tan 28l° bertanda negatif, sebab 281° sudut di kuadran IV. g) cot 87° bertanda positif, sebab 87° sudut di kuadran 1. h) cot 269° bertanda positif, sebab 269° sudut di kuadran III. i) sec 144° bertanda negatif, sebab 144° sudut di kuadran II. j) sec 195° bertanda negatif, sebab 195° sudut di kuadran III. k) cosec 312° bertanda negatif, sebab 312° sudut di kuadran IV. l) cosec 80° bertanda positif, sebab 80° sudut di kuadran I.

Sebagai latihan, hitunglah nilai-nilai perbandingan trigonometri pada Contoh 21 tersebut dengan menggunakan kalkulator. Kemudian bandingkan tanda-tanda yang diperoleh dari hasil perhitungan dengan menggunakan kalkulator itu dengan tanda-tanda pada jawaban di atas. Apa yang dapat Anda simpulkan ?

Menentukan Nilai Perbandingan Trigonometri yang Lain Jika Salah Satunya Diketahui.

(5)

CONTOH 22:,

Diketahui tan _₌ ,_ 12

5

 _{sudut di kuadran IV. Hitunglah:}

a) sin _ _{d) sec}_

b) cos _ _{e) cosec}_

c) cot _

JAWAB:

Berdasarkan data pada soal, sudut __{dapat digambar seperti pada Gambar 5-33.} tan _₌

12 5   x y

, maka y = –5 dan x = 12

13 ) 5 ( ) 12

( 2 2

2 2     

 x y

r

Dari Gambar 5-33, diperoleh: a) sin _

13 5    r y

b) cos _

13 12    r x

c) cot _

5 12    y x

d) sec _

12 13    x r

e) cosec _

5 13    r y CONTOH 23:

Diketahui cos _₌ 3 1

hitunglah : a) sin _

b) tan _ JAWAB:

cos __{bernilai positif, maka}__{terletak di kuadran I atau kuadran IV.} cos _₌

3 1

=

r x

(6)

Y2 ₌_r2_–_x2 _{= (3)}2 _{– (1)}2 _{= 8}

 y = ± 8 = ±2 2

Kemungkinan kedudukan sudut __{diperlihatkan pada Gambar 5-34 di samping.}

Untuk __{di kuadran I (Gambar 5-34a), diperoleh:}

a) sin _ ₂

2 3 3

2 2

 

 r y

b) tan _ ₂ ₂

1 2 2

 

 x y

Untuk __{di kuadran IV (Gambar 5-34b), diperoleh :}

a) sin _ ₂

2 3 3

2 2

  

 

r y

b) tan _₌

x y

2 2 1

2 2

  



PERBANDINGAN TRIGONOMETRI SUDUT-SUDUT DI SEMUA KUADRAN

LATIHAN Uji KOMPETENSI 7

1. Pada Gambar 5-35a, koordinat titik P(-3, 4). a) Hitunglah panjang r atau OP.

b) Jika besar XOP = __{, hitunglah sin}__{, cos}__{, tan}__{, cot}__{, sec} 

(7)

2. Pada Gambar 5-35b, koordinat titik Q(–l, –2). a) Hitunglah panjang r atau OQ.

b) Jika besar  XOP = __{, hitunglah sin}__{, cos}__{, tan}__{, cot}__{, sec} 

 , dan cosec __.

Untuk memahami bagaimana pendefinisian ulang (redefinition) perbandingan trigonometri berdasarkan sudut pandang geometri analitis, simaklah deskripsi berikut ini. Pada Gambar 5-28 ditampilkan sebuah sistem koordinat Cartesius. Ruas garis OA dapat diputar atau dirotasi terhadap titik asal O, sehingga besar  XOA dapat berubah dari 0° sampai dengan 360°. Untuk  XOA = __, maka ruas garis OA berada pada posisi tertentu. Dengan demikian, pada ruas garis

OA dapat ditempatkan sebarang titik P dengan koordinat (x, y). Absis x, Kordinat

y, dan jarak r = OP memenuhi hubungan yang berlaku dalam Teorema Pythagoras, yaitu

r = _x2__y2

Oleh karena r menyatakan jarak dari titik 0 ke titik P maka tanda dari r selalu positif (r > 0) Berdasarkan Gambar 5-28, perbandingan-perbandingan trigonometri dapat didefinisikan kembali dengan menggunakan variabel-variabel absis x, ordinat y, dan jarak r sebagai berikut.

Definisi: Perbandingan Trigonometri Berdasar Tinjauan Geometri Analitis

a)  _ry

jarak ordinat sin_

b)  _rx

jarak absis cos_

c)

x y

 

absis ordinat tan_

d)  _yx

ordinat absis cot_

e)

x r

 

absis jarak sec_

f) ...(5 9)

ordinat jarak

cosec   

y r



(8)

Dengan pendefinisian ulang perbandingan trigonometri dari tinjauan geometri analitis tersebut, maka nilai perbandingan trigonometri sudut-sudut di semua kuadran dapat ditentukan. Hal ini dapat dilakukan dengan cara memutar ruas garis OA sehingga XOA = __{terletak di kuadran I, di kuadran 11, di} kuadran III, atau di kuadran IV, seperti diperlihatkan pada Gambar 5-29 pada halaman 33.

Tanda-Tanda Perbandingan Trigonometri Sudut-Sudut di Semua Kuadran Berdasarkan definisi 5-9 dan mengingat bahwa jarak r = OP selalu positif, maka tanda-tanda (positif atau negatit) nilai perbandingan trigonometri ditentukan oleh tanda-tanda dari absis x dan ordinat y. Hal ini berarti bahwa tanda-tanda itu ditentukan oleh letak dari sudut _, apakah di kuadran I, di kuadran II, di kuadran III, ataukah di kuadran IV. Untuk mengkaji tanda-tanda perbandingan trigonometri sudut-sudut di semua kuadran, simaklah analisis berikut ini.

1. Untuk 

1

 di kuadran I (gambar 5-29a), absis x positif dan ordinat y positif

r y





1

sin _(Positif)

y x 



1

cot _(Positif)

r x





1

cos _(Positif)

x r





1

sec (positif)

x y



 1

tan (Positif) _cosec__yr

(positif) 2. Untuk 

2

 di kuadran II (gambar 5-29b), absis x positif dan ordinat y positif.

r y





2

sin (Positif)  _yx

2

cot _(negatif)

r x





2

cos (negatif)

x r





2

sec (negatif)

x y



 2

tan _(negatif)

y r 



2

cosec _(positif) 3. Untuk 

3

 _{di kuadran I (gambar 5-29c), absis}_x_{positif dan ordinat}_y_positif

r y





3

sin _(negatif)

y x 



3

cot _(Positif)

r x





3

cos (negatif)

x r





3

(9)

x y





3

tan _(Positif)

y r 



3

cosec _(negatif) 4. Untuk 

4

 di kuadran I (gambar 5-29c), absis x positif dan ordinat y positif

r y





4

sin _(negatif)

y x 



4

cot _(negatif)

r x





4

cos _(Positif)

x r





4

sec (positif)

x y





4

tan (negatif) _yr

4

cosec _(negatif)