Analisis Model Pandemik dan Prepandemik Avian Influenza pada Populasi Manusia

(1)

PANDI

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

(2)

ABSTRAK

PANDI. Analisis Model Pandemik dan Prepandemik Avian Influenza pada Populasi Manusia.

Dibimbing oleh PAIAN SIANTURI dan ALI KUSNANTO.

Flu burung merupakan penyakit yang diakibatkan virus influenza subtipe H5N1 yang

ditularkan melalui unggas atau manusia. Proses penularan flu burung pada populasi manusia dijelaskan pada model unggas, model prepandemik dan model pandemik. Model unggas

mempunyai dua titik tetap yaitu titik tetap unggas bebas penyakit yang bersifat saddle dan titik

tetap endemik yang bersifat stabil. Pada titik tetap endemik, flu burung menginfeksi unggas dan mampu menular pada manusia saat bilangan reproduksi bernilai lebih besar dari satu. Model prepandemik mempunyai dua titik tetap yaitu titik tetap flu burung dominan dan titik tetap flu manusia dominan. Titik tetap flu manusia dominan terjadi pada kondisi bilangan reproduksi flu manusia bernilai lebih besar dari satu. Pandemik flu manusia terjadi saat masing-masing rasio invasi flu manusia, invasi pandemik dan bilangan reproduksi flu manusia bernilai lebih besar dari satu. Pandemik flu burung terjadi saat masing-masing rasio invasi flu manusia, invasi pandemik bernilai kurang dari satu dan bilangan reproduksi flu burung bernilai lebih besar dari satu.

(3)

PANDI. Model Analysis of Pandemic and Prepandemic Avian Influenza in the Human

Population. Supervised by PAIAN SIANTURI and ALI KUSNANTO.

Avian influenza is a viral disease caused by a virus within the subtype of H5N1 in which its transmission caused by birds or human. In human population, transmission process of avian influenza is discussed in the model called: bird model, prepandemic model and pandemic model. The bird model has two equlibrium points. These are saddle disease free equilibrium and stable endemic equilibrium. The endemic equlibrium occurred when the reproduction number of avian influenza is greater than one. In the endemic equilibrium, avian influenza may infect both bird and human. The prepandemic model has two equilibrium points. These are avian influenza dominant equilibrium and human influenza dominant equilibrium. The human influenza dominant equilibrium occurred when the reproduction number of human influenza is greater than one. The pandemic model has one pandemic equlibrium. The human influenza pandemic occurred when the ratio of human influenza invasion, pandemic invasion and the reproduction number of human influenza is greater than one, respectively. The avian influenza pandemic occurred when the ratio of human influenza invasion, pandemic invasion is less than one and the reproduction number of avian influenza greater than one, respectively.

(4)

ANALISIS MODEL PANDEMIK DAN PREPANDEMIK

AVIAN INFLUENZA PADA POPULASI MANUSIA

PANDI

Skripsi

Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar

Sarjana Sains pada

Departemen Matematika

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

(5)

NIM

: G54070073

Menyetujui

Tanggal Lulus:

Pembimbing I

Dr. Paian Sianturi

NIP. 196202121990111001

Pembimbing II

Drs. Ali Kusnanto, M. Si.

NIP. 196508201990031001

Mengetahui

Ketua Departemen Matematika

Dr. Berlian Setiawaty, MS. NIP. 19650505 198903 2 004

(6)

PRAKATA

Puji syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas berkat, rahmat dan kasih sayang-Nya sehingga penulis mampu menyelesaikan karya ilmiah ini. Berbagai kendala dialami oleh penulis sehingga banyak sekali orang yang membantu dan berkontribusi dalam pembuatan karya ilmiah ini. Oleh karena itu, dalam kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih kepada:

1. Keluarga tercinta: Nanang Safrudin, Tihanah dan Ramanti Hutama selaku kedua orang

tua dan kakak yang selalu menasehati, mendoakan dan memotivasiku menjadi lebih baik.

2. Dr. Paian Sianturi selaku dosen pembimbing I yang telah meluangkan waktu dan pikiran

dalam membimbing, memberi motivasi, semangat dan doa,

3. Drs. Ali Kusnanto, M. Si selaku dosen pembimbing II yang telah memberikan ilmu, kritik

dan saran, motivasi serta doanya,

4. Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, MS selaku dosen penguji yang telah memberikan ilmu, saran

dan doanya,

5. Semua dosen Departemen Matematika, terima kasih atas semua ilmu yang telah

diberikan,

6. Staf Departemen Matematika: Bapak Yono, Ibu Susi, Ibu Ade, Alm. Bapak Bono, Mas

Deni, dan Mas Hery atas semangat dan doanya,

7. Teman-teman mahasiswa Matematika angkatan 44: Fani, Aswin, Eka, Ali, Lazuardi,

Imam, Aqil, Ihsan, Fajar, Rofi, Denda, Rizqy, Dian, Wahyu, Ruhiyat, Yogi, Lugina, Sholih, Rochim, Hendro, Saeful, Tendy, Yanti, Ririh, Indin, Devi, Wenti, Yuyun, Devina, Lilis, Sri, Rachma, Mutia, Lembayung, Della, Tyas, Nurisma, Dora, Ucu, dan teman-teman yang lainnya.

8. Teman-teman yang membantu dalam penyusunan karya tulis ini yaitu Mutyarini, Izzudin,

Irwan, Bram, Chastro, Mega, Dane, Romanto dan teman-teman lainnya.

9. Semua pihak yang telah membantu dalam penyusunan karya ilmiah ini.

Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat bagi dunia ilmu pengetahuan khususnya bidang matematika dan menjadi inspirasi bagi penelitian selanjutnya.

Bogor, Januari 2013

(7)

dan Ibu Tihanah. Penulis merupakan putra kedua dari dua bersaudara, tahun 2001 penulis lulus dari SD Negeri 09 Lubang Buaya, tahun 2004 penulis lulus dari SMP Negeri 81 Lubang Buaya Jakarta Timur, tahun 2007 penulis lulus dari SMA Negeri 48 Pinang Ranti Jakarta Timur. Penulis diterima sebagai mahasiswa Institut Pertanian Bogor pada tahun 2007 melalui jalur Seleksi Penerimaan Mahasiswa Baru (SPMB) IPB. Selama masa Tingkat Persiapan Bersama (TPB) penulis mendapatkan juara 1 futsal dalam acara TPB CUP.

Selama mengikuti perkuliahan, penulis menjadi pengajar privat mata kuliah Pengantar Matematika dan Kalkulus tahun akademik 2010-2012. Penulis aktif dalam organisasi kemahasiswaan di kampus, seperti organisasi himpunan profesi Departemen Matematika yang dikenal dengan GUMATIKA (Gugus MahasiswaMatematika) sebagai Staf Divisi Sosial dan

Komunikasi (Coffilatae) tahun 2008-2009 dan pada tahun 20011-2012 menjadi panitia Olimpiade

(8)

(9)

(10)

(11)

1

DAFTAR TABEL………... ix

DAFTAR GAMBAR……..……… ix

DAFTAR LAMPIRAN….………. x

I PENDAHULUAN…...………. 1

1.1 Latar Belakang……..………...……….. 1

1.2 Tujuan…....……….……… 1

1.3 Sistematika Penulisan……...………...………... 1

II LANDASAN TEORI…...……… 2

2.1 Sistem Persamaan Diferensial……… 2

2.2 Titik Tetap…...………... 2

2.3 Pelinearan………... 2

2.4 Vektor Eigen dan Nilai Eigen……… 2

2.5 Analisis Kestabilan Titik Tetap…….………. 2

2.6 Klasifikasi Titik Tetap……… 3

III PEMODELAN…..………... 4

3.1 Model Unggas……….... 4

3.2 Model Prepandemik……..………. 4

3.3 Model Pandemik………. 6

IV PEMBAHASAN…..……… 8

4.1 Analisis Model Unggas………...……….………...…………... 8

4.2 Analisis Model Prepandemik…..………...…… 9

4.3 Analisis Model Pandemik………... 10

V SIMULASI………...………. 12

5.1 Simulasi Model Unggas...………...……… 12

5.1.1 Parameter Model Unggas ………..………...… 12

5.1.2 Dinamika Populasi Model Unggas ...………...………. 12

5.2 Simulasi Model Prepandemik………..…………... 13

5.2.1 Parameter Model Prepandemik………...……….…. 13

5.2.2 Dinamika Populasi Model Prepandemik……… 13

5.3 Simulasi Model Pandemik………..……… 15

5.3.1 Parameter Model Pandemik………...………...……… 15

5.3.2 Dinamika Populasi Model Pandemik………...………... 15

VI SIMPULAN …..………... 18

DAFTAR PUSTAKA….………... 18

LAMPIRAN …..………. 19

(12)

2

DAFTAR TABEL

Halaman

1 Daftar parameter dan variabel bebas model unggas... 4

2 Daftar parameter dan variabel bebas model prepandemik... 4

3 Daftar parameter dan variabel bebas model pandemik……….... 6

4 Daftar reproduksi dan invasi model prepandemik dan model unggas………. 10

5 Daftar reproduksi dan invasi model pandemik………... 11

6 Daftar nilai parameter………..………. 12

DAFTAR GAMBAR

Halaman 1 Diagram model unggas………...………..………..….. 4

2 Diagram model prepandemik………...… 4

3 Diagram model pandemik……… 6

4 Dinamika populasi unggas rentan………….. ……… 12

5 Dinamika populasi unggas terinfeksi flu burung ... 13

6 Dinamika populasi manusia rentan……….……….…… 14

7 Dinamika populasi manusia terinfeksi flu manusia………….……….……….…... 14

8 Dinamika populasi manusia sembuh dari flu manusia………….……….…... 15

9 Dinamika populasi manusia terinfeksi flu burung ... 15

10 Dinamika populasi manusia rentan ……….………..……….. 16

11 Dinamika populasi manusia terinfeksi flu manusia ………..…………...….... 16

12 Dinamika populasi manusia sembuh dari flu manusia ... 17

13 Dinamika populasi manusia terinfeksi flu burung ... 17

14 Dinamika populasi manusia terinfeksi flu burung dan flu manusia bersamaan... 17

15 Dinamika populasi manusia terinfeksi pandemik flu burung... 17

(13)

3

1 Titik tetap model unggas ………... 20

2 _{Matriks Jacobi model unggas dengan} _{... 20}

3 Nilai eigen dari …...……….……..…... 20

4 _{Jenis titik tetap untuk titik tetap} _………... 21 5 _{Matriks Jacobi model unggas,} ... 24

6 Nilai eigen ………...……….…………... 24

7 Titik tetap model unggas dengan nilai parameter Tabel 6………...…..……… 24

8 Nilai eigen model unggas untuk titik tetap ………...… 25

9 Nilai eigen model unggas titik tetap ……….……. 25

10 Titik tetap model prepandemik ……….……… 25

11 Matriks Jacobi model prepandemik………...……… 26

12 Matriks Jacobi model prepandemik titik tetap ... 26 13 Matriks Jacobi model prepandemik untuk titik tetap kedua……….. 26

14 Nilai eigen dari dari ………....…….……... 27

15 Jenis titik tetap untuk titk tetap ……….... 27

16 Titik tetap model prepandemik dengan parameter Tabel 6………..……….. 30

17 Nilai eigen dari ……….………… 31

18 Nilai eigen dari ……….……….. 32

19 Titik tetap model pandemik dengan parameter Tabel 6.………....…………..….. 33

20 Matriks Jacobi model pandemik……… 33

21 Nilai eigen dari dengan , ,

, , , …………...

34

22 Nilai eigen dengan , , , ,

, ……….………

34

(14)

4

23 Nilai eigen dengan , , ,

, , ……….…...

35

24 Nilai eigen dengan , , ,

, , ………..

35

25 Bilangan reproduksi flu burung dengan nilai paramater Tabel 6……..……….… 36

26 Bilangan reproduksi flu manusia dengan nilai paramater Tabel 6…………...……… 36

27 Bilangan reproduksi invasi flu manusia dengan nilai paramater Tabel 6……....…….. 36

28 Bilangan reproduksi pandemik dengan nilai paramater Tabel 6…….………..…..…... 36

29 Bilangan reproduksi invasi pandemik dengan nilai paramater Tabel 6... 37

30 Bilangan reproduksi invasi pandemik pada populasi manusia ……….……… 37

31 Banyaknya individu terinfeksi flu manusia saat terjadi pandemik flu burung ……… 37

32 Banyaknya manusia rentan flu manusia………...……….. 37

33 Banyaknya manusia terinfeksi flu manusia……...……….……… 37

34 Banyaknya manusia sembuh dari flu manusia…………...………. 38

35 Total populasi unggas ……..……….……… 38

36 Laju populasi total unggas... 38

37 Total populasi manusia……….………. 38

38 Laju populasi total manusia………. 38

39 Banyaknya unggas rentan flu burung……….…………. 38

40 Banyaknya unggas terinfeksi flu burung……… 39

41 Banyaknya manusia rentan flu burung……… 39

42 Banyaknya manusia terinfeksi flu burung……….……….………….. 39

43 Total populasi manusia saat flu burung dominan... 39

44 Dinamika populasi model unggas ………..……...……… 40

45 Dinamika populasi model prepandemik ………..………..………… 41

46 Dinamika populasi model pandemik …………...……..………..……. 43

(15)

I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Pada tahun 2003 beberapa negara di dunia dirugikan dengan kematian hampir 10 juta unggas yang dimusnahkan karena penyakit

avian influenza. Avian influenza atau yang

lebih dikenal flu burung menyerang unggas

liar (wild birds) dan unggas ternak (domestic

birds) dan mampu menular pada manusia.

Penyakit ini telah menginfeksi lebih dari 500 orang dan hampir 60% yang terinfeksi

meninggal. (Alexander dan Capua 2007)

Flu burung adalah penyakit yang

diakibatkan virus influenza A subtitipe H5N1

yang ditularkan oleh hewan (zoonotic) yaitu

burung. Virus H5N1 mempunyai rumus kimia hampir sama dengan penyakit flu manusia H1N1. Virus flu burung awalnya hanya menular pada populasi unggas seperti virus flu manusia yang menular pada populasi manusia. Interaksi virus flu burung dan flu manusia

membuat virus flu burung mampu

menginfeksi manusia hingga meninggal. Korban manusia meninggal yang meningkat akibat flu burung membuat potensi terjadinya

pandemik flu burung semakin besar.

Pandemik flu burung dapat menyebabkan kematian dalam jumlah besar tidak hanya unggas namun juga manusia. Kemunculan pandemik flu burung pada populasi manusia dilihat berdasarkan jumlah invasi flu burung dari tahun ke tahun. Reproduksi invasi yang terjadi mendorong para ilmuwan melakukan prediksi jumlah kasus flu burung untuk melihat kemungkinan terjadinya pandemik flu burung pada manusia.

Studi tentang pandemik flu burung diwujudkan dalam sebuah model matematika yang memodelkan proses transmisi virus dari unggas ternak menuju manusia dan transmisi manusia ke manusia. Hasil prediksi model dapat digunakan untuk melihat pertumbuhan virus flu burung setiap tahun dengan melihat jumlah unggas yang mati. Data demografi dan data epidemik burung dan manusia menjadi

parameter dari model ini. Persamaan

differensial digunakan sebagai alat untuk mempelajari transmisi flu burung yang menularkan unggas dan manusia untuk menjelaskan dinamika populasi virus secara tahunan.

Unggas yang rentan flu burung adalah

unggas liar yang hidup di alam bebas (wild

birds) dengan sifat transmisi lemah (Low

Pathogen Avian Influenza/LPAI). Unggas

ternak (domestic birds) dan manusia juga

rentan terhadap flu burung dengan transmisi

bersifat kuat (High Pathogen Avian

Influenza/HPAI). Dalam tugas akhir ini

pertumbuhan virus flu burung yang dibahas dibatasi pada interaksi yang terjadi dalam

populasi unggas ternak (domestic birds) dan

populasi manusia.

Pada tugas akhir ini akan dianalisis kemungkinan terjadinya pandemik flu burung atau flu manusia dalam populasi manusia. Model yang dipakai dibagi dalam tiga model yaitu model unggas, model prepandemik dan model pandemik. Model unggas memodelkan jumlah unggas yang sehat dan unggas yang terinfeksi flu burung. Model prepandemik memodelkan pergerakan virus flu burung menginfeksi populasi manusia. Pada model

prepandemik dibahas juga keterkaitan

pandemik flu manusia terhadap kemungkinan pandemik flu burung. Model pandemik

memodelkan kemungkinan munculnya

pandemik flu burung atau pandemik flu manusia.

1.2 Tujuan

Tujuan dari penulisan karya ilmiah ini adalah untuk menganalisis kemungkinan

munculnya pandemik flu burung atau

pandemik flu manusia dalam populasi manusia

1.3 Sistematika Penulisan

Pada bab pertama dijelaskan latar

(16)

2

II LANDASAN TEORI

2.1 Sistem Persamaan Diferensial

Suatu sistem persamaan diferensial orde 1 dinyatakan sebagai berikut.

(2.1)

dengan dan adalah fungsi dari

waktu t. Jika adalah suatu fungsi matriks

A berukuran n n dengan koefisien konstan

dan dinyatakan sebagai vektor konstan b

maka akan diperoleh bentuk-bentuk sistem persamaan diferensial linear sebagai berikut

, x(0)=x0 (2.2)

(Farlow 1994)

2.2 Titik Tetap

Misalkan diberikan persamaan diferensial sebagai berikut.

(2.3)

Titik disebut titik tetap jika memenuhi

. Titik tetap disebut juga titik kritis atau titik keseimbangan.

(Tu 1994)

2.3 Pelinearan

Diketahui

(2.4)

andaikan adalah titik tetap dari

Misalkan, dan , maka

didapatkan

dalam bentuk matriks

.

Matriks disebut matriks

Jacobi pada titik tetap . Karena

, maka dapat diabaikan, sehingga didapatkan persamaan linear

(2.5)

(Strogatz 1994)

2.4 Vektor Eigen dan Nilai Eigen

Misalkan A matriks berukuran n n, maka

suatu vektor tak nol di Rn disebut vektor eigen

dari A jika suatu skalar λberlaku

Ax = λx. (2.6)

Vektor x disebut vektor eigen yang

bersesuaian dengan nilai eigen λ. Untuk

mencari nilai eigen dari matriks yang

berukuran n n maka persamaan (2.6) dapat

dituliskan kembali sebagai berikut

(A –λI) x = 0 (2.7)

dengan I adalah matriks identitas. Persamaan

(2.7) mempunyai solusi tak nol jika dan hanya jika

det (A –λI) = |A –λI| = 0 (2.8)

Persamaan (2.8) disebut persamaan

karakteristikdari matriks A.

(Anton 1995)

2.5 Analisis Kestabilan Titik Tetap

Misalkan suatu SPD memiliki bentuk seperti

(2.9)

(17)

Matriks koefisien dari (2.9) adalah

dengan persamaan karakteristik det (A –λI) =

0, Iadalah matriks identitas dan adalah nilai

eigen, maka persamaan karakteristiknya menjadi

sehingga dperoleh persamaan

 

2



  

0

dengan:

.

sehingga diperoleh nilai eigen dari matriks A

yaitu

2 1,2

4 2

 

     (2.10)

2.6 Klasifikasi Titik Tetap

Persamaan karakterisitk

 

2



  

0

dapat diubah dalam bentuk

didapat ,

 Untuk Δ < 0,

Kedua nilai eigen mempunyai akar real yang berbeda tanda, maka titik tetap

bersifat titik pelana (saddle point).

 Untuk Δ > 0,

nilai eigen berupa bilangan real dengan tanda yang sama maka titik tetapnya

berupa nodes atau bilangan kompleks

conjugate titik tetapnya berupa spiral atau

center.

 titik tetapnya berupa

nodes

o Jika τ > 0_{maka titik tetap bersifat}

simpul tidak stabil.

o Jika τ < 0 maka titik tetap _bersifat

simpul stabil.

 , titik tetapnya berupa

spiral

o Jika τ > 0 maka titik tetap _bersifat

spiral tidak stabil.

o Jika τ < 0 maka titik tetap _bersifat

spiral stabil.

o Jika τ = 0 maka titik tetap _bersifat

center.



persamaan adalah garis

batas antara simpul dengan spiral. Jika kedua nilai eigen bernilai negatif maka titik tetap tersebut bersifat simpul sejati.

 Untuk Δ = 0

setidaknya ada satu nilai eigen bernilai nol maka titik tersebut disebut sebagai titik tetap tak terisolasi.

(18)

4

III PEMODELAN

Proses penularan flu burung pada burung dan berpandemiknya pada populasi manusia melibatkan tiga model. Tiga model tersebut adalah model unggas, model prepandemik dan model pandemik. Model unggas memodelkan jumlah unggas yang sehat dan unggas yang terinfeksi flu burung. Model prepandemik memodelkan pergerakan virus flu burung dan flu manusia menginfeksi populasi manusia. Model pandemik memodelkan kemungkinan

munculnya pandemik flu burung atau

pandemik flu manusia dalam populasi manusia. Model yang dibahas dalam bab ini berdasarkan jurnal dari Martcheva (2011).

3.1 Model Unggas

Y(t) B(t)

βb

Vb

Gambar 1 Diagram model unggas.

Tabel 1 Daftar parameter dan kompartemen model unggas

Parameter Arti

laju kelahiran dalam

populasi unggas

µb tingkat kematian alami

unggas

βb koefisien transmisi flu

burung pada unggas

vb tingkat kematian burung

akibat flu burung Nama

Kompartemen

Arti

banyaknya unggas rentan

banyaknya unggas

terinfeksi flu burung total populasi unggas

Laju perubahan jumlah unggas rentan

terinfeksi flu burung terhadap waktu t

dipengaruhi rata-rata kelahiran alami burung

dalam populasi dikurangi unggas yang

terinfeksi flu burung dengan koefisien

transmisi βb dan tingkat kematian burung mati

alami µb.

Laju perubahan jumlah unggas terinfeksi

flu burung terhadap waktu t dipengaruhi

banyaknya unggas terinfeksi flu burung

dikurangi tingkat kematian alami unggas dan

tingkat kematian akibat flu burung . Garis

terang/jelas tanda panah merupakan garis yang menyatakan transmisi/penularan.

Persamaan model unggas dijelaskan dalam persamaan (3.1)

(3.1)

Total populasi unggas adalah

(3.1.1)

Laju populasi total unggas dibawah didapat dari jumlah persamaan (3.1)

(3.1.2)

3.2 Model Prepandemik

Y(t) B(t)

I(t)

R(t) S(t)

Ib(t) _w

β

α βb

Vb

v βY

βY

Gambar 2 Diagram model prepandemik.

Tabel 2 Daftar parameter dan kompartemen model prepandemik

Parameter Arti

laju kelahiran dalam populasi manusia

µ tingkat kematian alami

manusia

β koefisien transmisi flu

manusia

βY koefisien transmisi flu burung

pada manusia

α lama masa penyembuhan

manusia terinfeksi flu

manusia

v tingkat kematian manusia

akibat flu burung

w proporsi berkurangnya

(19)

Nama Kompartemen

Arti

banyaknya manusia

rentan

banyaknya manusia

terinfeksi flu manusia

banyaknya manusia

sembuh dari flu manusia

banyaknya manusia

terinfeksi flu burung total populasi manusia

Unggas yang terinfeksi flu burung

berinteraksi dengan manusia sehingga

manusia terinfeksi flu burung. Flu burung

yang terdapat pada populasi manusia

membuat manusia juga rentan terhadap flu burung. Hal ini menggambarkan keterlibatan model unggas dalam model prepandemik. Pada Gambar 2 terdapat garis terang/jelas bertanda panah merupakan garis yang menyatakan transmisi/penularan. Garis putus-putus bertanda panah adalah garis yang

menyatakan pengaruh atau influence.

Jumlah manusia terinfeksi flu burung yang

ditularkan unggas disimbolkan Ib(t) dengan

nilai koefisien transmisi sebesar βY dan tingkat

kematian sebesar v. Manusia rentan terinfeksi

flu manusia sebesar I(t) dengan koefisien

transmisi sebesar β dan sembuh pada masa

penyembuhan sebesar α. Manusia yang

sembuh dari flu manusia yaitu R(t) dapat

terinfeksi flu burung yang ditularkan unggas

dengan koefisien transmisi sebesar βY dan

tingkat kematian sebesar v.

Model prepandemik terdapat pada

persamaan (3.2)

Laju perubahan jumlah manusia rentan

terhadap waktu t dipengaruhi oleh rata-rata

kelahiran manusia dalam populasi sebesar ditambah jumlah manusia rentan dikurangi jumlah manusia yang terinfeksi flu manusia dan manusia yang terinfeksi flu burung dikurangi banyaknya manusia yang mati

alami. Laju perubahan jumlah manusia

terinfeksi flu manusia dalam waktu t

dipengaruhi oleh banyak manusia rentan flu

manusia dikurangi total jumlah manusia terinfeksi flu manusia dan tingkat kematian alami manusia.

Laju perubahan manusia sembuh dari flu

manusia dalam waktu t dipengaruhi oleh

banyak manusia terinfeksi flu manusia dikurangi orang sembuh namun kembali terinfeksi flu burung dikurangi tingkat kematian alami manusia dan manusia rentan. Laju perubahan manusia terinfeksi flu burung

pada waktu t dipengaruhi oleh total jumlah

manusia terinfeksi flu burung dan manusia sembuh terinfeksi flu burung dikurangi tingkat kematian alami manusia dan tingkat kematian manusia terinfeksi flu burung.

Total populasi manusia dalam model prepandemik adalah

(3.2.1)

Laju populasi total manusia terdapat pada persamaan (3.2.2)

(20)

6

3.3 Model Pandemik

Y(t) B(t) I(t) Z(t) R(t) S(t)

Ib(t) _w

β

α βb

Vb

v βY

βY

βZ βZ

vZ

J(t)

βJ βJ

VJ

ρ

Gambar 3 Diagram model pandemik.

Daftar parameter dan kompartemen pada model pandemik sebagian telah dijelaskan pada Tabel 2.

Tabel 3 Daftar parameter dan kompartemen model pandemik

Parameter Arti

βJ koefisien transmisi

terinfeksi flu burung dan flu manusia secara bersamaan

ρ proporsi mutasi genetik flu

burung

vZ tingkat kematian manusia

akibat pandemik flu burung

βZ koefisien transmisi

pandemik flu burung

vJ tingkat kematian manusia

akibat terinfeksi flu burung dan flu manusia bersamaan Nama

Kompartemen

Arti

Z(t) banyaknya manusia

terinfeksi pandemik flu

burung

J(t) banyaknya manusia

terinfeksi flu burung dan flu manusia secara bersamaan

Model pandemik ditandai munculnya pandemik flu burung menyerang populasi manusia. Jumlah manusia terinfeksi pandemik

flu burung disimbolkan dengan Z(t).

Jumlah manusia yang terinfeksi flu manusia dan flu burung secara bersamaan disimbolkan

J(t) dengan koefisien transmisi sebesar βJ.

Tingkat kematian manusia yang terinfeksi flu

burung dan flu manusia bersamaan

disimbolkan dengan vj. Pada gambar 3 garis

terang/jelas bertanda panah merupakan garis yang menyatakan transmisi/penularan. Garis putus-putus bertanda panah adalah garis yang

menyatakan pengaruh atau influence. Manusia

yang rentan berpotensi terinfeksi pandemik flu burung. dengan koefisien transmisi pandemik

flu burung sebesar βZ dan tingkat kematian

akibat flu burung sebesar vZ..

Virus flu burung mengalami rata-rata

mutasi sebesar ρ sehingga dapat menularkan

sesama manusia. Gambar 3 menunjukkan manusia rentan, manusia yang baru sembuh dari flu manusia dan manusia terinfeksi flu burung menjadi objek paling rentan terinfeksi pandemik flu burung. Flu burung dan flu

manusia hidup berdampingan (coexist)

(21)

Model pandemik dijelaskan dalam persamaan (3.3)

Laju perubahan jumlah manusia rentan

terhadap waktu t dipengaruhi oleh rata-rata

kelahiran manusia ditambah jumlah manusia rentan dikurangi manusia yang terinfeksi flu manusia dikurangi manusia yang terinfeksi flu burung dikurangi manusia yang terinfeksi pandemik flu burung dan tingkat kematian alami. Laju perubahan jumlah manusia

terinfeksi flu manusia terhadap waktu t

dipengaruhi oleh banyaknya manusia rentan flu manusia dikurangi manusia yang terinfeksi flu manusia dan flu burung secara bersamaan dikurangi manusia terinfeksi flu manusia dan tingkat kematian alami.

Laju perubahan jumlah manusia yang

sembuh dari flu manusia terhadap waktu t

dipengaruhi oleh banyaknya manusia

terinfeksi flu manusia dikurangi manusia sembuh namun kembali terinfeksi flu burung dan pandemik flu burung dikurangi manusia rentan dan tingkat kematian manusia alami. Laju perubahan jumlah penderita flu burung

pada waktu t dipengaruhi oleh banyaknya

manusia yang terinfeksi flu burung dan manusia yang telah sembuh namun terinfeksi flu burung dikurangi tingkat kematian alami dan tingkat kematian akibat flu burung.

Laju perubahan jumlah manusia terinfeksi flu manusia dan flu burung secara bersamaan

terhadap waktu t dipengaruhi oleh banyaknya

manusia terinfeksi flu manusia dan flu burung secara bersamaan dikurangi tingkat kematian alami manusia dan kematian akibat terinfeksi keduanya dikurangi waktu tunda terinfeksinya kedua penyakit. Laju perubahan jumlah manusia yang terinfeksi pandemik flu burung

terhadap waktu t dipengaruhi oleh waktu

tunda yang diperlukan agar flu manusia dan flu burung menginfeksi manusia secara

bersamaan ditambah manusia terinfeksi

(22)

8

IV PEMBAHASAN

Analisis titik tetap, jenis titik tetap dan reproduksi virus pada setiap model akan dibahas dalam bab ini. Model unggas memodelkan jumlah populasi unggas yang sehat, unggas yang terinfeksi flu burung dan reproduksi flu burung pada populasi unggas. Model prepandemik memodelkan pergerakan virus flu burung dan flu manusia dalam

populasi manusia. Model ini juga

memodelkan reproduksi flu manusia dan

reproduksi invasi flu manusia. Model

pandemik memodelkan kemungkinan

munculnya pandemik flu burung atau flu manusia pada populasi manusia. Model

pandemik juga memodelkan reproduksi

pandemik, reproduksi invasi pandemik dan invasi pandemik flu manusia.

Invasi pandemik menghasilkan dua

kemungkinan pandemik yaitu pandemik flu burung dan pandemik flu manusia. Dua kemungkinan tersebut melibatkan invasi setiap model dengan kondisi tertentu.

4.1 Analisis Model Unggas

Analisis pada model ini mengacu pada persamaan (3.1). Reproduksi flu burung pada model ini terjadi saat flu burung menginfeksi populasi unggas namun belum menginfeksi manusia. Pada persamaan (3.1) terdapat dua persamaan. Dua persamaan tersebut dibuat sama dengan nol untuk mendapatkan titik

tetapnya. Berdasarkan persamaan (3.1)

didapatkan dua titik tetap secara

berturut-turut yaitu

(Lampiran 1). Titik tetap kedua biasa disebut titik tetap endemik.

Berdasarkan persamaan (3.1) dicari

matriks Jacobi, misalkan saja yaitu

(Lampiran 2). Matriks Jacobi titik tetap pertama adalah

. Nilai

eigen untuk titik tetap pertama adalah

dan (Lampiran 4).

Misalkan , untuk titik

tetap berupa saddle node jika nilai eigennya

real dan berbeda tanda.

Jika dan maka

 (Lampiran 4 bagian 4.1),

 (Lampiran 4 bagian

4.2).

Jika dan maka

4.4).

Untuk nilai eigennya real bertanda

sama titik tetapnya berupa nodes atau nilai

eigen berupa bilangan kompleks titik tetapnya berupa spiral. Nilai eigen persamaan (3.1) real tidak kompleks sehingga jenis titik tetapnya

bukan spiral. Titik tetap berupa nodes jika

dan maka

4.6).

Jika dan maka

4.8).

Jika nodes stabil maka

(Lampiran 4 bagian 4.9).

Jika nodes tidak stabil maka

Matriks Jacobi titik tetap kedua adalah

Nilai eigen dari titik tetap kedua, terdapat pada Lampiran 6. Identifikasi jenis titik tetap untuk titik tetap kedua tidak dapat dilakukan karena nilai eigen yang rumit sehingga identifikasi hanya dapat dikenali dengan memasukkan nilai parameter. Reproduksi flu burung terdapat dalam persamaan (4.1) berikut.

(4.1)

Pada reproduksi jumlah flu burung nilai

merupakan koefisien transmisi unggas

terinfeksi flu burung dalam satu unit waktu.

Persamaan merupakan lamanya flu

burung menginfeksi seekor unggas sampai

timbul gejala. merupakan jumlah populasi

(23)

Jumlah unggas rentan dan unggas terinfeksi flu burung secara berturut-turut terdapat dalam persamaan (4.2) berikut.

(4.2)

dan biasa disebut titik tetap endemik flu

burung.

4.2 Analisis Model Prepandemik

Pada model ini terdapat reproduksi flu manusia dan invasi flu manusia. Reproduksi flu manusia terdapat pada persamaan (4.3) berikut.

(4.3)

(Martcheva 2011)

Pada jumlah reproduksi flu manusia nilai β

merupakan nilai koefisien transmisi flu manusia dalam satu unit waktu. Persamaan merupakan lamanya flu manusia

menginfeksi manusia sampai timbul gejala.

merupakan jumlah populasi manusia.

Model prepandemik mempunyai titik tetap

bebas penyakit

).

Kondisi

bebas penyakit akan berlangsung jika

dan . Berdasarkan penghitungan

ternyata kondisi bebas penyakit tidak terwujud karena salah satu syaratnya tidak terpenuhi

(Lampiran 25 dan 26). Meningkatnya flu

burung pada unggas tidak serta merta menginfeksi manusia secara meluas dan berpotensi menjadi pandemik. Flu burung menginfeksi manusia terjadi jika kondisi

. Analisis model prepandemik

mempunyai dua titik tetap. Titik tetap model

prepandemik yang pertama adalah

dan titik tetap kedua

adalah

Matriks Jacobi model prepandemik terdapat pada Lampiran 11. Matriks Jacobi untuk titik tetap pertama terdapat pada Lampiran 12. Matriks Jacobi untuk titik tetap kedua terdapat pada Lampiran 13. Nilai eigen model

prepandemik untuk titik tetap

adalah

Misal , untuk titik

tetap berupa saddle

node jika nilai eigennya real dan berbeda

tanda. Agar nilai eigennya berbeda tanda setidaknya ada satu nilai eigen bernilai negatif diantara semua nilai eigen yang positif.

Misalkan sedangkan .

Jika maka (Lampiran 15,

persamaan 15.1) .

Untuk titik tetap berupa nodes jika

nilai eigennya real bertanda sama atau bilangan kompleks titik tetapnya berupa

spiral. Nilai eigen dan

merupakan nilai eigen real bukan kompleks sehingga titik tetapnya bukan berupa spiral. Identifikasi jenis titik tetap dilakukan dengan memeriksa kesamaan tanda setiap nilai eigen.

Jika dan maka



(Lampiran 15 bagian 15.3),

 (Lampiran 15 bagian 15.5).

Misal dan maka



(Lampiran 15 bagian 15.7),

 (Lampiran 15, bagian 15.9).

Jika nodes stabil

maka (Lampiran 15

bagian 15.10), tidak stabil maka

Nilai eigen model prepandemik untuk titik tetap kedua tidak dibahas karena terlalu rumit dan kompleks. Nilai eigen untuk titik tetap kedua hanya dapat diidentifikasi dengan

memasukkan nilai parameter. Model

(24)

10

tetap flu burung dominan ada dan menginfeksi manusia karena jumlah reproduksi flu burung

lebih besar dari 1, . Titik tetap flu

burung dominan adalah

)

dimana dan

didefinisikan oleh persamaan (4.4) berikut.

(4.4)

adalah jumlah manusia yang rentan terhadap flu burung. adalah jumlah manusia yang terinfeksi flu burung. Total populasi manusia pada titik tetap flu burung dominan

dinotasikan oleh . Pada model

prepandemik selain titik tetap flu burung dominan terdapat titik tetap flu manusia dominan. Titik tetap flu manusia dominan ada

jika . Berikut titik tetap flu manusia

dominan

)

.

adalah jumlah manusia rentan flu manusia, adalah jumlah manusia terinfeksi flu

manusia dan adalah jumlah manusia yang

sembuh dari flu manusia.

Adanya titik tetap flu burung dan flu manusia dominan menunjukan flu burung dan flu manusia tidak saling bergantung sama lain dalam populasi manusia. Pada model ini

terdapat keadaan flu manusia hidup

berdampingan (coexist) dengan flu burung.

Flu burung tidak berkompetisi dengan flu manusia untuk menyerang burung rentan namun mereka berkompetisi menginfeksi manusia rentan.

Pada kondisi dan flu

manusia dan flu burung hidup berdampingan

(coexist) dalam populasi manusia. Reproduksi

invasi flu manusia disimbolkan dengan .

yang didefinisikan pada persamaan (4.6) berikut.

Definisi macam-macam reproduksi dan invasi model prepandemik dan model unggas terdapat dalam Tabel 4.

Tabel 4 Daftar reproduksi dan invasi model prepandemik dan model unggas

Reproduksi dan invasi

penjelasan

bilangan reproduksi flu manusia

bilangan reproduksi flu burung

bilangan reproduksi

invasi flu manusia

4.3 Analisis Model Pandemik

Pada model pandemik penyebaran flu burung ditularkan oleh manusia. Pada model ini terdapat reproduksi pandemik, invasi pandemik dan invasi pandemik flu manusia. Pada model pandemik titik tetap dan nlai eigen tanpa nilai parameter tidak dibahas karena nilainya terlalu panjang, rumit dan sangat kompleks. Titik tetap model pandemik dengan parameter dapat dilihat pada Lampiran 19. Matriks Jacobi model pandemik dengan nilai parameter terdapat pada Lampiran 20.

Pada model ini populasi manusia merupakan wadah kompetisi dari tiga invasi penyakit yaitu invasi flu burung, invasi flu manusia, dan invasi pandemik. Reproduksi

pandemik terjadi jika dimana

didefinisikan oleh persamaan (4.7) berikut.

(4.7)

Invasi pandemik didefinisikan pada

persamaan (4.8) berikut.

(4.8)

Pada persamaan (4.9) terdapat yang

merupakan jumlah manusia terinfeksi flu manusia saat terjadi pandemik flu burung.

(4.9) Invasi pandemik menginvasi flu burung dan flu manusia pada populasi manusia terjadi

pada kondisi . didefinisikan pada

persamaan (4.10) berikut.

(25)

Pandemik terjadi pada kondisi ,

, dan . Invasi pandemik flu

burung akan menginvasi populasi manusia

jika dimana dengan

jumlah reproduksi dan jumlah reproduksi invasi tetap lebih besar dari satu.

(4.11)

Pandemik yang muncul akan menjadi

pandemik flu manusia pada kondisi ,

, , dan

Pandemik flu burung terjadi dengan kondisi

, , , dan

.

Definisi macam-macam reproduksi dan invasi dalam model pandemik terdapat dalam Tabel 5

Tabel 5 Daftar reproduksi dan invasi model pandemik

Reproduksi dan invasi

Penjelasan

bilangan reproduksi pandemik

bilangan reproduksi invasi pandemik bilangan rasio invasi flu manusia dengan invasi pandemik bilangan reproduksi

invasi pandemik

pada populasi

(26)

12

V SIMULASI

Pada bab ini dilakukan simulasi yang dibagi menjadi tiga bagian yaitu simulasi model unggas, model prepandemik dan model

pandemik. Pada setiap simulasi akan

dilakukan identifikasi titik tetap, pemilihan parameter dan dilihat dinamika populasinya.

Tabel 6 Daftar nilai parameter

Parameter Nilai

unggas per tahun ½ per tahun 0.0099 unggas per tahun

vb 365/10 per tahun

manusia per tahun 1/65 per tahun 0.00122 manusia per tahun

½ per tahun

manusia per tahun 365/6 per tahun

v 365/10 per tahun

vJ 36.5 per tahun

0.00277 manusia per tahun

5.1 Simulasi Model Unggas

Simulasi model unggas mengacu pada persamaan (3.1) sebagai modelnya. Pada simulasi ini akan dicari

 jumlah unggas sehat,

 jumlah unggas terinfeksi flu burung,

 reproduksi flu burung,

 populasi total unggas,

 jenis titik tetap dan kestabilannya,

 dinamika populasi model unggas.

5.1.1 Parameter Model Unggas

Populasi unggas yang digunakan sebagai

nilai parameter sebesar . Angka

ini didapat dari nilai titik tetap pertama persamaan (3.1) saat tidak ada unggas

terinfeksi flu burung . Tingkat kematian

alami unggas sebesar per tahun.

Koefisien transmisi flu burung sebesar

0.0099 per tahun. Tingkat kematian unggas

pada 10 hari adalah per tahun,

asumsikan masa hidup maksimal unggas yang terifeksi adalah satu tahun. Nilai parameter lainnya terdapat pada Tabel 6.

5.1.2 Dinamika Populasi Model Unggas

Model unggas memodelkan jumlah

populasi unggas rentan dan unggas yang terinfeksi flu burung. Pertumbuhan flu burung dapat dilihat pada persamaan (4.1). Pada

kondisi manusia tertular flu burung

akibat berinteraksi dengan burung sakit. Berdasarkan penghitungan persamaan (4.1) repoduksi flu burung berjumlah

per tahun (Lampiran 25).

Pada analisis model unggas didapat dua titik tetap yaitu

(Lampiran 7) dan dan

(Lampiran 7). Jumlah dari titik tetap kedua merupakan nilai total populasi unggas (3.1.1). Jumlah populasi unggas saat

tidak ada flu burung sebesar .

Jumlah unggas rentan saat terjadi flu burung

adalah (Lampiran 39) dan jumlah

unggas terinfeksi flu burung sebesar

(Lampiran 40). Total populasi

unggas ternak sebesar dengan

laju pertumbuhan sebesar (Lampiran

35 dan 36).

Nilai eigen persamaan (3.1) dengan titik

tetap dan adalah

,

titk tetapnya berupa saddle node (Lampiran

8).

Nilai eigen persamaan (3.1) dengan titik tetap dan

adalah

,

titk tetapnya berupa nodes stabil (Lampiran

9).

Gambar pada model unggas diproyeksikan oleh persamaan (3.1). Gambar dibagi menjadi dua yaitu gambar dinamika populasi unggas

rentan dan dinamika populasi unggas

terinfeksi flu burung.

Gambar 4 Dinamika populasi unggas

rentan.

0 2 4 6 8 10 12

(27)

Pada Gambar 4 sumbu x menyatakan waktu dalam tahun dan sumbu y menyatakan jumlah unggas rentan flu burung misalkan

sejumlah 100 yaitu .

Gambar 5 Dinamika populasi unggas

terinfeksi flu burung.

Pada Gambar 5 sumbu x menyatakan waktu dalam tahun dan sumbu y menyatakan jumlah unggas terinfeksi flu burung. Misalkan dari 100 unggas yang sehat 50 unggas

terserang flu burung yaitu .

5.2 Simulasi Model Prepandemik

Simulasi model prepandemik mengacu pada persamaan (3.2) sebagai modelnya. Pada simulasi ini akan dicari

 jumlah manusia rentan,

 jumlah manusia terinfeksi flu burung,

 jumlah manusia terinfeksi flu manusia,

 jumlah manusia sembuh dari flu manusia,

 reproduksi dan invasi flu manusia,

 total populasi manusia,

 jenis titik tetap dan kestabilannya,

 dinamika populasi model prepandemik.

5.2.1 Parameter Model Prepandemik

Parameter yang digunakan dalam model prepandemik melibatkan infeksi flu manusia dan kondisi normal manusia tanpa terserang penyakit. Lama masa penyembuhan penyakit

flu manusia adalah . Proporsi

hilangnya imunitas tubuh akibat terinfeksi flu manusia sebesar tahun.

Masa hidup normal seluruh manusia di dunia berbeda di setiap negara. Pada parameter diambil umur rata-rata manusia normal 65 tahun dengan tingkat kematian

alami per tahun. Populasi manusia di

dunia mendekati jumlah 6.5 milyar sehingga

nilai paramater yang diambil dengan

nilai koefisien transmisi flu manusia . Koefisien transmisi flu burung pada manusia

Tingkat kematian manusia akibat flu

burung pada 10 hari adalah v = 36.5 tahun-1.

Nilai parameter secara jelas terangkum dalam Tabel 6.

5.2.2 Dinamika Populasi Model Prepandemik

Pada model prepandemik dilakukan

penghitungan reproduksi flu manusia,

reproduksi invasi flu manusia. Reproduksi flu

burung didapat dari persamaan (4.1)

dengan hasil sebesar . Pada

kondisi terdapat titik tetap flu burung

dominan ditandai dengan flu burung mampu menginfeksi manusia. Titik tetap flu burung

dominan disimbolkan dengan

. Masukkan nilai parameter pada titik tetap flu burung dominan sehingga didapat

.

Berdasarkan titik tetap flu burung dominan didapat

 jumlah manusia rentan flu burung,

sebesar (Lampiran 41),

 jumlah manusia terinfeksi flu burung,

sebesar (Lampiran 42).

Total populasi manusia saat flu burung

dominan sebesar (Lampiran 43)

Pada model prepandemik, populasi

manusia juga rentan terhadap infeksi flu manusia. Infeksi flu manusia terjadi dengan adanya titik tetap flu manusia dominan. Titik tetap flu manusia dominan disimbolkan

. Masukkan nilai

parameter pada titik tetap flu manusia dominan sehingga didapat

. Berdasarkan titik tetap flu manusia dominan didapat

 jumlah manusia rentan flu manusia,

 jumlah manusia terinfeksi flu manusia,

 jumlah manusia sembuh dari flu manusia,

sebesar (Lampiran 34).

Titik tetap flu manusia dominan terjadi saat reproduksi flu manusia lebih besar dari 1, . Berdasarkan penghitungan didapat

nilai (Lampiran 26).

Pada populasi manusia juga terdapat kondisi bebas penyakit. Kondisi bebas

0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10

(28)

14

penyakit stabil jika dan .

Kondisi bebas penyakit adalah kondisi saat flu burung dan flu manusia tidak menginfeksi manusia. Kondisi bebas penyakit berada pada

titik bebas penyakit yaitu

. Masukkan nilai

parameter pada titik tetap bebas penyakit

sehingga didapat nilai

Berdasarkan penghitungan sebelumnya diketahui bahwa titik tetap bebas penyakit tidak stabil.

Total populasi manusia sebesar

(Lampiran 37) dengan laju pertumbuhan sebesar 0.0135 (Lampiran 38). Flu burung pada populasi manusia akan berinteraksi dengan flu manusia dan hidup

berdampingan disebut coexist. Kondisi coexist

terjadi saat dan . Berdasarkan

penghitungan nilai

(Lampiran 27).

Dinamika populasi model prepandemik

diproyeksikan oleh persamaan (3.2).

Berdasarkan analisis persamaan (3.2) didapat dua titik tetap yaitu nilai titik tetap pertama

( ) dan titik tetap

kedua (

). Nilai eigen untuk titik tetap pertama adalah

, , ,

.

Titik tetap pertama berupa titik sadlle node

(Lampiran 17). Nilai eigen untuk titik tetap kedua adalah

, , , .

Titik tetap kedua berupa nodes stabil

(Lampiran 18).

Gambar pada model prepandemik akan dibagi menjadi empat yaitu gambar dinamika populasi manusia rentan, dinamika populasi manusia terinfeksi flu manusia, dinamika populasi manusia sembuh dari flu manusia dan dinamika populasi manusia terinfeksi flu burung dari unggas.

Gambar 6 Dinamika populasi manusia

rentan.

Pada Gambar 6 sumbu x menyatakan waktu dalam tahun dan sumbu y menyatakan jumlah manusia rentan misalkan sejumlah

200, .

Gambar 7 Dinamika populasi manusia terinfeksi flu manusia.

Pada Gambar 7 sumbu x menyatakan waktu dalam tahun dan sumbu y menyatakan jumlah manusia terinfeksi flu manusia. Misalkan dari 200 manusia rentan asumsikan manusia terinfeksi flu manusia sebesar 25

orang, .

0 2 4 6 8 10 12

0 50 100 150 200 Waktu M a n u s ia R e n ta n

0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10

(29)

Gambar 8 Dinamika populasi manusia sembuh dari flu manusia.

Pada Gambar 8 sumbu x menyatakan waktu dalam tahun dan sumbu y menyatakan jumlah manusia sembuh dari flu manusia. Misalkan dari 25 orang sakit flu manusia

semuanya sembuh, .

Gambar 9 Dinamika populasi manusia terinfeksi flu burung.

Pada Gambar 9 sumbu x menyatakan waktu dalam tahun dan sumbu y menyatakan

jumlah manusia terinfeksi flu burung.

Manusia yang tidak terinfeksi flu manusia diasumsikan terinfeksi flu burung,

.

5.3 Simulasi Model Pandemik

Simulasi model pandemik mengacu pada persamaan (3.3) sebagai modelnya. Pada simulasi ini akan dicari reproduksi dan invasi pandemik, invasi pandemik flu manusia, jenis titik tetap dan kestabilannya dan dinamika populasinya.

5.3.1 Parameter Model Pandemik

Parameter pada model pandemik hampir sama dengan parameter yang digunakan pada

model prepandemik namun dengan

penambahan parameter , , dan . Nilai

berada pada kisaran 36.5-89 namun dengan asumsi tingkat kematian manusia akibat flu burung sama dengan tingkat kematian manusia akibat pandemik flu burung yaitu

, dimana didapat .

Koefisien transmisi pandemik flu burung sebesar 0.00277 dengan asumsi tidak ada

mutasi genetik yang terjadi . Koefisien

transmisi virus flu burung dan flu manusia

terinfeksi bersamaan . Parameter

sisanya terdapat pada Tabel 6.

5.3.2 Dinamika Populasi Model Pandemik

Pada tahap pandemik terdapat reproduksi

pandemik, . Kondisi coexist pada model

prepandemik memunculkan pandemik.

Pandemik yang muncul terjadi pada kondisi

, , dan . Berdasarkan

penghitungan (Lampiran

28), (Lampiran 29) dan

023 (Lampiran 30). Pada model prepandemik terdapat titik tetap dominan flu burung dan flu manusia. Salah satu dari dua dominasi ini akan muncul sebagai pandemik. Serangan pandemik akan menghasilkan pandemik flu manusia atau pandemik flu burung. Pandemik yang terjadi dalam populasi manusia bergantung pada titik tetap dominan penyakit pada populasi manusia. Pandemik flu manusia muncul saat terjadi serangan pandemik pada titik tetap flu

manusia dominan dengan kondisi ,

, , dan .

Pandemik flu burung muncul saat terjadi serangan pandemik pada titik tetap flu burung

dominan dengan kondisi , ,

, dan dimana

.

Berdasarkan penghitungan didapat

, ,

023, (Lampiran 29).

dan .

Hasil simulasi menunjukkan pandemik flu burung mampu menginvasi dan mengubah pandemik flu manusia sehingga terjadi pandemik flu burung pada populasi manusia. Meskipun terjadi pandemik flu burung tetap ada infeksi flu manusia namun dengan jumlah

kecil yaitu sebesar (Lampiran 31).

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

0 10 20 30 40 50 60 Waktu M a n u s ia S e m b u h d a ri F lu M a n u s ia

0.00 0.05 0.10 0.15 0.20

(30)

16

Dinamika populasi model pandemik

diproyeksikan oleh persamaan (3.3). Pada model pandemik didapat tujuh titik tetap. Titik tetap yang diambil hanya titik tetap dengan

nilai .

Berdasarkan syarat tersebut didapat empat titik tetap yaitu sebagai berikut.

 Titik tetap pertama adalah

(

) jenis titik tetapnya berupa

saddle nodes (Lampiran 21).

 Titik tetap kedua

( )

dengan jenis titik tetapnya berupa nodes

stabil (Lampiran 22).

 Titik tetap ketiga adalah (

) dengan

titik tetap berupa saddle nodes (Lampiran

23).

 Titik tetap keempat adalah (

) dengan jenis

titik tetap berupa nodes tidak stabil

(Lampiran 24).

Berdasarkan penghitungan didapat jumlah manusia terinfeksi pandemik flu burung

sebesar . Nilai eigen setiap titik

tetap terdapat pada Lampiran 21, 22, 23 dan 24.

Gambar model pandemik akan dibagi menjadi 6 terdiri dari:

 dinamika populasi manusia rentan,

 dinamika populasi manusia terinfeksi flu

manusia,

 dinamika populasi manusia sembuh dari

flu manusia ,

 dinamika populasi manusia terinfeksi flu

burung,

 dinamika populasi manusia yang secara

bersamaan terinfeksi flu burung dan flu manusia,

 dinamika populasi manusia terinfeksi

pandemik flu burung.

Dinamika populasi model pandemik

memiliki kesamaan dengan model

[image:30.595.323.513.76.289.2]

prepandemik perbedaannya pada dinamika populasi manusia terinfeksi pandemik flu burung dan dinamika populasi manusia terinfeksi flu burung bersama flu manusia.

rentan.

Pada Gambar 10 sumbu x menyatakan waktu dalam tahun dan sumbu y menyatakan jumlah manusia rentan. Berbeda dari model prepandemik, jumlah manusia rentan pada model pandemik dimisalkan sejumlah 600,

.

Gambar 11 Dinamika populasi manusia terinfeksi flu manusia.

Pada Gambar 11 sumbu x menyatakan waktu dalam tahun dan sumbu y menyatakan jumlah manusia terinfeksi flu manusia. Enam ratus manusia rentan diasumsikan 100 orang diantaranya terserang flu manusia,

.

0 1 2 3 4 5

0 100 200 300 400 500 600 700 Waktu M a n u s ia re n ta n

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

[image:30.595.324.512.354.572.2]

(31)

Gambar 12 Dinamika populasi manusia sembuh dari flu manusia.

Pada Gambar 12 sumbu x menyatakan waktu dalam tahun dan sumbu y menyatakan jumlah manusia sembuh dari flu manusia. Asumsikan setengah dari manusia terinfeksi

[image:31.595.106.300.47.705.2]

flu manusia sembuh, .

Gambar 13 Dinamika populasi manusia terinfeksi flu burung.

Pada Gambar 13 sumbu x menyatakan waktu dalam tahun dan sumbu y menyatakan

jumlah manusia terinfeksi flu burung.

Manusia yang tidak terinfeksi flu manusia dapat terinfeksi flu burung asumsikan sebesar

200, .

terinfeksi flu burung dan flu manusia bersamaan.

Pada Gambar 14 sumbu x menyatakan waktu dalam tahun dan sumbu y menyatakan jumlah manusia yang terinfeksi flu burung dan flu manusia bersamaan. Manusia yang terserang flu manusia dan flu burung

[image:31.595.325.511.78.300.2]

diasumsikan berjumlah 100, .

terinfeksi pandemik flu burung.

Pada Gambar 15 sumbu x menyatakan waktu dalam tahun dan sumbu y menyatakan jumlah manusia terinfeksi pandemik flu burung. Manusia yang terserang flu burung menularkan pada manusia lain sehingga mengakibatkan pandemik misalkan jumlahnya

200 orang, .

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

0 50 100 150 200 Waktu M a n u s ia S e m b u h d a ri F lu M a n u s ia

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0 50 100 150 200 Waktu M a n u s ia T e ri n fe k s i F lu B u ru n g

0.000 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10

20 40 60 80 100 Waktu M a n u s ia T e ri n fe k s i F lu B u ru n g d a n F lu M a n u s ia

0 5 10 15 20 25 30

[image:31.595.325.510.396.606.2]

(32)

18

VI SIMPULAN

Flu burung merupakan panyakit yang ditularkan virus H5N1. Flu burung tidak hanya menginfeksi unggas namun juga manusia. Transmisi virus melibatkan bilangan reproduksi virus yang lebih besar dari satu. Proses transmisi flu burung dibagi dalam tiga

model yaitu model unggas, model

prepandemik dan model pandemik. Model unggas membahas infeksi flu burung dalam

populasi unggas ternak. Model ini

memperlihatkan banyaknya unggas sehat dan banyaknya unggas terinfeksi flu burung.

Model prepandemik membahas penularan flu burung dari unggas ke dalam populasi manusia. Pada model prepandemik flu manusia dan flu burung hidup berdampingan

dalam populasi manusia.Model prepandemik

memperlihatkan banyaknya manusia terinfeksi flu burung dan flu manusia. Dalam simulasi

yang dilakukan, titik tetap bebas penyakit tidak stabil.

Model pandemik membahas penularan flu burung antar manusia. Bilangan reproduksi untuk pandemik flu manusia diperoleh nilai yang lebih besar dari satu. Bilangan reproduksi untuk pandemik flu burung diperoleh nilai yang lebih kecil dari satu.

Berdasarkan penghitungan dengan nilai

parameter yang dipilih, pandemik flu burung mampu menginvasi manusia sehingga terjadi pandemik flu burung pada populasi manusia.

DAFTAR PUSTAKA

Alexander DJ, Capua I. 2007. Animal and Human Implications of Avian and

Influenza Infections. Biosci. 27: 359-372.

Anton H. 1995. Aljabar Linear Elementer. Ed

ke-5. Terjemahan Pantur Silaban dan I Nyoman Susila. Jakarta: Erlangga.

Chowell G, Miller M, Vibound C. 2008. Seasonal influenza in the United States, France, and Australia: transmission and

prospect for control. Epidemiol Infect.

136:852-864.

Farlow SJ. 1994. An Introduction to

Differential Equations and Their

Applications. New York: McGraw-Hill.

Martcheva M. 2011. Avian Flu: Modeling and

Implications for Control. Ams. 92D: 30-40.

Smith D, Lapedes A, De Jong J, Bestebroer. 2004. Mapping the antigenic and genetic

evolution of influenza virus. Science. 305:

371-376

Strogatz SH. 1994. Nonlinear Dynamics and

Chaos, with Application to Physics, Biology, Chemistry, and Engineering.

Massachusetts: Addison-Wesley

Publishing Company.

Tu PNV. 1994. Dynamical System, An

Introduction with Application in

Economics and Biology. Heidelberg,

Germany: Springer-Verlag.

[WHO] World Health Organization. 2005. Avian Influenza (H5N1) infection in

humans. N Engl J Med. 353(13):

(33)

(34)

20

Lampiran 1 Titik tetap model unggas

Model unggas ada pada persamaan (3.1)

Titik tetap model unggas adalah dan dan

Lampiran 2 Matriks Jacobi model unggas dengan

Misal matriks Jacobi model unggas untuk titk tetap adalah

Matriks Jacobi model unggas dengan misalkan

Lampiran 3 Nilai eigen dari

(35)

Lampiran 4 Jenis titik tetap untuk titik tetap

Misalkan untuk titik tetap berupa saddle node

 jika nilai eigen real dan berbeda tanda dan maka



(4.1)



rumus mencari akar :

misalkan , , ,

untuk

dan

jadi (4.2)

nilai eigen real dan berbeda tanda jika dan maka



(4.3)



(36)

22

, , ,

untuk

dan

jadi (4.4)

 nilai eigen real dengan tanda yang sama jika dan maka



(4.5) 

, , ,

untuk

dan

(37)

nilai eigen real bertanda sama jika dan maka 

(4.7)



, , ,

dan

jadi (4.8)

, ,

Jika nodes stabil maka (4.9)

(38)

24

Lampiran 5 Matriks Jacobi model unggas dengan

Matriks Jacobi model unggas untuk titik tetap misalkan

Lampiran 6 Nilai eigen

Jenis titik tetap sulit untuk dikenali tanpa nilai parameter karena nilai

eigennya yang sangat rumit

Lampiran 7 Titik tetap model unggas dengan nilai parameter Tabel 6

(39)

Lampiran 8 Nilai eigen model unggas untuk titik tetap

Titik tetapnya berupa saddle node

Lampiran 9 Nilai eigen model unggas untuk titik tetap

karena titik tetapnya berupa nodes

karena titik tetapnya stabil

titik tetapnya berupa nodes stabil

Lampiran 10 Titik tetap model prepandemik

Model prepandemik terdapat pada persamaan (3.2)

(40)

26

Lampiran 11 Matriks Jacobi model prepandemik

Misalkan saja

Lampiran 12 Matriks Jacobi model prepandemik titik tetap

Misalkan saja

Lampiran 13 Matriks Jacobi model prepandemik untuk titik tetap kedua

Titik tetap kedua model prepandemik adalah

(41)

Matriks Jacobinya adalah

Lampiran 14 Nilai eigen dari

Lampiran 15 Jenis titik tetap untuk titik tetap

Misalkan untuk titik tetap berupa saddle node jika

 nilai eigennya real dan berbeda tanda

titik tetap dapat berupa saddle node setidaknya ada satu nilai eigen

bernilai negatif.

Ambil salah satu nilai eigen misalnya jika

(42)

28

(15.1)

 nilai eigen real dan bertanda sama

misalkan 

(15.2) 

, , ,

(43)

jadi (15.3) 

(15.4)



(15.5)

misalkan 

(15.6) 

, , ,

(44)

30

dan

jadi (15.7)



(15.8)



(15.9)

nodes stabil jika

Jika nodes stabil maka (15.10)

Jika nodes tidak stabil maka (15.11)

Lampiran 16 Titik tetap model prepandemik dengan parameter Tabel 6

Model prepandemik terdapat pada persamaan (3.2)

(45)

Titik tetap model prepandemik adalah

, , ,

=

(46)

32

Matriks Jacobi adalah

titik tetapnya berupa nodes stabil

Lampiran 19 Titik tetap model pandemik dengan parameter Tabel 6

Model pandemik terdapat persamaan (3.3) dengan nilai , ,

(47)

Persamaan (3.3) mempunyai 7 titik tetap yaitu

namun titik tetap yang memenuhi 0 hanya 4 titik tetap yaitu,

 , , ,

, ,

 , , , , ,

Lampiran 20 Matriks Jacobi model pandemik

(48)

34

Lampiran 21 Nilai eigen dari dengan , ,

, , ,

Titik tetapnya berupa saddle nodes

Lampiran 22 Nilai eigen dengan , , , ,

,

(49)

Lampiran 23 Nilai eigen dengan , , ,

, ,

Titik tetapnya berupa saddle node

Lampiran 24 Nilai eigen dengan , , ,

, ,

(50)

36

Lampiran 25 Bilangan reproduksi flu burung dengan nilai paramater Tabel 6

Jika maka flu burung mampu menular pada manusia melalui interaksi langsung. Jika

maka terdapat titik tetap flu burung dominan dengan titik tetapnya ,

Lampiran 26Bilangan reproduksi flu manusia dengan nilai paramater Tabel 6

 Jika dan maka titik tetap bebas penyakit yaitu stabil.

Masukkan nilai parameter Tabel 6 sehingga . Satu

syarat tidak terpenuhi maka titik tetap bebas penyakit tidak terwujud. Berdasarkan hasil penghitungan titik tetap bebas penyakit tidak terwujud pada populasi manusia.

 Jika maka terdapat titik tetap flu manusia dominan dengan titik tetapnya ,

Lampiran 27 Bilangan reproduksi invasi flu manusia dengan nilai paramater Tabel 6

Jika dan maka flu burung coexist dengan flu manusia pada populasi manusia.

Lampiran 28 Bilangan reproduksi pandemik dengan nilai paramater Tabel 6









0

6 4

2060 5 10

0.5 36.5 0.5

=551.189

b b b

b vb b

             





1 8 10 1 1 36.5 65 65 = 217168.7439 v          _  _    



*



*



8 10 0.00122

1 365 1

9

2.28 10 278378327.7 0

65 6 65

(51)

Lampiran 29 Bilangan reproduksi invasi pandemik dengan nilai paramater Tabel 6

Pandemik flu manusia terjadi dengan kondisi , , , dan .

Pandemik flu burung terjadi dengan kondisi , , , dan

dimana

Lampiran 30 Bilangan reproduksi invasi pandemik pada populasi manusia

Pandemik terjadi pada kondisi , , dan .

Lampiran 31 Banyaknya individu terinfeksi flu manusia saat terjadi pandemik flu burung

Lampiran 32 Banyaknya manusia rentan flu manusia

Jumlah manusia rentan flu manusia sebesar 49875.9955

Lampiran 33 Banyaknya manusia terinfeksi flu manusia

Jumlah manusia terinfeksi flu manusia sebesar



*







8 10 0.002