Model Matematika untuk Perubahan Suhu dan Konsentrasi Dopant pada Pembentukan Serat Optik

(1)

MODEL MATEMATIKA UNTUK PERUBAHAN SUHU

DAN KONSENTRASI DOPANT

PADA PEMBENTUKAN SERAT OPTIK

MIFTAHUL JANNAH

SEKOLAH PASCASARJANA

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

(2)

Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis dengan judul Model Matematika untuk Perubahan Suhu dan Konsentrasi Dopant pada Pembentukan Serat Optik adalah karya saya sendiri dengan arahan dari komisi pembimbing, dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir tesis ini.

Bogor, Agustus 2009

Miftahul Jannah

(3)

ABSTRACT

MIFTAHUL JANNAH. Mathematical Model for Temperature Changes and Dopant Concentration Changes on the Optical Fiber Drawing. Under supervision of JAHARUDDIN and SISWANDI

Optical fibers are made of transparent material (glass) with different refractive indices in the inner core and the outer cladding regions. This refractive index difference is achieved normally by adding a dopant to the inner core region. The objective of this thesis is to analyze a mathematical model for the temperature changes and dopant concentration changes during the fiber drawing process. Using a long-wave approximation, the governing equations can be reduced to a simple diffusion equation. As a result, we are able to identify key dimensionless parameters that contribute to the diffusion process. We also derive solutions for the temperature and dopant concentration. Temperature and dopant concentration depend on the viscosity and the diffusion coefficient. Some numerical simulations using Maple 12 software are carried out to explain the attitude of the solution with respect to temperature changes and dopant concentration changes during the fiber drawing.

(4)

Konsentrasi Dopant pada Pembentukan Serat Optik. Dibimbing oleh JAHARUDDIN dan SISWANDI

Serat optik merupakan serat yang terbuat dari bahan bening (transparan) yang terdiri atas teras dan selubung. Teras adalah bagian sebelah dalam dan selubung adalah lapisan di luarnya yang memiliki indeks bias, yang dapat memandu perambatan cahaya dengan pemantulan internal pada antarmuka teras-selubungnya. Indeks bias ini diperoleh dengan menambahkan sesuatu yang bersifat penghalus (dopant) di dalam teras. Masalah dalam peneitian ini adalah bagaimana menentukan hubungan antara konsentrasi dopant, suhu, dan jari-jari turbulen pada tungku pembakaran.

Tujuan penelitian ini adalah mengkaji model matematika untuk suhu, jari-jari turbulen, dan konsentrasi dopant selama pembentukan serat optik dengan menggunakan asumsi gelombang panjang. Berdasarkan solusi yang diperoleh akan ditentukan keterkaitan suhu, jari-jari turbulen dan konsentrasi dopant terhadap jarak dari input nozzle sepanjang sumbu fiber. Hasilnya disajikan dalam suatu simulasi numerik.

Model persamaan untuk suhu dan konsentrasi dopant diturunkan berdasarkan persamaan dasar fluida. Persamaan dasar fluida diturunkan dengan menggunakan hukum kekekalan massa, kekekalan momentum, kekekalan energi dan konsentrasi dopant. Model persamaan untuk suhu dan konsentrasi dopant disederhanakan dengan menggunakan asumsi gelombang panjang, rapat massa fluida yang cukup kecil, dan konduktivitas panas yang hingga, maka diperoleh persamaan difusi yang sederhana.

Kajian terhadap persamaan difusi yang telah diperoleh dilakukan dengan meninjau dua proses fisis, yaitu proses sebelum melalui pendinginan dan proses dalam keadaan pendinginan. Dari kedua proses tersebut di atas diperoleh suhu dan jari-jari turbulen. Selain kedua proses fisis tersebut, ditentukan pula konsentrasi dopant. Konsentrasi dopant diperoleh berdasarkan koefisien difusi yang bentuknya berupa fungsi Green. Karakteristik solusi dari persamaan difusi ditentukan berdasarkan suatu simulasi numerik. Simulasi numerik dilakukan dengan bantuan software Maple 12.

(5)

Pengetahuan mengenai besaran-besaran yang mempengaruhi pembentukan serat optik sangat diperlukan agar hasil yang didapatkan optimal dan akurat. Hal ini perlu dilakukan karena serat optik mempunyai banyak kegunaan di berbagai bidang, seperti di bidang kedokteran. Pada bidang kedokteran, salah satu contoh alat yang terbuat dari serat optik adalah cystoscope. Alat lain yang sangat bermanfaat dalam kehidupan sehari-hari adalah kacamata, kaca pembesar, mikroskop, kamera dan lain sebagainya. Dengan demikian hasil dari tesis ini memiliki manfaat yang cukup besar.

(6)

Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Tema yang dipilih dalam penelitian yang dilaksanakan sejak bulan Desember 2008 ini adalah serat optik, dengan judul Model Matematika untuk Perubahan Suhu dan Konsentrasi Dopant pada Pembentukan Serat Optik.

Terima kasih penulis ucapkan kepada Bapak Dr. Jaharuddin, M.S. dan Bapak Drs. Siswandi, M.Si. selaku pembimbing, serta Drs. Ali Kusnanto, M.Si. selaku penguji luar komisi yang telah membimbing dan banyak memberikan saran. Ucapan terima kasih juga disampaikan kepada Departemen Agama Republik Indonesia yang telah memberikan beasiswa kepada penulis selama menempuh pendidikan di IPB. Ucapan terima kasih yang tiada hingga kepada abeh, mamah, suami, serta seluruh keluarga, atas segala do’a dan kasih sayangnya.

Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.

Bogor, Agustus 2009

(7)

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Jakarta pada tanggal 10 Oktober 1981 dari ayah Sobur dan ibu Aminah. Penulis merupakan anak kedua dari tiga bersaudara.

Tahun 2000 penulis lulus MAN 8 jurusan Ilmu Pengetahuan Alam dan pada tahun yang sama lulus seleksi masuk Universitas Islam Negeri Syarif Hidayatullah Jakarta. Penulis memilih jurusan Pendidikan Matematika pada Fakultas Ilmu Tarbiyah dan Keguruan dan selesai pada tahun 2004.

(8)

@ Hak Cipta Milik IPB, tahun 2009 Hak Cipta dilindungi Undang-undang

1. Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa mencantumkan atau menyebutkan sumber

a. Pengutipan hanya boleh untuk kepentingan pendidikan penelitian, penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik atau tinjauan suatu masalah,

b. Pengutipan tidak merugikan kepentingan yang wajar IPB

(9)

Judul Tesis : Model Matematika untuk Perubahan Suhu dan Konsentrasi Dopant pada Pembentukan Serat Optik

Nama : Miftahul Jannah NIM : G551070681

Disetujui Komisi Pembimbing

Dr. Jaharuddin, M.S. Drs. Siswandi, M.Si.

Ketua Anggota

Diketahui

Ketua Program Studi Dekan Sekolah Pascasarjana Matematika Terapan

Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, M.S. Prof. Dr. Ir. Khairil A. Notodiputro, M.S.

(10)

(11)

MODEL MATEMATIKA UNTUK PERUBAHAN SUHU

DAN KONSENTRASI DOPANT

PADA PEMBENTUKAN SERAT OPTIK

MIFTAHUL JANNAH

SEKOLAH PASCASARJANA

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

(12)

Bogor, Agustus 2009

Miftahul Jannah

(13)

ABSTRACT

MIFTAHUL JANNAH. Mathematical Model for Temperature Changes and Dopant Concentration Changes on the Optical Fiber Drawing. Under supervision of JAHARUDDIN and SISWANDI

(14)

Konsentrasi Dopant pada Pembentukan Serat Optik. Dibimbing oleh JAHARUDDIN dan SISWANDI

(15)

Pengetahuan mengenai besaran-besaran yang mempengaruhi pembentukan serat optik sangat diperlukan agar hasil yang didapatkan optimal dan akurat. Hal ini perlu dilakukan karena serat optik mempunyai banyak kegunaan di berbagai bidang, seperti di bidang kedokteran. Pada bidang kedokteran, salah satu contoh alat yang terbuat dari serat optik adalah cystoscope. Alat lain yang sangat bermanfaat dalam kehidupan sehari-hari adalah kacamata, kaca pembesar, mikroskop, kamera dan lain sebagainya. Dengan demikian hasil dari tesis ini memiliki manfaat yang cukup besar.

(16)

Bogor, Agustus 2009

(17)

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Jakarta pada tanggal 10 Oktober 1981 dari ayah Sobur dan ibu Aminah. Penulis merupakan anak kedua dari tiga bersaudara.

Tahun 2000 penulis lulus MAN 8 jurusan Ilmu Pengetahuan Alam dan pada tahun yang sama lulus seleksi masuk Universitas Islam Negeri Syarif Hidayatullah Jakarta. Penulis memilih jurusan Pendidikan Matematika pada Fakultas Ilmu Tarbiyah dan Keguruan dan selesai pada tahun 2004.

(18)

@ Hak Cipta Milik IPB, tahun 2009 Hak Cipta dilindungi Undang-undang

1. Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa mencantumkan atau menyebutkan sumber

a. Pengutipan hanya boleh untuk kepentingan pendidikan penelitian, penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik atau tinjauan suatu masalah,

b. Pengutipan tidak merugikan kepentingan yang wajar IPB

(19)

Judul Tesis : Model Matematika untuk Perubahan Suhu dan Konsentrasi Dopant pada Pembentukan Serat Optik

Nama : Miftahul Jannah NIM : G551070681

Disetujui Komisi Pembimbing

Dr. Jaharuddin, M.S. Drs. Siswandi, M.Si.

Ketua Anggota

Diketahui

Ketua Program Studi Dekan Sekolah Pascasarjana Matematika Terapan

Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, M.S. Prof. Dr. Ir. Khairil A. Notodiputro, M.S.

(20)

(21)

DAFTAR ISI

Halaman

DAFTAR GAMBAR... ix

DAFTAR LAMPIRAN... x

I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang... 1

1.2 Tujuan Penelitian... 2

II LANDASAN TEORI 2.1 Persamaan Dasar... 3

2.2 Syarat Batas... 4

2.3 Penyederhanaan Model... 5

III PEMBAHASAN DAN HASIL 3.1 Suhu dan Jari-jari turbulen... 10

3.1.1 Proses Sebelum Melalui Pendinginan... 10

3.1.2 Proses Dalam Keadaan Pendinginan... 13

3.2 Difusi Dopant... 18

IV KESIMPULAN DAN SARAN 4.1 Kesimpulan... 22

4.2 Saran... 22

DAFTAR PUSTAKA... 23

(22)

Halaman 1. Skema Pemanasan dan Pendinginan... 4

2. Grafik fungsi θ dan s untuk ℋf = 100, αμ = 30, dan Dr = 104... 13 3. Grafik fungsiθ dans dengan� = 1,71 danℋc = 350... 17

4. Grafik fungsi θ dan s dengan � = 0,78 dan ℋc = 1... 18 5. Grafik Konsentrasi Dopant dengan αD = 20, ⊖= 0,15, � = 3. 10−3,

(23)

DAFTAR LAMPIRAN

(24)

I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Serat optik merupakan serat yang terbuat dari bahan bening (transparan) yang terdiri atas teras dan selubung. Teras adalah bagian sebelah dalam dan selubung adalah lapisan diluarnya yang memiliki indeks bias, yang dapat memandu perambatan cahaya dengan pemantulan internal pada antarmuka teras-selubungnya.

Serat optik mempunyai banyak kegunaan di berbagai bidang, seperti di bidang kedokteran. Pada bidang kedokteran, salah satu contoh alat yang terbuat dari serat optik adalah cystoscope. Alat cystoscope dipakai oleh ahli bedah untuk mengamati dan melakukan operasi dengan kendali jarak jauh. Alat lain yang sangat bermanfaat dalam kehidupan sehari-hari adalah kacamata, kaca pembesar, mikroskop, kamera dan lain sebagainya. Serat optik tersebut terbuat dari kaca yang dilelehkan kemudian direntangkan dengan menggunakan penarik mekanis. Kaca setengah jadi tersebut dibuat sebuah komponen peranti sehingga terjadi perbedaan antara indeks bias di bagian dalam inti dengan bagian lapis terluarnya. Indeks bias ini diperoleh dengan menambahkan sesuatu yang bersifat penghalus (dopant) di bagian dalam inti [3]. Umumnya material penghalus yang digunakan adalah germanium dioksida (GeO2), fosfor pentoksida (P2O5), dan boron (B) yang

tersedia dalam bentuk silika (SiO2). Selama perentangan, pemotongan, dan

penggabungan, indeks bias tersebut dapat berubah dikarenakan adanya material penghalus tersebut [6,9].

Perubahan konsentrasi material penghalus tersebut diakibatkan oleh pemotongan dan penggabungan dari serat optik. Proses perubahan konsentrasi akan menjadi lebih rumit karena adanya penyatuan material penghalus tersebut. Penyatuan material tersebut tidak hanya bergantung pada suhu, akan tetapi banyak faktor lainnya termasuk proses mekanisnya.

(25)

2

Pitchumani [9] melakukan simulasi numerik pada proses pembentukan, termasuk difusi dopant. Mereka menyederhanakan perhitungan dengan menggunakan batas permukaan fiber yang bebas. Penelitian mereka merupakan perluasan dari kajian numerik pada proses pembentukan yang diamati oleh Lee dan Jaluria [5].

Dalam tesis ini, akan dikaji model matematika untuk perubahan konsentrasi dopant selama pembentukan serat optik. Berdasarkan asumsi gelombang panjang, akan diturunkan persamaan difusi yang bergantung pada kecepatan, jari-jari turbulen, suhu dan konsentrasi dopant. Bentuk sederhana untuk koefisien dari persamaan akan diperhatikan untuk mengetahui kebergantungan semua parameter yang terlibat dalam proses difusi.

1.2 Tujuan Penelitian

Berdasarkan latar belakang di atas, maka tujuan penelitian ini adalah:

1. Mengkaji model matematika untuk perubahan suhu, jari-jari turbulen, dan konsentrasi dopant selama pembentukan serat optik.

2. Menentukan penyelesaian dari model matematika bagi perubahan suhu dan jari-jari turbulen, serta konsentrasi dopant yang telah diperoleh dengan menggunakan asumsi gelombang panjang.

3. Menentukan keterkaitan suhu, jari-jari turbulen, dan konsentrasi dopant selama pembentukan serat optik terhadap jarak dari input nozzle sepanjang sumbu fiber.

(26)

II LANDASAN TEORI

2.1 Persamaan Dasar

Persamaan dasar fluida yang digunakan dalam penelitian ini, diturunkan dengan menggunakan hukum kekekalan massa, kekekalan momentum, kekekalan energi dan konsentrasi dopant seperti dalam [9,10]. Misalkan gerak partikel fluida dinyatakan dalam dua dimensi dengan kecepatan partikel dalam arah horizontal dan arah vertikal berturut-turut adalah u dan v. Fluida mempunyai rapat massa

ρ(z,r) dengan z dan r, masing-masing menyatakan jarak dari input nozzle sepanjang sumbu fiber dan jari-jari turbulen.

Berdasarkan hukum kekekalan massa, kekekalan momentum, kekekalan energi dan konsentrasi dopant diperoleh persamaan dasar sebagai berikut:

(27)

4

2.2 Syarat Batas

Tinjau domain fluida yang disajikan dalam Gambar 1.

Syarat batas diberikan pada furnace (di = 0 dan = �) dan permukaan fiber (di = �( )). Syarat batas pada furnace adalah

r = R0 , u = u0 , v = 0, T = To , c = co(r) pada z = 0 (2.6) dan

u = ud pada z = L. (2.7) Syarat batas pada permukaan fiber di r = R(z) mengikuti syarat batas dinamik dan kinematik dari fluida dengan bentuk umum sebagai berikut:

� ₌Г _, � _{= 0, =} �′ , _di ₌�( ) (2.8)

dengan σ tegangan tensor, n vektor normal, t vektor ortogonal terhadap n, k

lengkungan rata-rata, dan Г koefisien tegangan permukaan.

Syarat batas untuk suhu di permukaan fiber ditentukan berdasarkan Hukum Pendinginan Newton [10] yang diberikan oleh:

− ��

� = ≔

ℎ � − � , 0≤ <� ,

−ℎ � − � , � ≤ ≤ �, (2.9) dengan � suhu pada furnace, � suhu sekitarnya, ℎ koefisien penghantar panas, dan ℎ koefisien penghantar dingin.

u0

Pemanasan Pendinginan

ud

z = 0 z = Lf z = L

(28)

Syarat batas untuk konsentrasi dopant pada permukaan fiber [8,11] di = �( ) adalah

− �_� = 0, di =�( ) (2.10) dan

�_� = 0 di = 0 (2.11) Selanjutnya, koefisien kekentalan didasarkan pada rumus Arrhenius [1] yang dinyatakan oleh

� = 0 exp⁡(− � − �0 ), (2.12) dengan µ0 kekentalan dari T0dan Gµ konstan.

Kemudian koefisien difusi untuk dopant didasarkan pada rumus Arrhenuis [7,11] yang dinyatakan oleh

� = _∞ exp⁡(− _�) , (2.13)

dengan GD penjumlahan antara D∞ koefisien difusi pada suhu tinggi dan suatu

konstanta.

2.3 Penyederhanaan Model

Pada bagian ini akan diawali dengan menyederhanakan model untuk perubahan suhu, jari-jari turbulen dan konsentrasi dopant selama pembentukan serat optik fiber. Persamaan dasar (2.1) - (2.5) dinondimensionalkan dengan

Satuan dari variabel-variabel fisis yang muncul dalam pembahasan di atas diberikan dalam Lampiran 16.

Jika pengskalaan di atas disubstitusikan ke dalam persamaan dasar (2.1) sampai (2.5), maka diperoleh

�

� +

1 �

(29)

6

dengan syarat batas pada furnace adalah

= 1 , = 1 , = 0 , � = �0 , = 0( ) pada = 0 (2.19) dan

= pada = 1. (2.20)

Penurunan persamaan (2.14) – (2.18) dapat dilihat pada Lampiran 1.

(30)

Selanjutnya dengan menggunakan pendekatan gelombang panjang 1 dan asumsi 1, � 1 dan _� 1, pada persamaan (2.14) – (2.18) dengan menggunakan syarat batas (2.19) dan (2.20), kemudian membuang tanda topinya sebagai penyederhanaan penulisan, maka diperoleh

�

� = 0, (2.21)

1 �

� �

� = 0, (2.22) �

� =

ℋ 1− ℓ − − ℋ ( − ℓ)

1/2 , (2.23)

� �_{� −}₂�_� �_�=1 � �

�

� , (2.24)

dengan syarat batas

= 1, = 1, = 0 di = 0, (2.25) =

di = 1, (2.26) = ₀ di = 0, (2.27)

= 0 di = 0 dan = , (2.28)

dimana

=�2, = e− , = − +⊖_{. (2.29)}

Persamaan (2.21) - (2.23) dengan syarat batas (2.25) dan (2.26) merupakan model persamaan bagi perubahan suhu dan jari-jari turbulen. Persamaan (2.24) dengan syarat batas (2.27) dan (2.28) merupakan model persamaan bagi perubahan konsentrasi dopant.

(31)

8

Penyelesaian persamaan (2.21) dan (2.22) dengan syarat batas (2.25) dan (2.26) adalah

= 1 dan = 2 (2.30) dengan = ln

2 1 −1 0

merupakan gaya efektif yang ditentukan dengan menggunakan syarat batas pada z = 1. Jika persamaan (2.30) digunakan untuk mengeliminasi dan yang muncul, maka dari persamaan (2.21) dan (2.22), dan syarat batas (2.25) dan (2.26) diperoleh masalah nilai batas untuk dan berikut:

=−2 , (2.31)

= 1/2 ℋ 1− ℓ − − ℋ − ℓ , (2.32)

dengan syarat batas

= 1, = 0 di = 0

dan

= −1 di = 1. (2.33)

Selanjutnya untuk menyederhanakan persamaan bagi perubahan konsentrasi dopant, didefinisikan variabel berikut:

�( )≡ ₀ ′ ′ dan � ≡ �(1), (2.34) dan transformasi koordinat berikut

�=

� , �= �( )

� . (2.35) Besaran

= �

� (2.36) merupakan koefisien difusi dan � bilangan peclet untuk dopant. Dengan demikian masalah nilai batas untuk konsentrasi dopant diberikan sebagai berikut:

_� =� �

� ��

�

�� , (2.37) dengan syarat batas

= 0 � di �= 0

dan

(32)

Solusi untuk konsentrasi dopant [2] yang diberikan pada persamaan (2.37) dengan syarat batas (2.38) adalah sebagai berikut

�,� = 2 �,�; 0 , (2.39) 1

0

dengan fungsi Green yang diberikan sebagai berikut �,�; = 1

4 �� −

�2₊ 2

4�� 0

�

2�� (2.40)

(33)

10

III PEMBAHASAN DAN HASIL

Dalam bagian ini akan dibahas perilaku penyelesaian dari model persamaan bagi perubahan suhu dan jari-jari turbulen selama pembentukan serat optik berdasarkan alur yang diberikan dalam pustaka [2]. Selain itu, juga akan dibahas perubahan konsentrasi dopant selama pembentukan serat optik.

3.1 Suhu dan Jari-jari turbulen

Untuk menentukan solusi bagi suhu dan jari-jari turbulen pada pembentukan serat optik, maka ditinjau dua proses, yaitu proses sebelum melalui pendinginan (ℓ= 1) dan proses dalam keadaan pendinginan (ℓ< 1).

3.1.1 Proses Sebelum Melalui Pendinginan (� =�) Persamaan (2.31) dan (2.32) dapat ditulis menjadi

= −ℱln − (1− ), (3.1)

=ℋ 1− , (3.2)

dengan

ℱ

=

2

ln .

Berdasarkan persamaan (3.1) dan (3.2) diperoleh =−ℱln

ℋ

− (1− )

1− , (3.3)

sedangkan syarat batas (2.33) memberikan

0 = 1 dan 0 = 0. (3.4)

Jika persamaan (3.3) diintegralkan terhadap dan syarat batas (3.4) digunakan, maka diperoleh

= 1−ℱln

2ℋ 1 (1− ) − 1 2

(3.5) dengan

1 =

− ∞

(34)

Fungsi ₁ memenuhi

1 ~ − → ∞,

dan ₁ ~−ln − →0.

Selanjutnya, jika persamaan (3.5) disubstitusikan ke dalam persamaan (3.2), maka diperoleh

=ℋ 1−ℱln

2ℋ 1 1− − 1 (1− ). (3.6)

Jika 1, maka 1[ ] kecil, sehingga 1 1− juga kecil, jika 1− 1 . Jadi dari persamaan (3.6) diperoleh

= ℋ 1− . (3.7) Jika persamaan (3.7) diintegralkan tarhadap z, maka diperoleh

= 1− −ℋ . (3.8) Apabila z meningkat ke 1 untuk ℋ 1, maka 1− →0, sehingga untuk

1

ℋ , diperoleh =ℋ 1 +ℱln

2ℋ ln 1− + (1− ). (3.9)

Untuk menentukan penyelesaian , maka diperkenalkan variabel sebagai berikut

1− = − 2ℋ ℱln .

Dengan variabel baru ini, maka persamaan (3.9) menjadi =−ℱln

2 ln + . (3.10) Jika persamaan (3.10) diintegralkan terhadap z, maka diperoleh

ln =− + 1 − ℱ ln

2 , (3.11)

dengan ₁ adalah konstanta pengintegralan yang ditentukan berikut ini.

Karena untuk = 0, diperoleh = 0 dari persamaan (3.8), maka dari

persamaan (3.11) diperoleh

1 = + ln + 2ℋ

(35)

12

Jika nilai ₁ pada persamaan (3.12) disubstitusikan ke dalam persamaan (3.11), maka diperoleh

= − + + ln + 2ℋ

ℱln

−ℱln

2 . (3.13) Kembalikan ke variabel awal, diperoleh

= 1− − + ln + 2ℋ

ℱln 1−

−ℱln₂ _. _(3.14) Selanjutnya fungsi s diperoleh dengan menggunakan persamaan (3.5), dengan memenuhi persamaan (3.14). Jika = 1 disubstitusikan ke dalam persamaan (3.14) dan (3.5) dan menggunakan syarat 1 = −1, maka diperoleh nilai ℱ berikut

ℱ= 1 + 2

ln ln 1 +

ℱ(ln + ) ln

2ℋ , (3.15) asalkan 1. Secara analitik nilai ℱ sulit ditentukan dari persamaan (3.15), karena ℱ dinyatakan dalam persamaan implisit. Tetapi karena

(ln + ) ln

2ℋ ~10

−1 _1, _(3.16)

maka nilai ℱ dapat dihampiri oleh

ℱ= 1 +ln_ℋ+ . (3.17)

Dengan demikian fungsi dapat ditentukan berdasarkan persamaan (3.5) dengan ℱ diberikan oleh persamaan (3.17).

Berikut ini akan dijelaskan karakteristik dari fungsi dan , masing-masing berdasarkan persamaan (3.14) dan (3.5). Untuk itu, dimisalkan ℋ = 100,

= 30, dan = 104, sedangkan ℱ= 1,039783974 diperoleh berdasarkan

(36)

 s

Gambar 2. Grafik fungsi dan untuk ℋ = 100, = 30, dan = 104

Berdasarkan Gambar 2 diperoleh bahwa peningkatan nilai z menyebabkan nilai semakin besar dan nilai s semakin mengecil.

3.1.2 Proses Dalam Keadaan Pendinginan (�< �)

Kasus ini terjadi pada > ℓ, persamaan (2.31) dan (2.32) dapat ditulis menjadi

= −ℱ ln ( −1) , (3.18)

= −ℋ , (3.19)

dengan syarat batas

ℓ = _ℓ dan ℓ = _ℓ. (3.20) Penurunan persamaan (3.18) dan (3.19) dapat dilihat pada Lampiran 4.

Untuk menentukan penyelesaian masalah nilai batas (3.18) – (3.20), maka diperkenalkan variabel berikut:

�= ( _ℓ− ), (3.21)

�=

ℓ , (3.22)

� = ℱ ln

( _ℓ−1)

2 − ℓ . (3.23)

Dengan demikian berdasarkan persamaan (3.18) – (3.20) diperoleh masalah nilai batas berikut:

�� = −� −�, (3.24)

(37)

14

� adalah konstanta laju penurunan suhu.

Penurunan persamaan (3.24) dan (3.25) dapat dilihat pada Lampiran 5. Dari persamaan (3.24) dan (3.25), diperoleh

�

� = −� 1−∈ � �. (3.28)

Jika persamaan (3.28) diintegralkan terhadap � dan syarat batas (3.26) digunakan, maka diperoleh

1−∈� 1, maka persamaan (3.29) dapat dihampiri oleh

�= 1 + 1 �

−�

1−∈� −1 . (3.30)

Penurunan persamaan (3.28) dan (3.29) dapat dilihat pada Lampiran 6.

Nilai � akan mempengaruhi solusi �. Dalam hal ini akan ditinjau nilai � dalam 3 kasus yang berbeda, yaitu: � = 1, � < 1, dan �> 1.

Kasus 1. �=�.

Berdasarkan persamaan (3.30) dan (3.25), untuk ∈ 1 diperoleh hampiran untuk � dan �_� masing-masing sebagai berikut:

Selanjutnya, jika persamaan (3.33) disubstitusikan ke dalam persamaan (3.31), maka diperoleh

�= 1

�+1 . (3.34)

(38)

Kasus 2. �<�.

Karena � < 1 dan suhu terbatas di bawah oleh � = 1, maka dengan menggunakan kasus 1 di atas diperoleh bahwa

� = ln ℱ ln

( _ℓ−1)

2 1− ℓ + 1 . (3.35)

Karena � berorde satu bila ln ln ∈−1, maka � juga berorde satu �=� 1 , sehingga dari persamaan (3.30) diperoleh hampiran sebagai berikut

�= 1 + _�1 −� − 1 . (3.36) Hal yang sama, diperoleh pula hampiran �_� sebagai berikut

�_� = ��,

sehingga menurut persamaan (3.36) diperoleh

�_� = −� + � −1. (3.37)

Jika persamaan (3.37) diintegralkan terhadap � dan syarat batas � 0 = 0 digunakan, maka diperoleh

�= ln � �−1 �− 1

�−1 . (3.38)

Jika persamaan (3.36) disubstitusikan ke dalam lim_�→1�, maka diperoleh �= �−1

�− − �−1 � . (3.39)

Kasus 3. �>�.

Pada kasus ini, ditinjau dua kemungkinan, yaitu �=� 1 dan � besar. Jika �= � 1 , maka hasil yang diperoleh sama dengan kasus � < 1, sehingga

diperoleh persamaan (3.38) dan (3.39). Selanjutnya � besar, misalkan 1 � ∈−1, maka berdasarkan persamaan (3.30) dengan mengabaikan bentuk

eksponensial, diperoleh hampiran � berikut �= 1− 1

� . (3.40)

Jika persamaan (3.40) disubstitusikan ke dalam persamaan (3.25), maka diperoleh

(39)

16

Selanjutnya, jika persamaan (3.41) diintegralkan terhadap �, maka diperoleh �= 1− 2 −∈ �−1 �

∈ (3.42)

dimana ₂ adalah konstan pengintegralan yang ditentukan berikut ini. Penurunan persamaan (3.40) – (3.42) dapat dilihat pada Lampiran 9.

Karena � besar, maka syarat batas � 0 = 0 tidak bisa digunakan. Oleh

Bandingkan persamaan (3.43) dan (3.44), diperoleh ₂ = 1−∈ ln �

�−1 . (3.45)

Dengan demikian persamaan (3.42) menjadi �= 1− −∈ �−1 �

(40)

= _ℓ− 1 ln� �−_�−1 −ℓ − 1

1 − ℓ− 1

ln_�−�

1 1−

− �−1

ℓ −ℓ ₊

1 � −1 − ℓ , (3.50)

dengan = ℱ ln

( _ℓ−1)

2 .

Dengan demikian solusi untuk diperoleh dari persamaan (3.30) adalah = _ℓ 1− 1

�+

ℓ − ℓ �

2

. (3.51)

Jika syarat batas 1 = −1 dan = 1 digunakan, maka diperoleh −1 = _ℓ 1− _�1 + ℓ

1 − ℓ � 1

2

(3.52)

Berikut ini akan dijelaskan karakteristik dari fungsi dan . Persamaan (3.50) adalah solusi untuk � > 1, dan persamaan (3.51) adalah solusi untuk s. Untuk itu dimisalkan ℋ = 350, = 104, = 40, ℓ= 0,2 , � = 1,71 dan

ℋ = 350, sedangkan ℱ= 1,012188798 diperoleh berdasarkan persamaan

(3.17)

Gambar 3. Grafik fungsi dan untuk � = 1,71 dan ℋ = 350

Berdasarkan Gambar 3 diperoleh bahwa peningkatan nilai z menyebabkan nilai dan s semakin mengecil.

Persamaan (3.49) adalah solusi untuk � ≤1, dan persamaan (3.51) adalah solusi untuk s. Untuk itu dimisalkan ℋ = 350, = 104, = 40,

ℓ = 0,2 , �= 0,78 dan ℋ = 1, sedangkan ℱ = 1,012188798 diperoleh

(41)

18

Gambar 4. Grafik fungsi dan untuk � = 0,78 dan ℋ = 1

Berdasarkan Gambar 4 diperoleh bahwa peningkatan nilai z menyebabkan nilai dan s semakin mengecil .

3.2 Difusi Dopant

Berikut ini akan ditentukan nilai �. Untuk itu tuliskan persamaan (3.14) dalam bentuk

= 1− − 1 1− −ℱ ln₂

, (3.53)

dengan ₁ diberikan oleh (3.12). Selanjutnya, diperkenalkan variabel sebagai berikut

= 1− − ℱ ln2 (3.54)

dan dinotasikan

� ≡ � . (3.55)

Jika persamaan (3.54) dan (3.55) diturunkan terhadap z, maka diperoleh = ℱ ln

2 1−

dan

� = _ℱ 2 ln

−

⊖+1− − 1

1− � 0 = 0, (3.56)

(42)

Karena ₁ 1, maka persamaan (3.56) akan ditinjau dalam dua kasus, yaitu ~ 1−1 dan ~1.

Kasus 1. �~�_�−� �.

Pada kasus ini, diperkenalkan variabel baru = 1 , sehingga persamaan (3.56) menjadi

� � = 2 −

⊖+1− −

ℱ ln 1− , �

� ₀ _{= 0} _(3.57)

dengan solusi � dinotasikan dengan � � yang diberikan sebagai berikut: � � =− 2

1ℱ ln 1 −

−_⊖₊₁

1 −_⊖₊₁ =_⊖ =

⊖+1− −

. (3.58)

Kasus 2. �~�.

Pada kasus ini, persamaan (3.56) dapat menjadi solusi outer dinotasikan dengan � 0 yang memenuhi

� 0 = _{ℱ ln}2 −⊖₁₋+1 , (3.59)

dengan solusi � dinotasikan dengan � 0 yang diberikan sebagai berikut � 0 = 2 _ℱ −⊖+1

ln ln 1− + 3 (3.60) dengan ₃ adalah konstanta pengintegralan yang akan ditentukan berikut ini. Penurunan persamaan (3.60) dapat dilihat pada Lampiran 13.

Solusi � � dan � 0 harus memenuhi

lim_→∞� � = lim _→0� 0 . (3.61)

Untuk →0, diperoleh � 0 ~ 3+

2 −⊖+

ℱ ln . (3.62) Selanjutnya, untuk z yang kecil diperoleh

(43)

20

Berdasarkan persamaan (3.58) diperoleh bahwa untuk → ∞,

� � ≈ − _1ℱ_ln2 1 _⊖₊₁ − 1 _⊖ − −⊖+1 1 − −ln +

2 ln ⊖+1 + −⊖+1

1 _{⊖ ⊖}₊₁ +

2 −⊖+1

ℱ ln 1 . (3.63) Penurunan persamaan (3.63) dapat dilihat pada Lampiran 14.

Dengan demikian berdasarkan persamaan (3.62) dan (3.63) diperoleh 3 =−

2

1ℱ ln 1 ⊖+1 − 1 ⊖ −

−_⊖₊₁ _{1 − −}

ln + 2 ln ⊖

+1 + −⊖+1

1 _{⊖ ⊖}₊₁ . (3.64)

Dengan mengembalikan ke variabel awal, diperoleh � 0 = −⊖+1 ₊

3, (3.65)

Jadi dari persamaan (2.32) diperoleh �= −⊖+1 + 3

� . (3.66)

Penurunan persamaan (3.65) dan (3.66) dapat dilihat pada Lampiran 15.

Berikut ini akan dijelaskan tentang koefisien difusi efektif. Berdasarkan persamaan (2.36) dapat disimpulkan bahwa � pada persamaan (3.66) adalah koefisien difusi efektif untuk = ⊝ untuk semua z.

Untuk itu dimisalkan = 20, ⊖= 0,15, �= 3. 10−3, ℋ = 350,

= 40, dan = 104, untuk menentukan nilai �. Kemudian persamaan (2.35)

(44)

Gambar 5. Grafik Konsentrasi Dopant dengan = 20, ⊖= 0,15, � = 3. 10−3,

ℋ = 350, = 40, dan = 104

(45)

22

IV KESIMPULAN DAN SARAN

4.1 Kesimpulan

Model persamaan untuk suhu dan konsentrasi dopant diturunkan berdasarkan persamaan dasar fluida. Persamaan dasar fluida diturunkan dengan menggunakan hukum kekekalan massa, kekekalan momentum, kekekalan energi dan konsentrasi dopant. Kemudian model tersebut disederhanakan dengan menggunakan asumsi gelombang panjang, rapat masa yang yang cukup kecil, dan konduktivitas panas yang hingga, sehingga diperoleh persamaan difusi yang sederhana dan lebih mudah ditentukan solusinya.

Berdasarkan persamaan difusi yang diperoleh, maka ditinjau dua proses fisis yaitu proses sebelum melalui pendingnan dan proses dalam keadaan pendingnan. Dari kedua proses tersebut diperoleh solusi untuk suhu dan jari-jari turbulen. Selain kedua proses fisis tersebut, ditentukan pula konsentrasi dopant yang diperoleh berdasarkan koefisien difusi yang bentuknya berupa fungsi Green.

Perilaku solusi dari persamaan difusi ditentukan berdasarkan suatu simulasi numerik dengan menggunakan bantuan software Maple 12. Hasil simulasi numerik untuk proses sebelum melalui pendinginan, diperoleh bahwa semakin besar jarak dari input nozzle sepanjang sumbu fiber, maka suhunya akan semakin besar dan jari-jari turbulennya semakin mengecil. Dalam proses pendinginan diperoleh bahwa semakin besar jarak dari input nozzle sepanjang sumbu fiber, maka suhu dan jari-jari turbulennya akan semakin mengecil. Untuk konsentrasi dopant diperoleh bahwa semakin besar jarak dari input nozzle sepanjang sumbu fiber, maka konsentrasi dopant akan semakin mengecil.

4.2 Saran

(46)

DAFTAR PUSTAKA

[1] Huang H, Miura RM, Ireland WP, and Puil E. 2003. Heat-induced stretching of a glass tube under tension. SIAM J. Appl. Math. 63:1499-1519 [2] Huang H, Miura RM, and Wylie JJ. 2002. Optical fiber drawing and dopant

transport. http://www.math.yorku.ca.pdf. _{html [12 November 2008].}

[3] Izawa T. 2000. Early days of VAD process. IEEE J. Selected Topics Quantum Electronics, 6:1220-1227.

[4] Lyytikainen K, Hungtington ST, Carter ALG, McNamara P, Fleming S, Abramczyk J, Kaplin I, Schotz G. 2004. Dopant diffusion during optical fiber drawing. Optical Express, 12:972-977.

[5] Lee and Jaluria Y. 1996. Effects of variable properties and viscosity dissipation during optical fiber drawing. Trans. ASME, 118:350-358. [6] Pone E, Daxhelet X, and Lacroix S. 2004. Refractive index profile of

fused-fiber couplers cross-section. Optical Express, 12:1036-1044.

[7] Rodney B. 2008. Arrhenius hukum-Arrhenius equation-van’t Hoff Hukum. http://translate.google.co.id. _{html [5 Januari 2009].}

[8] Suchecka M, Borisovich A, and Serbinski W. Green’s functions methods for mathematical modeling of unidirectional diffusion process in isothermal metal bonding process. http://www.pg.gda.pl.pdf. html [20 Maret 2009]. [9] Yan Y and Pitchumani R. 2004. Numerical study on the dopant

consentration and refractive index profile evolution in an optical fiber manufacturing process. Int. J. Heat Mass Transfer, 49:2097-2112.

[10] Yunus A. 2003. Heat transfer a practical approach. Mc. Graw Hill companies. p. 1-335.

[11] Diffusion. p. 1-29. http://personal.cityu.edu.hk.PDF. _{Html [26 Maret 2009].} [12] Persamaan bessel dan fungsi-fungsi bessel jenis pertama. http://www.

(47)

(48)

Lampiran 1

Misalkan diberikan pengskalaan berikut: =

Substitusikan pengskalaan di atas ke dalam persamaan (2.1) diperoleh bentuk berikut:

(49)

25

(50)

(51)

27

Substitusikan pengskalaan di atas ke dalam ruas kiri persamaan (2.3) diperoleh bentuk berikut:

(52)

atau

(53)

29

(54)

Selanjutnya substitusikan pengskalaan di atas ke ruas kanan persamaan (2.4)

(55)

31

(56)

Selanjutnya substitusikan pengskalaan di atas ke ruas kanan persamaan (2.5)

(57)

33

Lampiran 2

Penurunan persamaan (3.1) Tinjau persamaan (2.31) berikut:

= −2 .

Karena = − , maka persamaan (2.31) menjadi = − 2 ₋

atau

= −2

atau

= −2 1

atau

= −2 −

atau

= −2 − (1− )

atau

= −2

ln ln

− (1− )

atau

= −ℱ ln − (1− ).

Penurunan persamaan (3.2) Tinjau persamaan (2.32) berikut =

1

2 [ ℋ 1− − − ℋ − ],

atau

= [ ℋ 1− − − ℋ − ]

Karena = 1, maka ℋ = 0 sehingga diperoleh

= [ ℋ 1− . 1−0 . . 1]

atau

(58)

Penurunan persamaan (3.3) Karena

= = ,

maka dengan menggunakan persamaan (3.1) dan (3.2) diperoleh = −ℱ ln Tinjau persamaan (3.3) berikut = −ℱ ln

(59)

(60)

= 1− ℱ ln

2 ℋ

− ∞

1−

− −

∞

2

atau

= 1− ℱ ln

2 ℋ 1 1− − 1 2

(61)

37

Lampiran 3

Penurunan persamaan (3.6)

Dengan mensubstitusikan persamaan (3.5) ke dalam persamaan (3.2) berikut = ℋ 1−

diperoleh

= ℋ 1− ℱ ln

2 ℋ 1 1− − 1 1−

Penurunan persamaan (3.8) Tinjau persamaan (3.7) berikut = ℋ 1−

atau

= ℋ 1−

atau

1− = ℋ

Jika kedua ruas persamaan di atas diintegralkan terhadap z, maka diperoleh −ln 1− = ℋ

atau

ln 1− = −ℋ

atau

1− = −ℋ atau

= 1− −ℋ

Penurunan persamaan (3.9) Tinjau persamaan (3.6) berikut = ℋ 1− ℱ ln

2 ℋ 1 1− − 1 1−

Karena 1 ~−ln − , maka persamaan (3.6) menjadi

= ℋ 1− ℱ ln

(62)

atau

Jika persamaan di atas diturunkan terhadap z pada kedua ruas, maka diperoleh

−

−_ℱ2 _lnℋ

=

Jika persamaan (3.9) digunakan, maka diperoleh

(63)

39

= −ℋ 1 + ℱ ln

2 ℋ −

2 ℋ

ℱ ln + ln + atau

= −ℋ 1−1 + ℱ ln

2 ℋ ln +

atau

= −ℋ ℱ ln

2 ℋ ln +

atau

= − ℱ ln

2 ( ln + )

Penurunan persamaan (3.11) Tinjau persamaan (3.10) berikut = − ℱ ln

2 ( ln + )

atau

( ln + ) = −

ℱ ln

2

Jika kedua ruas persamaan di atas diintegralkan terhadap z, maka diperoleh ln ln + = − ℱ ln

2 ( + )

atau

ln + = ₁ −ℱ ln2

atau

ln = − + 1 − ℱ ln

(64)

Dengan mensubstitusikan = 0 ke dalam persamaan (3.8) berikut = 1− −ℋ ,

maka diperoleh = 0 sehingga persamaan berikut 1− = − 2 ℋ ℱ ln

memberikan

1−0 = − 2 ℋ

ℱ ln

atau

= − 2 ℋ

ℱ ln

atau

= 2 ℋ

ℱ ln _.

Berdasarkan bentuk ln = − + 1 −

ℱ ln 2 _, maka untuk = 0, diperoleh ln = − + 1

atau ln

2 ℋ

ℱ ln ₌− ₊

1.

Jadi bentuk ₁ diperoleh berikut: 1 =γ+ ln

2 ℋ

ℱ ln

atau

₁ =γ+ ln + ln 2 ℋ ℱ ln

atau

(65)

41

Dengan mensubstitusikan persamaan (3.12) ke dalam persamaan (3.11) berikut ln = − + ∗ −ℱ Tinjau persamaan (3.13) berikut 1− = −

(66)

= 1− −ln 1−

Dengan mensubstitusikan = 1 ke dalam persamaan (3.14) diperoleh = 1− − γ+ln +

2 ℋ ℱ ln 1−

−ℱ ln₂

Substitusikan persamaan (3.14) ke dalam persamaan berikut 1 1− =−ln 1− − sehingga persamaan (3.4) berikut

= 1− ℱ ln

Dengan menggunakan syarat batas 1 = −1 diperoleh ℱ ln

2 ℋ −ln − + γ+ ln +

2 ℋ

ℱ ln 1−

(67)

43

Jadi bentuk ℱ diperoleh berikut: ℱ= 1 + 2

Dengan menggunakan deret Taylor dari fungsi f di sekitar = 0, diperoleh ≈ ′ 0

atau

( )≈ ℱ .

Jadi persamaan (3.15) berikut ℱ= 1 + 2

ln

ℱ ln + ln 2 ℋ

(68)

1− 2 ln

ln + ln

2 ℋ ℱ = 1

atau

ℱ= 1

1− 2

ln

ln + ln

2 ℋ

atau

ℱ= 1

1−ln _ℋ+

Karena = ln +

ℋ cukup kecil, maka dengan deret Taylor dari ℱ terhadap diperoleh

ℱ= 1 +

atau

(69)

45

Lampiran 4

Dengan menggunakan persamaan (2.31) berikut = −2

dan = − , diperoleh = − 2 ₋

atau

= −2

atau

= −2 1

atau

= −2 −

atau

= −2 − (1− )

atau

= −2 − 1− ln ln

atau

= −2

ln ln

− (1− )

atau

= −ℱ ln − (1− )

atau

(70)

Penurunan persamaan (3.19) Tinjau persamaan (2.32) berikut

= 2 1_[ℋ ₁− − − ℋ − _]

atau

= [ ℋ 1− − − ℋ − ]

Karena < 1 memberikan ℋ = 0, maka diperoleh

= [ 0. 1− .1 − ℋ .1 ]

atau

(71)

47

(72)

�� = − ℓ

ℓ _−�

atau

�_� = − ℓ

2

ℓ _−�

atau

�_� = − ℓ

−�

atau

�_�= −� −�.

Penurunan persamaan (3.25) Misakan �=

ℓ dan �= ℓ− , maka

= _ℓ− � dan = _ℓ� Karena

= ,

maka diperoleh persamaan berikut −ℋ =

� � �

�

atau

−ℋ = − 1 �_� ℱ ln

( _ℓ−1)

2

sehingga

�_� = 2 ℋ ℱ ln ( ℓ−1) atau

�_� = 2 ℋ

(1− _ℓ)

(73)

49

�_� = 2 ℓ�ℋ

(1− _ℓ)

ℱ ln atau

�_� =

2 _ℓ�ℋ _ℓ− � (1− ℓ)

ℱ ln atau

�� =

2 _ℓ�ℋ _ℓ− ℓ

ℓ�

(1− _ℓ)

ℱ ln atau

�� =

2 _ℓ�ℋ _ℓ 1− 1

ℓ�

(1− _ℓ)

ℱ ln atau

�_� = 2 ℓ ℋ ℓ

(1− _ℓ)

ℱ ln � 1−

1

ℓ�

Karena �= 2 ℓ ℋ ℓ

(1− ℓ)

ℱ ln dan ∈= 1

(74)

Lampiran 6

Dari persamaan (3.24) dan (3.25) diperoleh � Tinjau persamaan (3.28) berikut �= − 1

� 1−∈ �

−� _�

(75)

51

�= 1 + 1 �

−�

1−∈ � −1 − ∈ �

−�

1−∈ � 2 �

atau

�= 1 + 1 �

−�

1−∈ � −1 − ∈ �

−�

1−∈ � 2 � �

(76)

Lampiran 7

Penurunan persamaan (3.33) Tinjau persamaan (3.32) berikut �� = −�

atau

� �= �.

Jika kedua ruas persamaan (3.32) diintegralkan terhadap �, maka diperoleh � � = ln �+ .

Jika syarat batas � 0 = 0 digunakan, maka diperoleh � 0 = ln 0 +

memberikan = 1

sehingga

�= ln �+ 1

Dengan mensubstitusikan persamaan (3.33) ke dalam persamaan (3.31), diperoleh �= − ln �+1

atau

�= ln �+1 −1

atau

�= �+ 1 −1

atau

(77)

53

Lampiran 8

Karena �< 1 dan suhu terbatas di bawah oleh � = 1, maka diperoleh � = ln �+ 1

Karena �= ℱ ln ( ℓ−1)

2 − ℓ dan = 1, diperoleh � = ln ℱ ln

( _ℓ−1)

2 1− ℓ + 1

Penurunan persamaan (3.37) Tinjau persamaan (3.25) berikut �_� = �� 1−∈ �

Karena � berorde satu dan ∈ 1, maka persamaan (3.25) menjadi �� = ��

atau

�_� = � 1 + 1

� −� − 1 atau

(78)

Penurunan persamaan (3.38) Tinjau persamaan (3.37) berikut �

� = −� + � −1

atau

_−� 1

+ � −1 �= �

Jika kedua ruas persamaan (3.37) diintegralkan terhadap �, dan dimisalkan

= 1 + � −1 �, maka persamaan (3.37) menjadi

1 � −1

1

= �

atau

1

� −1 ln = �+ atau

1

� −1 ln 1 + � −1

� ₌_�₊

atau

ln 1 + � −1 � = � −1 �+ � −1

atau

1 + � −1 � = �−1 �+ ∗

atau

� =

∗∗ �−1 �₋₁

� −1 sehingga

� � = ln

∗∗ �−1 �₋₁

� −1

Jika syarat batas � 0 = 0 digunakan, maka � 0 = ln

∗∗₋₁

� −1 memberikan

∗∗ = �

sehingga diperoleh � = ln �

(79)

55

Dengan mensubstitusikan persamaan (3.36) ke dalam lim_�_→₁�, diperoleh lim

�→1�= lim�→11 + 1

� −� − 1 atau

lim

�→1�= 1 +

−� ₋₁

atau lim

�→1�= −�

sehingga diperoleh �= −�

atau

�= −ln�

�−1 �₋₁ �−1

atau

�= �

�−1 �₋₁ � −1

−1

atau

�= � −1 � �−1 �₋₁ atau

(80)

Lampiran 9

Dengan mensubstitusikan persamaan (3.40) ke dalam persamaan (3.25), diperoleh �� = � 1−_�1 1−∈ � atau �� = � −1 1−∈ �

Penurunan persamaan (3.42) Tinjau persamaan (3.41) berikut �

� = � −1 1−∈ �

Jika kedua ruas persamaan (3.41) diintegralkan terhadap �, maka diperoleh 1

1−∈ � �= � −1 �.

Misalkan = 1−∈ � maka �= −1

∈ , sehingga diperoleh −1

∈ 1

= � −1 �

atau −1

∈ln = � −1 �+ atau

= 2 −∈ �−1 �

atau

1−∈ � = 2 −∈ �−1 �

atau

� = 2

−∈ �−1 �₋₁

−∈ atau

� = 1− 2

−∈ �−1 �

(81)

57

Lampiran 10

Dengan menggunakan persamaan (3.38) berikut �= ln �

�−1 �₋₁ � −1 memberikan

�~ ln �−1 �+ ln � � −1 atau

�~ � −1 �+ ln � � −1.

Dengan membandingkan persamaan (3.43) dan (3.44) diperoleh 1− 2 1−∈ � −1 �

∈ = � −1 �+ ln

� � −1 atau

1− 2 1−∈ � −1 � = ∈ � −1 �+ ∈ ln � � −1 atau

2 = 1−∈ ln � � −1.

Dengan mensubstitusikan persamaan (3.45) berikut ₂ = 1−∈ln �

� −1

ke dalam persamaan (3.42), diperoleh

�=

1− 1−∈ ln_{� −}� ₁ −∈ �−1 �

∈ atau

�= 1−

−∈ �−1 �

∈ + ln

� � −1

(82)

Lampiran 11

(83)

(84)

(85)

61

Gunakan syarat batas 1 = −1 pada persamaan (3.51) berikut = _ℓ 1− 1

�+ ℓ

− ℓ

� 2

diperoleh

1 = _ℓ 1− 1 �+ ℓ

1 − ℓ � 1

2

atau

−1 = _ℓ 1− 1 �+ ℓ

1 − ℓ � 1

(86)

Lampiran 12

(87)

63

Lampiran 13

Penurunan persamaan (3.60) � 0 = 2

ℱ ln 1− −⊖+1 .

Jika kedua ruas persamaan di atas diintegralkan terhadap , maka diperoleh

�= 2

ℱ ln 1− −⊖+1 atau

� 0 = 2 −⊖ +1 ℱ ln

1

1−

atau

� 0 = 2 −⊖ +1

ℱ ln ln 1− + 3

Lampiran 14

Karena 1 ~ −ln untuk kecil, maka persamaan (3.58) menjadi � � ~− 2

1ℱ ln 1 − −⊖+1 1 − ⊖+1 ₌ ⊖ =

⊖+1− −

� � ≈ − _1ℱ_ln2 1 ⊖

+1 − 1 ⊖

− −⊖+1 1

⊖+1− − − ⊖+1

+ −⊖+1

1 ⊖ − ⊖ +1

� � _≈ ₋ 2

1ℱ ln 1 ⊖+1 − 1 ⊖

− −⊖+1 − −_ln

⊖+1− − − ⊖+1

+ −⊖+1

(88)

� � ≈ − _1ℱ_ln2 1 ⊖

+1 − 1 ⊖

− −⊖+1 − −_ln _{+ 2 ln} ⊖₊₁

+ −⊖+1

1 ⊖

(⊖+1) +

2 −⊖+ ℱ ln 1

→ ∞

Lampiran 15

Penurunan persamaan (3.65) Karena � 0 = � 0

substitusi persamaan (3.60), memberikan

� 0 = −2 −⊖ +1

ℱ ln ln 1− + 3 atau

� 0 = −⊖+1 ₊ 3 dengan = −2 ln 1−

ℱ ln

Karena � = � 1 , untuk = 1, maka persamaan (3.65) memberikan � = −⊖+1 _{.1 +}

3

atau

� = −⊖+1 ₊ 3

atau

�� = −⊖+1 ₊ 3

atau

�= −⊖ +1 ₊

(89)

65

Lampiran 16

Nilai Parameter Fisis

Variabel Nilai Satuan

 2,23 x 103 Kg / m3

cp 7,538 x 102 J / ( K kg )

kc 1,13 W / ( m K )

kr 1,2 x 10 W / ( m K )

 3 x 10-1 kg / s

hf 200 W / ( m2 K )

hc 20 W / ( m2 K )

u0 10-4 m / s

ud 1 m / s

L 0,5 m

Lf 0,1 m

Ro 6 x 10-3 m

T0 300 K

Tf 2300 K

0 10

8

kg / ( m s)

G 2 x 10-2 K-1

D 2,4 x 10-6 m2 / s

GD 3,73 x 104 K

(90)

MODEL MATEMATIKA UNTUK PERUBAHAN SUHU

DAN KONSENTRASI DOPANT

PADA PEMBENTUKAN SERAT OPTIK

MIFTAHUL JANNAH

SEKOLAH PASCASARJANA

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

(91)

PERYATAAN MENGENAI TESIS DAN

SUMBER INFORMASI

Bogor, Agustus 2009

Miftahul Jannah

(92)

Dopant Concentration Changes on the Optical Fiber Drawing. Under supervision of JAHARUDDIN and SISWANDI

(93)

RINGKASAN

MIFTAHUL JANNAH. Model Matematika untuk Perubahan Suhu dan Konsentrasi Dopant pada Pembentukan Serat Optik. Dibimbing oleh JAHARUDDIN dan SISWANDI

(94)

bidang, seperti di bidang kedokteran. Pada bidang kedokteran, salah satu contoh alat yang terbuat dari serat optik adalah cystoscope. Alat lain yang sangat bermanfaat dalam kehidupan sehari-hari adalah kacamata, kaca pembesar, mikroskop, kamera dan lain sebagainya. Dengan demikian hasil dari tesis ini memiliki manfaat yang cukup besar.

(95)

PRAKATA

Bogor, Agustus 2009

(96)

Sobur dan ibu Aminah. Penulis merupakan anak kedua dari tiga bersaudara. Tahun 2000 penulis lulus MAN 8 jurusan Ilmu Pengetahuan Alam dan pada tahun yang sama lulus seleksi masuk Universitas Islam Negeri Syarif Hidayatullah Jakarta. Penulis memilih jurusan Pendidikan Matematika pada Fakultas Ilmu Tarbiyah dan Keguruan dan selesai pada tahun 2004.