Menentukan Model Koefisien Regresi Multiple Variabel Menggunakan Masimum Likelihood.

MENENTUKAN MODEL KOEFISIEN REGRESI MULTIPLE VARIABEL DENGAN MENGGUNAKAN MAKSIMUM LIKELIHOOD

SKRIPSI

BENNY SOFYAN SAMOSIR 080823004

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

PERSETUJUAN

Judul : MENENTUKAN MODEL KOEFISIEN REGRESI

MULTIPLE VARIABEL MENGGUNAKAN MASIMUM LIKELIHOOD

Kategori : SKRIPSI

Nama : BENNY SOFYAN SAMOSIR

Nomor Induk Mahasiswa : 08082004

Program Studi : SARJANA (S1) MATEMATIKA

Departemen : MATEMATIKA

Fakultas : MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN

ALAM (FMPA) UNIVRSITAS SUMATERA UTARA

Diluluskan di

Medan, Januari 2011

Komisi Pembimbing :

Pembimbing 2 Pembimbing 1

Drs. H. Haluddin Panjaitan Drs. Marawan Harahap, M. Eng

NIP 1946 0309 1979 0210 01 NIP 1946 1225 1974 0310 01

Diketahui/Disetujui oleh

Departemen Matematika FMIPA USU

Ketua,

Prof. Tulus,M.Sc

PERNYATAAN

MENENTUKAN MODEL KOEFISIEN REGRESI MULTIPLE VARIABEL DENGAN MENGGUNAKAN MAKSIMUM LIKELIHOOD

SKRIPSI

Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.

Medan, Januari 2011

BENNY SOFYAN SAMOSIR

PENGHARGAAN

Puji dan syukur penulis panjatkan kepada tuhan yang maha pemurah dan maha penyayang,dengan limpah karunia-Nya kertas kajian ini berhasil diselesaikan dalam waktu yang telah ditetapkan.

Abstrak

Di dalam upaya penentuan persamaan estimasi linear dengan metode garis lurus akan menghasilkan persamaan yang baik, semua titik yang mencerminkan pasangan data berada di sekitar garis lurus tersebut. Namun, jika titik titik pasangan data tersebut satu sama lain, maka persamaan linear yang baik untuk mengestimasi nilai variabel dependen adalah persamaan linear yang kurvanya mempunyai kesalahan yang minimum antara titik estimasi dengan titik sebenarnya. Penelitian ini menerangkan bagaimana cara untuk mendekati garis regresi dengan metode maksimum likelihood.

Bentuk umum persamaan regresi linier sederhana yang menunjukan hubungan antara dua variabel,yaitu variabel X sebagai variabel bebas dan variabel Y sebagai variabel tak bebas adalah:

i i e X

Y =β₀ +β₁ + untuk Keterangan :

variabel tak bebas variabel bebas

intersep (titik potong kurva terhadap sumbu Y) kemiringan ( slope)

kesalahan

Abstract

In determining equation of linear estimation with the straight line method will produce a good equation. All point reflected couple data are in the straight line. But, if the couple points are each other, so the good equation of linear to etimate variable value dependent is curve equation of linear which has minimal false between estimation point with real point. The research explains how the way to approach the linear regression with maxsimum likelihood method.

General shape of equation simple linear regression that shows the correlation between two variables, they are X variables as independent variable and variable Yas dependent variable is.

i i e X

Y =β₀ +β₁ + for i=1,...,n

Remark:

Y = is dependent variable

i

X = is independent variable

0

β = is intercept (curve cut point to axis Y)

1

β = is inclination (slope)

i

e = error

From the data, can be determined

Λ − =Y Y

DAFTAR ISI

Persetujuan ii

Pernyataan iii

Penghargaan iv

Abstrak v

Abstract vi

Daftar Isi vii

Daftar Tabel viii

BAB 1 PENDAHULUAN 1

1.1 Latar Belakang 1

1.2 Perumusan Masalah 3

1.3 Tinjauan Pustaka 5

1.4 Kontribusi Penelitian 5

1.5 Metode Penelitian 6

BAB 2 LANDASAN TEORI 7

2.1 Analisa Regresi 7

2.1.1 Regresi Linier Sederhana 8

2.1.2 Multiple Regresi 11

2.2 Estimasi 12

2.2.1 Estimasi Maksimum Likelihood 14

2.2.2 Maksimum Likelihood dengan Multiple Regresi 14

BAB 3 PEMBAHASAN 19

3.1 Estimasi Parameter Menggunakan Maksimum Likelihood 19 3.2 Menentukan Persamaan Multiple Regresi Dengan Matriks 26 3.3 Estimasi Interval Untuk Parameter Multiple Regresi 28

3.4 Pengujian Hipotesis 31

4.1 Kesimpulan 36

4.2 saran 37

DAFTAR TABEL

Tabel 3.1 Penyajian Data 19

Tabel 3.2 Maksimum Likelihood pada Multiple Regresi Y dalam X1, X2, dan X3

Tabel 3.3 Penentuan Nilai 29 24

Abstrak

Di dalam upaya penentuan persamaan estimasi linear dengan metode garis lurus akan menghasilkan persamaan yang baik, semua titik yang mencerminkan pasangan data berada di sekitar garis lurus tersebut. Namun, jika titik titik pasangan data tersebut satu sama lain, maka persamaan linear yang baik untuk mengestimasi nilai variabel dependen adalah persamaan linear yang kurvanya mempunyai kesalahan yang minimum antara titik estimasi dengan titik sebenarnya. Penelitian ini menerangkan bagaimana cara untuk mendekati garis regresi dengan metode maksimum likelihood.

Bentuk umum persamaan regresi linier sederhana yang menunjukan hubungan antara dua variabel,yaitu variabel X sebagai variabel bebas dan variabel Y sebagai variabel tak bebas adalah:

i i e X

Y =β₀ +β₁ + untuk Keterangan :

variabel tak bebas variabel bebas

intersep (titik potong kurva terhadap sumbu Y) kemiringan ( slope)

kesalahan

Abstract

In determining equation of linear estimation with the straight line method will produce a good equation. All point reflected couple data are in the straight line. But, if the couple points are each other, so the good equation of linear to etimate variable value dependent is curve equation of linear which has minimal false between estimation point with real point. The research explains how the way to approach the linear regression with maxsimum likelihood method.

General shape of equation simple linear regression that shows the correlation between two variables, they are X variables as independent variable and variable Yas dependent variable is.

i i e X

Y =β₀ +β₁ + for i=1,...,n

Remark:

Y = is dependent variable

i

X = is independent variable

0

β = is intercept (curve cut point to axis Y)

1

β = is inclination (slope)

i

e = error

From the data, can be determined

Λ − =Y Y

BAB 1

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Analisis regresi di bedakan atas dua jenis variabel yaitu variabel bebas dan variabel terikat. Penentuan variabel bebas dan terikat dalam beberapa hal tidak mudah dilaksanakan. Studi yang cermat, diskusi yang seksama, berbagai pertimbangan,kewajaran masalah yang dihadapi dan pengalaman akan memudahkan penentuan. Sedangkan variabel yang mudah didapat atau tersedia sering digolongkan kedalam variabel bebas, sedangkan variabel yang terjadi karena variabel bebas itu merupakan variabel terikat. Untuk keperluan analisis, variabel bebas akan dinyatakan dengan X1, X2, ... , Xk ( k≥1), sedangkan variabel terikat akan dinyatakan dengan Y.

Statistika bermaksud menyimpulkan populasi yang pada umumnya dengan menggunakan hasil analisis data sampel. Khusus mengenai regresi dalam menentukan hubungan fungsional yang diharapkan berlaku untuk populasi berdasarkan data sample yang diambil dari populasi yang bersangkutan. Seperti dikatakan diatas hubungan fungsional ini akan dituliskan dalam bentuk persamaan matematika yang disebut persamaan regresi dan bergantung pada parameter- parameter.

Regresi linier merupakan suatu metode analisis statistika yang mempelajari pola hubungan antara dua atau lebih variabel. Pada kenyataan sehari hari sering dijumpai sebuah kejadian dipengaruhi oleh lebih dari satu variabel, oleh karena itu dikembangkan analisis multiple regresi. Multiple regresi adalah perluasaan dari simple regresi yang mempunyai lebih dari satu variabel bebas X. Multiple regresi digunakan untuk memodelkan hubungan antara variabel terikat dan variabel bebas. Untuk

mendapatkan estimasi β0, β1, ... , βk digunakan metode maksimum likelihood, dimana metode ini secara prinsip dapat meminimumkan jamlah kuadrat kesalahaan.

yang memaksimalkan kemungkinan dari data sample. Dari sudut pandang statistik, metode maksimum likelihood ini dianggap lebih kuat pada hasil estimator dengan sifat statistik. Selain itu, metode ini juga lebih efisien untuk ketidakpastian pengukuran melalui batas keyakinan. Meskipun metodologi untuk estimasi maksimum likelihood sangat sederhana namun pelaksanaan matematiknya sangat kuat. Parameter yang diperoleh dari fungsi estimasi maksimum likelihood merupakan nilai yang sebenarnya. Jelas bahwa ukuran sample menentukan ketelitian dari estimator, jika ukuran sample sama dengan populasi, maka estimator memiliki sifat tidak bias, kosisten dan efisien.

1.2 Perumusan Masalah

Dalam penelitian ini penulis menggunakan buku buku berikut sebagai sumber utama, diantaranya:

1. Sopranto, Apabila variabel mempunyai hubungan linier dengan n buah variabel X, maka model matematika multiple regresinya adalah:

Y= β0+ β1X1+ β2X2+ ^ + βkXk

Dimana:

+ ε

Y = variabel terikat X1, ... , Xk

β

= variabel bebas pada variabel ke 1 sampai variabel ke k 0, β1, ..., βK

ε = nilai kesalahaan = parameter regresi

Yi= β0+ β1X1i+ β2X2i+ ^ + βkXki+ ε

Dimana:

Y = variabel terikat X1i, ... , Xki

β

= variabel bebas pada variabel ke 1 sampai variabel ke k 0, β1, ..., βK

ε = nilai kesalahaan = parameter regresi

Secara umum, andaikan peneliti mempunyai sampel berukuran n buah peneliti ingin mengetahui kemungkinan sampel yang diamati. Diperlihatkan fungsi nilai

kemungkinan untuk β0, β1, ..., βK: p(Y1, Y2, ..., Yn / β0, β1, ..., βK

p(Y

). Untuk nilai Y bebas dengan mengalikan semua kemungkinan bersama, dimana:

1, Y2, ..., Yn/ β0, β1, ..., βK

( ) ( ) ... 2 1 2 1 2 1 1 0 2 2 1 1 0 1 2 1 2 1                 = −  −β+β σ+ +β  −  −β +β σ+ +β  π σ π σ ki k i ki k

i x Y x x

x Y e e   ) ( )

∏

₌ −  − + + +          = n i x x

Y_{i i k ki} e 1 2 1 2 1 1 0 2

1 β β _σ β

π σ



Dengan

∏

= n

i 1

Mengatakan hasil kali n kemungkinan bersama untuk nilai Yi

(

)

( ) ( ) 2 1 1 1 0 2 1 1 0 2 1 2 1 ,..., , ,..., , ∑     − + + + − =       = n i ki k i

i x x

Y n k n e Y Y Y p σ β β β π σ β β β  yang penggunaannya dikenal untuk eksponensial. Hasil diatas dapat diperlihatkan dengan penjumlahaan eksponen:

Mengingat Yi amatan yang diberikan dipertimbangkan untuk berbagai nilai β0, β1, ...,

(

)

=

( )

∑=   

 − − − − − n

i

ki k i

i x x

Y

n

k e

L 1

2 1

1 0

2 1 1

0

2 1 ,...,

, σ

β β β π

σ β β β



Dimana:

L(β0,β1, ..., βk

σ = Parameter yang merupakan simpangan baku untuk distribusi. ) = Fungsi maksimum likelihood pada parameter

π = nilai konstan ( 3.14)

n = Banyak data sampel

e = Biangan konstan ( 2.7183) Yi

β

= Variabel terkat ke i i = Parameter regresi ke i

1.3 Tujuan Penelitian

Tujuan penelitian ini adalah untuk menguraikan cara mengestimasi parameter multiple regresi dengan meminimumkan eror menggunakan maksimum likelihood.

1.4 Kontribusi Penelitian

b. Dengan diketahuinya bagaimana cara mengestimasi parameter multiple regrsi menggunakan maksimum likelihood diharapkan dapat meminimumkan jarak antara titik data dan garis regresi.

c. Untuk mengetahui besarnya pengaruh dari setiap variabel bebas ( yang tercakup dalam persamaan) terhadap variabel tak bebas.

1.5 Metode Penelitian

Uraian metode yang digunakan dalam penelitian secara rinci sebagai berikut: a. Membentuk persamaan dari jumlah deviasi kuadrat.

BAB 2

LANDASAN TEORI

2.1 Analisis Regresi

Perubahan nilai suatu variabel tidak selalu terjadi dengan sendirinya, namun perubahan nilai variabel itu dapat pula disebabkan oleh berubahnya variabel lain yang berhubungan dengan variabel tersebut. Untuk mengetahui pola nilai suatu variabel yang disebabkan oleh variabel lain diperlukan alat analisis yang memungkinkan peneliti untuk membuat perkiraan nilai variabel tersebut pada nilai tertentu variabel yang mempengaruhinya.

tersebut untuk membuat perkiraan. Analisis regresi berguna dalam menyelidiki hubungan dua variabel atau lebih dan terutama untuk mengetatahui pola hubungan yang modelnya belum diketahui dengan sempurna, sehingga dalam penerapannya lebih bersifat eksploratif.

Istilah persamaan regresi estimasi sering di temui dalam statistik yang berarti Persamaan regresi yang digunakan untuk membuat taksiran terhadap nilai variabel terikat, yaitu suatu formula matematis yang menunjukkan hubungan keterkaitan antara satu atau beberapa variabel yang nilainya sudah diketahui ( known variabel ) dengan satu variabel yang nilainya belum diketahui ( unknown variabel ). Sifat hubungan antar variabel dalam persamaan regresi merupakan hubungan sebab akibat.

Istilah Regresi pada mulanya bertujuan untuk membuat perkiraan nilai suatu variabel terhadap variabel yang lain. pertama kali diperkenalkan pada tahun 1877 oleh Sir Francis Galton (1822 – 1911) pada penelitiannya terhadap manusia. Penelitian tersebut membandingkan antara tingggi anak laki-laki dan tinggi badan orang tuanya. Istilah regresi pada mulanya bertujuan untuk membuat perkiraan nilai suatu variabel (tinggi badan anak) terhadap suatu variabel yang lain (tinggi badan orang tua). Pada perkembangan selanjutnya, analisis regresi digunakan sebagai alat membuat perkiraan nilai suatu variabel dengan menggunakan beberapa variabel lain yang berhubungan dengan variabel tersebut.

2.1.1 Regresi Linier Sederhana

Dan biasanya variabel terikat dinotasikan dengan Y, sedangkan variabel bebas dinotasikan dengan X. Hubungan-hubungan tersebut dinyatakan dalam model matematis yang memberikan persamaan-persamaan tertentu.

Bentuk umum persamaan regresi linier sederhana yang menunjukkan hubungan antara dua variabel, yaitu variabel X sebagai variabel bebas dan variabel Y sebagai variabel terikat adalah

�� = �0+ �1�� (2.1)

dimana: Yi X

= variabel terikat ke-i i

�0 = intersep (titik potong kurva terhadap sumbu Y) = variabel bebas ke-i

�1 = kemiringan (slope) kurva linier

Gambar 2.1 Diagram pencar

Metode kuadrat terkecil adalah suatu metode untuk menghitung �₀ dan �₁. sebagai perkiraan �₀ dan �₁, sehingga Sum Square Deviation

(

SSD=

∑

e_i2

)

memiliki nilai terkecil.

Model sebenarnya : Y = �₀ + �₁X + ε Model perkiraan : Yˆ= βˆ₀ + βˆ₁X + e

Yaitu βˆ₀, βˆ₁ merupakan perkiraan / taksiran atas �₀, �₁.

Jika X dikurangi dengan rata-ratanya

(

xi = Xi −X

)

akan diperoleh variabel

baru x dengan

∑

x_i =0. Sehingga di dapat persamaan baru: �� = �0+ �1��+��

�� = �� −(�0+�1��)

��� = ∑ �_�2 = ∑[�_�− (�0+�1��)]2 (2.2)

Gambar 2.2 Suatu pengamatan (data) yang tidak tepat pada garis regresi

Kemudian akan ditaksir �₀ dan �₁. jika taksiran ini disubstitusikan ke dalam persamaan (2.2), maka jumlah deviasi kuadrat menjadi minimum. Dengan mendifferensialkan persamaan (2.2) terhadap �₀ dan �₁. dengan menetapkan derivatif parsial yang dihasilkan sama dengan nol, diperoleh:

(

)

0 1 0 0

2 1 0 0

0 2

∑

∑

∑

∑

∑

_{− − = − − = → =}

∂∂ = ∂ ∂

i i

i i

i i

x x

n Y x

Y e

β β β

β β

β

�̂₀ = ∑ ��

� = �� (2.3)

(

)

0 1 2 0 0

2 1 0 1

1 2

= →

= −

− =

− − ∂∂

= ∂ ∂

∑

∑

∑

∑

∑

∑

i _{i i i i i i i}

x x

x Y

x x

Y e

β β

β β β

β

�̂₁ = ∑ ����

∑ �_�2 (2.4)

Nilai βˆ₀ dan βˆ₁ yang diperoleh dengan cara ini disebut taksiran kuadrat terkecil masing-masing dari �₀ dan �₁. Sehingga, taksiran persamaan regresi dapat ditulis sebagai, Yˆ= βˆ₀ + βˆ₁X yang disebut persamaan prediksi.

Untuk menentukan hubungan pengaruh perubahan variabel yang satu terhadap variabel yang lainnya maka di butuhkan peranan Garis Regrsi. Selanjutnya dari hubungan dua variabel ini dapat dikembangkan untuk Permasalahan Multiple Regresi.

2.1.2 Multiple Regresi

Hubungan fungsional yang melibatkan antara sebuah variabel terikat dengan dua atau lebih variabel bebas disebut Multiple regresi (regresi linier ganda) . Semakin banyak variabel bebas yang terlibat dalam suatu persamaan regresi semakin rumit menentukan nilai statistik yang diperlukan hingga diperoleh persamaan regresi estimasi. Regresi linier berganda berguna untuk mendapatkan pengaruh dua variabel kriteriumnya atau untuk mencari hubungan fungsional dua variabel prediktor atau lebih dengan variabel kriteriumnya, atau untuk meramalkan dua variabel prediktor atau lebih terhadap variabel kriteriumnya.

Hubungan linier lebih dari dua variabel yang bila dinyatakan dalam bentuk persamaan matematis adalah:

ε β

β

β + + + +

= X kXk

Y _{0 1 1} 

dimana:

Y = variabel terikat

k β β

β₀, ₁,..., = parameter regresi

ε = nilai kesalahan (error)

Metode kuadrat terkecil dari estimasi β yang terdiri dari minimum

∑

ε_i2 yang berkenaan dengan β, dimana minimum ε'ε = Y−Xβ 2 mengenai β, yaitu:

(

) (

)

β β β β β ε ε X X Y X Y Y X Y X Y ' ' ' ' 2 ' ' ' + − = − − =

Perbedaan ε' mengenai ε β dan persamaan ' =0 ∂ ∂

βε

ε _{, diperoleh:}

0 '

2 '

2 + =

− X Y X Xβ atau X'Xβ = X'Y (2.5)

(

X'X

)

X'Y

ˆ −1

=

β (2.6)

Kemudian untuk β,

(

) (

)

[

( )

]

[

( )

]

(

) (

) ( )

( )

(

β

) (

β

)

β β β β β β β β β β β β β β ˆ ' ˆ ˆ ' ' ˆ ˆ ' ˆ ˆ ˆ ' ˆ ˆ ' X Y X Y X X X Y X Y X X Y X X Y X Y X Y − − ≥ − − + − − = − + − − + − = − −

2.2 Estimasi

Menaksir ciri-ciri tertentu dari populasi atau memperkirakan nilai populasi (parameter) dengan memakai nilai sampel (statistik) diistilahkan dengan Estimasi. Dengan statistika peneliti berusaha menyimpulkan populasi. Dalam kenyataannya, mengingat berbagai faktor untuk keperluan tersebut diambil sebuah sampel yang representatif dan berdasarkan hasil analisis terhadap data sampel kesimpulan mengenai populasi dibuat. Cara pengambilan kesimpulan tentang parameter berhubungan dengan cara-cara menaksir harga parameter. Jadi, harga parameter sebenarnya yang tidak diketahui akan diestimasi berdasarkan statistik sampel yang diambil dari populasi yang bersangkutan.

Sifat atau ciri estimator yang baik yaitu tidak bias, efisien dan konsisten:

1. Estimator yang tidak bias

Estimator dikatakan tidak bias apabila ia dapat menghasilkan estimasi yang mengandung nilai parameter yang diestimasikan. Misalkan, estimator θˆ dikatakan estimator yang tidak bias jika rata-rata semua harga θˆ yang mungkin akan sama dengan θ. Dalam bahasa ekspektasi ditulis E

( )

θˆ =θ .

Estimator dikatakan efisien apabila hanya dengan rentang nilai estimasi yang kecil saja sudah cukup mengandung nilai parameter. Estimator bervarians minimum ialah estimator dengan varians terkecil diantara semua estimator untuk parameter yang sama. Jika θˆ₁ dan θˆ₂ dua estimator untuk θ dimana varians untuk θˆ₁ lebih kecil dari varians untuk θˆ₂, maka θˆ₁ merupakan estimator bervarians minimum.

3. Estimator yang konsisten

Estimator dikatakan konsisten apabila sampel yang diambil berapa pun besarnya, pada rentangnya tetap mengandung nilai parameter yang sedang di estimasi. Misalkan, θˆ estimator untuk θ yang dihitung berdasarkan sebuah sampel acak berukuran n. Jika ukuran sampel n makin besar mendekati ukuran populasi menyebabkan θˆ mendekati θ, maka θˆ disebut estimator konsisten.

Estimasi nilai parameter memiliki dua cara, yaitu estimasi titik (point estimation) dan estimasi selang (interval estimation).

a. Estimasi titik (point estimation)

Estimasi titik adalah estimasi dengan menyebut satu nilai atau untuk mengestimasi nilai parameter.

b. Estimasi interval (interval estimation)

memuat nilai-nilai estimator yang masih dianggap benar dalam tingkat kepercayaan tertentu (confidence interval).

2.2.1 Estimasi Maksimum Likelihood

Suatu cara yang penting untuk mendapat estimator yang baik adalah metode maksimum likelihood yang diperkenalkan oleh R. A. Fisher. Maksimum likelihood merupakan suatu cara mendapat estimator a untuk parameter b yang tidak diketahui dari populasi dengan memaksimumkan fungsi kemungkinan.

Untuk data sampel x1,…, xn dari distribusi yang kontinu dengan fungsi padat

f(x ; α) ditentukan fungsi likelihood sebagai L(x1,…, xn; α) = f(x1;α) … f(xn; α).

Untuk data sampel distribusi yang diskrit dengan nilai kemungkinan p(X = xi) = pi (α), i = 1,…r dan frekuensi f1,…,fr ditentukan dengan fungsi likelihood sebagai:

(

)

(

( )

)

(

( )

)

∑

= =

= n

i i f

r f i

n p p f n

x x

L r

1

1,..., ; ... ,

1 α

α α

Karena ln L merupakan transformasi yang monoton naik daripada L, maka ln

L mencapai maksimumnya pada nilai α yang sama. Menurut hitung differensial

persamaannya menjadi ln =0

∂ ∂

α

L

2.2.2 Maksimum Likelihood dalam Multiple Regresi

Maksimum likelihood adalah metode yang dapat digunakan untuk mengestimasi suatu parameter dalam regresi.

Jika X dikurangi dengan rata-ratanya, maka akan diperoleh variabel baru x

(

x_i = X_i−X

)

dan selisih antara X dengan X merupakan perhitungan yang i

sederhana karena jumlah dari nilai x tersebut adalah sama dengan nol _i    





∑

₌

=

0 1 n

i i

x .

Dan persamaan multiple regresinya menjadi:

ε β β

β + + + +

= k k

i x x

Y 0 1 1  (2.7)

dimana: Yi x

= variabel terikat ke-i 1i,…, xki

pengamatan ke-i

= selisih antara variabel bebas X dengan nilai rata-ratanya pada

k β β

β₀, ₁,..., = parameter regresi

ε = nilai kesalahan (error)

dipilih hipotesis populasi yang maksimum dalam likelihood. Secara umum, andaikan peneliti mempunyai sampel berukuran n dan peneliti ingin mengetahui kemungkinan sampel yang diamati. Diperlihatkan fungsi nilai kemungkinan untuk β₀,β₁,...,β_k:

(

Y Y Yn k

)

p 1, 2,..., β0,β1,...,β (2.8)

Mengingat kemungkinan nilai pertama Y adalah:

( )

( ) 2 1 1 0 1 2 1 1 2

1 − _ − + + + _

= β β σ β π σ ki k i x x Y e Y p  (2.9)

Hal di atas adalah distribusi normal sederhana dengan rata-rata ki

k

i x

x β

β

β₀+ _{1 1} ++ dan varians

( )

σ2 yang disubstitusi ke dalam

( )

2

2 1

2

1 −_ __ − _

= σµ π σ x e x

p . Kemungkinan nilai kedua Y sama dengan (2.9), kecuali angka satu diganti dengan dua dan seterusnya untuk semua nilai Y amatan lainnya.

Untuk nilai Y bebas dengan mengalikan semua kemungkinan bersama dalam (2.8), dimana:

(

Y Y Yn k

)

p 1, 2,..., β0,β1,...,β

( ) ( )                    =     − + + + −     − + + +

− 2 0 11 2

2 1 1 0 1 2 1 2 1 2 1 2

1 β β _σ β β β _σ β

π σ π σ ki k i ki k

i x Y x x

x Y

( )

∏

₌ −  − + + +          = n i x x

Yi i k ki

e 1 2 1 2 1 1 0 2

1 β β _σ β

π σ



(2.10)

Dengan

∏

= n

i 1

menyatakan hasil kali n kemungkinan bersama untuk nilai Yi yang penggunaannya dikenal untuk eksponensial. Hasil (2.10) dapat diperlihatkan dengan penjumlahan eksponen:

(

)

( ) ( ) 2 1 1 1 0 2 1 1 0 2 1 2 1 ,..., , ,..., , ∑     − + + + − =       = n i ki k i

i x x

Y n k n e Y Y Y p σ β β β π σ β β β  (2.11)

Mengingat Yi k

β β β₀, ₁,...,

amatan yang diberikan dipertimbangkan untuk berbagai nilai . Sehingga persamaan (2.11) dinamakan fungsi likelihood:

(

)

=

( )

∑=     − − − − − n i ki k i

i x x

Y n k e L 1 2 1 1 0 2 1 1 0 2 1 ,..., , σ β β β π σ β β β  (2.12) dimana:

(

k

)

L β0,β1,...,β = fungsi maksimum likelihood pada parameter β0,β1,...,βk σ = parameter yang merupakan simpangan baku untuk distribusi π = nilai konstan (π = 3,1416)

n = banyak data sampel

i

β = parameter regresi ke-i

Dari persamaan (2.12) diperoleh ln L(β0,β1,...,β_k), yaitu:

(

)

( )

∑

=      − − − − − − − = = Λ n i ki k i i k x x Y n n L 1 2 1 1 0 1 0 2 1 ln 2 ln 2 ,..., , ln σ β β β σ π β β

β  (2.13)

Dengan mendifferensialkan Λ terhadap setiap parameter β0,β1,...,βk dan menetapkan derivatif parsial yang dihasilkan sama dengan nol, diperoleh:

∑

(

)

= − Υ + + Χ + Χ + Χ = − = ∂∂Λ n i i i i i 1 3 3 2 2 1 1 0 2 0 0 2 2 2 2 2 2 1 β β β β σ β

∑

(

)

= −Υ + + Χ + Χ + Χ = − = n i i i i i 1 3 3 2 2 1 1 0 2 0

1 _{β β β β}

σ

∑

(

)

= −Υ + + Χ + Χ + Χ = = n i i i i i 1 3 3 2 2 1 1

0 β β β 0

β

∑

(

)

= −Υ + + Χ + Χ + Χ = = n i i i i i 1 3 3 2 2 1 1

0 β β β 0

β

∑

( )

∑

∑

∑

∑

= Υ + = + = Χ + = Χ + = Χ = = n i n i i n i n i i i n i i 1 0 3 3 0 0 2 2 1 1 0

0 β β β 0

β

asumsikan

∑

Χ_i =0

=

∑

Υ_i +nβ₀ =0

=

∑

Υ =Υ− n i 0 β (2.14) 0 0 3 3 0 2 2 0 1 1

0 + Χ + Χ + Χ =

+ Υ =

∑

∑

∑

∑

= = = n i i n i i n i i

(

)

∑

− ΥΧ + Χ + Χ + Χ Χ + Χ Χ

− =

∂∂Λ i i i i 2 2i 1i 3 3i 1i

2 1 1 1 0 1 2 1 2 2 2 2 2 2 1 β β β β σ β

=− ₂

∑

{

2

(

−Υ_iΧ_1i + ₀Χ_1i + ₁Χ_1i2 + ₂Χ_2iΧ_1i + ₃Χ_3iΧ_1i

)

}

2 1 β β β β σ

=− 1₂

{

−

∑

−Υ_iΧ_1i +β₀

∑

Χ_1i +β₂

∑

Χ_2iΧ_1i +β₃

∑

Χ_3iΧ_1i +β₁

∑

Χ_1i2

}

σ

Asumsikan

∑

Χ_ki =0

=−

∑

ΥΧ + ₀

∑

Χ₁ + ₂

∑

Χ₂ Χ₁ + ₃

∑

Χ₃Χ₁ + ₁

∑

Χ₁2

1i i i i i i i

i β β β β

(2.15)

(

)

∑

− ΥΧ + Χ + Χ Χ + Χ + Χ Χ

− =

∂∂Λ i i i i i i 3 3i 2i

2 2 2 2 1 1 2 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 β β β β σ β

=− ₂

∑

{

2

(

−Υ_iΧ_2i + ₀Χ_2i + ₂Χ_2i2 + ₁Χ_2iΧ_1i + ₃Χ_3iΧ_2i

)

}

2 1 β β β β σ

=− 1₂

{

−

∑

−Υ_iΧ_2i +β₀

∑

Χ_2i +β₂

∑

Χ_2i2 +β₃

∑

Χ_3iΧ_2i +β₁

∑

Χ_1iΧ_2i

}

σ

Asumsikan

∑

Χ_ki =0

=−

∑

ΥΧ + ₀

∑

Χ₂ + ₁

∑

Χ₂ Χ₁ + ₃

∑

Χ₃ Χ₂ + ₂

∑

Χ₂2

2i i i i i i i

i β β β β (2.16)

.

∑

∑

∑

∑

∑

∑

ΥΧ + Χ + Χ Χ + Χ Χ + + Χ + + Χ Χ

− =

∂∂Λ i _ji ji i ji i ji j ji k ki ji

j

β β

β β

β

β ... ...

2 2

2 1

1 0

j=1,2,3,...,k (2.17)

BAB 3

PEMBAHASAN

3.1 Estimasi Parameter Menggunakan Maksimum Likelihood

Andaikan suatu persoalan penentuan model multiple regresi diberikan data sebagai berikut: Tabel 3.1 Penyajian Data

Observasi Y

(persen)

X

(meter per sekon)

1 X

( 2

0

X

C) (molar)

3

1 42 80 27 89

2 37 80 27 88

3 37 75 25 90

4 28 62 24 87

5 18 62 22 87

6 18 62 23 87

7 19 62 24 93

8 20 62 24 93

10 14 58 18 80

dengan menentukan regresi yang terdiri dari Yˆ =βˆ₀ +βˆ₁X₁+βˆ₂X₂ +βˆ₃X₃. Fungsi nilai kemungkinan untuk β₀,β₁,β₂,β₃: p

(

Y₁,Y₂,...,Yn β₀,β₁,β₂,β₃

)

. Untuk nilai Y bebas dengan mengalikan semua kemungkinan bersama, dimana:

( ) ... 2 1 2 1 ) , , , / ,..., , ( 2 3 3 2 2 1 1 0 2 2 3 3 2 2 1 1 0 1 ( 2 1 2 1 3 2 1 0 2 1                 = Υ Υ Υ Ρ − Υ−β+βΧ σ+βΧ +βΧ  − Υ−β+βΧσ+βΧ +βΧ  σ σ π σ β β β

β e i i i e i i i

n = ( )         _  Υ− + Χ + Χ + Χ − = 2 3 3 2 2 1 1 0 1 2 1 1 ₂

1 β β _σβ β

π σ

π e i i i

n

i

Dengan

∏

= n

i 1

menyatakan hasil kali n kemungkinan bersama untuk nilai Yi yang penggunaannya dikenal untuk eksponensial. Hasil di atas dapat diperlihatkan dengan penjumlahan eksponen:

p(Y1, Y2, ...,Yn/ â0, â1, â2, â3

( )

∑=      − + + + − n i i i i

i x x x

Y n e 1 2 3 3 2 2 1 1 0 ) ( 2 1 2

1 β β σβ β

π σ

) = (3.1)

Mengingat Yi amatan yang diberikan dipertimbangkan untuk berbagai nilai β₀,β₁,β₂. Sehingga persamaan (3.1) di atas dinamakan fungsi likelihood:

L(â0, â1, â2,â3

( )

∑=      − − − − − n i i i i

i x x x

Y n e 1 2 3 3 2 2 1 1 0 2 1 2

1 β β σβ β

π σ

dimana:

(

β0,β1,β2,β3

)

L = fungsi maksimum likelihood pada parameter β₀,β₁,β₂,β₃ σ = parameter yang merupakan simpangan baku untuk distribusi π = nilai konstan (π = 3,1416)

n = banyak data sampel

e = bilangan konstan (e = 2,7183) Yi

i β

= variabel terikat ke-i = parameter regresi ke-i

Maka ln L

(

β₀,β₁,β₂

)

=

( )

∑=      − + + + − n i i i i

i x x x

Y n e 1 2 3 3 2 2 1 1 0 ) ( 2 1 2

1 β β σβ β

π

σ adalah:

( )

(

)

2

1 3 3 2 2 1 1 0 2 1 2 Ln -1 Ln

∑

=      − − − − − n i i i i i

n y x x x

σ β β

β β π

σ

( )

(

)

2

1 3 3 2 2 1 1 0 2 1 2 Ln -0

∑

=      − − − − − n i i i i i

n y x x x

σ β β

β β π

σ

( )

(

)

2

1 3 3 2 2 1 1 0 2 1 2 Ln n -

∑

=      − − − − − n i i i i i

n y x x x

σ β β

β β π

( )

(

)

2 1 3 3 2 2 1 1 0 2 1 2 1 2 Ln Ln n -

∑

=      − − − − −   

 ₊ n

i

i i

i

i x x x

y σ β β β β π σ

( )

(

)

2

1 3 3 2 2 1 1 0 2 1 2 1 2 Ln Ln n -

∑

=      − − − − − + n i i i i

i x x x

y σ β β β β π σ

( )

(

)

2

1 3 3 2 2 1 1 0 2 1 2 Ln 2 Ln n -

∑

=      − − − − − − n i i i i

i x x x

y n σ β β β β π σ Sehingga diperoleh:

(

)

( )

2

1 3 3 2 2 1 1 0 3 2 1 0 2 1 ln 2 ln 2 , , ,

∑

=     Υ − − Χ − Χ − Χ − − − = = Λ n i i i i i n n LnL σ β β β β σ π β β β β

Setelah diperoleh nilai Λ maka perhitungan differensialnya untuk β0,β1,β2,β3 dan menetapkan derivatif parsial yang dihasilkan sama dengan nol, yaitu:

(

)

( )

2

1 3 3 2 2 1 1 0 3 2 1 0 2 1 ln 2 ln 2 , , ,

∑

=     Υ − − Χ − Χ − Χ − − − = = Λ n i i i i i n n LnL σ β β β β σ π β β β β

∑

(

)

= − Υ + + Χ + Χ + Χ = − = ∂∂Λ n i i i i i 1 3 3 2 2 1 1 0 2 0 0 2 2 2 2 2 2 1 β β β β σ β

∑

(

)

= −Υ + + Χ + Χ + Χ = − = n i i i i i 1 3 3 2 2 1 1 0 2 0 1 β β β β σ

∑

(

)

= −Υ + + Χ + Χ + Χ = = n i i i i i 1 3 3 2 2 1 1

0 β β β 0

∑

(

)

= −Υ + + Χ + Χ + Χ = = n i i i i i 1 3 3 2 2 1 1

0 β β β 0

β

∑

( )

∑

∑

∑

∑

= Υ + = + = Χ + = Χ + = Χ = = n i n i i n i n i i i n i i 1 0 3 3 0 0 2 2 1 1 0

0 β β β 0

β

asumsikan

∑

Χ_i =0

=

∑

Υ_i +nβ₀ =0

− Υ = Υ =

∑

n i 0

β (3.4)

(

)

∑

− ΥΧ + Χ + Χ + Χ Χ + Χ Χ

− =

∂∂Λ i i i i 2 2i 1i 3 3i 1i

2 1 1 1 0 1 2 1 2 2 2 2 2 2

1 _{β β β β}

σ β

=− ₂

∑

{

2

(

−Υ_iΧ_1i + ₀Χ_1i + ₁Χ_1i2 + ₂Χ_2iΧ_1i + ₃Χ_3iΧ_1i

)

}

2 1 β β β β σ

=− 1₂

{

−

∑

−Υ_iΧ_1i +β₀

∑

Χ_1i +β₂

∑

Χ_2iΧ_1i +β₃

∑

Χ_3iΧ_1i +β₁

∑

Χ_1i2

}

σ

Asumsikan

∑

Χ_ki =0

=−

∑

ΥΧ + ₀

∑

Χ₁ + ₂

∑

Χ₂ Χ₁ + ₃

∑

Χ₃Χ₁ + ₁

∑

Χ₁2

1i i i i i i i

i β β β β ( 3.5)

(

)

∑

− ΥΧ + Χ + Χ Χ + Χ + Χ Χ

− =

∂∂Λ i i i i i i 3 3i 2i

2 2 2 2 1 1 2 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 β β β β σ β

=− ₂

∑

{

2

(

−Υ_iΧ_2i + ₀Χ_2i + ₂Χ_2i2 + ₁Χ_2iΧ_1i + ₃Χ_3iΧ_2i

)

}

2

1 _{β β β β}

σ

=− 1₂

{

−

∑

−Υ_iΧ_2i +β₀

∑

Χ_2i +β₂

∑

Χ_2i2 +β₃

∑

Χ_3iΧ_2i +β₁

∑

Χ_1iΧ_2i

}

σ

Asumsikan

∑

Χ_ki =0

0 0 3 3 0 2 2 0 1 1

0 + Χ + Χ + Χ =

+ Υ =

∑

∑

∑

∑

= = = n i i n i i n i i

=−

∑

ΥiΧ_2i +β0

∑

Χ2i +β1

∑

Χ2iΧ1i +β3

∑

Χ3iΧ2i +β2

∑

Χ2i2 (3.6)

∑

∑

∑

∑

∑

∑

ΥΧ + Χ + Χ Χ + Χ Χ + + Χ + + Χ Χ − =

∂∂Λ i ji ji i ji i ji j ji k ki ji

j β β β β β β ... ... 2 2 2 1 1 0

j=1,2,3,...,k (3.7)

Dari persamaan di atas diperoleh:

0 β ∂∂Λ − Υ = Υ =

∑

n i 0

β (3.8)

= 24,8 1 β ∂∂Λ =−

∑

Υ Χ +

∑

Χ +

∑

Χ Χ +

∑

Χ Χ +

∑

Χ 2 1 1 1 3 3 1 2 2 1 0

1i i i i i i i

i β β β β

(3.9)

680,9�₁+ 161,3�₂+ 75,9�₃= 770,2 2 β ∂∂Λ

∑

∑

∑

∑

∑

ΥΧ + Χ + Χ Χ + Χ Χ + Χ − = 2 2 2 2 3 3 1 2 1 2 0

2i i i i i i i

i β β β β

(3.10)

161,3�1+ 60,1�2+ 57,3�3= 195,4

3 β ∂∂Λ =−

∑

Υ Χ +

∑

Χ +

∑

Χ Χ +

∑

Χ Χ +

∑

Χ 2 3 3 3 2 2 3 1 1 3 0

3i i i i i i i

i β β β β

(3.11) 75,9�₁+ 57,3�₂+ 122,9�₃= 95,2

Tabel 3.2 Maksimum Likelihood pada Multiple Regresi Y dalam X1, X2, dan X

n

3

Y X₁ X₂ X3 x1 = X1 −X1 x2 = X2 −X2 x3 = X3 −X3 xY

1 x2Y x3Y

2 1

x x₂2 x32 x1x2 x2x3 x1x3

1 _{42 80 27 89 13,9 3,3 0,9 239,1 56,8 15,5 193,2 10,9 0,8 45,9 12,5 3,0}

2 _{37 80 27 88 13,9 3,3 -0,1 169,6 40,3 -1,2 193,2 10,9 0,0 45,9 -1,4 -0,3}

3 _{37 75 25 90 8,9 1,3 1,9 108,6 15,9 23,2 79,2 1,7 3,6 11,6 16,9 2,5}

4 _{28 62 24 87 -4,1 0,3 -1,1 -13,1 1,0 -3,5 16,8 0,1 1,2 -1,2 4,5 -0,3}

5 _{18 62 22 87 -4,1 -1,7 -1,1 27,9 11,6 7,5 16,8 2,9 1,2 7,0 4,5 1,9}

6 _{18 62 23 87 -4,1 -0,7 -1,1 27,9 4,8 7,5 16,8 0,5 1,2 2,9 4,5 0,8}

7 _{19 62 24 93 -4,1 0,3 4,9 23,8 -1,7 -28,4 16,8 0,1 24,0 -1,2 -20,1 1,5}

8 _{20 62 24 93 -4,1 0,3 4,9 19,7 -1,4 -23,5 16,8 0,1 24,0 -1,2 -20,1 1,5}

9 _{15 58 23 87 -8,1 -0,7 -1,1 79,4 6,9 10,8 65,6 0,5 1,2 5,7 8,9 0,8}

10 _{14 58 18 80 -8,1 -5,7 -8,1 87,5 61,6 87,5 65,6 32,5 65,6 46,2 65,6 46,2}

Jlh _{248 661 237 881} 0 0 0 _{770,2 195,4 95,2 680,9 60,1 122,9 161,3 75,9 57,3}

Dengan menggunakan persamaan (3.8), (3.9), (3.10) dan (3.11) diperoleh nilai βˆ1 = 0,8913_, 1616 , 1 ˆ 2 =

β dan βˆ3 =−0.3174

Maka persamaan multiple regresinya menjadi:

3.2 Menentukan Persamaan Multiple Regresi dengan Matriks

Matiks X dan Y adalah sebagai berikut:

Maka |�| = 6529439

���|_�| = � � �+� 44373 15827 15827 58310 5677 20937

58310 20937 77739

� − �15827661

237 881

5677 20937

58310 20937 77739

�+�

661 44373

237 881

15827 58310

58310 20937 77739

� − �44373661

237 881

15827 58310

15827 5677 20937

� +� 661 237 15827 58310 5677 20937

881 20937 77739� − �

10 237

237 881

5677 20937

881 20937 77739

�+�

10 661

237 881

15827 58310

881 20937 77739� − �

10 661

237 881

15827 58310

237 5677 20937

� +� 661 237 44373 58310 15827 20937

881 58310 77739� − �

10 237

661 881

15827 20937

881 58310 77739

�+�

10 661

661 881

44373 58310

881 58310 77739� − �

10 661

661 881

44373 58310

237 15827 20937

� +� 661 237 44373 15827 15827 5677

881 58310 20937� − �

10 237

661 237

15827 5677

881 58310 20937

�+�

10 661

661 237

44373 15827

881 58310 20937� − �

10 661

661 237

44373 15827

237 15827 5677

� �

� �

= �

716733731 −316852

−3168452 41030

15348235 −154747

−9879674 46809

1534825 −9879674

−154747 46809

779218 −267729

−267729 149044

�

Sehingga,

Untuk memperoleh nilai koefisien , maka

= �

−33.6800

0.8900 1.1600

−0.3200

�

�0= −33.6800

�1= 0.8900

�2= 1.1600

�3= −0.3200

Maka persamaan multiple regresinya adalah:

3 2

1 1,1600 0.3200 8900

, 0 6800 . 33

ˆ _{X X X}

Hasil pencarian nilai βˆ₀,βˆ₁,βˆ₂ dengan menggunakan maksimum likelihood dan matriks didapati angka yang cenderung sama. Pada perhitungan dengan maksimum likelihood diperoleh βˆ₀ =−33,6814, βˆ₁ = 0,8913, βˆ₂ =1,1616 dan βˆ₃ =−0,3174Sedangkan hasil perhitungan secara matriks diperoleh βˆ₀ =−33.6800, βˆ₁ = 0,8900 βˆ₂ =1,1600dan

3200 , 0 ˆ

3 =−

β . Tampak bahwa nilai βˆ₀ hingga dua angka dibelakang koma dan nilai βˆ₁ hingga dua angka dibelakang koma tidak terdapat perbedaan, sedangkan nilai βˆ₀ hingga tiga angka dibelakang koma dan nilai βˆ₁ hingga tiga angka dibelakang koma mulai ada perbedaan. Perbedaan ini sifatnya tidak substansial karena munculnya perbedaan itu sendiri akibat dari pembulatan. Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa, mencari βˆ₀,βˆ₁,βˆ₂ dengan maksimum likelihood dan matriks akan menghasilkan nilai yang sama.

3.3 Estimasi Interval untuk Parameter Multiple Regresi

Pada dasarnya, nilai-nilai dari koefisien regresi β_i bervariasi dan variansnya dari β_i dalam bentuk vektor matriks adalah sebagai berikut:

( )

₂

( )

−1

= X X

Var β σ T (3.12)

Karena umumnya σ2 tidak diketahui, maka σ2 diduga dengan s_e2, sehingga perkiraan

varians (β) adalah:

( )

( )

1 2 2

1 2

2

− − = ⇒ =

= −

∑

k n

e s

X X s s

dimana: 2 e

s = varians dari kesalahan pengganggu

n = banyak observasi k = banyak variabel bebas

( )

∑ ∑

₂ = − 2

ˆ i i

i Y Y

e dapat dihitung langsung dari Y_i −Yˆ_i yaitu selisih antara nilai

Observasi Y X₁ X₂ X₃

3 2

1 1,1616 0.3174 8913

, 0 6814 , 33

ˆ _{X X X}

Y_i =− + + + e=Y−Yˆ

( )

_{Y −Y}ˆ 2

1 42 80 27 89 40,7376 1,2623 1,5935

2 37 80 27 88 41,0550 -4,0550 16,4436

3 37 75 25 90 33,6410 3,3598 11,2884

4 28 62 24 87 21,8432 6,1567 37,9057

5 18 62 22 87 19,5200 -1,5200 2,3104

6 18 62 23 87 20,6816 -2,6816 7,1911

7 19 62 24 93 19,9385 -0,9385 0,8808

8 20 62 24 93 19,9385 0,0614 0,0037

9 15 58 23 87 17,1161 -2,1161 4,4782

observasi Yi dengan nilai regresi Yˆ_i =βˆ₀ +βˆ₁X₁+βˆ₂X₂ +βˆ₃X₃

Tabel 3.3 Penentuan Nilai ��

dari hasil perhitungan tabel di atas diperoleh:

7193 , 13 1 3 10 3159 , 82 1 2 2 = − − = − − =

∑

k n e

se i

Perkiraan Var

( )

β =s_β2 =s_e2

( )

XTX −1 dan apabila D =

( )

XTX −1 dan s s_ed_ii

i

2 2 =

β ,

dimana dii adalah matriks dari baris ke i dan kolom i terletak pada diagonal pokok, maka:

(

)

(

)

(

)

(

0,023

)

0,3155 0,3155 0,5617

7193 , 13 2777 , 1 6325 , 1 6325 , 1 119 , 0 7193 , 13 2869 , 0 0823 , 0 0823 , 0 006 . 0 7193 , 13 80 , 38 9 , 1505 9 , 1505 770 , 109 7193 , 13 3 3 2 2 1 1 0 0 44 2 2 33 2 2 22 2 2 11 2 2 = = ⇒ = = = = = ⇒ = = = = = ⇒ = = = = = ⇒ = = = β β β β β β β β s d S s s d S s s d s s s d s s e e e e

Untuk menghitung estimasi interval untuk β0, β1, β2, β3digunakan taraf signifikan

α = 0,05.

( 1) 0,052(10 31) 2,45 2 − − =t −− = tα n k

1. 33,6814, 38,80

0

0 =− β =

β s

(

)

(

)

3786 , 61 7414 , 128 06 , 95 6814 , 33 06 , 95 6814 , 33 80 , 38 45 , 2 6814 , 33 80 , 38 45 , 2 6814 , 33 0 0 0 025 , 0 0 0 025 , 0

0 0 0

≤ ≤ − + − ≤ ≤ − − + − ≤ ≤ − − + ≤ ≤ − β β β β β

β t sβ t sβ

Dengan taraf signifikan α = 0,05, bahwa interval antara -128,7414 dan 61,3786 akan memuat β₀.

2. 0,8913, 0,2869

1

1 = β =

β s

(

)

(

)

5942 , 1 1884 , 0 7029 , 0 8913 , 0 7029 , 0 8913 , 0 2869 , 0 45 , 2 8913 , 0 2869 , 0 45 , 2 8913 , 0 1 1 1 025 , 0 1 1 025 , 0

1 1 1

≤ ≤ + ≤ ≤ − + ≤ ≤ − + ≤ ≤ − ββ β β β

β t sβ t sβ

Dengan taraf signifikan α = 0,05, bahwa interval antara 0,1884 dan 1,5942 akan memuat β₁.

3. 1,1616, 1,2777

2

2 = β =

β s

(

)

(

)

2919 , 4 9687 , 1 1303 , 3 1616 , 1 1303 , 3 1616 , 1 2777 , 1 45 , 2 1616 , 1 2777 , 1 45 , 2 1616 , 1 2 2 2 025 , 0 2 2 025 , 0

2 _{2 2}

≤ ≤ − + ≤ ≤ − + ≤ ≤ − + ≤ ≤ − ββ β β β

Dengan taraf signifikan α = 0,05, bahwa interval antara -1,9687 dan 4,2919 akan memuat β₂.

4. 0,3174, 0,5617

3

3 = β =

β s

(

)

(

)

6935 , 1 0587 , 1 3761 , 1 3174 , 0 3761 , 1 3174 , 0 5617 , 0 45 , 2 3174 , 0 5617 , 0 45 , 2 3174 , 0 3 3 3 025 , 0 3 3 025 , 0

3 _{3 3}

≤ ≤ − + ≤ ≤ − + ≤ ≤ − + ≤ ≤ − ββ β β β

β t sβ t sβ

Dengan taraf signifikan α = 0,05, bahwa interval antara -1,0587dan 1,6935 akan memuat β₃.

3.4 Pengujian Hipotesis

Hipotesis berasal dari kata hipo dan tesis yang berasal dari bahasa Yunani. Hipo berarti dibawah, kurang atau lemah dan tesis berarti teori atau proposisi. Jadi, secara umum hipotesis dapat didefinisikan sebagai asumsi atau dugaan atau pernyataan sementara yang masih lemah kebenarannya tentang karakteristik populasi. Oleh karena itu, hipotesis perlu di uji kebenarannya. Pengujian hipotesis dilakukan berdasarkan hasil penelitian pada sampel yang diambil dari populasi tersebut. Berikut ini adalah hipotesis yang diperoleh pada persoalan di atas.

1) Hipotesis:

Ho : Terdapat hubungan fungsional yang signifikan antara variabel X1 dan X2 dengan variabel Y, X1 dan X3 dengan variabel Y, X2 dan X3 dengan variabel Y .

Ha : Tidak terdapat hubungan fungsional yang signifikan antara variabel X1 dan X2 dengan variabel Y, X1 dan X3 dengan variabel Y, X2 dan X3 dengan variabel Y .

Tabel 3.4 Penyajian Data y dalam x1, x2, dan x3

n _Y

1

X X₂ X3 x1 = X1−X1 x2 = X2 −X2 x3 = X3 −X3 y =Yi −Yi x1y x2y x3y 2 y

1 _{42 80 27 89 13,9 3,3 0,9 17,2 239,1 56,8 15,5}

296

2 _{37 80 27 88 13,9 3,3 -0,1 12,2 169,6 40,3 -1,2}

149

3 _{37 75 25 90 8,9 1,3 1,9 12,2 108,6 15,9 23,2}

149

4 _{28 62 24 87 -4,1 0,3 -1,1 3,2 -13,1 1,0 -3,5}

10

5 _{18 62 22 87 -4,1 -1,7 -1,1 -6,8 27,9 11,6 7,5}

46

6 _{18 62 23 87 -4,1 -0,7 -1,1 -6,8 27,9 4,8 7,5}

46

7 _{19 62 24 93 -4,1 0,3 4,9 -5,8 23,8 -1,7 -28,4}

34

8 _{20 62 24 93 -4,1 0,3 4,9 -4,8 19,7 -1,4 -23,5}

23

9 _{15 58 23 87 -8,1 -0,7 -1,1 -9,8 79,4 6,9 10,8}

96

10 _{14 58 18 80 -8,1 -5,7 -8,1 -10,8 87,5 61,6 87,5}

117

Rata

rata

• Cari Rhit dengan rumus: ( ) 9459 , 0 6 , 965 4 , 195 ) 1616 , 1 ( 2 , 770 ) 8913 , 0 ( 2 2 2 1 1 2 2 , 1 = + = + =

∑

∑

∑

y y x y x

R_y β β

( ) 6796 , 0 6 , 965 2 , 95 ) 3174 , 0 ( 2 , 770 ) 8913 , 0 ( 2 3 3 1 1 2 3 , 1 = − + = + =

∑

∑

∑

y y x y x

R_y β β

( ) 2663 , 0 6 , 965 2 , 95 ) 3174 , 0 ( 4 , 195 ) 1616 , 1 ( 2 3 3 2 2 2 3 , 2 = − + = + =

∑

∑

∑

y y x y x

R_y β β

( )

(

)

( )

(

)

(

)

(

)

9685 , 34 9459 , 0 1 3 1 3 10 9459 , 0 1 1 2 2 , 1 2 2 , 1 = − − − = − − − = y y reg R k k n R F ( )

(

)

( )

(

)

(

)

(

)

2421 , 4 6796 , 0 1 3 1 3 10 6796 , 0 1 1 2 3 , 1 2 3 , 1 = − − − = − − − = y y reg R k k n R F ( )

(

)

( )

(

)

(

)

(

)

7259 , 0 2663 , 0 1 3 1 3 10 2663 , 0 1 1 2 3 , 2 2 3 , 2 = − − − = − − − = y y reg R k k n R F

4) Taraf signifikansi α = 0,05

5) Hitung Ftabel dengan menggunakan rumus:

( _{, 1}) = _0,05(_{3,10 31}) ⇒4,76

=F − − F − −

F_{tabel αkn k}

6) Kriteria pengujian H0, yaitu:

Ha : Tidak signifikan

Jika Fhit≥ Ftabel, maka H0 ditolak atau signifikan.

Ternyata 34,9685 ≥ 4,76 atau Fhit > Ftabel, sehingga H0 ditolak.

7) Kesimpulan

BAB 4

KESIMPULAN DAN SARAN

4.1 Kesimpulan

Berdasarkan hasil perhitungan dan penganalisaan data yang telah dilakukan, maka dapat diambil kesimpulan sebagai berikut:

1. Persamaan multiple regresi linier dengan menggunakan metode maksimum likelihood: 3

2

1 1,1616 0.3174 8913

, 0 6814 , 33

ˆ _{X X X}

Y =− + + −

2. Nilai interval dengan taraf signifikan α = 0.05 untuk parameter multiple regresi diperoleh: a. −128,7414≤β₀ ≤61,3786

3. Maksimum likelihood merupakan metode estimasi yang tepat dalam menentukan model koefisien multiple regresi.

4. Metode maksimum likelihood bertujuan untuk meminimumkan jarak antara titik estimasi dengan titik sebenarnya.

4.2 Saran

DAFTAR PUSTAKA

1. Algifari. 2000. Analisis Regresi. Edisi ke-2. Yogyakarta: BPFE.

2. Aritonang, I dan Subaris, B. 2005. Aplikasi Statistika. Yogyakarta: Media Pressindo.

3. Arthanari, T. S dan Dodge, Y. 1981. Mathematical Programming in Statistics. Canada: John Willey & Sons.

4. Dudewicz, J. E dan Mishra, S. N. 1988. Modern Mathematical Statistics. Canada: John Willey & Sons.

5. Gujarati, D dan Zain, S. 1978. Ekonometrika Dasar. Jakarta: Erlangga.

6. Hasan, M. I. 1999. Pokok-Pokok Materi Statistik 2. Jakarta: Bumi Aksara.

7. Pawitan, Y. 2001. In All Likelihood, Statistical Modelling and Inference using Likelihood. New York: Clarendon Press OXPORD.

8. Spiegel, M. R. 1994. Statistika. Edisi ke-2. Jakarta: Erlangga.

10. Sudjana. 1992. Metoda Statistika. Edisi ke-6. Bandung: Tarsito.

11. Suparman, I. A. 1989. Statistik Matematik. Jakarta: Rajawali.

12. Supranto, J. 2001. Statistik Teori dan Aplikasi. Edisi ke-6. Jakarta: Gelora Aksara Pratama.

13. Surjadi, P. A. 1980. Pendahuluan Teori Kemungkinan dan Statistika. Bandung: ITB.

14. Usman, H dan Akbar, P. S. 1995. Pengantar Statistika. Yogyakarta: Bumi Aksara.