PENENTUAN PORTOFOLIO OPTIMAL DENGAN
ADANYA BATASAN VALUE at RISK (VaR)
TESIS
Oleh
ESMINA SIMATUPANG 087021056/MT
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
PENENTUAN PORTOFOLIO OPTIMAL DENGAN
ADANYA BATASAN VALUE at RISK (VaR)
T E S I S
Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat
Untuk Memperoleh Gelar Magister Sains dalam Program Studi Magister Matematika pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Sumatera Utara
Oleh
ESMINA SIMATUPANG 087021056/MT
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
Judul Tesis : PENENTUAN PORTOFOLIO OPTIMAL DENGAN ADANYA BATASAN VALUE at RISK (VaR)
Nama Mahasiswa : Esmina Simatupang Nomor Pokok : 087021056
Program Studi : Matematika
Menyetujui, Komisi Pembimbing
(Dr. Sutarman, M.Sc) (Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc)
Ketua Anggota
Ketua Program Studi Dekan
(Prof. Dr. Herman Mawengkang) (Prof. Dr. Eddy Marlianto, M.Sc)
Telah diuji pada
Tanggal 18 Mei 2010
PANITIA PENGUJI TESIS
Ketua : Dr. Sutarman, M.Sc.
ABSTRAK
VaR at Risk (VaR) sekarang ini menjadi alat standar dalam mengelola risiko pada bank dan institusi keuangan. Value at Risk merupakan pengukuran keru-gian harapan terburuk dalam kondisi pasar yang normal pada kurun waktu T dengan tingkat kepercayaan tertentuα. Karena jumlah subportofolionya sedemi-kian biasanya sangat besar, ini melibatkan perhitungan yang sangat besar yang mengesampingkan manajeman risiko yang sedang berjalan.
Tujuan dari tesis ini adalah untuk menentukan portofolio optimal dengan batasan Value at Risk atas alokasi portofolio. Dalam tesis ini dikembangkan rumusan analitik untuk Tail Conditional Expectation (TCE) dari Value at Risk dan kemudian dijelaskan bagaimana rumusan tersebut dapat digunakan untuk menyederhanakan kesimpulan statistik.
ABSTRACT
Value at Risk (VaR) has become a key tool for risk management of financial in-stitutions. Value at Risk measures the worst expected loss over a given horizon under normal market conditions at a given level of confidence. Since the num-ber of such subporfolios is usually quite large, this involves huge calculations that preclude online risk management.
The aim of this thesis is to use optimal portofolio of Value at Risk with re-spect to portfolio allocation. In this thesis, we derive analytical expressions for the Stochastic programming of the Value at Risk, and then we explain how they be used to simplify statistical inference and performed a local analysis of the Value at Risk. An empirical illustration of such an analysis is given for a portofolio stochastic programming problem.
KATA PENGANTAR
Alhamdulillah penulis panjatkan kepada Allah SWT yang Maha Pengasih lagi Maha Penyayang atas segala rahmat dan karunia-Nya yang telah diberikan kepada penulis, sehingga penulis dapat menyelesaikan tesis ini sesuai waktu yang telah dialokasikan. Tesis ini berjudul ”Penentuan Portofolio Optimal Dengan Adanya Batasan Value at Risk (VaR)”.
Pada kesempatan yang baik ini, penulis mengucapkan terima kasih dan penghargaan yang sebesar-besarnya kepada:
Gubernur Sumatera Utara dan Kepala Bappeda Propinsi Sumatera Utara beserta stafnya yang telah memberikan beasiswa kepada penulis dan kepala seko-lah SMA Negeri-3 Medan Drs. Sahlan Daulay, M.Pd, yang telah memberikan izin kepada penulis untuk mengikuti perkuliahan di Sekolah Pascasarjana Pro-gram Studi Magister Matematika Universitas Sumatera Utara.
Bapak Prof. Dr. dr. Syahril Pasaribu, DTM&H. M.Sc. (CTM), Sp.A(K) selaku Rektor Universitas Sumatera Utara yang memberi kesempatan kepada penulis untuk menempuh pendidikan di Universitas Sumatera Utara. Bapak Dr. Sutarman, M.Sc. selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara dan selaku Pembimbing-I yang telah banyak memberikan saran dan arahan dalam penulisan tesis ini.
Ibu Prof. Dr. Ir. T. Chairun Nisa B., M.Sc selaku Direktur Pascasarjana Universitas Sumatera Utara.
Prof. Dr Herman Mawengkang selaku Ketua Program Studi Magister Mate-matika FMIPA USU, yang juga sebagai Pembanding-I yang telah banyak mem-berikan masukan dan arahan dalam penulisan tesis ini.
Dr. Saib Suwilo, M.Sc.,selaku sekretaris Program Studi Magister Matematika FMIPA USU.
Prof. Dr. Opim Salim S., M.Sc. sebagai Pembimbing-II yang telah banyak memberikan saran, masukan dan arahan yang bersifat membangun dalam penu-lisan tesis ini.
mem-berikan saran dan arahan dalam penulisan tesis ini.
Bapak/ Ibu Dosen Program Studi Magister Matematika FMIPA USU yang telah membekali ilmu pengetahuan kepada penulis selama perkuliahan hing-ga selesai.
Ibu Misiani, S.Siselaku Staf Administrasi Program Studi Magister Matematika FMIPA USU yang telah memberikan pelayanan yang baik kepada penulis selama mengikuti pendidikan.
Ucapan terima kasih yang tak terhingga penulis ucapkan kepada suami ter-cinta Suhunan Hamzah Gultom dan anak-anak yang kusayangi Nurhayati Gul-tom, Andi Nova Suheri GulGul-tom, Mhd. Deddi Yudi GulGul-tom, ayahanda Maratua Simatupang dan Ibunda Leteria Ritonga (Alm), serta abang, kakak dan adik yang turut mendoakan, mendukung dan memberi semangat kepada penulis, se-lama mengikuti perkuliahan di program studi Magister Matematika Universitas Sumatera Utara.
Tak lupa rekan-rekan mahasiswa program studi Magister Matematika FMI-PA USU tahun 2008; Lasma, Loide, Isabella, Rosmartina, Risna, Dewi, Suryan-ingsih, Yulis, Indramaryanti, Seprianti, Tirama, Yuliani, Agus, Tarno, Syafarud-din, Sudarman, Alfred, Adil, Rahmanan, Pramana, Tiopan, Syamsul Qomar, Budi, Abdilla, dan Johannes P Sitanggang sebagai ketua kelas, yang turut mem-berikan semangat dalam perkuliahan dan penulisan tesis hingga selesai. Semoga berkah, rahmat, hidayah dan kesehatan selalu dilimpahkan oleh Allah swt kepada mereka semua. Amin.
Kiranya tesis ini dapat bermanfaat bagi semua pihak yang turut membantu perkuliahan dan penulisan tesis ini hingga selesai.
Medan, Mei 2010 Penulis,
RIWAYAT HIDUP
DAFTAR ISI
Halaman
ABSTRAK i
ABSTRACT ii
KATA PENGANTAR iii
RIWAYAT HIDUP v
DAFTAR ISI vi
BAB 1 PENDAHULUAN 1
1.1 Latar Belakang 1
1.2 Rumusan Masalah 3
1.3 Tujuan Penelitian 3
1.4 Manfaat Penelitian 3
1.5 Metode Penelitian 4
BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA 5
BAB 3 LANDASAN TEORI 7
3.1 Optimisasi Portopolio 7
3.1.1 Model Optimisasi Portofolio 8
3.1.2 Perbandingan Pendekatan Mean-Varians dan Mean-
Va-lue at Risk 10
3.2 Sensitivitas dan Value at Risk 11
3.2.1 Definisi Value at Risk 11
3.2.4 Batas Value at Risk 15
BAB 4 PEMBAHASAN 18
4.1 Bentuk Model Berbasis Value at Risk 18
4.1.1 Model Mean Variance (MV) 18
4.1.2 Model Minimax (MM) 20
4.1.3 Model Stochastic Programming (SP) 21 4.1.4 Model Tail Conditional Exspectation (TCE) 23 4.2 Batasan Tail Conditional Exspectation (TCE) 26
BAB 5 KESIMPULAN DAN SARAN 29
5.1 Kesimpulan 29
5.2 Saran 30
ABSTRAK
VaR at Risk (VaR) sekarang ini menjadi alat standar dalam mengelola risiko pada bank dan institusi keuangan. Value at Risk merupakan pengukuran keru-gian harapan terburuk dalam kondisi pasar yang normal pada kurun waktu T dengan tingkat kepercayaan tertentuα. Karena jumlah subportofolionya sedemi-kian biasanya sangat besar, ini melibatkan perhitungan yang sangat besar yang mengesampingkan manajeman risiko yang sedang berjalan.
Tujuan dari tesis ini adalah untuk menentukan portofolio optimal dengan batasan Value at Risk atas alokasi portofolio. Dalam tesis ini dikembangkan rumusan analitik untuk Tail Conditional Expectation (TCE) dari Value at Risk dan kemudian dijelaskan bagaimana rumusan tersebut dapat digunakan untuk menyederhanakan kesimpulan statistik.
ABSTRACT
Value at Risk (VaR) has become a key tool for risk management of financial in-stitutions. Value at Risk measures the worst expected loss over a given horizon under normal market conditions at a given level of confidence. Since the num-ber of such subporfolios is usually quite large, this involves huge calculations that preclude online risk management.
The aim of this thesis is to use optimal portofolio of Value at Risk with re-spect to portfolio allocation. In this thesis, we derive analytical expressions for the Stochastic programming of the Value at Risk, and then we explain how they be used to simplify statistical inference and performed a local analysis of the Value at Risk. An empirical illustration of such an analysis is given for a portofolio stochastic programming problem.
BAB 1 PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Dalam bidang finansial, risiko adalah variabilitas potensial terhadap aliran kas (cash flow). Risiko finansial dapat didefinisikan sebagai peluang terjadinya hasil(outcome)yang buruk. Misalnya, pemogokan pekerja di sebuah perusahaan, tergusurnya produk lama, kekeliruan pihak manajemen dalam melaksanakan in-vestasi secara besar-besaran. Hal-hal tersebut dapat menurunkan nilai saham perusahaan dan semakin banyak peristiwa yang terjadi, semakin tinggi tingkat risikonya. Umumnya investor, berusaha menghindari risiko. Risiko perlu dihin-dari namun tetap berpeluang memperoleh keuntungan yang cukup tinggi.
Investasi juga merupakan suatu kegiatan yang mengandung ketidakpastian. Investor tidak dapat mengetahui secara pasti berapa tingkat keuntungan yang diharapkan akan diperoleh dan tidak dapat memperhitungkan sampai berapa jauh penyimpangan yang terjadi atas investasi yang dilakukan.
Untuk mengantisipasi risiko, maka dilakukan upaya meminimalkan kerugian dengan portofolio investasi. Portofolio investasi merupakan kumpulan investasi yang dibentuk untuk memenuhi suatu sasaran umum investasi. Pembentukan portofolio berawal dari usaha diversifikasi investasi guna mengurangi risiko. Mi-salnya investor yang menginvestasikan dananya di pasar modal, tidak hanya me-milih satu saham saja sebagai investasinya.
2
Markowitz.
Markowitz menyarankan cara seorang investor membentuk portofolio yang menghasilkan tingkat keuntungan paling tinggi berdasarkan suatu tahap risiko, ataupun membentuk portofolio yang berisiko paling rendah pada suatu tahap tingkatan keuntungan (Markowitz, 1952).
Pendekatan Mean Variance adalah suatu metode paling awal untuk me-mecahkan masalah pemilihan portofolio. Akan tetapi, ada beberapa pendapat yang menentangnya, meskipun pendekatan ini telah diterima dan dihargai oleh praktisi dan akademisi selama beberapa tahun (Korn, 1997). Dalam hal ini, me-minimumkan varians tidak mendorong ke arah deviasi yang rendah dari hasil yang diharapkan pada sisi bawah rata-rata, tetapi juga pada sisi atas rata-rata.
Pengukuran risiko merupakan hal yang sangat penting dalam analisis keua-ngan mengingat hal ini berkenaan dekeua-ngan investasi dana yang cukup besar yang seringkali berkenaan dengan dana publik. Salah satu aspek yang paling penting dalam analisis risiko keuangan adalah perhitungan Value at Risk.
Menurut Jorion (2001)Value at Riskmerupakan pengukuran kerugian hara-pan terburuk dalam kondisi pasar yang normal pada kurun waktu T dengan tingkat kepercayaan tertentuα.
Morgan (1996) menyatakan perhitungan risiko penting dalam analisis keua-ngan dan kalkulasiValue at Riskmerupakan salah satu bentuk pengukuran risiko yang cukup populer. Hal ini disebabkan oleh kesederhanaan konsepValue at Risk
ter-3
tentu, pada tingkat konfidensi tertentu.
Meskipun dengan penggunaannya yang luas, Value at Risk juga diketahui memiliki sifat-sifat yang tidak menarik, alasannya Value at Riskmerupakan uku-ran risiko yang tidak kuat dan tidak konveks. Hal ini mendorong Artsner et al.(1999) mengajukan penggunaan Tail Conditional Exspectation atau ekspektasi bersyarat ekor, yang didefinisikan sebagai ekspektasi bersyarat kerugian di atas VaR sebagai alternatif untuk Value at Risk. Tail Conditional Exspectation meru-pakan ukuran risiko yang kuat dan konveks dengan syarat teknis pada distribusi risiko.
Fokus dari tesis ini adalah menentukan portofolio optimal dengan adanya batasan Value at Risk. Dalam tesis ini dikembangkan rumusan Tail Conditional Exspectation (ekspektasi bersyarat ekor) yang dapat digunakan untuk menyeder-hanakan kesimpulan statistik serta dapat menentukan portofolio optimal dengan batasan Value at Risk.
1.2 Rumusan Masalah
Adapun permasalahan penelitian ini adalah model yang bagaimana dapat digunakan dalam Portofolio optimal dengan batasan Value at Risk.
1.3 Tujuan Penelitian
Tujuan penelitian ini adalah untuk meninjau suatu model Portofolio optimal dengan batasan Value at Risk.
1.4 Manfaat Penelitian
4
1.5 Metode Penelitian
Metode penelitian yang digunakan bersifat literatur, dengan langkah-langkah:
a. Pengertian risiko dalam bidang finansial.
b. Model mean variansi Markowitz.
c. Pengertian Value at Risk
d. Model optimisasi Value at Risk
e. Penentuan Portofolio optimal dengan adanya batasan Value at Risk
BAB 2
TINJAUAN PUSTAKA
Sudah lama para ahli ekonomi mempertimbangkan model perilaku empiris bank atau perusahaan asuransi, di mana lembaga-lembaga ini memaksimalkan kri-teria utilitas dengan batasan Value at Risk [Gollier et al (1996), Santomero dan Babbel (1996)]. Peneliti lain juga mengkaji pemilihan portofolio optimal dengan dibatasi oleh risiko terburuk sebagai alternatif efisien mean-variansi [Roy (1952), Levy dan Sarnat (1972), Arzac dan Bawa (1977), Jansen et al. (1998)]. Selan-jutnya penggunaan internalValue at Riskoleh lembaga-lembaga keuangan dikaji dalam kerangka manajemen risiko untuk mengurangi masalah [Kimball (1997), Froot dan Stein (1998), Stoughton dan Zechner (1999)]. Kalangan praktisi ma-najemen menentukan tingkat Value at Risk untuk setiap unit bisnis dan melak-sanakan penghitngan Value at Risk untuk manajemen risiko.
Capital Aset Pricing Model(CAPM) yang dipelopori oleh Sharpe et al (1965) mengasumsikan bahwa individu melakukan investasi berdasarkan teori portofolio, yaitu setiap individu akan memaksimumkan tingkat keuntungan pada suatu tahap risiko. Model ini menjadi model utama dalam bidang keuangan selama 15 tahun yang pada akhirnya model ini diperdebatkan oleh Roll (1977). Kekurangan yang terdapat pada Capital Aset Pricing Model ini menyebabkan Ross (1977) meng-hasilkan Arbitrage Pricing Theory (APT).
Menurut Arbitrage Pricing Theory, tingkat keuntungan yang diharapkan harus dihubungkan dengan risiko yang menyebabkan suatu keadaan yang tidak seorangpun investor dapat memperoleh keuntungan yang berlebihan melalui ke-giatan arbitrage.
6
pendekatan periode tunggal, dengan permulaan periode dinotasikan t = 0 dan akhir periode dinotasikan t = 1. Di t = 0, investor harus membuat keputusan sekuritas apakah yang akan dibeli dan dimiliki sampai t= 1.
Dalam membuat keputusan di t = 0, investor sebaiknya tahu bahwa hasil sekuritas di periode mendatang tidak dapat diketahui. Namun investor dapat mengestimasi nilai harapan (mean) di berbagai sekuritas yang dipertimbangkan dan berinvestasi di sekuritas yang memberi hasil tertinggi. Markowitz menekankan bahwa hal ini bukan keputusan yang bijaksana karena biasanya investor, meskipun ingin hasil yang tinggi, juga ingin hasil yang pasti. Hal ini berarti bahwa investor dalam usaha memaksimumkan nilai harapan dan meminimumkan ketidakpastian (risiko), memiliki dua konflik tujuan yang harus diseimbangkan satu sama lain saat membuat keputusan membeli pada t= 0 (Sharpe William, 1995).
Meskipun Value at Risk telah digunakan secara intensif, namun literatur yang mengkaji sifat-sifat teoritis ukuran risiko ini dan konsekuensinya pada ma-najemen risiko masih terbatas sekali. Dengan mengikuti pendekatan aksiomatik, Arzner et al.(1996, 1997) membuktikan bahwa Value at Risk tidak memiliki sifat subaditivitas untuk sebagian distribusi keuntungan aset. Ini dapat menghasilkan insentif untuk memilah-milah portofolio guna menghindari batasan Value at Risk.
Value at Risk juga tidak selamanya konveks (cembung) atau teridentifikasi pada alokasi portofolio sehingga dapat menimbulkan kesulitan sewaktu menghi-tung portofolio optimal dengan batasan Value at Risk. Pendekatan parametrik secara umum digunakan oleh kalangan praktisi (Morgan, 1996), dan paling se-ring didasarkan pada asumsi normalitas gabungan keuntungan aset. Pendekatan parametrik ini agak ketat dan umumnya mengisyaratkan penaksiranValue at Risk
yang terlalu rendah. Pendekatan nonparametrik juga ada diajukan dan terdiri dari penentuan kwantil empiris (Value at Riskhistoris) seperti yang dikemukakan oleh [Harrel dan Davis (1982), Falk (1984), (1985), Jorion (1997), Ridder (1997)]. Baru-baru ini dikembangkan pendekatan semi-parametrik yang didasarkan pada aproksimasi nilai ekstrim [Bassi et al. (1998), Embrechts et al. (1998)], atau
BAB 3
LANDASAN TEORI
3.1 Optimisasi Portopolio
Tujuan utama seorang investor adalah mengalokasikan secara optimal in-vestasinya diantara aset berbeda. Markowitz, H (1952) mengajukan optimisasi mean-varians sebagai alat kuantitatif untuk membuat alokasi ini dengan mem-perhitungkan keseimbangan antara risiko, yang diukur oleh perolehan aset akan datang (future).
Seorang investor yang dinamis memutuskan alokasi asetnya berdasarkan pa-da risiko nilai penjualan. Tujuan pa-dari seorang pembagi aset yang dinamis apa-dalah untuk menemukan gabungan aset optimum dengan memaksimumkan fungsi utili-tas nilai perolehan kekayaannya dari masing-masing periode tiap tahunnya. Dalam suatu mean-varians, risiko pasar portofolio hanya bergantung pada matriks varians-kovarians dan ketelitian para investor pada Value at Risk dengan tingkat keper-cayaannya (95%, 97,5%, 99%) telah menjadi suatu acuan (1-p) % untuk mengukur tinggi rendahnya risiko portofolio.
Asas pendekatan Markowitz adalah menggunakan perubahan atau variabi-litas keuntungan sebagai taksiran untuk risiko investasi (Rodoni dan Othman, 2002). Markowitz mencoba membentuk konsep risiko dengan menggunakan kon-sep statistik yaitu varians. Teori portofolio dikembangkan setelah tahap risiko investor ditetapkan.
Model portofolio Markowitz adalah berdasarkan empat kenyataan berikut :
1. Dua ciri yang relevan untuk sesuatu portofolio investasi adalah keuntungan yang diharapkan dan risiko.
8
yaitu portofolio yang memaksimumkan keuntungan pada tahap risiko terten-tu atau meminimumkan risiko pada keunterten-tungan tertenterten-tu yang diharapkan.
3. Secara teoritis ada kemungkinan untuk mendapatkan portofolio yang op-timal dengan menganalisis setiap sekuritas berdasarkan keuntungan yang diharapkan, varians keuntungan, dan koefisien korelasi antara keuntungan setiap sekuritas dalam portofolio tersebut.
4. Program komputer tertentu dapat menggunakan informasi dalam setiap sekuritas, untuk menunjukkan satu kedudukan portofolio yang efisien yang disebut sebagai efficient frontier.
3.1.1 Model Optimisasi Portofolio
Model optimisasi portofolio berdasarkan mean-varians, dan mean- Value at Risk yang diajukan oleh Wang (2000) adalah sebagai berikut :
a. Pendekatan Mean-Variance.
Andaikan ada n sekuritas dengan tingkat pengembalianXi(i= 1,2, . . . , n). Means dan kovarians dari tingkat return (R) ini adalah :
µi =E(Xi) danσij = Cov(Ci, Xj), i, j = 1, . . . , n
Didefinisikan bahwa kumpulanW adalah koleksi dari semua portofolio yang mungkin :
Hasil total dari portofolio adalah :
Rw = n
X
i=1 wiXi
Mean dan variansnya adalah :
9
R : batas portofolio
W : kumpulan semua portofolio yang mungkin w : vektor portofolio
µw : batas bawah rata-rata µ0 : batas atas rata-rata σ2
w : batas bawah varians σ2
0 : batas atas varians
q0 : batas atas tingkat pengembalian qw : batas bawah tingkat pengembalian
Ada dua model umum yang menggunakan prinsip mean-varians. Ide untuk model pertama adalah memberi batas atasσ2
0 untuk hasil varians portofolio, memilih suatu portofolio w, hingga µw adalah maksimum dengan σw2 ≤σ02.
max
w∈W µw (3.1)
Kendalaσ2w ≤σ02
Model kedua untuk memberi batas bawah µ0 untuk mean hasil portofolio, memilih suatu portofolio w, hingga σ2
w adalah minimum dengan µw ≥µ0:
b. Pendekatan Mean- Value at Risk.
10
100(1 −α)% dari suatu portofolio w untuk suatu periode waktu tertentu dari tingkat pengembalianqw sehingga probabilitas dari portofolio memiliki tingkat pengembalianqw atau lebih kecil yaitu α:
P(Rw ≤ −qw) =α (3.3)
Sama seperti metode mean-variance, didefinisikan dua model untuk prinsip mean- Value at Risk. Pertama adalah untuk batas atas yang diberikan q0 untuk Value at Risk hasil portofolio, memilih suatu portofolio w, sehingga µw adalah maksimum dengan qw ≤ q0:
max
w∈W µw (3.4)
Kendalaqw ≥q0
Tahap model kedua untuk batas atas µ0 yang diberikan untuk mean dari hasil portopolio, memilih suatu portofoliow, hinggaValue at Riskqw adalah minimum dengan µw ≥µ0:
max
w∈Wqw (3.5)
Kendalaµw ≥µ0
3.1.2 Perbandingan Pendekatan Mean-Varians dan Mean- Value at Risk
11
3.2 Sensitivitas dan Value at Risk
3.2.1 Definisi Value at Risk
Value at Risksekarang ini menjadi alat standar dalam mengelola risiko pada bank dan institusi keuangan lainnya. Hal ini diartikan sebagai kerugian untuk suatu tingkat kepercayaan yang diberikan. Untuk suatu tingkat kepercayaanp= 99%, seorang percaya bahwa 99% pada akhir risiko terpilih tidak akan terdapat lebih besar kerugian dari Value at Risk. Dalam teori peluang, Value at Risk
adalah 1% kuartil (secara umum (1−p)% kuartil) dari keuntungan dan distribusi kerugian.
Masalah sederhana adalah asumsi suatu distribusi normal, disini Value at Risk adalah perkalian sederhana dari standar deviasi [pada tingkat kepercayaan 99%,Value at Riskadalah 2,33 standar deviasi (Jorion (2001))]. Pada masalah ini, konsep Value at Risktidak akan menghasilkan beberapa masalah teoritikal baru. Akan tetapi, asumsi dari distribusi normal diragukan pada penetapan stok pasar. Hal ini pada kenyataannya penting pada pengelolaan risiko yang kerugiannya tinggi jauh melebihi kemungkinan pada stok pasar dari asumsi distribusi normal yang diusulkan.
Perhatikannaset keuangan yang harganya pada waktutdinotasikan dengan Pi,ti = 1, . . . , n. Dengan demikian, nilai pada waktu t dari portopolio dengan alokasi ai, i = 1, . . . , n adalah : Wt(a) =
n
P
i=1
aipi,t = apt = apt. Jika struktur portopolio dipastikan tetap antara waktu sekarang t dan waktu masa mendatang t+ 1, maka perubahan nilai pasar diberikan oleh: Wt+1−Wt(a) = a(pt+1−pt).
12
(a, α) didefenisikan oleh :
Pt[Wt+1(a)−Wt(a) +V aRt(a, α)<0] =α (3.6)
dimana Pt adalah distribusi bersyarat harga aset masa mendatang dengan mem-perhatikan informasi yang ada pada waktu t. Definisi sedemikian mengasumsi-kan distribusi bersyarat keuntungan kontinu. Nilai rentang probabilitas kerugian adalah 1% sampai 5%, tergantung pada waktu. Karenanya Value at Risk me-nempati posisi global (portofolio plus cadangan) yang hanya mengalami kerugian untuk probabilitasαkecil pada periode waktu tertentu, dan dinormalisaikan men-jadi sama dengan satu. Value at Risk dapat dianggap sebagai kwartil atas pada tingkat 1−α, karena :
Pt[−a′yt+1 > V aRt(a, α)] =α (3.7)
di mana yt+1 =pt+1 −pt
Pada waktut, Value at Riskadalah fungsi dari informasi masa sebelumnya, struktur portofolio a dan tingkat probabilitas kerugian α.
3.2.2 Portofolio Efisien Value at Risk
Pemilihan portofolio didasarkan pada pertimbangan antara perkiraan ke-untungan dan risiko, dan mengharuskan pilihan untuk ukuran risiko yang akan diimplementasikan. Biasanya risiko dinilai dengan momen orde dua bersyarat, yaitu sifat mudah berubah. Ini menghasilkan penentuan portofolio efisien mean-variansi yang diperkenalkan Markowitz (1952). Pemilihan portofolio didasarkan pada kriteria paling penting (probabilitas kegagalan), yang diajukan pertama kali oleh Roy (1952) [Levy dan Sarnat (1972), Arzac dan Bawa (1977), Jansen et al.(1998)].
13
Rockafellar (1999) mengajukan model berbasis-skenario untuk optimisasi porto-folio dengan menggunakan Conditional Value at Risk (CVaR) yang didefinisikan sebagai perkiraan nilai kerugian yang melebihiValue at Risk. Model optimisasinya meminimalkanConditional Value at Risksekaligus menghitungValue at Riskdan dalam kasus keuntungan portofolio yang berdistribusi normal, portofolio Condi-tional Value at Riskminimum ekivalen dengan portofolioValue at Riskminimum. Kalin dan Zagst (1999) menunjukkan bagaimana Value at Risk dapat diperoleh dari model dengan batasan sifat mudah berubah. Akan tetapi, tulisan tersebut juga tidak mengajukan model yang memasukkan Value at Risk sebagai metrik risiko untuk penilaian portofolio.
Basak dan Shapiro (1999) menunjukkan secara teoritis bahwa keputusan op-timal yang didasarkan pada Value at Riskmenghasilkan keterpaparan risiko yang lebih tinggi daripada bila keputusan didasarkan pada perkiraan kerugian. Pa-da Pa-dasarnya, mereka menunjukkan bahwa bila kerugian terjadi kerugian tersebut akan lebih besar dengan strategi manejemen risiko Value at Risk. Mereka me-nyatakan bahwa hal ini merupakan kelemahan signifikan dari kebijakan berbasis
Value at Riskdan mengajukan bahwa ukuran alternatif yang didasarkan pada per-kiraan nilai kerugian, dimasukkan dalam strategi manajemen risiko. Pada bagian ini diperluas teori portofolio efisien, Value at Riskdiadopsi sebagai ukuran risiko sebagai pengganti variansi.
3.2.3 Definisi Portofolio Efisien Value at Risk
Suatu anggaran tertentu w akan dialokasikan pada waktut di antaran aset berisiko dan satu aset bebas risiko. Harga aset berisiko pada waktu t adalah pt, sementara harga aset bebas risiko sama dengan satu dan suku bunga bebas risiko sama dengan r. Batasan anggaran pada waktu t adalah : W =a0+a′pt di mana a0 adalah nilai dana yang diinvestasikan pada aset bebas risiko danaalokasi pada aset berisiko. Nilai portofolio pada waktu berikut adalah :
14
=w(1 +r) +a′(p
t+1−(1 +r)pt] =w(1 +r) +a′y
t+1
Value at Risk portofolio ini didefinisikan dengan :
Pt[Wt+1 <−V aRt(a0, a;α)] =α (3.8)
dan dapat ditulis dalam bentuk kwantil dari bagian risiko portofolio.
V aRt(0, a, α) =w(1 +r) +V aRt(a, α) (3.9)
dimana V aRt(a, α) memenuhi :
Pt[ayt+1<−V aRt(a, α)] = α (3.10)
Didefinisikan portofolio efisien Value at Risk sebagai portofolio dengan alokasi yang menyelesaikan masalah optimisasi dengan batasan :
n maxaE
tWt+1
s.t.V aRt(a0, a, α)≤V aR0 (3.11) dimana V aR0 adalah batasan Value at Risk.
Masalah ini ekuivalen dengan :
n max
aEtyt+1
s.t.V aRt(a;α)≤V aR0−w(1 +r) =V aR0 (3.12) Alokasi efisien Value at Risk tergantung pada probabilitas kerugian α, dimana V aR0 adalah batasan risiko, dan anggaran awal w. Ini dinotasikan dengan a∗t = a∗
t[α, V aR0].
Batasan ini ekuivalen dengan :
(
15
3.2.4 Batas Value at Risk
Basak dan Shapiro (2001) mengkaji masalah optimisasi statis berikut : sup
Wt≥0
E[u(WT)]
Dengan batasan E[ξTWT]≤W0
P[W0−WT > V aR]≤α (3.15)
Pedagang yang memulai niaga dengan W0 dan harus memilih portofolio π ∈ A untuk memaksimalkan perkiraan utilitas E[u(Wπ
T)] dari portofolio niaga, dengan batasan waktu t∈ [0, T], nilai berisiko portofolionya, V aRαπ
t , tidak lebih besar dari tingkat yang ditetapkan V aR(Wπ
t , t)≥0.
Diasumsikan bahwa fungsi utilitasu:R ∪ {−∞}naik murni, konkaf murni, terdiferensikan kontinu dalam interior domain dom(u) ={W ∈ R :u(W)>−∞}, dan memenuhi syarat : limW→∞u′(W) = 0,limW
→∞u′(W) = ∞ untuk Wu := inf{W ∈ R:u(W)>−∞}.
Masalah pemilihan portofolio yang dihadapi si pedagang adalah yang berikut :
sup E[u(Wπ T)] dengan batasan Wπ
0 =W0.
V aRα,πt ≤V aR(Wtπ, t)∀t∈[0, T] (3.16)
Didalam (3.15) diperoleh batasValue at Riskpada waktuttergantung pada waktu kalender dan pada nilai portofolio saat ini.
Karena diasumsikan bahwa V aR(Wπ
t , t) ≥ 0, maka dari rumus V aR π,0 1 = T CE1π,0 = 0 dengan menetapkan π1 = 0 (yaitu, menginvestasikan segalanya pada obligasi tidak berisiko) selalu memenuhi batasan Value at Risk. Karenanya, n strategi niaga layak tidak kosong.
16
V aRαπ
t ≤V aR(Wtπ, t) jika dan hanya jika:
log
Dalam masalah asset berisiko tunggal (n= 1), bahwa rumus ini ekivalen dengan batas atas dan batas bawah bagian dariπ1 yang dialokasikan ke asset berisiko : π−(Wπ Khususnya, dengan nilai portofolio Wπ
t , himpunan portofolio yang dibolehkan πt konveks jika n = 1 atau jika n > 1 dan α ≤ 1
2. Hal ini mungkin tidak konveks jika α > 12 dan n > 1. Karena dalam aplikasi praktis α < 12, mengasumsikan ketaksamaan ini untuk selanjutnya.
Dengan menulis ulang 3.16 sebagai masalah kontrol stokastik sup
π∈A
E[u(Wπ T)] dengan batasan Wπ
t =W0 + dihasilkanlah karakterisasi strategi niaga optimal berikut.
Asumsikan bahwa α≤ 12 dan misalkan V(W, t) = sup π∈A
E[u(Wπ
T)|Wtπ =W] menyatakan fungsi nilai untuk masalah kontrol stokastik (3.19). Definisikan
17
di manaκ=σT(σσT)−1µ. Maka,ϕ+
α(W, t)≥0 untuk semuaW, t)∈(0,∞)×[0, T] dan V menyelesaikan persamaan Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB).
0 =
Persamaan (3.24) menunjukkan bahwa portofolio optimal dengan batasan
Value at Riskadalah kombinasi dari asset tanpa risiko dan portofolio efisien mean-variansi (σσT)−1µ. Dengan demikian, dengan pendapatan asset berdistribusi log-normal, batasanValue at Riskmempengaruhi distribusi portofolio optimal antara asset tanpa risiko dan asset risiko, tetapi menimbulkan penyimpangan pada kom-posisi portofolio optimal asset berisiko.
Fungsi ϕ+
α(W, t) dalam (3.20) mengidentifikasi bagian maksimum dari kekayaan yang bisa diinvestasikan pada portofolio efisien mean-variansi pada waktu t de-ngan batasanValue at Risk, portofolio efisien mean-variansi tidak pernah optimal. Hasil memungkinkan menghitung distribusi nilai portofolio dengan strategi niaga optimal.
Misalkanp(W, t) menotasikan fungsi kepadatan Wπ∗
BAB 4 PEMBAHASAN
4.1 Bentuk Model Berbasis Value at Risk
Ada tiga model yang dikembangkan untuk pemilihan portofolio Value at Risk yang merupakan perluasan langsung dari model yang pada dasarnya dikem-bangkan untuk digunakan bersama ukuran risiko lainnya. Yang pertama dari ketiga model ini didasarkan pada kerangka Mean Variance (MV), yang kedua adalah Model Minimax (MM) dan yang ketiga dikembangkan dari model Stochas-tic Programming(SP). Ketiga model tersebut, semuanya merupakan variasi dari model pemilihan portofolio bentuk-umum, digunakan atas serangkaian skenario yang menggambarkan keuntungan saham. Masing-masing skenario menggam-bakan satu realisasi gabungan yang mungkin dari keuntungan yang tidak pasti atas horizon perencanaan.
Pada model Mean Variance, digunakan skenario untuk menghasilkan ma-triks variansi/kovariansi input, dan pada model lainnya skenario dimasukkan secara langsung. Masing-masing model dikembangkan dengan asumsi horizon perencanaan periode-tunggal. Asumsi ini dapat diperlonggar pada semua model kecuali modelMean Variance dan digunakan untuk memungkinkan perbandingan antar bentuk model. Keuntungan untuk Value at Risk dinyatakan pada semua model sebagai keuntungan persentil ke-P dari R∗.
4.1.1 Model Mean Variance (MV)
Model Mean Variance didefinisikan sebagai berikut :
minX i
X
j
XiXjCOVij
Dengan batasan CXT ≥ G (4.1)
P XT
19
X ≥0
di mana X adalah vektor 1×N dari proporsi alokasi saham (Xj), COVij adalah kovariansi antara saham i dan saham j,C¯ adalah vektor 1×N dari perkiraan ke-untungan saham ( ¯Cj),P adalah vektor 1×N dari harga sama (Pj) dan Gadalah perkiraan keuntungan minimum yang diharuskan. Untuk mengimplementasikan model Mean Variance dalam kerangka keputusan Value at Risk, G divariasikan secara sistematik dari perkiraan keuntungan portofolio variansi-minimum ke per-kiraan keuntungan-maksimum sampai Value at Risk target dicapai.
Tidak ada jaminan bahwa pendekatan Mean Variance akan konvergen ke solusi layakValue at Risk. Ada kemungkinan bahwa pendekatan Mean Variance
akan konvergen ke portofolio variansi-minimum dengan keuntungan persentil ke-P lebih kecil dari R∗ target. Semakin tinggi tingkat merugikan risiko semakin besar kemungkinan ini akan terjadi dan risiko portofolio akan lebih besar dari yang dispesifikasi oleh Value at Risktarget. Sama halnya, juga ada kemungkinan pendekatan Mean Variance akan konvergen ke portofolio keuntungan maksimum dengan keuntungan persentil ke-P lebih besar dari R∗ target yang menghasilkan portofolio dibandingkan dengan Value at Risk yang diinginkan.
Probabilitas kejadiannya semakin besar apabila tingkat merugikan risiko berku-rang. Agar supaya pendekatanMean Variancemenghasilkan portofolio yang tidak terlalu berisiko dan juga tidak terlalu hati-hati, R∗ haruslah terletak diantara persentil ke-P portofolio keuntungan-maksimum dan persentil ke-P portofolio variansi-minimum.
Dengan distribusi keuntungan portofolio simetris, pendekatan Mean Vari-ancedalam teori akan menghasilkan portofolio dengan perkiraan-keuntungan mak-simum utunk Value at Riskjika R∗ berada di dalam rentang yang diperbolehkan yang dijelaskan di atas. Akan tetapi, di dalam prakteknya, dengan rangkaian sam-pel skenario terbatas, modelMean Variance akan menjadi kurang handal apabila tingkat kurtosis meningkat. PendekatanMean Variancetelah terbukti sangat sen-sitif terhadap salah-spesifikasi parameter input (Koskosidis dan Duarte, 1997).
20
solusiMean Variancelebih besar kemungkinannya konvergen ke portofolio variansi-minimum jika ada kemiringan negatif dan konvergen ke portofolio yang terlalu hati-hati jika ada kemiringan positip. Dalam uji berikut,R∗ ditetapkan pada ni-lai tinggi untuk menjamin model Mean Variance agar tidak konvergen ke porto-folio variansi-minimum. Akan tetapi, model Mean Variance karena distribusi keuntungan leptokurtik akan tetap konvergen ke portofolio terhadap portofolio keuntungan-maksimum layak Value at Risk.
4.1.2 Model Minimax (MM)
Kerangka portofolio Model Minimax yang diajukan Young (1998) adalah berbentuk:
maxm
Dengan batasanC(ξ)XT −m≥ 0∀ξ = 1 sampaiS (4.2) CXT
≥G
P XT ≤1 X ≥0
di mana m adalah keuntungan atas portofolio keuntungan-minimum dan C(ξ) adalah vektor 1×N dari keuntungan saham dengan skenario ξ,{cj(ξ)}. Young mengajukan model ini sebagai pendekatan praktis terhadap pemilihan portofo-lio sehingga manajer keuangan dapat mengimplementasikan teknik penghitungan standar tertentu. Struktur program linier juga memungkinkan dimasukkannya batasan sampingan bentuk khusus. Dalam pengujian yang ekstensif atas model
Model Minimax, kinerjanya terbukti serupa dengan kinerja yang teralisasi dengan menggunakan kerangka modelMean Variance. Karena alasan ini dan karena sifat diskrit dari metrik risiko yang dimasukkan dalam model, model Model Minimax
21
Ada dua kelemahan potensial pada implementasi modelModel Minimax de-ngan kerangka Value at Risk (Uryasev dan Rockafellar, 1999). Pertama, ukuran model meningkat secara langsung sesuai dengan jumlah skenario.
Kedua, di titik solusi optimal pada model Model Minimax hanya batasan skenario kasus-terburuk dalam (4.2) yang mengikat. Idealnya, persentil ke-P ba-tasan portofolio yang lebih rendah akan mengikat pada titik solusi optimal. Ini mengisyaratkan bahwa profil risiko untuk portofolio Model Minimaxoptimal ter-lalu tergantung pada skenario kasus terburuk dan bukan pada rangkaian skenario terburuk secara keseluruhan di bawah persentil ke-P. Dalam kasus distribusi yang sangat leptokurtik (distribusi miring negatif) pendekatan Model Minimax
akan menghasilkan portofolio yang terlalu hati-hati relatif terhadap risiko yang dispesifikasi Value at Risk.
4.1.3 Model Stochastic Programming (SP)
Kerangkastochastic programmingterbukti sangat kuat untuk masalah pemi-lihan portofolio (Carino et al. 1994; Golub et al. 1995; Holmer dan Zenios, 1995; Koskosidis dan Duarte, 1997). Pendekatanstochastic programmingyang diajukan Hiller dan Eckstein (1993) memberikan kerangka yang paling mudah disesuaikan untuk alokasi portofolio Value at Risk. Model ini berbentuk
maxCXT − λ X ξ
π(ξ)d(ξ, X)
Dengan batasan C(ξ)XT +d(ξ, X)
≥R∗∀ξ = 1 sampaiS (4.3) P XT
≤1 X ≥0
dimana d(ξ, X) adalah jumlah dibawah keuntungan R∗ untuk setiap skenario ξ. Perkiraan jumlah di bawahR∗dinyatakan dalam fungsi tujuan sebagaiπ(ξ)d(ξ, X), dimana π(ξ) adalah probabilitas skenario ξ.
22
tingkat risiko yang lebih tinggi. Hiller dan Eckstein (1993) mengajukan model ini sebagai model dedikasi stokastik untuk portofolio pendapatan-tetap. Pada model awal mereka untuk manajemen aktiva/ kewajiban, R∗ ditetapkan sama dengan nol yang menghasilkan suku risiko yang mencerminkan probabilitas dan keparahan insolvensi atas semua skenario. Sebelum model Hiller dan Eckstein (1993) implementasi metrik risiko mean parsial yang lebih rendah dianggap re-sistan dalam perhitungan pada stochastic programming. Rumus tertentu yang diajukan oleh Hiller dan Eckstein (1993) mudah disesuaikan untuk kerangka Va-lue at Riskdengan menetapkanR∗sama dengan keuntungan kasus terburuk target dan dengan memvariasikan parameter risikoλhinggaP
ξ
π(ξ) sama denganP/100, fungsi kepadatan probabilitas pada R∗.
Akan tetapi ada beberapa masalah yang dapat ditemukan dalam mengim-plementasikan stochastic programming untuk pemilihan portofolio dengan Value at Risk. Pertama, model stochastic programmingpadat perhitungan dan banyak kasus menjadi resistan perhitungan dengan rangkaian asumsi yang realistis, jum-lah saham yang layak dan horizon perencanaan periode waktu ganda (Dahl et al. 1993). Seperti halnya kerangka Model Minimax, ukuran modelstochastic pro-grammingmeningkat secara langsung sesuai dengan jumlah skenario yang menjadi isu implementasi yang signifikan dalam kerangka Value at Risk jika probabilitas kejadian merugikan yang tidak mungkin dan akan digambarkan dalam rangkaian skenario.
Dengan tidak memasukkan risiko ini, model akan gagal mengontrol jenis-jenis risiko yang berfungsi sebagai daya pendorong utama atas penerimaan Value at Risk (McKay dan Keefer, 1996). Kedua, model stochastic programming akan konvergen pada portofolio sangat leptokurtik.
23
pendekatan Model Minimax dan model Mean Variance, memasukkan perkiraan kerugian dalam pengukuran kinerja ”kasus terburuk”.
4.1.4 Model Tail Conditional Exspectation (TCE)
Dalam tulisan ini dikaji perilaku optimal dengan memenuhi batasan Tail Conditional Exspectation, dan membuktikan bahwa Tail Conditional Exspecta-tion dan Value at Risk ekivalen sebagai alat kontrol risiko, dengan batasan Tail Conditional Exspectation dinamik, dan batas Value at Risk dinamik. Ini berlaku meskipun dengan fakta bahwa Tail Conditional Exspectation merupakan ukuran risiko yang kuat, sementara Value at Risk tidak, dan karena fakta bahwa Value at Risk, walaupun tidak bersifat subaditif namun bersifat aditif comonotonisitas (Pflug, 2000).
Batas risiko kerugian berbasis utilitas menyebabkan keterpaparan risiko yang lebih kecil daripada tanpa adanya batasan ini tetapi mengharuskan komit-men dari investor. Sampai sejauh ini itu tidak digunakan dalam aplikasi praktek.
Cuoco dan Liu (2006) mengkaji, dalam pendekatan tulisan ini, masalah pelaporan dan investasi bersama sebuah lembaga keuangan dengan memenuhi persyaratan modal minimum yang ditentukan berdasarkan ukuran Value at Risk
yang dilaporkan sendiri. Pirvu dan Zitkovic (2006) meneliti masalah ergodik mak-simisasi laju pertumbuhan dengan Value at Risk, Tail Conditional Exspectation
dan membatasi perkiraan kerugian. Penulis mengasumsikan koefisien pasar sto-kastik dan menerapkan pendekatan untuk menilai ulang risiko secara dinamik.
Waktu-kontinu atas horizon berhingga [0, T]. Ketidakpastian dinyatakan dengan ruang probabilitas tersaring (Ω,F, F, P), di manaF={Ft}adalah filtrasi alami yang dihasilkan oleh gerakan w Brownian d-dimensi.
24
Brownian geometrikn-dimensi dengan vektor penyimpangan rl+µ dan matriks difusiσ, yaitu Diasumsikan tanpa kehilangan keumuman bahwa 1 ≤ n ≤ d dan bahwa rank (σ) =n. Obligasi dan saham berlangsung secara kontinu dan tanpa gesekan.
Pedagang diberi waktu nol dengan kekayaan awalW0 >0. Ia memilih proses bobot portofolio n-dimensi yang disesuaikanπt. Sehingga proses nilai terkaitWπ t memenuhi batasan anggaran dinamik
Wπ
Diasumsikan bahwa prosesπtdiperbolehkan, dan ditulisπ ∈Ajika T
Untuk portofolio πt tertentu dan nilai portofolio terkait WTπ pada waktu t, dari (4.6) diperoleh bahwa variabel acakWt+τ(Wtπ, πt) akan merupakan nilai masa mendatang dari portofolio pada waktu t+τ jika bobot portofolio tetap konstan antara waktu t dan waktu t+τ.
25
di mana Qαπ
t = sup{L ∈ R : P(Wt+τ(Wtπ, πt) − Wtπ ≤ L/Ft) < α} adalah kwantil proyeksi keuntungan portofolio atas interval (t, t+τ) danx= max[0,−x] menyatakan bagian negatif dari bilangan riilx.
Dengan kata lain, V aRαπ
t adalah kerugian dalam periode dengan durasi τ berikutnya yang dilampaui hanya dengan probabilitas bersyarat (kecil) α jika portofolio saat iniπi tetap tidak berubah. Fakta bahwa V aRαπt dihitung dengan asumsi bahwa portofolio saat ini tetap tidak berubah mencerminkan praktek ak-tual dan fakta bahwa lembaga keuangan yang memonitor pedagangnya biasanya tidak mengetahui pilihan portofolio masa mendatang pedagang atas hirozonValue at Risk. Namun, ukuran Value at Risk dalam (4.7) hanya membutuhkan penge-tahuan tentang nilai portofolio saat ini, komposisi portofolio saat ini dan distribusi bersyarat pendapatan asset.
Tail Conditional Exspectation dari portofolio π∈A didefinisikan oleh
T CEαπ
di mana x+ = max[0, x]. Tail Conditional Exspectation dari portofolio adalah perkiraan bersyarat nilai kerugian yang melebihiQαπ
t . Dengan asumsi pendapatan asset yang berdistribusi lognormal, baik Value at Risk maupun Tail Conditional Exspectation portofolio bisa dihitung secara eksplisit.
Diperoleh:
26
Dan
V aRα0t =T ECtα0 = 0 (4.12)
4.2 Batasan Tail Conditional Exspectation (TCE)
Adapun masalah yang harus memenuhi batas risiko yang ditetapkan dalam bentuk Tail Conditional Exspectation.
sup E[u(WTπ)]
dengan batasan wπ 0 =W0
T CEαπ¯
t ≤T CE(W π
t , t)∀t ∈[0, T] (4.13) di mana T CE adalah fungsi nonnegatip tertentu dan ˆα ∈ (0,1). Seperti yang disebutkan dalam pendahuluan,Tail Conditional Exspectationdianjurkan sebagai alat managemen-risiko yang lebih baik daripada Value at Risk. Akan tetapi, seti-daknya dalam kasus harga asset mengikuti gerakan Brownian geometrik, pilihan akan Value at Risk atau Tail Conditional Exspectation sebagai alat managemen-risiko sebagian besar tidak relevan.
Batasan V aRαπ
t ≤ V aR(Wtπ, t) dan T CEtαπ ≤ T CE(Wtπ, t) ekuivalen ji-ka kebijaji-kan portofolio optimal dalam (4.7) dan (4.13) bersesuaian untuk semua fungsi utilitas u.
V aRαπ
t tergantung pada π dengan perkiraan angka pendapatan sesaat πT
27
untuk suatu fungsi ˆϕ. Portofolio kombinasi asset tak berisiko dan portofolio efisien
Mean-Variance, batasTail Conditional Exspectationekuivalen dengan batas bawah dan batas atas untuk alokasi ke portofolio efisienMean Variance.
Untuk semuaa ≥ 0, himpunan Φa ˆ
α ={ϕ∈R : ˆρα(ˆ ϕ(σσT)−1µ)≤a} adalah interval tertutup yang memuat titik asal. Dengan demikian, terdapat fungsi Φˆα dan Φ+
Dengan mengingat kembali bahwaT CEαπ
t =Wtπρˆα(ˆ πt)+, dari lemma di atas segera tampak bahwa kebijakanπ∗ dalam (4.4) memenuhi batasTail Conditional
Exspectation dalam (4.10) jika dan hanya jika ˆ
Karena portofolio efisien mean-variansi tidak pernah optimal, maka tidak sulit diketahui bahwa pasangan batas Value at Riskdan Tail Conditional Exspec-tationtertentu ekuivalen jika dan hanya jika alokasi layak maksimum ke portofolio efisien mean-variansi dengan dua batasan bersesuaian, yaitu jika fungsi ϕ+
α bers-esuaian dengan fungsi ˆϕ+αˆ.
Batasan T CEαπ
t ≤T CE(Wtπ, t) ekuivalen dengan batasan V aRαπt ≤V aR (Wπ
t , t), dimanaα ∈(0,1) adalah probabilitas sebarang sehingga:
|κ|√τ+N−1(α) +p Sebaliknya, batasan V aRαπ
28
T CE(Wπ
t , t), di mana ˆα∈(0,1) adalah probabilitas sebarang sehingga: ˆ
ϕ+αˆ(0) ≤ inf
(W,t)∈R+×[0,T]ϕ +
α(W, t) (4.18)
Dan
T CE(W, t) =Wρˆα(ˆ ϕ+α(W, t)(σσT)− 1µ)
≥0 (4.19)
Batas ϕ+
α dan ˆϕ+αˆ pada posisi panjang dengan keberadaan batas VaR dan
Tail Conditional Exspectation dipengaruhi masing-masing oleh pilihan α, V aR dan ˆα, T CE. Hal ini menunjukkan bahwa untuk ˆαtertentu,T CE (atauα, V aR), batas ini menjadi sama pada pilihanV aR(T CE) yang diajukan di suatu α yang memenuhi (4.16) ( ˆα yang memenuhi (4.18)). Diimplikasikan bahwa batas em Value at Risk proporsional ekuivalen dengan batas Tail Conditional Exspectation
proporsional.
BatasValue at RiskproporsionalV aRαπ
t ≤βW dengan β ∈(0,1) ekuivalen dengan batas Tail Conditional ExspectationT CEαπ¯
t ≤βWˆ , dimana β ≤βˆ
= ˆρ0
|κ|√τ+N−1(α)+√(
|κ|√τ+N−1(α))2+2(log(1−β)+−rτ) |κ|√τ ·(σσ
T)−1µ
BAB 5
KESIMPULAN DAN SARAN
5.1 Kesimpulan
Pengukuran risiko merupakan hal yang sangat penting dalam analisis keua-ngan. Value at Riskadalah ukuran risiko yang umum dilaporkan dan diterima di antara segmen-segmen industri dan para partisipan. Salah satu model berbasis Value at Risk adalah Tail Conditional Exspectation.
Tail Conditional Exspectation dan Value at Risk ekivalen sebagai alat kon-trol risiko pada dasarnya, dengan batasanTail Conditional Exspectation dinamik, selalu dimungkinkan mengidentifikasi batas Value at Risk dinamik, dan seba-liknya.Dalam tesis ini diperoleh suatu cara menentukan portopolio optimal dari
Value at Risk dengan model Tail Conditional Exspectation. Model Tail Condi-tional Exspectation dapat mengevaluasi risiko secara dinamik dengan syarat mo-del minimum yang ditentukan berdasarkan ukuranValue at Riskyang dilaporkan sendiri.
Dalam tulisan ini dikaji perilaku optimal dengan memenuhi batasan Tail Conditional Exspectation, dan membuktikan bahwa Tail Conditional Exspecta-tion dan Value at Risk ekivalen sebagai alat kontrol risiko, dengan batasan Tail Conditional Exspectation dinamik, dan batasValue at Risk dinamik. Ukuran Va-lue at Risk hanya membutuhkan pengetahuan tentang nilai portopolio, komposisi portopolio dan distribusi bersyarat pendapatan asset.
30
5.2 Saran
DAFTAR PUSTAKA
Artzner, P.F.Delbaen, F., Eber, J.M., D.,Heath (1996).Coherent Measures of Risk. D.P.ETH Zurich.
Artzner, P., Delbaen, F., Eber,J.M., and D., Heath (1997). Thinking Coherently.
Risk, 10, 68-71.
Arzac, E., and V., Bawa (1977). Portopolio Choice and Equilibrium in Capital Markets with Safety Investors.Journal of Financial Economics, 4, 277-288. Basak, S., A.Shapiro. 1999. Value-at-Risk Based Risk Management, Optimal
Poli-cies and Asset Prices, Working Paper. University of Penusylvania.
Bassi, F, Embrechts, P, and M, Kafetzaki (1998). Risk Management and Quantile Estimation, in Practical Guide to Heavy Tails, eds.
Berkelaar, A., P.Cumperayot, R.Krouwenberg. (2005). The effect of VaR based risk management on asset prices and volatility smile.Eur.Financial Management
8.65-78.
Carino, D.R, Kent, T, Myers, D.H, Stacy, C, Sylvanus, M, Turner, A.L., Watanabe, K., Ziemba, W.T.(1994). The Russel-Yasuda Kasai mpdel: An asset/liability model for Japanese insurance company using multistage stochastic program-ming. Interfaces 24, 29-49.
Cuoco dan Liu (2006), An Analysis of Var- Based Capital Requrement.J.Financial Intermediation, 15. 362-394.
Cuoco Domenico, Hua He, Sergei Isaenko (2008). Optimal Dynamic Trading Strategies with Risk Limits. Operations Research. pp. 358-368
Dahl, H, Meeraus, A, Zenios, S.A (1993). Some Financial Optimization models:
Risk Management in Financial Optimization, Zenios (Ed), Cambridge Uni-versity Press, Cambridge, 3-36.
Dowd, K (1998).Beyond Value at Risk The New Science of Risk Management, Wiley. Chechester.
Duffie, D, and J, Pan (1997). An Overview of Value at Risk.Journal of Derivatives. 4, 7-49.
Embrecthts, P, Resnick, S, and G, Samorodnitsky (1998). Living on the Edge.
Risk, 11, 96-100.
Falk, M (1984). Extreme Quantile Estimation in neighborhoods of Generalized Pareto Distribution. Statistics and Probability Letters. 20,19-21
Falk, M (1985). Asymptotic Normality of the Kernel Quantile Estimator. The
32
Froot, K., and J.,Stein (1998). Risk Management, Capital Budgeting and Capital Structure Policy for Financial Institution. Journal of Financial Economics. 47, 55-82.
Gabih, A., W. Grocksch, R. Wunderlich. (2005). Dynamic portopolio opimization with bounded shortfall risks. Stochastic Anal. Appi. 23.579-594.
Gollier, C., Koehl, P.F., J.C. Rochet (1996). Risk Taking Behavior with Limit-ed Liability and Risk Aversion. DP 96-13. Wharton Financial Institutions Center.
Golub, B., Holmer, M., McKendall, R., Pohlman, L., Zenious, S.A. (1995). A stochastic programming model for money management.European Journal of Operational Research. 85, 282-296.
Harrel, F., and C., Davis (1982). A new distribution free quantile estimation.
Biometrika. 69, 635-640.
Hiller, R.S., Eckstein, J. (1993). Stochastic dedication. Designing fixed income portfolios using massively paralel benders decomposition. Management sci-ence. 39, 1422-1438.
Holmer, M.R., Zenious, S.A (1995). The productivity of financial intermediation and the technology of financial product management. Operation Research. 43, 970-982.
Huisman, R., K. G. Koedijk, R.A.J.Prownall (1999). Asset allocation in a value-at-risk framework. Working paper, Erasmus University of Rotterdam. Rot-terdam. The Netherlands.
Jansen, D., Koedijk, K., and C., de Vries (1998). Portfolio Selection with Limited Downside Risk. Mimeo Maastricht University.
Jorion, P. (1996). Risk: Measuring the risk in Value at Risk. Financial Analysis Journal. November-Desember, 47-56.
Jorion, P. (1997). Value at Risk: The new Benchmark for controlling market Risk. Cicago.
Jorion, P. (2001). Value at Risk: 2nd edition. McGraw-Hill.
Kahn, D., Zagst, R. (1999). Portfolio optimization Volatility constraints versus Shortfall Contsrains. OR. Spektrum, 21, 97-122
Kimball, R (1997). Innovations in Performance Measurement in Banking. New England Economic Review, May-June 23-38.
Korn, R. (1997). Optimal Portfolios: Stochastic Models for Optimal Investment and Risk Management in Continous Time. Word Scientific. Singapore. Koskosidis, Y.A., Duarte, A.M. (1997). Ascenorio-based aproach to active aset
33
Leippold, M., F. Trojani, P.Vanini. (2006). Equilibrium impact of value-at-risk regulation. J. Econom. Dynam. Control 30.1277-1313.
Levy, H., and M. Samat (1972). Safety First An Expected Utility Skewness and Kurtouis. Working paper Risk Metrics.
Markowitz, H.(1952) : Portofolio Selection.Journal of Finance, 7.77 - 91.
McKay, R., Keefer, T.E (1996). VaR is a dangerous technique.Corporate Financial Searching for systems integration supplement
Morgan, J.P. (1996) : Risk Metrics - Tehnical Document, 4th edition, New York. Pflug. G. (2000). Some remarks on the risk and the conditional
value-at-risk. S. Uryasev.ed. Probabilistis Constrained Optimization: Methodology and Applications. Kluwer. Boston, MA.
Pirvu T.A., G.Zitkovic. 2006.Maximizing the Grouth Rate Under Risk Constraints. Working Paper, University of Texas. Austin, TX.
Ridder, T.(1997). Basics of statistical VaR estimation. SGZ Bank.
Rodoni Ahmad and Othman Yong, 2002, Analisis Investasi dan Teori Portofolio, PT.Raja Grafindo Persada, Jakarta.
Roll, R.,R (1977). A critique of the Aset Pricing. Theorys Test.Journal of Finan-cial Economics. Pp.129-176.
Ross, S (1977). The Capital Aset Pricing Model (CAPM). Short-Sale Restrictions and Related Issues. Journal of Financial. Pp.177-183.
Roy, A (1952). Safety First and the Holding of asets. Econometrica, 29,431-449 Santomero, A, and D, Babbel (1996) : Risk Management by Insures An Analisys
of The Process. DP 96-116. Wharton Financial Intitution Center. Sharpe Williams (1995). Investasi. PT. Prenhalindo. Jakarta.
