DISTRIBUSI PELUANG TOTAL WAKTU BEKERJA SUATU
SISTEM DALAM PENGOPTIMALAN PRODUKSI
SKRIPSI
MARLINA JUNITA SITORUS
060803010
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
DISTRIBUSI PELUANG TOTAL WAKTU BEKERJA SUATU SISTEM DALAM PENGOPTIMALAN PRODUKSI
SKRIPSI
Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana Sains
MARLINA JUNITA SITORUS 060803010
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
ii
PERSETUJUAN
Judul : DISTRIBUSI PELUANG TOTAL WAKTU
BEKERJA SUATU SISTEM DALAM
PENGOPTIMALAN PRODUKSI
Kategori : SKRIPSI
Nama : MARLINA JUNITA SITORUS
Nomor Induk Mahasiswa : 060803010
Program Studi : SARJANA (S1) MATEMATIKA
Departemen : MATEMATIKA
Fakultas : MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN
ALAM (FMIPA) UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
Diluluskan di
Medan, Januari 2011
Komisi Pembimbing :
Pembimbing 2 Pembimbing 1
Drs. Suwarno Ariswoyo, M.Si Dr. Sutarman, M.Sc
NIP 19500321 198003 1 001 NIP 19631026 199103 1 001
Diketahui/ Disetujui oleh:
Departemen Matematika FMIPA USU Ketua,
iii
PERNYATAAN
DISTRIBUSI TOTAL WAKTU BEKERJA SUATU SISTEM DALAM PENGOPTIMALAN PRODUKSI
SKRIPSI
Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.
Medan, Januari 2011
iv
PENGHARGAAN
Pujian dan ucapan syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Esa atas kasih karunia dan pertolonganNya, sehingga penulis dapat menyelesaikan penulisan skripsi ini.
v
ABSTRAK
vi
ABSTRACT
vii
2.4.4 Keadaan Transisi dan Probabilitas Rantai Markov 16
2.5 Rantai Markov Kontinu 17
viii
Halaman Bab 3 Pembahasan
3.1Total Waktu Bekerja Sistem yang Dipandang sebagai
Sebuah Komponen 20
3.1.1 Waktu Bekerja dan Perbaikan Sistem Berdistribusi
Eksponensial 22
3.1.2 Availabilitas Sistem 23
3.1.3 Distribusi Peluang Total Waktu Bekerja Sistem
Sebuah Komponen 24
3.2Total Waktu Bekerja Sistem n Komponen 29
3.2.1 Distribusi Peluang Total Waktu Bekerja Sistem Terdiri dari n
Komponen yang Independent 29
3.2.2 Sistem yang Terdiri dari n Komponen dengan Waktu
Bekerja dan Waktu Perbaikan Berdistribusi Eksponensial 29
3.3 Sistem dengan Dua Komponen 31
3.3.1 Peluang Transisi 32
3.3.2 Distribusi Peluang Total Waktu Bekerja Sistem dengan dua
Komponen 33
3.4 Pembahasan Numerik 34
Bab 4 Kesimpulan dan Saran
4.1 Kesimpulan 36
4.2 Saran 37
v
ABSTRAK
vi
ABSTRACT
BAB 1
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Bidang statistika berhubungan dengan cara atau metode pengumpulan data, pengolahan, penyajian, dan analisisnya serta pengambilan kesimpulan berdasarkan data dan analisis yang telah dilakukan. Salah satu cara pengumpulan data ialah melakukan percobaan. Seluruh hasil yang mungkin dari suatu percobaan dinamakan ruang sampel. Hasil-hasil yang diperoleh dari percobaan tersebut dapat dimodelkan dalam suatu persamaan matematika. Tujuan pemodelan matematika adalah untuk menggambarkan peluang dari suatu peristiwa yang akan terjadi. Model matematika berfungsi sebagai peubah acak yang menghubungkan setiap unsur dalam ruang sampel dengan bilangan riel. Misalnya memodelkan suatu sistem yang tidak selamanya beroperasi, ada saatnya sistem tersebut mengalami kerusakan sehingga memerlukan waktu untuk diperbaiki.
2
Keefektifan suatu sistem sangat mempengaruhi kinerja sistem tersebut dalam menghasilkan produksi yang optimal. Ada beberapa ukuran keefektifan dari suatu sistem, diantaranya total waktu bekerja, total waktu perbaikan, availabilitas. Total waktu bekerja menyatakan total waktu sistem beroperasi dalam suatu interval waktu tertentu. Apabila proporsi total waktu bekerja dalam suatu interval waktu adalah besar maka sistem dikatakan efektif atau baik. Total waktu bekerja memiliki sifat acak. Total waktu perbaikan menyatakan total waktu sistem diperbaiki atau berhenti bekerja dalam suatu interval waktu tertentu. Apabila proporsi total waktu perbaikan dalam suatu interval waktu adalah kecil maka sistem dikatakan efektif atau baik. Total waktu perbaikan juga memiliki sifat acak. Availabilitas adalah peluang sistem bekerja pada suatu waktu tertentu. Semakin besar availabilitas suatu sistem maka sistem tersebut semakin baik.
Pengambil keputusan sering kali dihadapkan pada pilihan yang kompleks dan tidak pasti. Kompleks yang dimaksud adalah situasi yang tidak didukung dengan adanya konsep tunggal yang mampu menjawab permasalahan. Ketidakpastian yang dimaksud berupa ketidakpastian akan seberapa besar tingkat kesuksesan dan besar perolehan (outcome) dari suatu konsep. Sehingga, dengan cara menentukan distribusi peluang suatu sistem bekerja dapat menjadi salah satu cara yang efektif untuk menghadapi kompleksitas dan ketidakpastian ini karena mampu memberikan nilai peluang kesuksesan yang akurat dan dapat dipertanggungjawabkan. Salah satu teknik peluang yang digunakan adalah Rantai Markov Kontinu. Sebab sistem bekerja bersifat kontinu dan total waktu bekerja sistem tersebut ada pada interval waktu [0,t].
3
1.2 Identifikasi Masalah
Permasalahan dalam tulisan ini adalah bagaimana mengambil keputusan untuk mengganti atau memperbaiki sistem yang rusak agar produk yang dihasilkan optimal dengan menentukan peluang total waktu bekerja sistem.
1.3 Batasan Masalah
Tulisan ini dibatasi pada tahap penentuan distribusi peluang suatu sistem yang bekerja agar dapat menentukan keputusan terhadap sistem tersebut sehingga hasil produksi optimal. Sistem yang bekerja tersebut tidak dipengaruhi oleh sistem lainnya (bersifat independent).
1.4 Tinjauan Pustaka
Rantai Markov kontinu adalah salah satu teknik yang menganalisis pergerakan peluang dari satu kondisi ke kondisi lainnya pada interval waktu tertentu. Rantai Markov dikenalkan oleh Andrey A. Markov, ahli matematika dari Rusia yang lahir tahun 1856. Andrey A. Markov memperkenalkan proses Markov pada tahun 1906 yang berupa teori dasarnya saja. Setelah tahun 1936, seorang ahli Matematika berkebangsaan Rusia lainnya bernama Kolmogorov membuat generalisasi pada ruang state yang terhitung dan terbatas. Analisa rantai markov kontinu tidak memberikan keputusan rekomendasi, melainkan hanya informasi peluang dimasa mendatang mengenai situasi keputusan yang dapat membantu pengambil keputusan mengambil keputusan.
Peubah acak X = { X (t) ; t ≥ 0} adalah suatu himpunan dengan nilai-nilai di suatu ruang state S yang terbilang (countable) dan t [0,∞]. Kemudian diasumsikan bahwa S , dengan adalah himpunan bilangan bulat. Proses X disebut rantai Markov kontinu jika kondisi berikut ini terpenuhi (Suprayogi, 2008):
4
Dengan : t+ 1 = waktu yang akan datang t = waktu sekarang
t-1 = waktu lalu
Menurut J.Supranto (1998), matriks adalah suatu kumpulan angka atau elemen yang disusun berdasarkan baris dan kolom sehingga berbentuk empat persegi dibatasi oleh tanda kurung siku ataupun kurung biasa. Pada rantai Markov, matriks M berukuran p x q adalah matriks Stokastik yang elemen-elemennya menunjukkan kemungkinan perubahan antar komponen pada komposisi X, sehinggan jumlah
Sebuah komponen pada setiap waktu dapat dikategorikan dalam keadaan bekerja (up) atau sedang diperbaiki (down). Diasumsikan komponen mulai bekerja pada waktu t = 0. Setelah bekerja selama X1 satuan waktu, komponen tersebut gagal
atau rusak dan segera diperbaiki selama Y1 satuan waktu sehingga komponen tersebut
dapat bekerja kembali seperti komponen yang baru. Setelah bekerja lagi selama waktu X2 komponen gagal lagi dan diperbaiki kembali selama waktu Y2. Proses ini
berlangsung terus menerus dan setiap kali selesai dilakukan perbaikan komponen dianggap seperti baru lagi. Barisan (Xi; Yi; i 1) akan dianggap sebagai barisan vektor acak positif dan berdistribusi independent dan identik (Taryo, 2007).
Untuk menunjukkan apakah komponen bekerja atau tidak, didefinisikan variabel indikator Z, sebagai berikut:
Jika Z (t) menyatakan komponen bekerja atau gagal pada waktu t, maka total waktu bekerja sistem pada interval waktu [0; t] diberikan:
Total waktu perbaikan didefinisikan sebagai berikut:
5
1.5 Tujuan Penelitian
Tujuan penelitian ini adalah dapat menentukan keputusan terhadap sistem yang digunakan agar produk yang dihasilkan optimal dengan mengetahui distribusi peluang sistem.
1.6 Manfaat Penelitian
Rantai Markov banyak digunakan dalam pengambilan keputusan. Informasi yang dihasilkan akan menggambarkan tentang keadaan yang akan datang. Dengan mengetahui distribusi peluang sistem bekerja diharapkan dapat membantu pengambil keputusan khususnya dalam penentuan perlakuan terhadap sistem yang digunakan saat kondisi yang dihadapi berupa kompleksitas dan ketidakpastian.
1.7 Metodologi Penelitian
Metode penelitian yang digunakan dalam penelitian ini adalah:
I. Melakukan study yang berhubungan dengan distribusi peluang waktu bekerja suatu sistem, yakni rantai markov waktu kontinu dan pengembangan distribusi peluang dari internet berupa jurnal, artikel, dan dari buku.
II. Mengerjakan contoh permasalahan dalam pengambilan keputusan perlakuan terhadap suatu sistem dengan menentukan distribusi peluang sistem.
BAB 2
LANDASAN TEORI
2.1 Peluang
Peluang mempunyai banyak persamaan arti, seperti kemungkinan, kesempatan dan kecenderungan. Peluang menunjukkan kemungkinan terjadinya suatu kejadian yang bersifat acak. Suatu kejadian disebut acak jika terjadinya kejadian tersebut tidak diketahui sebelumnya. Oleh karena itu, peluang dapat digunakan sebagai alat ukur terjadinya kejadian di masa yang akan datang.
Nilai peluang yang paling kecil adalah 0 yang berarti bahwa kejadian tersebut pasti tidak akan terjadi. Sedangkan nilai peluang yang terbesar adalah 1 yang berarti bahwa kejadian tersebut pasti akan terjadi. Secara lengkap, nilai peluang suatu kejadian A adalah :
2.1.1 Definisi Peluang
Definisi mengenai peluang dapat dilihat dari tiga jenis pendekatan. Yaitu pendekatan klasik, pendekatan frekuensi relatif dan pendekatan subjektif (Aswin, hal: 1-3).
I. Pendekatan Klasik
7
Dirumuskan:
dengan:
Peluang terjadinya kejadian A
= Jumlah kejadian A
= Jumlah kejadian yang mungkin.
II. Pendekatan Frekuensi Relatif
Menurut pendekatan frekuensi relatif, peluang dapat didefinisikan sebagai berikut: 1. Proporsi waktu terjadinya suatu kejadian dalam jangka panjang, jika kondisi stabil. 2. Frekuensi relatif dari seluruh kejadian dalam sejumlah besar percobaan.
Peluang berdasarkan pendekatan ini sering disebut sebagai peluang Empiris. Nilai peluang ditentukan melalui percobaan, sehingga nilai peluang itu merupakan limit dari frekuensi relatif kejadian tersebut.
III. Pendekatan Subjektif
8
2.1.2 Peluang Beberapa Kejadian
I. Kejadian Saling Bebas ( Independent )
Dua kejadian atau lebih dikatakan saling bebas apabila terjadinya kejadian yang satu tidak mempengaruhi atau dipengaruhi terjadinya kejadian yang lain.
Untuk dua kejadian A dan kejadian B yang saling bebas, peluang terjadinya kejadian tersebut adalah :
Sedangkan untuk tiga kejadian A, B dan C yang saling bebas peluang terjadinya kejadian tersebut adalah :
II. Kejadian Tidak Saling Bebas (Dependent)
Dua kejadian atau lebih dikatakan kejadian tidak saling bebas apabila terjadinya kejadian yang satu mempengaruhi atau dipengaruhi terjadinya kejadian yang lain. Untuk dua kejadian A dan B yang tidak saling bebas, peluang terjadinya kejadian tersebut adalah :
Sedangkan untuk tiga kejadian A, B dan C yang saling bebas, peluang terjadinya kejadian tersebut adalah :
(2.6)
2.2 Peubah Acak
9
sampel S, dan hasil setiap percobaan yang merupakan anggota atau unsur dalam ruang sampel S disebut titik sampel . Untuk menghubungkan setiap anggota dalam ruang sampel S dengan nilai riel digunakan peubah acak .
Jadi, peubah acak X adalah suatu fungsi yang mengaitkan / menghubungkan setiap anggota dalam ruang sampel S dengan suatu bilangan riel, yakni dengan
dan x adalah bilangan riel.
Hsil dari suatu percobaan yang bernilai numerik dapat bersifat diskrit atau kontinu. Berdasarkan sifat ini, peubah acak dapat dikelompokkan menjadi peubah acak diskrit dan peubah acak kontinu (Supranto, 2001).
2.2.1 Peubah Acak Diskrit
2.2.1.1 Definisi Peubah Acak Diskrit
Jika suatu ruang sampel mengandung titik yang berhingga atau banyaknya dapat dinyatakan dengan bilangan bulat, maka ruang sampel ini dikatakan diskrit. Peubah acak yang didefinisikan pada ruang sampel tersebut adalah peubah acak diskrit. Umumya, peubah acak diskrit diperoleh dari hasil perhitungan (menghitung), seperti percobaan pelemparan mata dadu dan koin.
2.2.1.2 Distribusi Peluang Peubah Acak Diskrit
Setiap nilai peubah acak memiliki peluang. Jadi, distribusi peluang peubah acak diskrit X yang dinotasikan dengan berfungsi untuk menyatakan peluang setiap peubah acak X.
Fungsi dikatakan fungsi peluang atau distribusi peluang peubah acak diskrit , bila memenuhi persamaan:
10
2.2.1.3 Distribusi Kumulatif Peubah Acak Diskrit
Distribusi peluang kumulatif merupakan fungsi peluang yang digunakan untuk menyatakan jumlah dari seluruh nilai distribusi peluang yang lebih kecil atau sama dengan suatu nilai yang telah ditetapkan.
Secara matematis, distribusi kumulatif peubah acak diskrit dinyatakan sebagai berikut:
dengan:
menyatakan fungsi peluang kumulatif pada titik yang merupakan jumlah dari seluruh nilai fungsi peluang untuk nilai X sama atau lebih kecil dari .
2.2.1.4 Distribusi Gabungan Peubah Acak Diskrit
Bila X dan Y adalah dua peubah acak diskrit, maka distribusi peluang terjadinya secara serentak atau bersamaan dinyatakan dengan fungsi f(x.y) dan disebut sebagai distribusi peluang gabungan X dan Y.
Fungsi dikatakan fungsi peluang atau distribusi peluang gabungan peubah acak diskrit , bila memenuhi:
untuk semua
2.2.2 Peubah Acak Kontinu
2.2.2.1 Definisi Peubah Acak Kontinu
11
Umumya, peubah acak kontinu diperoleh dari hasil pengukuran (mengukur), seperti mengukur tinggi badan, suhu dan jarak.
2.2.2.2 Distribusi Peluang Peubah Acak Kontinu
Distribusi peluang peubah acak kontinu X dinotasikan dengan dan sering disebut sebagai fungsi kepadatan (dencity function).
Fungsi dikatakan fungsi peluang atau distribusi peluang peubah acak kontinu , bila memenuhi persamaan:
untuk semua
∞
∞
2.2.2.3 Distribusi Kumulatif Peubah Acak Kontinu
Distibusi peluang kumulatif peubah acak kontinu X dihitung dengan mengintegralkan nilai distribusi peluangnya.
Secara matematis, distribusi kumulatif peubah acak kontinu atau fungsi padat f(x) dinyatakan sebagai berikut:
∞
2.2.2.4 Distribusi Gabungan Peubah Acak Diskrit
12
Matriks ialah suatu kumpulan angka-angka atau sering disebut elemen-elemen yang disusun berdasarkan baris dan kolom sehingga berbentuk empat persegi panjang yang dibatasi dengan tanda kurung siku ataupun kurung biasa (Yakub: hal 6).
Suatu matriks M yang berukuran : menyatakan baris dan kolom. Jadi elemen menyatakan elemen pada baris ke-i dan kolom ke-j.
2.3.2 Teorema Matriks
Berikut beberapa teorema dari matriks :
I. Jika dan , berukuran sama maka
13 diagonal utama ( diagonal kiri atas menuju kanan bawah ) bernilai 1, sedangkan elemen yang lainnya bernilai nol.
Untuk n = 3, matriks identitasnya adalah :
VII. Matriks transpos adalah matriks berukuran yang diperoleh dari suatu matriks berukuran yang baris dan kolomnya dipertukarkan (baris pertama dengan kolom pertama dan seterusnya).
Jika matris adalah :
14
Maka transpose dari matiks dinotasikan dengan adalah:
2.4 Rantai Markov
Proses stokastik merupakan suatu cara untuk mempelajari hubungan yang dinamis dari suatu runtunan kejadian atau proses yang kejadiannya bersifat tidak pasti. Dalam memodelkan perubahan dari suatu sistem yang mengandung ketidakpastian seperti pergerakan harga saham, banyaknya klaim yang datang ke suatu perusahaan asuransi, keadaan cuaca, dan lain sebagainya, proses stokastik banyak digunakan di dalam kehidupan sehari-hari. Rantai Markov sebenarnya merupakan bentuk khusus dari model probabilitas yang lebih umum dan dikenal sebagai proses stokastik.
2.4.1 Definisi Rantai Markov
Rantai Markov merupakan proses stokastik dari peubah acak yang membentuk suatu deret yang memenuhi sifat Markov.
2.4.2 Sifat Markov
Dalam sifat Markov, jika diberikan peristiwa yang telah
berlalu dan peristiwa yang sedang berlangsung , maka peristiwa yang akan datang bersifat bebas (independent) dari peristiwa yang telah berlalu. Dengan kata lain, peristiwa yang akan datang hanya bergantung pada peristiwa yang sedang berlangsung .
Untuk suatu pengamatan yang prosesnya sampai waktu ke , maka distribusi nilai proses dari waktu ke hanya bergantung pada nilai dari proses pada waktu . Secara umum dapat dituliskan:
15
2.4.3 Keadan Awal Rantai Markov
Keadaan pada rantai Markov ditulis dalam bentuk vektor yang dinamakan vektor keadaan. Vektor keadaan untuk suatu pengamatan rantai Markov dengan n peristiwa adalah vektor kolom X dengan n baris yang komponennya adalah peluang sistem berada pada keadaan ke- n . Untuk keadaan awal, vektor pada rantai Markov adalah keadaan ataupun peluang yang terjadi pada waktu yang sedang berlangsung dan dinotasikan dengan yang komponennya adalah . periode berikutnya. Keadaan transisi ini merupakan suatu proses acak dan dinyatakan dalam bentuk peluang yang dinotasikan dengan . Peluang dari keadaan ini dikenal sebagai peluang transisi. Peluang ini dapat digunakan untuk menentukan peluang keadaan periode berikutnya. Keadaan transisi didapatkan setelah keadaan awal diberikan perubahan melalui suatu matriks yang disebut matriks peluang transisi. Secara umum dapat dituliskan sebagai berikut:
16
matriks peluang transisi (disingkat matriks transisi) dari rantai Markov, dituliskan dalam bentuk matriks berikut:
Untuk banyak peristiwa (state) adalah n berhingga, maka matriks transisi berukuran n baris x n kolom. Setiap elemen matriks adalah positif , untuk setiap
Total peluang dalam setiap baris adalah 1 ∞ untuk setiap baris
2.5 Rantai Markov Kontinu
Rantai Markov kontinu merupakan perluasan dari rantai markov yang sudah dipaparkan pada pembahasan rantai Markov sebelumnya. Perbedaannya adalah pada peubah acak karena proses berlangsung pada waktu kontinu. Jadi, rantai Markov kontinu adalah proses stokastik dari peubah acak yang terjadi pada interval waktu tertentu ( ∞ ) dengan nilai-nilai di ruang state S yang terbilang (countable) dan ruang state S adalah bilangan bulat. Sehingga dapat ditulis menjadi yang membentuk suatu deret yang memenuhi sifat Markov pada persamaan (2.20), yaitu:
Dalam Rantai markov kontinu tidak ada matriks transisi n langkah sebagaimana pada rantai Markov diskrit karena tidak ada kepastian waktu transisi dari suatu state ke state lainnya. Sebagai penggantinya digunakan matriks generator.
Pada rantai Markov, matriks transisi yang elemen-elemennya adalah dapat ditulis dalam:
17
18
Persamaan Chapman Kolmogorov merupakan satu metode untuk menghubungkan peluang peralihan t langkah yang berurutan.
19
Untuk dan merupakan elemen dari matriks elemen dari matriks , serta elemen matriks maka persamaan (2.33) dapat ditulis menjadi:
Jika , dengan menggunakan deret Maclaurin maka diperoleh:
Untuk peubah acak X adalah rantai Markov kontinu yang memiliki generator dan
. Maka vektor adalah distribusi stasioner dari rantai Markov kontinu, jika
BAB 3
PEMBAHASAN
3.1 Total Waktu Bekerja Sistem yang Dipandang sebagai Sebuah Komponen
Total waktu bekerja sistem menyatakan total waktu sistem beroperasi dalam suatu interval waktu tertentu. Total waktu bekerja memiliki sifat acak. Sedangkan total waktu perbaikan sistem menyatakan total waktu sistem diperbaiki atau berhenti bekerja dalam suatu interval waktu tertentu. Total waktu perbaikan juga memiliki sifat acak.
Sebuah komponen setelah bekerja selama X1 satuan waktu mengalami kerusakan dan segera diperbaiki Y1 satuan waktu sehingga komponen dapat bekerja kembali seperti yang baru. Namun setelah bekerja selama X2 satuan waktu komponen tersebut rusak kembali dan diperbaiki selama Y2 satuan waktu. Proses ini berlangsung terus menerus membentuk barisan dan setiap kali selesai diperbaiki komponen dianggap seperti baru lagi.
Jika menyatakan komponen bekerja atau rusak pada waktu t, maka total waktu bekerja sistem pada interval waktu [0, t] adalah:
Dan total waktu perbaikan adalah:
21
Transformasi Laplace dari distribusi kumulatif F(x) yang dinotasikan dengan
adalah:
Dan transformasi Laplace-Stieltjes dari fungsi distribusi kumulatif F adalah:
Untuk fungsi distribusi bersama H(x,y) yang bernilai riel non-negatif, transformasi Laplace gandanya adalah:
Dan transformasi Laplace-Stieltjes dari fungsi distribusi bersama H adalah:
Dengan adalah bilangan riel atau kompleks yang fungsinya dapat diintegralkan.
Distribusi dari total waktu perbaikan sistem diformulasikan melalui transformasi Laplace ganda menurut teorema berikut (Suyono, 2002):
Untuk
Sebagai akibat dari teorema ini diperoleh: Untuk
22
dan
3.1.1 Waktu Bekerja dan Waktu Perbaikan Sistem Berdistribusi Eksponensial
Peubah acak dan menyatakan urutan dari waktu bekerja dan waktu perbaikan sebuah komponen. Diasumsikan bahwa barisan dan saling independent. Diasumsikan juga peubah acak berdistribusi eksponensial dengan parameter dan peubah acak berdistribusi eksponensial dengan parameter
Fungsi kepadatan peluang dari dan berturut-turut adalah:
dan
Karena lama komponen di berdistribusi eksponensial, maka proses
menyatakan rantai Markov kontinu dengan . Generator dari rantai Markov ini adalah (Grimmett dan Stirzaker, 1992):
Jika adalah distribusi stasioner dari rantai Markov, maka berdasarkan persamaan (2.30) berlaku dan berdasarkan persamaan (2.29) berlaku:
23
Oleh karenanya
atau
Sehingga didapatkan distribusi stasioner dari rantai Markov adalah:
Berdasarkan persamaan (2.28), matriks transisi untuk rantai Markov ini adalah:
3.1.2 Availabilitas Sistem
Availabilitas sistem adalah peluang sistem bekerja pada suatu waktu tertentu. Semakin besar availabilitas suatu sistem maka sistem tersebut semakin baik.
Untuk peubah acak dan , menyatakan urutan dari waktu bekerja dan waktu perbaikan sebuah komponen. Diasumsikan bahwa barisan dan saling independent. Diasumsikan juga peubah acak berdistribusi eksponensial dengan parameter dan peubah acak berdistribusi eksponensial dengan parameter
Availabilitas sistem pada waktu didefinisikan sebagai:
24
Hubungan antara availabilitas sistem dan total waktu perbaikan adalah sebagai berikut:
3.1.3 Distribusi Peluang Total Waktu Bekerja Sistem Sebuah Komponen
Peubah acak dan , menyatakan urutan dari waktu bekerja dan waktu perbaikan sebuah komponen. Diasumsikan bahwa barisan dan saling independent. Diasumsikan juga peubah acak berdistribusi eksponensial dengan parameter dan peubah acak berdistribusi eksponensial dengan parameter
Dengan menggunakan persamaan (3.8) dan persamaan (3.9) diperoleh:
dan
Invers transformasi Laplace dari persamaan (3.17) dan persamaan (3.18) adalah:
dan
25
Dengan menggunakan persamaan (3.19) dan persamaan (3.20) diperoleh variansi dari total waktu perbaikan sistem Var adalah:
Dari persamaan (3.2) diperoleh , maka:
26
dan
28
29
3.2 Total Waktu Bekerja Sistem Komponen
3.2.1 Distribusi Peluang Total Waktu Bekerja Sistem Terdiri dari Komponen
yang
Suatu sistem terdiri dari komponen yang saling maka komponen-komponennya terdiri dari dua , yaitu 0 (jika komponen dalam perbaikan) dan 1 (jika komponen dalam keadaan bekerja). Setiap komponen mulai bekerja pada waktu
. Komponen ke- , bekerja selama satuan waktu. Apabila komponen tersebut mengalami kerusakan maka segera diperbaiki selama satuan waktu sehingga komponen dapat bekerja kembali seperti yang baru. Namun setelah bekerja selama satuan waktu komponen tersebut rusak kembali dan diperbaiki selama satuan waktu. Proses ini berlangsung terus menerus membentuk barisan
dan setiap kali selesai diperbaiki komponen-komponen tersebut dianggap seperti baru lagi.
Jika menyatakan dari komponen ke- bekerja atau rusak pada waktu t, maka total waktu bekerja sistem pada interval waktu [0, t] adalah:
dengan adalah fungsi indikator dan merupakan vektor yang memiliki elemen satu sebanyak .
3.2.2 Sistem yang Terdiri dari Komponen dengan Waktu Bekerja dan Waktu
Perbaikan Berdistribusi Eksponensial
30
merupakan rantai Markov kontinu dengan 0 dan 1.
Generator-generator untuk rantai Maarkov ini adalah:
Untuk maka merupakan rantai Markov dengan waktu kontinu di
yaitu himpunan dari vektor baris dengan panjang n yang mempunyai elemen-elemen 0 dan atau 1.
Misalkan adalah dari rantai Markov , maka
dengan
Generator dari rantai Markov adalah
Dengan menganggap
Jika dan mempunyai dua atau lebih elemen berbeda, maka Jika dan hanya mempunyai satu elemen yang berbeda, maka ada indeks sedemikian hingga
dan
Misalkan
maka
31 Sebagai akibat dari lemma diperoleh proposisi berikut ( Suyono, 2002 )
Proposisi. Misalkan adalah total waktu bekerja dari suatu sistem dengan
dengan menyatakan nilai harapan dan distribusi stasioner dari rantai Markov.
32
Menurut persamaan (2.28), matriks untuk rantai Markov ini adalah:
33
3.3.2 Distribusi Peluang Total Waktu Bekerja Sistem dengan Dua Komponen
34
Oleh persamaan (3.35), maka diperoleh:
dengan
dan
Dengan menggunakan persamaan (3.36) dan persamaan (3.37) diperoleh variansi dari total waktu bekerja sistem yang terdiri dari dua komponen Var adalah:
3.4 Pembahasan Numerik
Misalkan diketahui:
Lama mesin M telah bekerja (t) = 10 tahun
Lama bekerja berdistribusi eksponensial dengan parameter Lama perbaikan ( ) berdistribusi eksponensial dengan parameter
Penyelesaian:
Untuk sistem yang terdiri dari satu komponen dengan , maka availabilitasnya adalah:
35
Karena hasil dari sangat kecil, mendekati 0 maka:
Total waktu perbaikan adalah:
Karena mendekati 0, maka
Jika di bulatkan maka total waktu perbaikan adalah 6 tahun Total waktu bekerja adalah:
Karena mendekati 0, maka
Jika di bulatkan maka total waktu bekerja adalah 4 tahun.
BAB 4
KESIMPULAN DAN SARAN
4.1 Kesimpulan
Penentuan distribusi peluang total waktu bekerja sistem merupakan salah satu metode untuk membantu pengambil keputusan menentukan sikap terhadap sistem tersebut. 1. Untuk sistem yang terdiri dari satu komponen
Peubah acak dan menyatakan urutan dari waktu bekerja dan waktu perbaikan sebuah komponen. Diasumsikan bahwa barisan dan saling independent. Diasumsikan juga peubah acak berdistribusi eksponensial dengan parameter dan peubah acak berdistribusi eksponensial dengan parameter Maka proses ( merupakan rantai Markov kontinu dengan 0 (komponen dalam perbaikan) dan 1(komponen dalam keadaan bekerja).
Nilai harapan total waktu bekarja dan variansi total waktu bekerja
adalah:
dan
2. Untuk sistem yang terdiri dari n komponen
37
peubah acak berdistribusi eksponensial dengan parameter dan peubah acak berdistribusi eksponensial dengan parameter . Maka proses merupakan rantai Markov kontinu dengan ruang yaitu himpunan dari vektor baris sebanyak n yang mempunyai elemen-elemen 0 dan atau 1.
Nilai harapan total waktu bekarja sistem dengan distribusi stasioner dari rantai Markov kontinu adalah:
3. Untuk total waktu perbaikan yang lebih besar daripada total waktu bekerja atau , maka sebaiknya sistem diganti.
4.2 Saran
38
DAFTAR PUSTAKA
Ayub, Riki. 2008. “Dinamika pada Rantai Markov dengan Dua Kmponen”. Chapter 2.
Aswin, Rudi. 2010. “Penentuan Peluang transisi t langkah dalam Rantai Markov”. Chapter 2.
Ching W dan Michael. 2006. Markov Chains: Models, Algorithms and Applications. New York: Springer.
Supranto, J. 2001. “Statistik Teori & Aplikasi”. Edisi kedua. Jakarta: Erlangga.
Stirzaker, D. 2005. Stochastic Processes & Models. 1st edition. New York: Oxford University Press.
Suprayogi. 2008. Rantai Markov. Kelompok Keahlian Sistem Industri dan Tekno-Ekonomi. Bandung: Institut Teknologi Bandung.
Taryo, Suyono dan Handayani, D. 2007. “Distribusi Probabilitas Total Waktu Bekerja Suatu Sistem”. Jurnal Matematika: hal. 1-13.
http://cgi.di.uoa.gr/~istavrak/courses/06_pms524_CTMC.pdf/. Diakses tanggal 06 Juni 2010.
