VISUALISASI PERBANDINGAN PERUBAHAN GRAFIK FUNGSI BINOMIAL DENGAN NORMAL FUNGSI
BINOMIAL DENGAN HIPERGEOMETRIK DAN FUNGSI BINOMIAL DENGAN POISSON
MENGGUNAKAN SUATU SIMULASI
LAPORAN TUGAS AKHIR
HELFRINA SIMAMORA 162407009
PROGRAM STUDI D-3 STATISTIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN 2019
VISUALISASI PERBANDINGAN PERUBAHAN GRAFIK FUNGSI BINOMIAL DENGAN NORMAL FUNGSI
BINOMIAL DENGAN HIPERGEOMETRIK DAN FUNGSI BINOMIAL DENGAN POISSON
MENGGUNAKAN SUATU SIMULASI
LAPORAN TUGAS AKHIR
Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat untuk memperoleh gelar Ahli Madya
HELFRINA SIMAMORA 162407009
PROGRAM STUDI D-3 STATISTIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN 2019
PERNYATAAN
VISUALISASI PERBANDINGAN PERUBAHAN GRAFIK FUNGSI BINOMIAL DENGAN NORMAL FUNGSI
BINOMIAL DENGAN HYPERGEOMETRIK DAN FUNGSI BINOMIAL DENGAN POISSON
MENGGUNAKAN SUATU SIMULASI
LAPORAN TUGAS AKHIR
Saya menyatakan bahwa laporan tugas akhir ini adalah hasilkarya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.
Medan, Juli 2019
Helfrina Simamora 162407009
VISUALISASI PERBANDINGAN PERUBAHAN GRAFIK FUNGSI BINOMIAL DENGAN NORMAL FUNGSI BINOMIAL DENGAN
HIPERGEOMETRIK DAN FUNGSI BINOMIAL DENGAN POISSON MENGGUNAKAN SUATU SIMULASI
ABSTRAK
Software R merupakan suatu sistem analisis statistika yang relatif lengkap, sebagai hasil dari kolaborasi riset berbagai statistikawan seluruh dunia. R saat ini dapat dikatakan merupakan lingua franca (bahasa standar) untuk keperluan komputsai statistika modern. Tugas akhir ini bertujuan untuk menunjukkan secara visual perbandingan perubahan grafik fungsi distribusi binomial dengan normal, fungsi binomial dengan hipergeometrik dan fungsi binomial dengan poisson menggunakan suatu simulasi. Simulasi diartikan sebagai suatu sistem yang digunakan untuk memecahkan atau meguraikan persoalan-persoalan dalam kehidupan nyata yang penuh dengan ketidakpastian dengan tidak atau menggunakan model atau metode tertentu dan lebih ditekankan pada pemakaian komputer untuk mendapatkan solusinya. Metodologi yang digunakan untuk melihat perubahan grafiknya penulis akan membangkitkan data peubah acak berdistribusi binomial, normal, hipergeometrik dan poisson dengan parameter yang berbeda dengan merancang dan membuat fungsi atau perintah pada pada program simulasi yang ditekankan pada penggunaan komputer dengan menggunakan software R untuk mendapatkan hasilnya. Setelah data peubah acak dibangkitkan dengan membuat fungsi pada R maka akan ditampilkan secara visual perubahan grafik fungsi binomial, normal, hipergeometrik dan poisson. Kemudian penulis akan membandingkan perubahan grafik tersebut sebagai hasil dan kesimpulan dalam penulisan tugas akhir ini. Dan hasil yang dapat disimpulkan dari penulisan tugas akhir ini berdasarkan pembangkitan data acak yang dilakukan yang paling dominan atau tampak jelas perubahan grafiknya adalah pada distribusi poisson, karena dari hasil secara visual disimpulkan bahwa ketika semakin tinggi nilai λ maka grafiknya akan membentuk kurva J terbalik.
Kata kunci : Grafik, Lingua franca, Simulasi, Software R, Visual
VISUALIZATION OF CHANGES IN THE GRAPH OF BINOMIAL FUNCTIONS WITH NORMAL BINOMIAL FUNCTIONS WITH
HYPERGEOMETRICS AND BINOMIAL FUNCTIONS WITH POISSON USES A SIMULATION
ABSTRACT
Software R is a relatively complete system of statistical analysis, as a result of collaborative research on various statistics from all over the world. R can now be said to be a lingua franca (standard language) for the needs of modern statistics.
This final project aims to show visually the comparison of changes in graphs of binomial distribution functions normally, binomial functions with hypergeometrics and binomial functions with poisson using a simulation. Simulation is interpreted as a system that is used to solve or describe problems in real life that are full of uncertainty by not or using a particular model or method and more emphasis on the use of computers to get a solution. The methodology used to see the graph changes the author will generate random variable data with binomial, normal, hyperometric and poisson distribution with different parameters by designing and making functions or commands on the simulation program emphasized on computer use by using software R to get the results. After the random variable data is generated by creating a function in R, it will be displayed visually a graphical change in binomial, normal, hyperometric and poisson functions. Then the author will compare the changes in the graph as the results and conclusions in this thesis. And the results that can be concluded from the writing of this final assignment based on the random data generation carried out are the most dominant or obvious graph changes in the Poisson distribution, because from the visual results it is concluded that when the value is higher the graph will form an inverse J curve.
Keywords: Graphics, Lingua franca, Simulation, Software R, Visual
PENGHARGAAN
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Esa dan Maha Pengasih, dengan limpah karunia-Nya penulis dapat menyelesaikan penyusunan tugas akhir ini dengan judul Studi Visualisasi Perbandingan Perubahan Grafik Fungsi Binomial dengan Normal Fungsi Binomial dengan Hipergeometrik dan Fungsi Binomial dengan Poisson menggunakan suatu Simulasi.
Terimakasih penulis sampaikan kepada Bapak Dr.Open Darnius, M.Sc selaku pembimbing yang sudah meluangkan waktunya selama penyusunan laporan tugas akhir ini. Terimakasih kepada Ibu Dr, Elly Rosmaini, M.Si dan Bapak Dr.Open Darnius, M.Sc selaku ketua dan sekertaris program studi D-3 Statistika FMIPA- USU, pegawai FMIPA USU dan teman-teman kuliah terkhusus buat Dewi, Elliana, Grace, Monika, Pita dan Ria yang selalu mengingatkan penulis untuk mengerjakan tugas akhir dan saling memberi semangat. Akhirnya tidak terlupakan kepada Ayahanda Robantu Simamora dan Ibunda Resperia Siregar orang tua yang selalu mendukung dan sumber semangat dalam menyelesaikan tugas akhir ini, juga saudara kakak dan adik serta seluruh keluarga yang selama ini memberikan motivasi dan dorongan yang diperlukan. Semoga Tuhan Yang Maha Esa akan membalasnya.
Medan, Juli 2019
Helfrina Simamora
DAFTAR ISI
Halaman
PENGESAHAN LAPORAN TUGAS AKHIR i
ABSTRAK ii
ABSTRACT iii
PENGHARGAAN iv
DAFTAR ISI v
DAFTAR TABEL vii
DAFTAR GAMBAR viii
DAFTAR LAMPIRAN x
DAFTAR SINGKATAN xi
BAB 1 PENDAHULUAN 1
1.1 Latar Belakang 1
1.2 Perumusan Masalah 3
1.3 Batasan Penelitian 3
1.4 Tujuan Penelitian 3
1.5 Manfaat Penelitian 3
1.6 Metodologi Penelitian 3
BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA 5
2.1 Defenisi Distribusi pelungan 5
2.1.1 Pengertian Peubah Acak 5
2.1.2 Distribusi Peluang Diskrit 5 2.1.3 Distribusi Peluang Kontiniu 6
2.2 Fungsi Distribusi Binomial 6
2.3 Fungsi Distribusi Normal 8
2.3.1 Pengertian Distribusi Normal 8 2.3.2 Pendekatan Distribusi Binomial Terhadap Normal 9 2.4 Fungsi Distribusi Hipergeometrik 9 2.4.1 Defenisi Distribusi Hipergeometrik 9 2.4.2 Pendekatan Distribusi Binomial Terhadap
Hipergeometrik 10
2.5 Fungsi Distribusi Poisson 11
2.5.1 Defenisi Distribusi Poisson 11 2.5.2 Pendekatan Distribusi Binomial Terhadap Poisson 12
BAB 3 MODEL SIMULASI DAN PEMBAHASAN 13
3.1 Pengertian Simulasi 13
3.1.1 Keuntungan Simulasi 13
3.1.2 Pengenalan Software R 15
3.1.3 Tahapan Simulasi 15
3.2 Memulai R 16
3.3 Membangkitkan Data Acak pada Percobaan Binomial dan
Normal 17
3.4 Membangkitkan Data Acak pada Percobaan
Hipergeometrik 24
3.5 Membangkitkan Data Acak pada Percobaan Poisson 30
BAB 4 PENUTUP 37
4.1 Kesimpulan 37
4.2 Saran 38
DAFTAR PUSTAKA 39
LAMPIRAN 40
DAFTAR TABEL
Nomor Judul Halaman
Tabel
2.1 Sifat distribusi binomial 7
2.2 Sifat Distribusi Poisson 12
3.1 Data peubah acak distribusi binomial dan normal 17
DAFTAR GAMBAR
Nomor Judul Halaman
Gambar
3.1 Tampilan jendela windows 16
3.2 Tampilan Pembukaan R 17
3.3 Pembangkitan data distribusi binomial dengan n = 10; p = 0,9 18 3.4 Pembangkitan data distribusi Normal dengan µ = 9 18 3.5 Fungsi data distribusi Binomial dan Normal yang dibangkitkan 19 3.6 Histogram distribusi Binomial dan Normal yang dibangkitkan 19 3.7 Fungsi data distribusi Binomial dan Normal yang dibangkitkan 20 3.8 Histogram distribusi Binomial dan Normal yang dibangkitkan 20 3.9 Fungsi data distribusi Binomial dan Normal yang dibangkitkan 21 3.10 Histogram distribusi Binomial dan Normal yang dibangkitkan 21 3.11 Fungsi data distribusi Binomial dan Normal yang dibangkitkan 22 3.12 Histogram distribusi Binomial dan Normal yang dibangkitkan 22 3.13 Fungsi data distribusi Binomial dan Normal yang dibangkitkan 23 3.14 Histogram distribusi Binomial dan Normal yang dibangkitkan 23 3.15 Pembangkitan data distribusi hipergeometrik n = 10, k = 450 24 3.16 Fungsi data distribusi Hipergeometrik yang dibangkitkan 25 3.17 Histogram data distribusi Hipergeometrik yang dibangkitkan 25 3.18 Fungsi data distribusi Hipergeometrik yang dibangkitkan 26 3.19 Histogram data distribusi Hipergeometrik yang dibangkitkan 26 3.20 Fungsi data distribusi Hipergeometrik yang dibangkitkan 27 3.21 Histogram data distribusi Hipergeometrik yang dibangkitkan 27 3.22 Fungsi data distribusi Hipergeometrik yang dibangkitkan 28 3.23 Histogram data distribusi Hipergeometrik yang dibangkitkan 28 3.24 Fungsi data distribusi Hipergeometrik yang dibangkitkan 29 3.25 Histogram data distribusi Hipergeometrik yang dibangkitkan 29 3.26 Pembangkitan data distribusi hipergeometrik λ = 9 30 3.27 Fungsi data distribusi Poisson yang dibangkitkan 31 3.28 Histogram data distribusi Poisson yang dibangkitkan 31 3.29 Fungsi data distribusi Poisson yang dibangkitkan 32 3.30 Histogram data distribusi Poisson yang dibangkitkan 32 3.31 Fungsi data distribusi Poisson yang dibangkitkan 33 3.32 Histogram data distribusi Poisson yang dibangkitkan 33 3.33 Fungsi data distribusi Poisson yang dibangkitkan 34 3.34 Histogram data distribusi Poisson yang dibangkitkan 34
3.35 Fungsi data distribusi Poisson yang dibangkitkan 35 3.36 Histogram data distribusi Poisson yang dibangkitkan 35
DAFTAR LAMPIRAN
Nomor Judul Halaman
Lampiran
1. Surat keputusan dosen pembimbing tugas akhir 40
2. Kartu control bimbingan tugas akhir 41
3. Hasil uji implementasi sistem tugas akhir 42
DAFTAR SINGKATAN
CRAN = The Comprehensive R Archive Network
BAB 1 PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Secara langsung atau tidak langsung kata statistik sering kita dengar dan kita rasakan dalam kehidupan sehari-hari melalui media informasi seperti, surat kabar, televisi, dunia pendidikan, dan masih banyak lagi. Sebagai contoh pada saat kita menonton pertandingan bulutangkis hampir selalu kita mendengar komentator menyebutkan kata statistik dan juga ketika kita hendak melakukan atau mengambil suatu keputusan terlebih dahulu kita mempertimbangan statistik hasil akhirnya nanti, apakah dominan pada hasil memuaskan atau bahkan menjadi sebaliknya.
Sutrisno (Statistik jilid I, hal : 1) Kata “statistik” telah digunakan untuk membatasi cara – cara ilmiah untuk mengumpulkan, menyusun, meringkas, dan menyajikan data penyelidikan. Lebih lanjut statistik merupakan cara untuk mengolah data tersebut dan menarik kesimpulan – kesimpulan yang teliti dan keputusan – keputusan yang logik dari pengolahan data tersebut. Sudjana (Metode Statistika, hal : 3) statistika adalah pengetahuan yang berhubungan dengan cara-cara pengumpulan data, pengolahan atau penganalisaannya dan penarikan kesimpulan berdasarkan kumpulan data dan penganalisaan yang dilakukan. Statistika juga dapat diartikan sebagai suatu pengetahuan yang berhubungan dengan data. Berbicara mengenai data, data sangat dibutuhkan dalam pengolahannya dimana data berperan sebagai sumber keterangan.
Jadi data merupakan sekumpulan keterangan tentang sesuatu yang dapat berupa kuantitas maupun kualitas, dan hasil suatu kegiatan pengukuran terhadap suatu objek tertentu akan memberikan data. Setelah data dikumpulkan dan disajikan kemudian diinterpretasikan untuk menguji teori dan membuat kesimpulan tentang seluruh keterangan yang mana kesimpulan tersebut dapat berguna bagi diri sendiri maupun bagi orang lain nantinya.
Salah satu bentuk data yang sering digunakan adalah data acak. Data acak merupakan suatu fenomena yang diambil dengan proses sedemikian rupa sehingga hasilnya tidak dapat ditentukan dengan pasti sebelumya. Sebagai contoh misalnya,
bila sebuah dadu digulirkan, maka mata dadu yang muncul sebagai data hasil dalam proses pengguliran tersebut tidak dapat ditentukan sebelum dadu tersebut berhenti bergulir. Dalam praktiknya akan banyak kemungkinan hasil yang akan muncul dan akan sulit apabila kita mengolah data-data tersebut secara manual karena akan membutuhkan rumus-rumus yang sangat rumit sehingga peluang kesalahan dalam menghitung akan menyebabkan kesimpulan yang tidak akurat. Pada saat seperti inilah peran komputasi dibutuhkan yaitu dengan masalah data yang terlalu banyak sehingga susah untuk diolah, dapat diatasi dengan bantuan komputasi untuk mengolah data tersebut menggunakan software statistika. Dalam pengolahan dan analisis data dimana proses yang akan dikerjakan adalah membangkitkan data acak yang mengikuti distribusi tertentu seperti distribusi Peluang, yaitu: distribusi Normal, distribusi Binomial, distribusi Hipergeometrik, distribusi Poisson, dan masih banyak lagi distribusi lainnya yang dapat dilakukan dengan menggunakan salah satu software untuk statistika yaitu R. Software R adalah suatu sumber informasi terbuka dalam lingkup pengembangan model komputasi statistika setelah S dan S-Plus.
Software R dapat menghasilkan banyak bilangan acak dengan jenis yang berbeda dari distribusi tertentu (khusus).
Salah satu cara untuk membangkitkan data acak adalah dengan ilmu komputasi dengan berupa penerapan simulasi komputer. Dimana ilmu komputasi adalah bidang ilmu yang mengarah pada penyusunan model matematika dan teknik penyelesaian numerik serta penggunaan komputer untuk menganalisis dan memecahkan masalah-masalah ilmu sains dan simulasi merupakan suatu sistem yang digunakan untuk menguraikan persoalan dengan metode tertentu yang lebih ditekankan dengan penggunaan komputer untuk mendapatkan solusinya. Oleh karena itu penulis mencoba untuk mensimulasi secara visual perbandingan perubahan grafik data acak dari fungsi distribusi Normal, Binomial, Hipergeometrik dan Poisson.
Melalui simulasi tersebut akan dibandingkan bagaimana perubahan grafik antara fungsi tersebut. Kajian dalam penelitian ini didasarkan atas suatu simulasi komputer dengan menggunakan software R, sehingga penelitian ini diberi judul “Visualisasi Perbandingan Perubahan Grafik Fungsi Binomial dengan Normal; Fungsi Binomial dengan Hipergeometrik dan Fungsi Binomial dengan Poisson Menggunakan Suatu Simulasi”.
1.2 Perumusan Masalah
Permasalahan yang akan dibahas dalam penelitian ini adalah bagaimana memvisualisasikan dan membandingkan grafik fungsi binomial dengan normal, fungsi binomial dengan hipergeometrik dan fungsi binomial dengan poisson dengan menggunakan suatu simulasi.
1.3 Batasan Masalah
Untuk mengarahkan pembahasan dalam tugas akhir ini agar tidak menyimpang dari sasaran yang dituju, maka perlu membuat batasan ruang lingkup permasalahan. Sebagai pembatasan masalah ini adalah hanya terbatas pada visualisasi perbandingan perubahan grafik fungsi binomial dengan normal, fungsi binomial dengan hipergeometrik dan fungsi binomial dengan poisson dengan menggunakan suatu simulasi.
1.4 Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian ini adalah untuk menunjukkan secara visual perbandingan perubahan grafik fungsi binomial dengan normal, fungsi binomial dengan hipergeometrik dan fungsi binomial dengan poisson menggunakan suatu simulasi dan dapat dikaji pada suatu simulasi komputer dengan menggunakan software R.
1.5 Manfaat Penelitian
Manfaat dari penelitian ini adalah untuk mengetahui secara visual perbandingan perubahan fungsi binomial dengan normal, fungsi binomial dengan hipergeometrik dan fungsi binomial dengan poisson menggunakan suatu simulasi yang dikaji dengan menggunakan software R.
1.6 Metodologi Penelitian
Dalam penelitian ini metode yang dipakai adalah metode simulasi komputer, dan berikut adalah tahapan atau langkah-langkah yang dilakukan :
1. Merancang perintah atau fungsi yang digunakan dalam program simulasi.
2. Membangkitkan data peubah acak Binomial, secara bervariasi terhadap parameter dengan membuat suatu fungsi pada R.
3. Membangkitkan data peubah acak Normal, secara bervariasi terhadap parameter dengan membuat suatu fungsi pada R.
4. Membangkitkan data peubah acak Hypergeometrik, secara bervariasi terhadap parameter dengan membuat suatu fungsi pada R.
5. Membangkitkan data peubah acak Poisson, secara bervariasi terhadap parameter dengan membuat suatu fungsi pada R.
6. Menunjukkan secara visual perubahan grafik fungsi normal, binomial, hipergeometrik, poisson dengan parameter yang berbeda.
7. Membandingkan perubahan grafik fungsi normal, binomial, hypergeometrik, poisson dengan parameter yang berbeda.
8. Menyimpulkan hasil simulasi.
BAB 2
TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Defenisi Distribusi Peluang
Distribusi peluang adalah tabel, grafik, atau persamaan yang menggambarkan atau mendeskripsikan nilai – nilai yang mungkin dari sebuah peubah acak. Distribusi peluang juga didefenisikan sebagai sebaran kemungkinan terjadinya variabel acak tertentu. Sebaran peluang dari peubah acak X untuk setiap hasil yang muncul x disebut dengan fungsi f(x).
2.1.1 Pengertian Peubah Acak
Peubah acak (Random Variable) adalah sebuah keluaran numerik yang merupakan hasil dari percobaan (eksperimen). Peubah acak merupakan suatu fungsi dari ruang contoh ke bilangan nyata. Untuk setiap anggota dari ruang sampel percobaan, peubah acak biasa mengambil tepat satu nilai. Peubah acak X adalah fungsi dari S ruang sampel ke bilangan real. Peubah acak dituliskan dengan huruf kapital (X, Y, Z) dan nilai – nilai tertentu yang merupakan keluaran percobaan dituliskan dengan huruf kecil (x, y, z). Berdasarkan karakteristik peubah acaknya, distribusi peluang dibedakan menjadi dua yaitu distribusi peluang diskrit dan distribusi peluang kontiniu.
2.1.2 Distribusi Peluang Diskrit
Distribusi peluang diskrit adalah distribusi peluang dimana semesta peubah acaknya dapat dihitung atau berhingga. Peluang diskrit memberikan peluang kepada tiap keluaran percobaan dan peluang diskrit dituliskan p(y) = P(Y=y). Peubah acak diskrit adalah peubah acak yang dapat mengambil nilai – nilai yang terbatas atau nilai yang tidak terbatas tapi dapat dicacah. Macam – macam distibusi peluang diskrit yaitu distribusi Binomial, distribusi Binomial Negatif, distribusi Multinomial, distribusi Geometrik, distribusi Hipergeometrik dan distribusi Poisson. Adapun distribusi peluang diskrit yang akan dikaji oleh penulis adalah distribusi Binomial, distribusi Hipergeometrik, dan distribusi Poisson.
2.1.3 Distribusi Peluang Kontiniu
Distribusi peluang kontiniu adalah distribusi peluang dimana semesta peubah acaknya tak terhingga jumlahnya. Distribusi peluang kontiniu memberikan kepadatan (frekuensi) pada tiap titik Assigns, peluang pada selang bisa didapatkan dengan mengintegralkan fungsi dan kepadatan kontiniu dituliskan f(x). Peubah acak kontiniu memiliki peluang nol untuk suatu nilai eksak dari peubah acak P (a<X<b) = P (a<X<b) + P (X = b). Peubah acak kontiniu tidak dapat ditampilkan secara tabular, namun biasa dinyatakan dalam rumus.
Peubah acak kontiniu dinyatakan dalam suatu fungsi rapat peluang f(x). Suatu fungsi f(x) adalah fungsi rapat peluang untuk peubah acak kontiniu X yang didefenisikan keseluruh himpunan bilangan riil R, jika F (x) ≥ 0 untuk semua x ∈ R.
Fungsi rapat peluang dibentuk sedemikian hingga integrasi daerah dibawah kurva keseluruh X memberikan luas sebesar satu. Macam – macam distribusi peluang kontiniu yaitu distribusi Normal, distribusi Gamma, distribusi Eksponensial, dan distribusi Chi-Square. Dan distribusi yang akan dikaji adalah distribusi Normal.
2.2 Fungsi Distribusi Binomial
Dalam teori probabilitas dan statistika, distribusi binomial adalah distribusi probabilitas diskrit jumlah keberhasilan dalam n percobaan ya/tidak (sukses/gagal) yang saling bebas, dimana setiap hasil percobaan memiliki probabilitas p.
Eksperimen sukses/gagal juga disebut percobaan bernoulli. Ketika n = 1, distribusi binomial adalah distribusi bernouli. Distribusi binomial merupakan dasar dari uji binomial dalam uji signifikansi statistik.
Distribusi ini seringkali digunakan untuk memodelkan jumlah keberhasilan pada jumlah sampel n dari jumlah populasi N. Apabila sampel tidak saling bebas (yakni pengambilan sampel tanpa pengembalian), distribusi yang dihasilkan adalah distribusi hipergeometrik, bukan binomial. Semakin besarN daripada n, distribusi binomial merupakan pendekatan yang baik dan banyak digunakan.
Adapun percobaan Bernoulli adalah suatu percobaan dengan ciri-ciri sebagai berikut :
1. Eksperimen berlangsung sebanyak n kali. Tiap eksperimen berlangsung dalam cara dan kondisi yang sama(dengan pengembalian).
2. Untuk setiap eksperimen hanya ada dua kejadian yang mungkin terjadi. Dua kejadian tersebut dinotasikan sebagai kejadian SUKSES dan GAGAL.
Probabilitas sukses dilambangkan dengan p, sedangkan probabilitas gagal dilambangkan dengan q, dimana p+q=1.
3. Probabilitas sukses dari satu eksperimen yang lain adalah konstan
Dari proses tersebut, yang merupakan variable adalah munculnya kejadian sukses yang biasa dilambangkan dengan x. Jadi, bila suatu usaha binomial dapat menghasilkan sukses dengan peluang p dan gagal dengan peluang q = 1- p, maka distribusi peluang peubah acak binomial x, yaitu banyaknya sukses dalam n percobaan bebas adalah :
𝑏(𝑥; 𝑛, 𝑝) = �𝑛𝑥�𝑝𝑥𝑞𝑛−𝑥 Dimana :
x = Munculnya sukses yang ingin dihitung n = Jumlah eksperimen
p = Probabilitas sukses dalam setiap eksperimen q = Probabilitas gagal dalam setiap eksperimen = 1- p n-x = Jumlah gagal dalam n eksperimen
Beberapa sifat distribusi binomial diperlihatkan dalam Tabel 2.1 berikut.
Tabel 2.1 Sifat Distribusi Binomial
Mean 𝜇 = 𝑁𝑝
Varians 𝜎2 = 𝑁𝑝𝑞
Deviasi Standar 𝜎 = �𝑁𝑝𝑞
Koefisien momen kemencengan 𝜎3 = 𝑞 − 𝑝
�𝑁𝑝𝑞 Koefisien momen kurtosis
𝜎4 = 3 +1 − 6𝑝𝑞 𝑁𝑝𝑞
2.3 Fungsi Distribusi Normal 2.3.1 Pengertian Distribusi Normal
Harinaldi (Prinsip-prinsip Statistika, hal : 92) distribusi normal (Gausssian) adalah distribusi probabilitas yang paling baik dalam teori maupun aplikasi statistika.
Distribusi normal baku adalah distribusi normal yang memiliki rata-rata nol dan simpangan baku satu. Distribusi ini juga dijuluki kurva lonceng (bell curve) karena grafik fungsi kepekatan probabilitasnya mirip dengan bentuk lonceng. Distribusi normal memodelkan fenomena kuantitatif pada ilmu alam maupunilmu sosial.
Beragam skor pengujian psikologi dan fenomena fisika seperti jumlah foton dapat dihitung melalui pendekatan dengan mengikuti distribusi normal. Distribusi normal banyak digunakan dalam berbagai bidang statistika, misalnya distribusi sampling rata-rata akan mendekati normal, meski distribusi populasi yang diambil tidak berdistribusi normal. Distribusi normal juga banyakdigunakan dalam berbagai distribusi dalam statistika, dan kebanyakan pengujian hipotesis mengasumsikan normalitas suatu data. Distribusi normal adalah fungsi padat peubah acak X dengan rata-rata (µ) dan standar deviasi (𝜎). Distribusi normal dapat ditulis dengan rumus :
𝑛(𝑥; 𝜇; 𝜎) = 1
𝜎�2𝜇𝑒−12[(𝑥−𝜇)/𝜎]2 Dimana :
x = Nilai dari distribusi variable
𝜇 = Mean dari nilai-nilai distribusi variable
𝜎 = Standard deviasi dari nilai-nilai distribusi variable 𝜋 = 3,14159
e = 2,71828
Beberapa karakteristik dari distribusi probabilitas dan kurva normal adalah : 1. Kurva berbentuk lonceng dan memiliki satu puncak ditengah.
2. Distribusi probabilitas dan kurva normal berbentuk kurva simetris dengan rata- rata hitungnya 𝜇. Apabila kurva dilipat menjadi dua bagian dengan nilai tengah rata-rata sebagai pusat lipatan , maka kurva akan menjadi dua bagian yang sama.
3. Distribusi probabilitas dan kurva normal akan bersifat asimptotis. Kurva yang menurun di kedua arah yaitu ke kanan untuk nilai positif tak terhingga (∞) dan
kekiri untik negatik tak hingga (∞). Dengan demikian ekor kedua kurva tidak pernah menyentuh nol, hanya mendekati nilai nol.
4. Modusnya (Md) pada sumbu mendatar fungsi mencapai puncaknya atau maksimum pada X = 𝜇.
5. Seluruh luas di bawah kurva dan diatas sumbu datar sama dengan 1.
2.3.2 Pendekatan Distribusi Binomial Terhadap Normal
Bila n percobaan semakin besar dan memiliki sifat yang independent dari suatu percobaan ke percobaan lainnya, maka dengan pendekatan distribusi normal- binomial dapat pula digunakan untuk menghitung nilai-nilai probabilitas terhadap berbagai macam peristiwa yang mungkin dapat terjadi. Dengan demikian besarnya jumlah percobaan pada distribusi binomial maka perhitungan peluang dengan menggunakan distribusi binomial semakin kurang efektif, karena jumlah kombinasi peristiwa yang diharapkan sangatlah kurang banyak. Untuk menghindari kekurangefektifan dari distribusi binomial ini, maka distribusi tersebut dapat di dekati dengan distribusi normal.
Secara umum dapat disimpulkan bahwa pendekatan distribusi binomial dapat dilakukan dengan distribusi normal karena secara teoritis bahwa distribusi binomial akan mendekati normal untuk n besar p moderate (tidak besar dan tidak kecil).
2.4 Fungsi Distribusi Hipergeometrik 2.4.1 Defenisi Distribusi Hipergeometrik
Distribusi Hipergeometrik adalah merupakan distribusi dimana pengambilan atau penarikan sampelnya tanpa adanya pengembalian. Penggunaan distribusi hipergeometrik ini terdapat pada berbagai bidang dan paling banyak pada penerimaan sampel atau suatu hasil produksi, pengujian barang-barang elektronik dan pengendalian mutu.
Bila pengujian dilakukan terhadap barang, maka secara umum barang cacat atau rusak. Oleh karena itu, barang tidak dapat dikembalikan pada populasinya.
Inilah alasaan mengapa pengambilan sampelnya dilakukakan tanpa pengembalian.
Kegiatankegiatan seperti ini disebut percobaan hipergeometrik. Agar lebih mudah lagi dapat dijelaskan sebagai berikut: Misalnya ada N benda yang terdiri dari k benda
yang diberi nama sukses dan N-k yang akan diberi nama gagal. Ingin diketahui probabilitas memilih x sukses dari sebanyak k yang tersedia dan n-x gagal dari sebanyak N - k yang tersedia, bila variable acak ukuran n diambil dari N benda. Dari uraian ini dapat kita ketahui bahwa percobaan hipergeometrik memiliki dua sifat yaitu :
1. Sampel acak berukuran n diambil tanpa pengembalian dari N benda.
2. Sebanyak k benda dapat diberi nama sukses sedangkan sisanya n-k diberi nama gagal.
Jumlah sukses x dalam percobaan hipergeometrik disebut variable acak hipergeometrik x ialah jumlah sukses dalam sampel acak berukuran n yang diambil dari N benda yang memuat k bernama sukses dan N-k bernama gagal. Maka distribusi hipergeometrik tersebut dapat dijabarkan sebagai berikut:
ℎ(𝑥; 𝑁, 𝑛, 𝑘) =�𝑘𝑥��𝑁−𝑘𝑛−𝑥�
�𝑁𝑛�
; untuk x = 0,1,2, 3, ...,n dengan x ≤ k dan n – x ≤ N – k
Dimana :
N = Ukuran Populasi
k = Sifat tertentu dari populasi n = Ukuran sampel
x = Jumlah sifat k dalam n
2.5.2 Pendekatan Distribusi Binomial Terhadap Hipergeometrik
Dalam kasus distribusi hipergeometrik kita dapat menggunakan pendekatan binomial pada permasalahannya apabila keadaan tersebut adalah sebagai berikut : 1. Bila besar sampel (n)≥1.
2. Sampel (n) relative kecil bila dibandingkan dengan jumlah populasinya (N), yaitu n < 0,05 N. Bila n lebih kecil dibandingkan dengan N maka peluang tiap penarikan hanya berubah sedikit. Jadi distribusi hipergeometrik dapat di dekati dengan distribusi binomial dengan 𝑝 =𝑁𝑘 sehingga rata-rata dan varian dapat di dekati seperti pada penjelasan berikut:
a. Binomial
• Rata-rata (µ) = np
• Varians (𝜎2) = npq
• Simpangan baku (𝜎) = �𝑁𝑝𝑞 b. Hipergeometrik
• Rata-rata (µ) = 𝑛𝑘
𝑁
• Varians (𝜎2) = 𝑁−𝑛
𝑁−1 . 𝑛 .𝑁𝑘�1 −𝑁𝑘�
• Simpangan baku (𝜎) =�𝑁−𝑛𝑁−1 . 𝑛.𝑁𝑘�1 −𝑁𝑘�
Bila kedua ruas dibandingkan maka terlihat bahwa rataannya sama antara binomial dan hipergeometrik sedangkan variannya berbeda sebesar faktor koreksi 𝑁−𝑛
𝑁−1. Dalam kenyataannya, konsep pendekatan ini sangat berguna karena tiga hal.
Pertama, kasus yang sering terjadi dalam dunia nyata adalah kasus Hipergeometrik, yaitu sampel tidak lagi dikembalikan. Kedua, Distribusi Hipergeometrik tidak mempunyai table, sehingga kita akan mengalami kesulitan karena terpaksa harus selalu menghitung dengan rumus hipergeometrik. Ketiga, kebanyakan sampel tidak terbatas sehingga kriteria n < 0,05 N terpenuhi.
2.6 Fungsi Distribusi Poisson 2.6.1 Defenisi Distribusi Poisson
Poisson adalah sebuah diskrit yang dipergunakan untuk menduga peluang bahwa peluang keluaran tertentu akan muncul tepat x kali dalam satuan yang dibakukan dengan laju rata-rata munculnya kejadian per satuan adalah konstan (λ).
𝑃(𝑥; 𝑚) =𝑒−λ𝑥!λ𝑥 ; untuk x = 0, 1, 2, 3, ... ; m > 0
Dimana e = 2,71828… dan λ adalah sebuah konstanta yang diberikan, disebut sebagai distribusi poisson, yang diambil dari nama Simeon-Denis Poisson, seorang ilmuwan yang menemukan rumus ini pada awal abad ke-19. Beberapa sifat distribusi Poisson diberikan dalam Tabel 2.2 berikut.
Tabel 2.2 Sifat Distribusi Poisson
Mean 𝜇 = λ
Varians 𝜎2 = λ
Deviasi Standar 𝜎 = √λ
Koefisien momen kemencengan
𝜎3 = 1
√λ Koefisien momen kurtosis
𝜎4 = 3 +1 λ
Sebaran Poisson tidak berbeda banyak dari sebaran Binomial kecuali bahwa peluang Poisson adalah sangat kecil dan ukuran contoh belum tentu diketahui.
Asumsi sebaran Poisson adalah:
1. Terdapat n tindakan bebas dimana n sangat besar 2. Hanya satu keluaran yang dipelajari pada tiap tindakan
3. Terdapat peluang yang konstan dari munculnya kejadian setiap tindakan
4. Peluang lebih dari satu keluaran pada setiap tindakan sangat kecil atau dapat diabaikan.
2.6.2 Pendekatan Distribusi Binomial Terhadap Distribusi Poisson
Dalam distribusi Binomial, jika n cukup besar sementara probabilitas p munculnya sebuah peristiwa nilainya dekat dengan nol, sehingga q = 1 – p mendekati 1, maka peristiwa ini disebut sebagai peristiwa yang langka atau jarang terjadi (rate event). Dalam praktiknya hal itu akan dianggap suatu peristiwa sebagai peristiwa langka jika banyaknya percobaan yang dilakukan 𝑛𝑝 lebih kecil atau sama dengan 5 (𝑛𝑝 ≤ 5). Dalam kasus seperti ini, distribusi binomial akan sangat dekat diaproksimasi oleh distribusi Poisson dengan λ = 𝑁𝑝.
BAB 3
MODEL SIMULASI DAN PEMBAHASAN
3.1 Pengertian Simulasi
Simulasi merupakan salah satu cara untuk memecahkan berbagai persoalan yang dihadapi di dunia nyata (real world). Pendekatan yang digunakan untuk memecahkan berbagai masalah yang mengandung ketidakpastian dan kemungkinan jangka panjang yang tidak dapat diperhitungkan dengan seksama adalah dengan simulasi. Simulasi dapat diartikan sebagai suatu sistem yang digunakan untuk memecahkan atau meguraikan persoalan-persoalan dalam kehidupan nyata yang penuh dengan ketidakpastian dengan tidak atau menggunakan model atau metode tertentu dan lebih ditekankan pada pemakaian komputer untuk mendapatkan solusinya.
3.1.1 Keuntungan Simulasi
Thomas J. Kakiay (2004, hal: 3) ada berbagai keuntungan yang bisa diperoleh dengan memanfaatkan simulasi, yaitu sebagai berikut:
1. Compress Time (Menghemat Waktu)
Kemampuan di dalam menghemat waktu ini dapat dilihat dari pekerjaan yang bila dikerjakan akan memakan waktu tahunan tetapi kemudian dapat disimulasikan hanya dalam beberapa menit, bahkan dalam beberapa kasus hanya dalam hitungan detik. Kemampuan ini dapat dipakai oleh para peneliti untuk melakukan berbagai pekerjaan desain operasional yang mana juga memperhatikan bagian terkecil dari waktu untuk kemudian dibandingkan dengan yang terdapat pada sistem yang nyata berlaku.
2. Expand Time (Dapat Melebar-luaskan Waktu)
Hal ini terlihat terutama dalam dunia statistik dimana hasilnya diinginkan dapat tersaji dengan cepat. Simulasi dapat digunakan untuk menunjukkan perubahan struktur dari suatu Sistem Nyata (Real System) yang sebenarnya tidak dapat diteliti pada waktu yang seharusnya (Real Time). Dengan demikian simulasi dapat membantu mengubah Real System hanya dengan memasukkan sedikit data.
3. Control Sources of Variation (Dapat Mengawasi Sumber-sumber yang Bervariasi)
Kemampuan pengawasan dalam simulasi ini tampak terutama apabila analisis statistik digunakan untuk meninjau hubungan antara variable bebas (independent) dengan variable terkait (dependent) yang merupakan faktor-faktor yang akan dibentuk dalam percobaan. Hal ini dalam kehidupan sehari-hari merupakan suatu kegiatan yang harus dipelajari, ditangani dan tidak dapat diperoleh dengan cepat.
Dalam simulasi pengambilan data dan pengolahannya pada komputer, ada beberapa sumber yang dapat dihilangkan atau sengaja ditiadakan. Untuk memanfaatkan kemampuan ini peneliti harus mengetahui dan mampu menguraikan sejumlah input dari sumber-sumber bervariasi yang dibutuhkan oleh simulasi tersebut.
4. Error In Meansurment Correction (Mengoreksi Kesalahan - kesalahan Perhitungan)
Dalam prakteknya, pada suatu kegiatan ataupun percobaan dapat saja muncul ketidakbenaran dalam mencatat hasil-hasilnya. Sebaliknya, simulasi komputer jarang ditemukan kesalahan perhitungan terutama bila angka-angka diambil dari komputer secara teratur dan bebas. Komputer mempunyaikemampuan untuk melakukan perhitungan dengan akurat.
5. Stop Simulation and Restart (Dapat Dihentikan dan Dijalankan Kembali) Simulasi Komputer dapat dihentikan untuk kepentingan peninjauan ataupun pencatatan semua keadaan yang relevan tanpa berakibat buruk terhadap program simulasi tersebut. Dalam dunia nyata, percobaan tidak dapat dihentikan begitu saja.
Dalam simulasi komputer, setelah dilakukan penghentian maka kemudian dapat dengan cepat dijalankan kembali (restart).
6. Easy to Replicate (Mudah Diperbanyak)
Dengan simulasi komputer percobaan dapat dilakukan setiap saat dan dapat diulang-ulang. Pengulangan dilakukan terutama untuk mengubah berbagai komponen dan variabelnya, seperti dengan perubahan pada parameternya, perubahan pada kondisi operasinya ataupun dengan memperbanyak output.
Dalam simulasi sistem yang digunakan untuk menyelesaikan permasalahan pada distribusi Binomial, Normal, Hipergeometrik dan Poisson adalah dengan menggunakan software R. Diharapkan dengan menggunakan software ini kita dapat meningkatkan pengetahuan dan kemampuan kita dalam hal :
a. Pemahaman bentuk elemen dan lembar kerja software R.
b. Menganalisis data dengan menggunakan R.
c. Pembentukan grafik dengan menggunakan R.
d. Pendayagunaan fasilitas software R.
3.1.2 Pengenalan Software R
Dedi Rosadi (Analisi Statistik dengan R, 2015) R merupakan suatu sistem analisis statistika yang relatif lengkap, sebagai hasil dari kolaborasi riset berbagai statistikawan di seluruh belahan dunia. R saat ini dapat dikatakan merupakan lingua franca (bahasa standar) untuk keperluan komputasi statistika modern. R versi awal dibuat tahun 1992 di Universitas Auckland, New Zealand oleh Ross Ihaka dan Robert Gentleman. Pada tahun 2015 source code kernel R dikembangkan oleh R Development Core Team, sedangkan pengembangan dan kontribusi berupa kode/library, melaporkan error dan bugs, serta membuat dokumentasi untuk R, dilakukan oleh masyarakat statistikawan diseluruh penjuru dunia. R dapat diperoleh secara gratis di The Comprehensive R Archive Network (CRAN-archive) pada alamat web http://www.r-project.org.
Software R merupakan bagian penting saat ini karena dapat digunakan untuk berbagai analisis terutama dalam statistika dasar dan pengantar komputasi statistika.
Fungsionalitas dan kemampuan R sebagian besar diperoleh dari Add-on packages/library. Library adalah kumpulan perintah atau fungsi yang dapat digunakan untuk analisis tertentu. Sebagai software yang bersifat umum dalam R ini pengguna dapat membuat-menciptakan perintah atau fungsi yang baru. Dengan software R juga penulis akan membuat fungsi-fungsi yang akan berguna untuk simulasi ini yang akan dikerjakan.
3.1.3 Tahapan Simulasi
Pada pendekatan simulasi untuk menyelesaikan berbagai persoalan yang rumit akan lebih mudah dilakukan bila dimulai dengan membangun model percobaan dari suatu sistem. Untuk memulai membangun model percobaan perlu untuk memperhatikan tiga unsur dalam pemodelan simulasi, yaitu System, Entities dan Atributes.
Adapun tahapan-tahapan dalam simulasi ini adalah :
1. Merancang perintah atau fungsi-fungsi yang digunakan dalam program simulasi.
2. Membangkitkan data peubah acak Binomial terhadap parameter dengan membuat suatu fungsi pada R.
3. Membangkitkan data peubah acak Normal terhadap parameter dengan membuat suatu fungsi pada R.
4. Membangkitkan data peubah acak Hipergeometrik terhadap parameter dengan membuat suatu fungsi pada R.
5. Membangkitkan data peubah acak Poisson terhadap parameter dengan membuat suatu fungsi pada R.
6. Menunjukkan secara visual perubahan grafik fungsi normal, binomial, hipergeometrik, poisson dengan parameter yang berbeda.
3.2 Memulai R
R paling mudah digunakan dengan cara interaktif. Untuk memulai baris perintah R maka dapat dilakukan hal sebagai berikut :
1. Pada tampilan jendela windows, pilih ikon R.
Gambar 3.1 Tampilan jendela windows
2. Double klik pada ikon R, maka akan muncul tampilan seperti berikut.
Gambar 3.2 Tampilan jendela pembukaan R
Tampilan pada gambar 3.2 adalah jendela R Console yang merupakan tampilan yang memberikan keterangan informasi mengenai versi R dan tahun pembuatan R dan sekilas tentang keberadaan software R. Pada akhir keterangan muncul tanda > berwarna merah yang disebut prompt, tanda ini yang muncul dengan sendirinya ketika R Console dibuka yang memberi petunjuk bahwa perintah sudah dapat dituliskan.
3.3 Membangkitkan Data Acak pada Percobaan Binomial dan Normal Tabel 3.1 Data Peubah Acak Distribusi Binomial dan Normal
Probabilitas
(p) 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9
Sampel (n) µ µ µ µ µ µ µ µ µ
10 1 2 3 4 5 6 7 8 9
20 2 4 6 8 10 12 14 16 18
30 3 6 9 12 15 18 21 24 27
40 4 8 12 16 20 24 28 32 36
50 5 10 15 20 25 30 35 40 45
Untuk memperlihatkan secara visual perubahan grafik pada distribusi Binomial digunakan parameter n dan p, sedangkan untuk distribusi Normal digunakan parameter µ. Maka metode simulasi yang digunakan adalah sebagai berikut :
1. Bangkitkan X yang mempunyai distribusi binomial dengan n = 10, p = 0,9 dan misalnya data yang dibangkitkan adalah 1000 data.
Gambar 3.3 Pembangkitan data distribusi Binomial dengan n = 10; p = 0,9
2. Bangkitkan X yang mempunyai distribusi Normal dengan µ = 9 dan misalnya data yang dibangkitkan adalah 1000 data.
Gambar 3.4 Pembangkitan data distribusi Normal dengan µ = 9
3. Standarisasi data yang dibangkitkan
4. Gambar perintah dan histogram dari data yang dibangkitkan
a. Ditribusi binomial dan normal dengan N = 1000; n = 10; p = 0,1 – 0,9
Gambar 3.5 Fungsi data distribusi Binomial dan Normal yang dibangkitkan
Gambar 3.6 Histogram distribusi Binomial dan Normal yang dibangkitkan
b. Ditribusi binomial dan normal dengan N = 1000; n = 20; p = 0,1 – 0,9
Gambar 3.7 Fungsi data distribusi Binomial dan Normal yang dibangkitkan
Gambar 3.8 Histogram distribusi Binomial dan Normal yang dibangkitkan
c. Ditribusi binomial dan normal dengan N = 1000; n = 30; p = 0,1 – 0,9
Gambar 3.9 Fungsi data distribusi Binomial dan Normal yang dibangkitkan
Gambar 3.10 Histogram distribusi Binomial dan Normal yang dibangkitkan
d. Ditribusi binomial dan normal dengan N = 1000; n = 40; p = 0,1 – 0,9
Gambar 3.11 Fungsi data distribusi Binomial dan Normal yang dibangkitkan
Gambar 3.12 Histogram distribusi Binomial dan Normal yang dibangkitkan
e. Ditribusi binomial dan normal dengan N = 1000; n = 50; p = 0,1 – 0,9
Gambar 3.13 Fungsi data distribusi Binomial dan Normal yang dibangkitkan
Gambar 3.14 Histogram distribusi Binomial dan Normal yang dibangkitkan
3.4 Membangkitkan Data Acak pada Percobaan Hipergeometrik
Dalam memperlihatkan secara visualisasi perubahan grafik fungsi hipergeometrikyang mempunyai parameter-parameter n, N dan k dimana probabilitas (p) pada binomial sama untuk 𝑘
𝑁 pada hipergeometrik dan berubah-ubah sesuai dengan parameter yang digunakan pada fungsi binomial diatas. Sehingga kita dapat membandingkan perubahan grafik binomial dengan hipergeometrik maka metode simulasi yang digunakan sebagai berikut :
1. Bangkitkan X yang mempunyai distribusi hipergeometrik dengan nilai p = 0,9 dan distribusi hipergeometrik dengan n = 10, N = 500, k=450 , misalnya data yang dibangkitkan adalah 1000 data.
Gambar 3.15 Pembangkitan data distribusi hipergeometrik n = 10, k = 450
2. Standarisasi data yang dibangkitakan
3. Gambar perintah dan histogram dari data yang dibangkitkan dengan n tetap dan k berubah - ubah
a. Distribusi hipergeometrik dengan n = 10, N = 500, k = 50 - 450
Gambar 3.16 Fungsi data distribusi Hipergeometrik yang dibangkitkan
Gambar 3.17 Histogram data distribusi Hipergeometrik yang dibangkitkan
b. Distribusi hipergeometrik dengan n = 20, N = 500, k = 50 – 450
Gambar 3.18 Fungsi data distribusi Hipergeometrik yang dibangkitkan
Gambar 3.19 Histogram data distribusi Hipergeometrik yang dibangkitkan
c. Distribusi hipergeometrik dengan n = 30, N = 500, k = 50 - 450
Gambar 3.20 Fungsi data distribusi Hipergeometrik yang dibangkitkan
Gambar 3.21 Histogram data distribusi Hipergeometrik yang dibangkitkan
d. Distribusi hipergeometrik dengan n = 40, N = 500, k = 50 - 450
Gambar 3.22 Fungsi data distribusi Hipergeometrik yang dibangkitkan
Gambar 3.23 Histogram data distribusi Hipergeometrik yang dibangkitkan
e. Distribusi hipergeometrik dengan n = 50, N = 500, k = 50 - 450
Gambar 3.24 Fungsi data distribusi Hipergeometrik yang dibangkitkan
Gambar 3.25 Histogram data distribusi Hipergeometrik yang dibangkitkan
3.5 Membangkitkan Data Acak pada Percobaan Poisson
Dalam memperlihatkan secara visual perubahan grafik dari suatu peubah acak yang mempunyai distribusi Poisson dengan parameter λ , dimana perlakuan n dan peluang p pada distribusi Binomial dibuat sama terhadap λ = np pada distribusi Poisson. Metode simulasi yang digunakan adalah sebagai berikut :
1. Bangkitkan X yang mempunyai distribusi hipergeometrik dengan nilai λ = 9, misalnya data yang dibangkitkan adalah 1000 data.
Gambar 3.26 Pembangkitan data distribusi hipergeometrik λ = 9
2. Standarisasi data yang dibangkitakan
3. Gambar perintah dan histogram dari data yang dibangkitkan dengan n tetap dan λ berubah - ubah
a. Distribusi hipergeometrik dengan n = 10, p = 0.1 – 0.9, (λ = 1 – 9)
Gambar 3.27 Fungsi data distribusi Poisson yang dibangkitkan
Gambar 3.28 Histogram data distribusi Poisson yang dibangkitkan
b. Distribusi hipergeometrik dengan n = 20, p = 0.1 – 0.9, (λ = 1 – 9)
Gambar 3.29 Fungsi data distribusi Poisson yang dibangkitkan
Gambar 3.30 Histogram data distribusi Poisson yang dibangkitkan
c. Distribusi hipergeometrik dengan n = 30; p = 0,1 – 0,9; (λ = 1 – 9)
Gambar 3.31 Fungsi data distribusi Poisson yang dibangkitkan
Gambar 3.32 Histogram data distribusi Poisson yang dibangkitkan
d. Distribusi hipergeometrik dengan n = 40; p = 0,1 – 0,9; (λ = 1 – 9)
Gambar 3.33 Fungsi data distribusi Poisson yang dibangkitkan
Gambar 3.34 Histogram data distribusi Poisson yang dibangkitkan
e. Distribusi hipergeometrik dengan n = 50; p = 0,1 – 0,9; (λ = 1 – 9)
Gambar 3.35 Fungsi data distribusi Poisson yang dibangkitkan
Gambar 3.36 Histogram data distribusi Poisson yang dibangkitkan
BAB 4 PENUTUP
4.1 Kesimpulan
Dalam visualisasi ini penulis dapat menarik kesimpulan sebagai berikut : 1. Dalam membangkitkan data berdistribusi binomial dan normal dengan n tetap
dan p berubah – ubah, diambil kesimpulan :
a. Pada saat n = 10 dan p = 0,1 sampai 0,9 dengan interval 0,1 grafik fungsi distribusi binomial mendekati normal saat parameter p = 0,5 dan grafik fungsi distribusi normal mendekati normal saat parameter p = 0,6.
b. Pada saat n = 20 dan p = 0,1 sampai 0,9 dengan interval 0,1 semakin tinggi nilai parameter p maka grafik fungsi distribusi binomial semakin menceng ke kiri dan grafik fungsi distribusi normal semakin menceng ke kanan.
c. Pada saat n = 30 dan p = 0,1 sampai 0,9 dengan interval 0,1 grafik fungsi distribusi binomial semakin tinggi parameter p grafiknya semakin menceng ke kiri dan grafik fungsi distribusi normal mendekati normal saat parameter p
= 0,7.
d. Pada saat n = 40 dan p = 0,1 sampai 0,9 dengan interval 0,1 grafik fungsi distribusi binomial semakin tinggi parameter p grafiknya semakin menceng ke kiri dan grafik fungsi distribusi normal mendekati normal saat parameter p
= 0,4.
e. Pada saat n = 50 dan p = 0,1 sampai 0,9 dengan interval 0,1 semakin tinggi nilai parameter p maka grafik fungsi distribusi binomial dan normal mendekati normal.
2. Dalam membangkitkan data berdistribusi Hipergeometrik dengan n dan N tetap dan p (k/N) berubah – ubah, diambil kesimpulan :
a. Pada saat n = 10; N = 500; dan k = 50 sampai 450 dengan interval 50 grafik fungsi distribusi hipergeometrik semakin tinggi nilai k maka grafik semakin menceng ke kiri dan mendekati normal saat k/N = 0,5.
b. Pada saat n = 20; N = 500; dan k = 50 sampai 450 dengan interval 50 grafik fungsi distribusi hipergeometrik mendekati normal saat k/N = 0,7.
c. Pada saat n = 30; N = 500; dan k = 50 sampai 450 dengan interval 50 grafik fungsi distribusi hipergeometrik mendekati normal saat k/N = 0,8.
d. Pada saat n = 40; N = 500; dan k = 50 sampai 450 dengan interval 50 grafik fungsi distribusi hipergeometrik semakin tinggi nilai k maka grafik semakin menceng ke kiri.
e. Pada saat n = 50; N = 500; dan k = 50 sampai 450 dengan interval 50 grafik fungsi distribusi hipergeometrik mendekati normal saat k/N = 0,6.
3. Dalam membangkitkan data berdistribusi poisson dengan n tetap dan λ berubah – ubah grafik fungsi distribusi poisson semakin tinggi nilai λ maka grafik membentuk kurva J terbalik.
4.2 Saran
Saran yang dapat diberikan penulis adalah bahwa dalam mensimulasi suatu data peubah acak dengan software R jangan hanya terbatas pada fungsi distribusi binomial, normal, hipergeometrik, dan poisson saja, tetapi untuk penulisan kedepannya supaya merancang perintah atau fungsi-fungsi dalam sistem simulasi yang dapat digunakan untuk membangkitkan dan menampilkan secara visual grafik fungsi lain seperti distribusi geometri, seragam, exponensial dan lain-lain.
DAFTAR PUSTAKA
Djarwanto Ps, 1996. Mengenal Beberapa Uji Statistik Dalam Penelitian. Surakarta : Liberty. Yogyakarta
Harinaldi, 2005. Prinsip-prinsip Statistika untuk teknik dan sains. Jakarta : Erlangga.
Kakiay Thomas J, 2004. Pengantar Sistem Simulasi. Andi. Yogyakarta.
Rosadi Dedi, 2015. Analisis Statistika Dengan R. Yogyakarta : Gadjah Mada University Press.
Sudjana, 2002. Metoda Statistika. Bandung : PT. Tarsito Bandung Sutrisno, 2004, Statistika Jilid I. Andi. Yogyakarta.
https://www.slideshare.net/mobile/adriani/widi
http://suhendarencep01.blogspot.com/2015/06/distribusi-hipergeometrik
