GENERALIZED FIBONACCI NUMBER (GIBONACCI)

GENERALIZED FIBONACCI NUMBER (GIBONACCI)

(Skripsi)

Oleh Oki Sahroni

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG

GENERALIZED FIBONACCI NUMBER (GIBONACCI)

Oleh Oki Sahroni

Skripsi

Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains

Pada

Program Studi Matematika Jurusan Matematika

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHAUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG

ABSTRAK

GENERALIZED FIBONACCI NUMBER (GIBONACCI)

Oleh OKI SAHRONI

Barisan Gibonacci (Generalized Fibonacci Number) ialah bentuk umum dari barisan Fibonacci. Secara umum barisan Gibonacci didefinisikan sebagai dimana mewakili penjumlahan suku sebelumnya dan adalah suku ke- barisan Gibonacci.

Dalam penelitian ini, permasalahan dibatasi pada barisan Gibonacci untuk yang selanjutnya ditulis dengan (untuk Generalized) serta barisan Gibonacci yang terbentuk pada bilangan bulat positif . Penelitian ini bertujuan untuk mengkaji formula Binet serta identitas-identitas barisan Gibonacci.

Hasil dari penelitian ini berupa formula Binet barisan Gibonacci

√ dengan

√ √ .

Dari formula Binet tersebut diperoleh hubungan antara barisan Gibonacci dengan barisan Fibonacci atau Lucas. Selanjutnya, dari identitas-identitas barisan Fibonacci dan Lucas yang telah ada didapatkan beberapa identitas barisan barisan Gibonacci.

Judul Skripsi : GENERALIZED FIBONACCI NUMBER (GIBONACCI)

Nama Mahasiswa : Oki Sahroni Nomor Pokok Mahasiswa : 0817031044

Jurusan : Matematika

Fakultas : Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

MENYETUJUI

1. Komisi Pembimbing

Dra. Wamiliana, M.A., Ph.D. Ahmad Faisol, S.Si., M.Sc. NIP. 19631108 198902 2 001 NIP. 19800206 200312 1 003

2. Mengetahui

Ketua Jurusan Matematika

MENGESAHKAN

1. Tim Penguji

Ketua : Dra. Wamiliana, M.A., Ph.D. ………

Sekretaris : Ahmad Faisol, S.Si., M.Sc. ………

Penguji

Bukan Pembimbing : Amanto, S.Si., M.Si. ………

2. Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Prof. Suharso, S.Si., Ph.D. NIP. 19690530 199512 1 001

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan pada 17 Oktober 1989 di Bawang Putih, sebagai anak tunggal dari pasangan Bapak Saiman dan Ibu Sitin.

Pendidikan dimulai dari sekolah dasar di SD Negeri 4 Sumbersari pada tahun 1996, Sekolah Lanjutan Tingkat Pertama (SLTP) di SMP Negeri 2 Sekampung diselesaikan pada tahun 2005, dan Sekolah Lanjutan Tingkat Atas (SLTA) di SMA Negeri 1 Sekampung diselesaikan pada tahun 2008. Pada masa sekolah lanjutan tingkat atas, penulis pernah tercatat sebagai Juara 2 Olimpiade matematika tingkat Kabupaten Lampung Timur dan Juara 1 Lomba Cepat Tepat (LCT) bidang Ilmu Pengetahuan Alam (IPA) tingkat Kabupaten Lampung Timur.

PERSEMBAHAN

Dengan hati yang tulus dan penuh rasa syukur kupersembahkan karya kecilku ini:

Kepada Mu Ya Allah

sebagai wujud syukur atas ilmu yang telah Engkau limpahkan Kepada Ibuku, Ibuku, Ibuku, dan Bapakku

atas limpahan kasih sayang, do’a dan tetesan keringat dalam merawat dan menyekolahkanku selama ini demi keberhasilanku

Kepada seseorang yang kelak akan mendampingi hidupku

Kepada sahabat, teman serta orang-orang yang telah menyayangiku dan memberikan warna indah dalam hidupku

MOTTO

J

alanilah

H

idupmu dengan

Cinta

dan

T

egakkanlah

A

gamamu dengan

Islam

“...S

ebaik - baik manusia adalah yang

P

aling

B

ermanfaat bagi sesama

M

anusia

...”

SANWACANA

Puji syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT karena berkat rahmat dan hidayah-Nya penulis dapat menyelesaikan skripsi dengan judul ”Generalized Fibonacci Number (Gibonacci)” sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains di Universitas Lampung.

Terima kasih yang setulus-tulusnya penulis ucapkan kepada:

1. Dra. Wamiliana, M.A., Ph.D., selaku Dosen Pembimbing I yang selalu membimbing dan memotivasi penulis dalam menyelesaikan skripsi ini

2. Ahmad Faisol, S.Si., M.Sc., selaku Pembimbing II yang dengan sabar membimbing dan mengarahkan dalam menyelesaian skripsi ini

3. Amanto, S.Si., M.Si., selaku Dosen Penguji yang telah memberikan saran dan nasehatnya dalam menyelesaikan skripsi ini

4. Agus Sutrisno., S.Si., M.Si., selaku Pembimbing Akademik yang selalu membimbing penulis semasa kuliah sampai sekarang

5. Drs. Tiryono Ruby, M.Sc. Ph.D., selaku ketua Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Lampung

7. Bapak dan Mamakku tercinta yang senantiasa dengan tulus menyayangi, mendoakan dan memotivasiku dalam menggapai cita-cita

8. Rekan dan sahabat-sahabatku di Matematika : Syaza, Vebri, Darwis, Anike, Lita, Ririn, Tiyas Gendut, Jihan, Eflin, Isna, Mira, Budi, Maul, Noferdis, dll, terima kasih atas kebaikan dan motivasinya selama ini

9. Keluarga besar UKMF Natural : Nduk Tyas, Kak Herdumi, Kak Ju, Kak Sandy, Tri, Eko, Mila, Ma’rufah, Tika, Diyah, Herman, Ruly, Silvana, Dica, Umi, Sri, Sigit, Sepria, Arik, dan semua adik-adik pengurus yang telah banyak memberikan motivasi dan kenangan selama di kampus

10. Semua anak Exotics ’08, kakak-kakak tingkat angkatan 2006, 2007 serta adik-adik tingkat 2009, 2010 dan 2011, terima kasih atas motivasi dan rasa kekeluargaan yang tercipta selama ini

11. Keluarga di kost Teteh, mas Gun, Gilang, Bima, Cucun dan Dedi yang selalu membuat diri ini tersenyum atas kebersamaannya selama ini

Semoga Allah senantiasa memberikan kebaikan dan balasan atas jasa dan budi yang telah diberikan kepada penulis. Penulis mohon maaf atas segala kekurangan dan ketidaksempurnaan dalam penulisan skripsi ini. Semoga skripsi ini bermanfaat bagi kita semua. Aamiin.

Bandar Lampung, 15 Agustus 2012 Penulis

I. PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Teori bilangan merupakan salah satu dasar matematika. Teori bilangan berisi penelaahan sifat-sifat bilangan bulat dan penerapannya dalam kehidupan sehari-hari. Himpunan semesta pada teori bilangan merupakan himpunan semua bilangan riil, bahkan dalam beberapa pembahasan hanya terbatas pada himpunan bilangan asli. Banyak jenis bilangan yang sudah dipahami, berawal dari bilangan riil, sampai bilangan asli dan bilangan-bilangan lain.

Matematikawan terbesar pada abad pertengahan adalah Leonardo dari Pisa, Italia (1180 – 1250). Ia lebih dikenal dengan nama Fibonacci. Artinya, “anak Bonaccio”. Ia menemukan suatu konsep bilangan yang banyak dilihat dalam

kehidupan sehari-hari, misalnya perbandingan panjang organ tubuh, perbandingan tumbuh bunga karang, dan perbandingan kuntum bunga dengan jumlah serbuk bunga.

2 Sepasang kelinci menjadi dewasa dalam waktu dua bulan, dan pada akhir bulan ketiga melahirkan sepasang kelinci muda sehingga setiap bulan berikutnya berturut-turut melahirkan sepasang anak kelinci, jantan dan betina. Dengan asumsi tidak ada kelinci yang mati, pada bulan pertama dan kedua terdapat satu pasang kelinci. Pada akhir bulan ketiga bertambah satu menjadi dua pasang kelinci, pada bulan keempat, sepasang pasang kelinci dilahirkan sehingga menjadi tiga pasang kelinci, pada akhir bulan kelima dua pasang kelinci melahirkan sehingga menjadi lima pasang kelinci, dan seterusnya. Banyaknya pasangan kelinci setiap awal bulan berturut-turut terlihat pada barisan di bawah ini:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...

yang dikenal dengan barisan Fibonacci, dan suku-sukunya disebut bilangan Fibonacci.

Fibo-nacci lebih lanjut tidak banyak menyelidiki tentang barisan dari masalah yang dikemukakannya itu. Ia juga tidak memberi nama barisannya sebagai Barisan Fibonacci. Nama Barisan Fibonacci baru muncul pada abad ke-19 dan diperkenalkan oleh Lucas, seorang matematikawan Perancis. Lucas mengembangkan barisan semacam atau, yang mempunyai sifat seperti Barisan Fibonacci, yang selanjutnya disebut Barisan Lucas, yaitu:

1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, ...

3 tersebut didapat dengan menjumlahkan tepat dua suku sebelumnya, disebut dengan barisan Gibonacci.

Sebelumnya, telah ada beberapa peneliti yang membahas mengenai jenis barisan Fibonacci dan Lucas, diantaranya Mustika (2012) serta Suzyanna (2011). Akan tetapi kedua peneliti ini hanya sebatas membahas identitas Barisan Fibonacci dan Lucas serta formula Binetnya, tidak membahas identitas barisan Gibonacci dan formula Binetnya. Oleh karena itu, dalam penelitian ini penulis tertarik mengkaji tentang identitas barisan Gibonacci dan formula Binetnya.

1.2 Batasan Masalah

Pada penelitian ini, permasalahan dibatasi pada barisan Gibonacci bilangan bulat positif .

1.3 Tujuan Penelitian

Adapun tujuan dari penelitian ini adalah sebagai berikut : 1. Menentukan formula Binet dari barisan Gibonacci

2. Menunjukkan hubungan antara barisan Gibonacci dengan barisan Fibonacci atau Lucas

3. Memberikan beberapa identitas barisan Gibonacci

4 1.4 Manfaat Penelitian

Beberapa manfaat yang dapat diperoleh dari penelitian ini adalah sebagai berikut : 1. Mengetahui formula Binet dari barisan Gibonacci

2. Memperoleh hubungan antara barisan Gibonacci dengan barisan Fibonacci atau Lucas

3. Mendapatkan beberapa identitas barisan Gibonacci

II. LANDASAN TEORI

Barisan adalah suatu susunan bilangan yang dibentuk menurut suatu urutan tertentu. Nilai-nilai dari suatu fungsi yang daerah asalnya himpunan bilangan asli disebut dengan suku-suku. Perubahan antara suku-suku berurutan ditentukan oleh penjumlahan bilangan tertentu atau suatu kelipatan bilangan tertentu. Barisan dapat dinyatakan dalam rumus eksplisit atau rumus rekursif.

2.1 Barisan

Menurut Leithold (1991), suatu barisan takhingga adalah susunan bilangan terurut sesuai dengan urutan bilangan asli sebagai indeksnya, atau suatu fungsi riil yang daerah asalnya adalah himpunan bilangan asli. Barisan takhingga

dapat disajikan sebagai atau { }.

Suatu barisan { } disebut konvergen ke , atau berlimit , dan ditulis

6

2.2 Barisan Fibonacci, Lucas dan Gibonacci

Beberapa bentuk barisan takhingga yang divergen, diantaranya barisan Fibonacci, Lucas, dan Gibonacci.

Dalam bukunya Proofs that really count the art of combinatorial proof , Benjamin dan Jennifer (2003) menuturkan:

Barisan Fibonacci didefinisikan dengan untuk , .

Tabel 2.1 Daftar 10 Suku Pertama Barisan Fibonacci

n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Fn 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55

Sedangkan, barisan Lucas didefinisikan dengan untuk , .

Tabel 2.2 Daftar 10 Suku Pertama Barisan Lucas

n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Ln 2 1 3 4 7 11 18 29 47 76 123

7

Secara umum barisan Gibonacci dapat ditulis sebagai:

∑

Untuk barisan Fibonacci, suku-sukunya didapatkan dengan menjumlahkan tepat dua suku sebelumnya, maka dalam barisan Gibonacci, , barisan Fibonacci dinyatakan sebagai:

Dalam penelitian ini barisan untuk dinyatakan dengan

Barisan Gibonacci didefinisikan dengan barisan bilangan bulat positif , untuk

, (Hayes dan Tatiana, 2004).

Secara umum barisan Gibonacci dapat tulis (untuk Generalized) dengan suku awal dan , yaitu: dan . Ketika suku awal hanya dan , dapat ditulis untuk nilai di dalamnya, untuk barisan Gibonacci yang berbeda yaitu dengan suku awal yang berbeda dapat ditulis .

8

Perbandingan dari barisan Fibonacci yang berurutan mendekati bilangan Phi

( ) yang disebut juga sebagai golden number.

Berikut adalah formula Binet untuk menentukan suku ke-n dari barisan Fibonacci dan Lucas:

Banyak identitas barisan Fibonacci dan Lucas yang telah ditemukan. Berikut adalah beberapa identitas dari barisan Fibonacci dan Lucas:

9

Untuk membuktikan beberapa identitas di atas, digunakan suatu metode pembuktian matematika, diantaranya induksi matematika.

2.3 Induksi Matematika

Induksi matematika merupakan teknik pembuktian yang baku di dalam Matematika. Induksi Matematika dapat mengurangi langkah-langkah pembuktian bahwa semua bilangan bulat termasuk ke dalam suatu himpunan kebenaran, dengan hanya sejumlah langkah terbatas.

Prinsip induksi matematika adalah sebagai berikut:

Misalkan adalah proposisi perihal bilangan bulat positif dan akan dibuktikan bahwa benar untuk semua bilangan bulat positif .

Untuk membuktikan proposisi ini, hanya perlu menunjukkan bahwa: a. benar, dan

III. METODE PENELITIAN

3.1 Waktu dan Tempat Penelitian

Penelitian ini dilakukan pada semester genap tahun ajaran 2011-2012 bertempat di Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung.

3.2 Metode Penelitian

Mula-mula dikumpulkan dan dipelajari literatur (buku-buku) yang berhubungan dengan barisan Fibonacci, Lucas, dan Gibonacci. Langkah selanjutnya, untuk menentukan formula Binet barisan Gibonacci, diperlukan formula Binet barisan Fibonacci dan Lucas. Seperti yang telah diketahui, formula Binet barisan Fibonacci dan Lucas adalah:

dengan:

√ √

11 Barisan Fibonacci merupakan barisan linier , namun barisan ini juga dapat didekati secara geometrik (Setiadi, 2009).

Diasumsikan bahwa dimana merupakan konstanta awal yang bukan

Akar-akar dari persamaan kuadrat di atas adalah :

√ √

Dari √ didapat (3.1)

12 Jika anggota Persamaan (3.2) dikurangi dengan anggota Persamaan (3.3) dan setiap anggota dari persamaan yang dihasilkan dibagi dengan ), maka

Dengan demikian, barisan adalah barisan Fibonacci. Sehingga, formula Binet untuk barisan Fibonacci adalah:

√

Sekarang, misalkan anggota dari Persamaan (3.1) ditambah dengan anggota dari Persamaan (3.2), didapat :

Jika diberikan , maka diperoleh , serta

Dengan demikian, barisan adalah barisan Lucas. sehingga formula Binet untuk barisan Lucas adalah :

13 Setelah diperoleh formula Binet barisan Gibonacci, langkah selanjutnya adalah mencoba menemukan hubungan antara barisan Gibonacci dengan barisan Fibonacci atau Lucas.

Selanjutnya, untuk mendapatkan beberapa identitas Gibonacci, penulis menghubungkan beberapa identitas barisan Fibonacci dan Lucas, berikut beberapa identitas barisan yang dimaksud:

Dari beberapa identitas barisan Fibonacci dan Lucas di atas, dapat dibuktikan dengan induksi matematika sebagai berikut:

Bukti (1) dengan induksi matematika, akan dibuktikan:

Ada dua bagian dari pembuktian ini:

1. Pernyataan didapatkan dengan mensubtitusikan .

14

Bukti (2) dengan induksi matematika, akan dibuktikan:

15 pernyataan tidak benar, maka pembuktian tidak dapat dilanjutkan. Bagian kedua sering disebut dengan langkah induksi. Asumsi bahwa benar untuk beberapa bilangan bulat adalah hipotesis induksi. Jika dapat

ditunjukkan bahwa hipotesis induksi cukup untuk membuktikan bahwa benar, maka langkah induksi telah selesai.

Pembuktian identitas selanjutnya adalah:

16

Adalah benar (hipotesis induksi), dan akan dibuktikan benar untuk :

Bukti (4) dengan induksi matematika, akan dibuktikan:

17 Sekarang asumsikan:

Adalah benar (hipotesis induksi), dan akan dibuktikan benar untuk :

Untuk identitas (5), (6), (7) dan (8) dapat dibuktikan dengan cara yang sama seperti pada identitas (1) dan (2), dengan n diganti oleh .

Bukti (9) dengan induksi matematika, akan dibuktikan:

18

Bukti (10) dengan induksi matematika, akan dibuktikan:

19

Sehingga, benar.

20 Langkah-langkah penelitian tersebut dapat digambarkan dalam diagram alir sebagai berikut :

Studi literatur Mulai

Memberikan contoh penerapan barisan Fibonacci pada forex trading untuk meramalkan harga saham

Selesai

Memberikan beberapa identitas barisan Gibonacci

Menunjukkan hubungan antara barisan Gibonacci dengan barisan Fibonacci atau Lucas

V. KESIMPULAN

Adapun kesimpulan yang dapat diambil dari penelitian ini adalah sebagai berikut: 1) Formula binet untuk barisan Gibonacci adalah

√

dengan

2) Barisan Gibonacci mempunyai hubungan dengan barisan Fibonacci atau Lucas, diantaranya:

a)

b)

3) Beberapa identitas barisan Gibonacci adalah sebagai berikut:

a)

b)

c)

d)

35 4) Barisan Fibonacci dapat meramalkan harga saham pada forex trading dengan