Pengoptimuman pada Masalah Pemrograman Linear dengan Koefisien Interval

(1)

PENGOPTIMUMAN PADA MASALAH PEMROGRAMAN LINEAR

DENGAN KOEFISIEN INTER VAL

ANA FARIDA

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PEN GETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

(2)

ABSTRAK

ANA FARIDA. Pengoptimu man pada Masalah Pemrogra man Linear dengan Koefisien Interval. Dib imbing o leh PRAPTO TRI SUPRIYO dan NUR A LIATININGTYA S.

Pada beberapa masalah aplikasi pe mrogra man linear (PL), koefisien pada model seringka li tidak bisa ditentukan secara tepat. Salah satu metode dalam menyelesaikan masalah PL in i adalah dengan menggunakan pendekatan interval, dimana koe fisien tak tentu tersebut diubah menjadi bentuk interval. Bentuk PL in i dina ma kan Linear Programming with Interval Coefficient (LPIC). Koefisien berbentuk interval menandakan perluasan toleransi (atau daerah) dimana para meter konstanta bisa diterima dan me menuhi model LPIC. Pada karya ilmiah in i akan dibahas salah satu metode dala m menyelesaikan LPIC yang telah dike mbangkan oleh JW Chinneck dan K Ra madan (2000). Masalah LPIC me miliki fungsi objektif dan kendala persamaan atau pertidaksamaan yang berkoefisien interval. Solusi optimu m dibagi menjad i dua, yaitu best optimum dan worst optimum. Dala m kasus minimisasi, best optimum adalah solusi yang me miliki nilai fungsi objektif terkec il, sedangkan worst optimum adalah solusi yang me miliki n ila i fungsi objektif te rbesar. Solusi optimu m pada LPIC didapatkan dengan mencari versi khusus dari fungsi objektif dan kendala yang mengoptimu mkan model, ya itu dipilih suatu nilai spesifik (nilai ekstrim) pada koefisien interval yang me mbuat model LPIC tersebut optimu m, sehingga pemecahan masalah LPIC diperoleh dengan menyelesaikan PL yang mengoptimu mkan model LPIC.

(3)

ii

ABSTRACT

ANA FARIDA. Optimization in Linear Progra mming with Interval Coefficients Proble ms. Supervised by PRAPTO TRI SUPRIYO and NUR A LIATININGTYA S.

On some applications of linear programming proble ms (LP), the coefficient on the model often can not be determined precisely. One method to solve this LP proble m is to use an interval approach, where uncertain coefficients are transformed into the form of intervals. LP form is called Linear Progra mming with Interval Coeffic ient (LPIC). Interval coeffic ient indicates shaped e xpansion of tolerance (or regions) where the constant parameters can be accepted and fulfilled the LPIC model. One of the methods in solving LPIC has been developed by JW Chinneck and K Ra madan (2000). LPIC prob le ms have objective functions and equations or inequalities constraints which their coeffic ients are intervals. The optimu m solutions are divided into two solutions , best optimu m solution and worst optimu m solution. In the case of minimizat ion, best optimu m is the solution that has the smallest objective function value, wh ile the worst optimu m is the solution that has the largest objective function value. The optimu m solution to the LPIC obtained by seeking a special version of the objective function and constraints that optimize model, which is selected a specific value (e xtre me value) on the interval coefficients that make LPIC model is optimu m. Therefore, solution is obtained by solving LP that optimize LPIC model.

(4)

iii

PENGOPTIMUMAN PADA MASALAH PEMROGRAMAN LINEAR

DENGAN KOEFISIEN INTER VAL

ANA FARIDA

Skripsi

sabagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar

Sarjana Sains pada

Departemen Matematika

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PEN GETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

(5)

iv

Judul Skripsi

:

Pengoptimuman pada Masalah Pemrograman Linear dengan

Koefisien Interval

Nama

:

Ana Farida

NIM

:

G54053213

Menyetujui,

Pembimbing I

Pembimbing II

Drs.Prapto Tri Supriyo, M.Kom.

Dra. Nur Aliatiningtyas, MS.

NIP. 19630715 199002 1 002

NIP. 19610104 198803 2 002

Mengetahui,

Ketua Departemen Matematika

Dr. Berlian Setiawaty, MS.

NIP 19650505 198903 2 004

(6)

v

KATA PENGAN TAR

Puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat Allah Subhanallahu ta’ala atas segala nikmat, petunjuk, dan pertolongan-Nya sehingga penulisan skripsi in i berhasil diselesaikan.

Tema yang dipilih penulis adalah Riset Operasi dengan judul Pengoptimu man pada Masalah Pe mrogra man Linear dengan Koefisien Interval. Skripsi ini merupakan syarat untuk menyelesaikan studi pada Departemen Mate matika, Fa kultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Ala m, Institut Pertanian Bogor. Penulis mengucapkan terima kasih kepada:

1. Bapak Drs.Prapto Tri Supriyo, M.Ko m. dan Ibu Dra. Nur Aliatin ingtyas, MS selaku dosen pembimb ing skripsi atas bimbingan, arahan, waktu, kesabaran dan ilmu pengetahuan yang telah diberikan sela ma penyusunan skrips i in i.

2. Bapak Dr.Ir. A mril Aman, Msc. selaku dosen penguji skripsi atas saran dan masukan yang diberikan kepada penulis.

3. Keluarga ku tercinta: bapak, Ibu, kaka k, adik dan seluruh keluarga besar yang telah me mbe rikan doa, dukungan dan kasih sayangnya.

4. Seluruh dosen Matematika FM IPA IPB yang telah me mberikan ilmu yang bermanfaat bagi penulis.

5. Staf TU Mate matika, Pak Yono, Bu Ade, Mas Heri, Bu Susi yang telah mengurusi segala administrasi.

6. Rizky, Nurus dan Fani selaku pembahas yang telah me mberikan bantuan, saran dan kritik kepada penulis.

7. Salma , Fitri, Manda dan Lia atas persahabatan, doa, nasihat, semangat dan dukungannya selama ini.

6. Penghuni Nexu z House: Fety, Kak Sirri, Lusi, Devi, Sa rah, Indah, Widy, Saly, Citra, Tyas dan Mutia atas kebersamaan, dukungan dan semangat yang diberikan.

7. Teman-te man Math 42: Novi, M ira, Lina, Yun i, Zil, Lela dan seluruh teman -te man la innya yang tidak bisa disebutkan satu-persatu.

8. Adik-adik Math 43 dan 44 atas segala kebersamaan dan bantuannya.

9. Kak Sri, Sofi, Weni, Era, Mia dan Novy yang telah me mberi semangat dan dukungan kepada penulis.

Penulis menyadari bahwa dala m tulisan ini masih terdapat kekurangan dan jauh dari kesempurnaan. Oleh karena itu, dibutuhkan krit ik dan saran yang me mbangun dari pe mb aca. Se moga karya ilmiah ini dapat bermanfaat bagi dunia ilmu pengetahuan khususnya mate matika dan menjad i inspirasi bagi penelit ian-penelit ian selanjutnya.

Bogor, Oktober 2011

(7)

vi

RIWAYAT HIDUP

Penulis merupakan anak kee mpat dari lima bersaudara, puteri dari pasangan Bapak Abdul Ghofa r dan Ibu Mahmudah. Penulis dilahirkan di Malang pada tanggal 19 Juli 1987. Pendidikan TK dite mpuh pada tahun 1991 di TK Sa lafiyah Gondanglegi. Pada tahun1993 penulis me lanjutkan sekolah di SDI Sala fiyah Gondanglegi dan menyelesaikannya pada tahun 1999. Setelah menyelesaikan pendidikan sekolah dasar, penulis melan jutkan pendidikan d i MTsN 3 Ma lang pada tahun 1999 sampai 2002. Pada tahun 2002 penulis me lanjutkan pendidikan menengah atas di MAN 3 Ma lang.

Pada tahun 2005, penulis melan jutkan pendidikan di Institut Pertanian Bogor. Penulis diterima d i Tingkat Persiapan Bersa ma (TPB) Institut Pertanian Bogor me lalu i ja lur Se le ksi Penerimaan Mahasiswa Baru (SPM B). Pada tahun 2006 penulis diterima di Departemen Geofisika dan Meteorologi, setahun kemudian pindah jurusan ke Departemen Matematika, Fa kultas Ilmu Pengetahuan Alam dan Mate matika.

(8)

vii

DAFTAR ISI

Halaman

DAFTAR TABEL ………. viii

DAFTAR GAM BAR ……… viii

DAFTAR LAMPIRAN ………... viii

I PENDAHULUAN ……… 1

1.1 Latar Be la kang ……… 1

1.2 Tu juan ………. 1

II LANDASAN TEORI ……… 1

III PEMBA HASAN ………... 5

3.1 LPIC dengan kendala pertida ksamaan interval ……… 7

3.2 LPIC dengan kendala persamaan interval ……… 13

IV STUDI KASUS DA N PENYELESA IANNYA ……… 18

V SIMPULAN DAN SA RAN ……… 23

5.1 Simpu lan ……… 23

5.2 Sa ran ……… 23

DAFTAR PUSTA KA ……….. 24

(9)

viii

DAFTAR TABEL

Halaman

1 Susunan Zat Gizi pada Pakan Aya m dan Kadar Min imu m Zat Gizi ……… 19

2 Batasan Pakan dala m Ransum dan Harga Pakan Aya m ... 19

3 Pe mecahan Masalah Pembe lian Pakan Te rnak Aya m ... 23

DAFTAR GAMBAR

Halaman 1 Ilustrasi himpunan konveks dan bukan himpunan konveks ... 3

2 S_I pada Contoh 3 ... 5

3 S_II pada Contoh 3 ... 6

4 Daerah fisibel C pada Contoh 3 ... 6

5 S_I pada Contoh 4 ... 6

6 S_II pada Contoh 4 ... 6

7 Daerah fisibel S_I S_II pada Contoh 4 ... 6

8 S_I dan S_II pada Contoh 5 ... 7

9 Ilustrasi irisan himpunan solusi dua pertidaksamaan (S) ... 8

10 Ilustrasi gabungan himpunan solusi dua pertidaksamaan (S) ... 8

11 S pada Contoh 6 ... 8

12 S pada Contoh 6 ... 8

13 Daerah fisibel solusi best optimum pada Contoh 7 ... 11

14 Daerah fisibel solusi worst optimum pada Contoh 7 ... 11

15 Daerah fisibel LPIC pada Contoh 7 ... 12

16 Daerah fisibel pada Contoh 10 ... 13

17 Daerah fisibel pada Contoh 11 ... 13

18 Daerah fisibel solusi best optimum pada Contoh 12 ... 16

19 Daerah fisibel solusi worst optimum pada Contoh 12 ... 18

20 Daerah fisibel LPIC pada Contoh 12 ... 18

DAFTAR LAMPIRAN

Halaman 1 Syntax Program LINGO 8.0 untuk Menyelesaikan Masalah LPIC dengan Kendala berbentuk Pertidaksa maan Interval ……… 26

2 Syntax Program LINGO 8.0 untuk Menyelesaikan Masalah LPIC dengan Kendala berbentuk Persamaan interva l ……… 28

(10)

I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Pada beberapa masalah aplikasi pemrogra man linear (PL), koefisien pada model seringkali t idak bisa ditentukan secara tepat sehingga biasanya dibuat dalam perkiraan. Sa lah satu metode dalam menyelesaikan masalah PL in i adalah dengan menggunakan pendekatan interval, dimana koefisien tak tentu tersebut diubah menjadi bentuk interval. Bentuk PL ini dina ma kan Linear Programming with Interval Coefficient (LPIC). Koe fisien berbentuk interval menandakan perluasan toleransi (atau daerah) dimana para meter konstanta bisa diterima dan me menuhi model LPIC.

Pada awalnya, LPIC tidak banyak dibahas, penelitian sebelumnya lebih me musatkan pada kasus khusus tertentu, misalkan variabel 0-1 atau kasus PL dengan koefisien interval pada fungsi objektif saja. Topik LPIC ini d iperkena lkan secara luas pada tahun 1960-1980, dimu la i dari model kendala berbentuk upper-bound dan lower-bound (c₁ a₁x₁ a₂x₂ ... a_nx_n c_u). Meskipun tidak berhubungan dengan LPIC, model in i me miliki kesamaan yaitu model kendala tersebut dibatasi titik e kstrim.

Shaocheng (1994) mentransformasikan LPIC menjad i dua PL yang me miliki kara kteristik khusus. Salah satu PL me miliki daerah fisibel terbesar (largest possible

feasible region) dan versi terbaik pada fungsi objektif (most favourable version of objective function ) untuk mene mukan solusi optimu m terbaik yang mungkin (best possible optimum solution). Sedangkan PL la innya me miliki daerah fisibel terkecil (smallest possible feasible region) dan versi baik yang terendah pada fungsi objektif (least favourable version of objective function) untuk mene mu kan solusi optimu m terburuk yang mungkin (worst possible optimum solution). Metode Shaocheng ini mengatasi masalah LPIC dengan syarat: (1) dibatasi variabel tak negatif saja, dan (2) hanya mengatasi kendala pertidaksamaan saja.

Pada karya ilmiah in i akan dibahas salah satu metode dala m menyelesaikan LPIC yang telah dike mbangkan oleh JW Ch inneck dan K Ra madan (2000). Metode in i me rupakan generalisasi dari metode Shaocheng, yaitu dengan menambahkan kendala persa maan interval dan serta variabel tak positif pada model LPIC.

1.2 Tujuan

Tujuan dari karya ilmiah in i adalah mengka ji metode pemecahan masalah LPIC secara teoritis dan mengimple mentasikannya dala m kasus nyata.

II LANDASAN TEORI

Definisi 1 (Fungsi Line ar)

Misalkan f(x₁,x₂,....,x_n) adalah fungsi

dala m variabe l-variabel x₁,x₂,....,x_n. Fungsi

) ,...., , (x₁ x₂ x_n

f dinama kan fungsi linear jika dan hanya jika ada konstanta c₁,c₂,...,c_n,

n n

n c x c x c x

x x x

f( ₁, ₂,...., ) ₁ ₁ ₂ ₂ .... .

(Winston, 1995)

Sebagai contoh, f(x₁,x₂) x₁ 2x₂

adalah fungsi linear, sedangkan

2 2 1 2 1, )

(x x xx

f bukan fungsi linear.

Definisi 2 (Persamaan dan Perti daksamaan Line ar)

Untuk sembarang fungsi linear )

,...., , (x₁ x₂ x_n

f dan sembarang bilangan b, suatu persamaan f(x₁,x₂,....,x_n) b disebut

persamaan linear dan f(x₁,x₂,....,x_n) b atau

b x x x

f( ₁, ₂,...., _n) disebut pertidaksamaan linear.

(Winston, 1995)

Pemr ograman Li near

Pe mrogra man linear (PL) adalah masalah optimisasi yang me miliki kara kteristik sebagai berikut:

1. Tujuan masalah tersebut adalah me maksimu mkan atau me min imu mkan fungsi linear dari seju mlah variabel keputusan. Fungsi tersebut dinamakan fungsi objektif.

(11)

3. Ada batasan tanda pada tiap variabel. Untuk sembarang variabel x_i, pembatasan tanda menentukan x_i harus tak negatif x_i 0 atau tidak dibatasi tandanya (unrestricted in sign).

(Winston, 1995)

Definisi 3 (Bentuk Standar PL)

Suatu PL me miliki bentuk standar sebagai berikut:

min z cTx

terhadap kendala Ax b (1 )

0

b dan x 0

dimana x dan c adalah vektor beru kuran n, vektor b beru kuran m dan A berupa matriks berukuran m x n yang disebut juga matriks kendala dengan m n.

(Nash dan Sofer, 1996)

Contoh 1

Misalkan diberikan PL standar sebagai berikut:

Min z x₁ 2x₂

terhadap kendala:

10 2

8 2

3 2

5 1

4 2 1

3 2 1

x x

x x x

(2)

dengan x₁,x₂,x₃,x₄,x₅ 0 Fungsi objektif ada lah z x₁ 2x₂

Variabel keputusan adalah x₁,x₂,x₃,x₄,x₅

10 8 3 , 1 0 0 0 2

0 1 0 2 1

0 0 1 2 1

0 0 0 2 1

,

5 4 3 2 1

b A

c x

x x x x x

Solusi Pemrograman Line ar

Suatu masalah PL dapat diselesaikan dala m berbagai tekn ik, salah satunya adalah metode simp leks. Metode ini dapat menghasilkan suatu solusi optimu m bagi masalah PL dan telah dike mbangkan Dantzig sejak tahun 1947, dan dalam perke mbangannya merupakan metode yang paling u mu m digunakan untuk menyelesaikan PL. Metode ini berupa metode iteratif untuk menyelesaikan PL berbentuk standar.

Pada masalah PL (1), ve ktor x yang me menuhi kendala Ax bdisebut solusi PL (1). Misalkan matriks A dapat dinyatakan

sebagai A B N , dengan B adalah matriks taksingular berukuran m x m yang ele mennya berupa koefisien variabel basis dan N adalah matriks berukuran m x (n-m) yang ele mennya berupa koefisien variabe l nonbasis pada matriks kendala. Matriks B disebut matriks basis untuk PL (1).

Misalkan x d inyatakan dengan vektor

N B

x x

x , dengan x_B adalah vektor variabel

basis dan x_N adalah vektor variabel nonbasis, ma ka Ax bdapat dinyatakan sebagai

b Nx Bx

x x N B Ax

N B

(3 )

Karena matriks B adalah matriks taksingular, ma ka B me miliki invers, sehingga x_B dapat dinyatakan sebagai:

N 1 1

B B b B Nx

x

(4)

Ke mudian, fungsi objektifnya berubah men jadi:

min N

T N B T

B x c x

c z

Definisi 4 (Solusi Basis)

Solusi dimana (n-m) variabel bern ilai nol disebut solusi basis. Variabel yang tidak bernila i nol disebut variabel basis dan variabel

yang bernilai nol disebut variabel nonbasis.

(Rao,1984)

Solusi dari suatu PL disebut solusi basis jika me menuhi syarat berikut:

i. solusi tersebut me menuhi kendala PL; ii. kolo m-ko lo m dari matriks kendala yang

berpadanan dengan komponen tak nol dari solusi tersebut adalah bebas linear.

Definisi 5 (Solusi Fisibel)

Se mbarang solusi yang me menuhi kendala Ax bdan x 0 disebut solusi fisibel.

(Rao,1984)

Definisi 6 (Solusi Fisibel B asis)

Vektor x disebut solusi fisibel basis jika x me rupakan solusi basis dan x 0.

(12)

Contoh 2

Misalkan diberi PL berikut: Min z x₁ x₂

terhadap kendala:

10 8 3

3 2

5 1

4 2 1

3 2 1

x x

x x x

(5 )

dengan x₁,x₂,x₃,x₄,x₅ 0, ma ka d iperoleh:

10 8 3 , 1 0 0 0 1

0 1 0 3 1

0 0 1 2 1

b A

Misalkan dip ilih xB x3 x4 x5 T dan T

2 1 x

x N

x , maka matriks basisnya

adalah

1 0 0

0 1 0

0 0 1 B

0 3 2

1 1 1 N

T T

0 1 1 B

c ,c_NT 0 0T

Dengan menggunakan mat riks basis di atas, ma ka d iperoleh

T

0 0 N x

T

10 8 3 b B

x_B 1 (6 )

11 b B c_BT 1 z

Solusi (6) me rupakan solusi basis, karena me menuhi kendala pada PL (5) dan kolo m-kolo m pada matriks kendala yang berpadanan dengan komponen tak nol dari (6) yaitu B, bebas linear (kolo m yang satu bukan me rupakan kelipatan dari kolo m yang lain). Solusi (6) juga merupakan solusi fisibel basis, karena nilai-nilai variabelnya leb ih dari atau sama dengan nol.

Definisi 7( Daerah Fisibel)

Daerah fisibel suatu PL adalah himpunan semua titik yang me menuhi seluruh kendala PL dan batasan tanda PL .

(Winston, 1995)

Definisi 8 (Solusi Opti mum)

Solusi optimu m suatu PL adalah solusi fisibel yang mengoptimu mkan fungsi objektif. (Rao,1984)

Definisi 9 ( Hi mpunan Konveks)

Misalkan S adalah himpunan titik. Himpunan S disebut himpunan konveks jika segmen garis yang menghubungkan

sembarang titik-t itik dala m S seluruhnya termuat dala m S. Dengan kata la in, himpunan

n

R

S disebut himpunan konveks, jika untuk tiap x₁,x₂ S berla ku

S x

x₁ (1 ) ₂ dengan 0,1 . (Winston, 1995)

Ilustrasi himpunan konveks dan bukan himpunan konveks diberikan pada gambar dibawah in i.

(i) (ii)

(iii) (i v)

Ga mbar 1. Ilustrasi himpunan konveks dan bukan himpunan konveks.

Pada Ga mbar 1, lingka ran (i) dan persegi (ii) merupakan himpunan konveks, sedangkan bidang (iii) dan cincin (iv) bukan himpunan konveks.

Teore ma 1

Daerah fisibel dari PL ada lah konveks. (Rao,1984)

Bukt i:

Daerah fisibel S dari PL standar didefinisikan sebagai S {x|Ax b,x 0}.

Misalkan t itik x₁dan x₂ termasuk dala m himpunan S, ma ka

0 , ₁

1 b x

Ax (1)

0 , ₂

2 b x

Ax (2)

Jika persamaan (1) dika likan dengan dan persamaan (2) dika likan dengan 1 ,

1

0 dan ke mudian keduanya

diju mlahkan, maka didapat:

(3) ]

) 1 ( [

)) 1 ( ( ] ) 1 ( [

) 1 ( ] )[ 1 ( ] [

) 1 ( ] )[ 1 (

] [

2 1

b x x

A

b x

x A

b b

Ax Ax

b Ax

[image:12.596.341.503.224.356.2]

(13)

Persamaan (3) dapat ditulis sebagai Ax b.

Berdasarkan defin isi, ma ka x S atau

S x

x₁ (1 ) ₂ .

Jadi S {x|Ax b,x 0}adalah konveks.

Teorema 1 terbukti.

Definisi 10 (Titik Ekstrim)

Titik dari himpunan konveks yang tidak berada di dalam segmen garis yang menghubungkan dua titik la in di dala m himpunan tersebut dinamakan t itik e kstrim. Jika x S adalah titik ekstrim, ma ka tidak ada x₁,x₂ S sehingga x₁ (1 )x₂ S

untuk (0,1). Dengan kata lain, jika x titik e kstrim dan x₁ (1 )x₂ S untuk

) 1 , 0

( maka x x₁ x₂.

(Rao, 1984)

Teore ma 2

Se mua solusi fisibel basis adalah titik e kstrim dari himpunan konveks dari solusi fisibel.

(Rao, 1984) Bukt i:

Misalkanx [b₁,b₂,....,b_m,b_m₁,0,..,0] adalah suatu solusi fisibel basis untuk PL. Dari Teore ma 1 diketahui bahwa daerah fisibel adalah himpunan konveks.

Misalkan x S bukan tit ik ekstrim, maka ada y,z S dimana y zsedemikian

sehingga x y (1 )z, 0 1 (4) Diketahui bahwa

] 0 ,.., 0 , , ,...., ,

[b₁ b₂ b_m b_m₁ x

] ,.., , ,...., ,

[y₁ y₂ y_m y_m ₁ y_n y

] ,.., , ,...., ,

[z₁ z₂ z_m z_m₁ z_n z

untuk j m 1 diketahui x_j 0 dan dari

persamaan (4)

j j

j y z

x (1 )

dimana λ 0,yj 0,zj 0. Hal ini hanya

akan terjadi jika y_j 0dan z_j 0. Selain itu karena x, ydan z fisibel ma ka

b Ax

b

Ay (5)

b Az

Misalkan aj kolo m ke-j dari matriks A

ma ka persa maan (5) dapat ditulis sebagai berikut:

b a_j _j n

j

x

1

b a_j _j n

j

y

1

(6)

b aj j n

j

z

1

karena untuk j m 1, ele men x_j 0,

0

j

y dan zj 0 ma ka persa maan (6)

secara individu dapat ditulis

b a_j _j m

j

x

1

(7.a )

b aj j m

j

y

1

(7.b )

b a_j _j m

j

z

1

(7.c )

Jika persamaan (7.b) dikurangi oleh persamaan (7.c) menghasilkan

0 ) (

0

1

1 1

j j m

j

j m

j j m

j

z y

j

j j

a

a a

Karena untuk j m, aj adalah kolo m

dari matriks A yang bersesuaian dengan variabel basis maka aj (j 1,...,m) saling

bebas linear (De finisi 4).

Karena aj saling bebas linear, maka

0 ) (

1

j j m

j

z y

j

a menyebabkany_j z_j 0

untuk _j,j 1,...,m. Akibatnya y_j z_j ,

m j

1

.

Seperti telah diketahui sebelumnya 0

j j z

y untuk m 1 j n, maka

z

(14)

Definisi 11 (Bilangan Inter val)

Bilangan interval pada garis bilangan adalah himpunan seluruh titik (bilangan) di antara dua titik u jung tertentu pada garis bilangan .

(Jeffrey, 2005)

Definisi 12 (Inter val tertutup)

Misalkan (a,b) dan a b. Interval tertutup [a,b] dari a ke b adalah

} |

{x a x b .

(Fra leigh,1969)

III PEMBAHASAN

Masalah LPIC me miliki koefisien interval, baik pada fungsi objektif maupun kendala. Salah satu cara untuk menyelesaikan masalah LPIC ini adalah dengan menggunakan metode yang dike mbangkan oleh JW Chinneck dan K Ra madan (2000). Metode ini merupakan generalisasi dari metode Shaocheng (1994), yaitu diperluas dengan: (i) me masukkan variabel yang tidak me miliki batasan tanda atau variabel urs (unrestricted in sign) pada x0 (variabel yang tidak terka it koefisien interval); (ii) me masukkan variabel tak positif, baik yang terkait da la m interval atau tida k; dan (iii) me masukkan kendala berbentuk persamaan.

Tujuan LPIC adalah menentukan solusi best optimum dan worst optimum. Permasalahan LPIC yang akan dibahas hanya masalah min imisasi. Jika model berupa kasus ma ksimisasi, ma ka model tersebut diubah men jadi kasus min imisasi dengan cara mengalikan fungsi objektif dengan (-1). Pada kasus min imisasi, best optimum adalah solusi optimu m dengan nilai fungsi objektif terkec il dan worst optimum adalah solusi optimu m dengan nilai fungsi objekt if terbesar.

Solusi optimu m pada LPIC didapatkan dengan mencari versi khusus dari fungsi objektif dan kendala yang mengoptimu mkan model, yaitu dipilih suatu nilai spesifik (nilai ekstrim) pada koefisien interval yang me mbuat model LPIC tersebut optimu m. Suatu kendala berkoefisien interval a kan me miliki kendala spesifik (kendala dengan koefisien tentu) berjumlah tak hingga. Jadi untuk me mperoleh solusi optimu m, dipilih versi ekstrim kendala yang koefisiennya berupa kombinasi batas bawah dan batas atas koefisien interval.

Metode LPIC menyandarkan hubungan antar daerah fisibel dari kendala-kendala spesifik. Misalkan C adalah himpunan kendala dengan koefisien interval, C_I dan

II

C adalah dua himpunan kendala berbeda yang dibangkitkan dari C dengan menggunakan versi ekstrim C. Daerah fisibel

yang memenuhi kendala C_I disebut S_I, sedangkan daerah fisibel yang me menuhi kendala C_II disebut S_II. Daerah fisibel tersebut me miliki hubungan sebagai berikut: 1. S_I S_II atau S_II S_I, yaitu suatu

daerah fisibel seluruhnya termuat dala m daerah fisibel la innya.

2. S_I S_II dan S_I S_II , yaitu suatu daerah fisibel me motong sebagian daerah fisibel la innya.

3. S_I S_II , yaitu tidak ada tumpang tindih (overlap) pada daerah-daerah fisibel.

Contoh 3:

Misalkan

C

adalah himpunan kendala sebagai berikut:

0 ,

] 3 , 2 [

] 2 , 1 [ 2 2

2 1

x x

x x b

x x a

C .

Jadi dapat dia mbil kendala spesifikC_I dan

II

C sebagai berikut:

0 ,

2 2 2 2

2 1

x x

x x b

x x a

C _I

I I

0 ,

3 1 2 2

2 1

x x

x x b

x x a

C _II

II II

[image:14.596.325.455.499.714.2]

(15)

Ga mbar 3. S_II pada Contoh 3.

ma ka S_II S_I, sebagaimana diilustrasikan oleh Ga mbar 4.

Ga mbar 4. Dae rah fisibel C pada Contoh 3.

Contoh 4:

Misalkan C adalah himpunan kendala sebagai berikut:

0 ,

4 ] 4 , 3 [

2 ]

2 , 1 [

2 1

x x

b

x x a

C .

II

C sebagai berikut:

0 ,

4 3

2 2

2 1

x x

x x b

x x a

C _I

I I

0

,

4

2

2 1

x

b

x

a

C

II

Ga mbar 5. S_I pada Contoh 4.

Ga mbar 6. S_II pada Contoh 4.

ma kaS_I S_II dan S_I S_II sebagaimana diilustrasikan oleh Ga mbar 7.

Ga mbar 7. Daerah fisibel S_I S_II pada Contoh 4.

Contoh 5:

Misalkan himpunan kendala C sebagai berikut:

2 2

1 ] 1 , 1 [ ] 1 , 1 [

2 1

x c

x b

x x

a

C .

II

C sebagai berikut:

2 2 1

2 1

x c

x b

x x a C

I

[image:15.596.106.519.73.766.2] [image:15.596.115.235.84.212.2] [image:15.596.324.447.86.374.2] [image:15.596.118.282.237.417.2]

(16)

2 2

1

2 1

x c

x b

x x a C

II

ma ka S_I S_II sebagaimana

diilustrasikan pada Ga mba r 8.

Ga mbar 8. S_I dan S_IIpada Contoh 5.

Permasalahan model LPIC dibagi men jadi dua, yaitu menyelesaikan LPIC dengan kendala berupa pertidaksamaan interval dan menyelesaikan LPIC dengan kendala persamaan interval.

3.1 LPIC deng an kendala perti daksamaan inter val

Bentuk u mu m model LPIC dengan kendala berupa pertidaksamaan interval adalah sebagai berikut:

Min

n

j

j j j c x

c Z

1

,

terhadap:

n

j

i i j ij

ij a x b b

a

1

,

, , (1)

untuk i 1,...,m

,

j

si 0

x

j

x dan x_j 0 untuk

si

x

j

x . c_j,cj ,a_ij,aij ,b_i,bi I( ) dimana I( ) adalah himpunan seluruh bilangan interval pada .

Keterangan:

x = (x₁,x₂,x₃,....,x_n), dimanax_j adalah variabel ke-j.

x0 = variabel-variabel yang yang tidak terkait dengan koefisien interval, baik variabel tak negatif (xj 0)

atau variabel tak positif (xj 0)

maupun variabel urs (unrestricted in sign).

xsi = variabel-variabel yang terkait dengan koefisien interval, berupa variabel tak negatif atau variabe l tak positif.

ij

a = batas atas koefisien interval dari variabel ke-j pada kendala ke -i.

ij

a = batas bawah koefisien interval dari

variabel ke-j pada kendala ke-i.

i

b = batas bawah koefisien interval dari nila i ruas kanan/RHS (Right Hand Side)

pada kendala ke-i.

i

b = batas bawah koefisien interval dari nila i ruas kanan/RHS pada kendala ke-i.

j

c = batas atas koefisien interval variabel ke-j pada fungsi objektif.

j

c = batas bawah koefisien interval

variabel ke-j pada fungsi objekt if.

Tiap pertida ksamaan i pada (1) yang me miliki p koefisien interval dapat ditransformasikan menjadi 2p pertidaksamaan ekstrim yang berbeda. Pertidaksa maan tersebut diperoleh dengan cara mengo mbinasikan nila i batas atas dan batas bawah koefisien. Solusi optimu m diperoleh dengan me milih satu versi

pertidaksamaan ekstrim da ri 2p

pertidaksamaan ekstrim yang

mengoptimu mkan fungsi objektif. Formula pertidaksamaan khusus yang diperoleh dari pengaturan tiap batas bawah atau batas atas koefisien interval dina ma kan formula kara kteristik.

Pandang satu pertidaksamaan ke-i pada (1) dan S_k adalah himpunan solusi

pertidaksamaan e kstrim ke-k diantara 2p pertidaksamaan ekstrim yang berbeda dari i.

Misalkan



p

k Sk

S

2

1 adalah gabungan dari

seluruh himpunan solusi pertidaksamaan

ekstrim dan



p

k Sk

S 2

1 adalah irisan dari

seluruh himpunan solusi pertidaksamaan ekstrim. Ilustrasi dari pengertian tersebut pada dua

[image:16.596.116.298.88.334.2]

(17)

Ga mbar 9. Ilustrasi irisan himpunan solusi dua pertidaksamaan (S).

Ga mbar10. Ilustrasi gabungan himpunan

solusi dua pertidaksamaan (S).

Definisi 1

Untuk setiap pertidaksamaan kendala pada (1), jika ada suatu versi ekstrim pada formula kara kteristik sedemikiran rupa sehingga himpunan solusinya sama dengan S, maka versi in i disebut dengan pertidaksamaan range nila i ma ksimu m. Sedangkan jika suatu versi ekstrim pada formu la ka rakteristik sedemikiran rupa sehingga himpunan solusinya sama dengan S, maka versi ini disebut dengan disebut pertidaksamaan range nila i min imu m.

Contoh 6:

] 6 , 4 [ ] 5 , 2 [ 3 ,

1 x1 x2 , dimana x1,x2 0.

Pertidaksa maan interval ini me miliki 3 koefisien interval sehingga dapat dipecah men jadi 23 8pertidaksamaan e kstrim : (a) x₁ 2x₂ 4 (e) 3x₁ 2x₂ 4 (b) x₁ 2x₂ 6 (f) 3x₁ 2x₂ 6 (c) x₁ 5x₂ 4 (g) 3x₁ 5x₂ 4

(d) x₁ 5x₂ 6 (h) 3x₁ 5x₂ 6

Ga mbar 11. S pada Contoh 6.

Ga mbar 12. S pada Contoh 6.

Dapat dilihat dari Ga mbar 11 dan Ga mbar 12 bahwa S x 2|3x₁ 5x₂ 4 , sehingga

pertidaksamaan 3x₁ 5x₂ 4 (g) disebut

pertidaksamaan range nila i ma ksimu m. Sedangkan S x 2|x₁ 2x₂ 6 sehingga pertidaksamaan x₁ 2x₂ 6 (b) disebut pertidaksamaan range nilai minimu m.

Teore ma 1

Jika ada pertidaksa maan interval

b b x a

a j

n

j j

j, ,

1

dimana x_j x0 xsi,

0

j

x untuk xj

x

si, maka a xj b n

j j 1

adalah pertidaksamaan range nila i ma ksimu m

dan

n

j j jx b

a

1

adalah pertidaksa maan

[image:17.596.324.481.83.452.2] [image:17.596.116.302.88.332.2] [image:17.596.321.512.550.703.2]

(18)

Bukt i:

Misalkan

n

j j jx b

a

1

adalah sembarang

versi khusus pertidaksamaan interval. Maka untuk sembarang solusi khusus x_j 0

dimana xj

x

si, kita me mpunyai

n

j

n

j j j j

jx a x

a

1 1

. Misalkan x me menuhi

n

j j jx b

a

1

, ma ka x me menuhi

n

j j jx b b

a

1

. Akibatnya x juga

me menuhi

n

j j jx b

a

1

,untuk b,b b b.

Jadi terdapat sebuah titik x yang harus me menuhi seluruh versi pertidaksamaan interval la in secara bersamaan. Akibatnya,

berdasarkan Defin isi 1,

n

j j jx b

a

1

adalah

pertidaksamaan range nilai minimu m. Untuk sembarang solusi khusus xj 0

dimana xj

x

si, kita juga me miliki n

j

n

j j j j

jx a x b b

a

1 1

. Misalkan x

me menuhi

n

j j jx b

a

1

, ma ka x juga

me menuhi

n

j j jx b

a

1

. Akibatnya x

me menuhi

n

j j jx b

a

1

, untuk

b b b

b, . Oleh karena itu, solusi x yang me menuhi sembarang versi pertidaksa maan interval juga akan dipenuhi oleh

n

j j jx b

a

1

. Jadi berdasarkan Defin isi 1,

n

j j jx b

a

1

adalah pertidaksamaan range

nila i ma ksimu m.

Akibat 1

Untuk xj 0 dimana

si

x

j

x , maka

b x

a _j

n

j j 1

nila i ma ksimu m dan

n

j j jx b

a

1

adalah

pertidaksamaan range nilai minimu m.

Bukt i:

Misalkan

n

j j jx b

a

1

adalah sembarang

versi khusus pertidaksamaan interval. Maka untuk sembarang solusi khusus xj 0

dimana xj

x

si, kita me mpunyai

n

j

n

j j j j

jx a x

a

1 1

. Misalkan x me menuhi

n

j j jx b

a

1

, maka x juga me menuhi

n

j j jx b b

a

1

. Akibatnya x juga

me menuhi

n

j j jx b

a

1

,untuk b,b b b.

Jadi terdapat sebuah titik x yang harus me menuhi seluruh versi pertidaksamaan interval la in secara bersamaan. Akibatnya,

berdasarkan Defin isi 1,

n

j j jx b

a

1

adalah

pertidaksamaan range nilai minimu m. Untuk sembarang solusi khusus x_j 0

dimana xj

x

si, kita juga me miliki n

j

n

j j j j

jx a x b b

a

1 1

. Misalkan x

me menuhi

n

j j jx b

a

1

, ma ka x juga

me menuhi

n

j j jx b

a

1

. Akibatnya x

me menuhi

n

j j jx b

a

1

, untuk

b b b

(19)

n

j j jx b

a

1

. Jadi berdasarkan Defin isi 1,

n

j j jx b

a

1

nila i ma ksimu m.

Teore ma 2

Jika _j

n

j j j c x

c Z

1

, adalah fungsi objektif

untuk x_j 0 dimana xj

x

si, maka

n j n j j j j

jx c x

c

1 1

untuk solusi x yang

diberikan.

Bukt i:

Diketahuti c c dan xj 0dimana

si

x

j

x , maka cxj cxj. Untuk

n

j 1,2,..., dapat ditulis:

n j n j j j j j n n x c x c x c x c x c x c x c x c 1 1 2 2 1 1 .... .... Jadi n j n j j j j

jx c x

c

1 1

berlaku untuk solusi

x yang diberikan.

Akibat 2

Untuk x_j 0, dimana xj

x

si, maka

n j n j j j j

jx c x

c

1 1

Bukt i:

Diketahuti c c dan xj 0dimana

si

x

j

x , maka cxj cxj. Untuk

n

j 1,2,..., dapat ditulis:

n j n j j j j j n n x c x c x c x c x c x c x c x c 1 1 2 2 1 1 .... .... Jadi n j n j j j j

jx c x

c

1 1

berlaku untuk solusi

x yang diberikan.

Definisi 2

Untuk masalah min imisasi dengan xj 0

dimana xj

x

si ,

n j j jx c 1

dina ma kan

fungsi objektif terbaik (most favourable

objective function) dan

n j j jx c 1 dina makan

fungsi objektif terburuk (least favourable objective function) .

Teorema 1 dan Teore ma 2 menyediakan perhitungan dalam mencari solusi best optimum dan worst optimum LPIC, yaitu dengan mengubah masalah LPIC asli menjadi dua PL. Pe mecahan masalah LPIC adalah dengan menggunakan fungsi objektif terba ik dan pertidaksamaan range nilai ma ksimu m untuk menentukan solusi best optimum. Sedangkan untuk menentukan solusi worst optimum, digunakan fungsi objektif terburuk dan pertidaksamaan range nila i min imu m

Algoritma 1: Pe nyelesaian LPIC de ngan kendala berupa perti daksamaan inter val. Diberikan : min n

j cj cj xj

Z

1 , dengan

kendala n

j 1aij,aij xj bi,bi , dimana

m

i 1,..., dan x_j, x_j (x0 xsi). 1. Bentuk LPIC men jadi PL:

Min n j j jx c z 1 '

, dimana xj

x

si

Berdasarkan Teore ma 2 cukup dipilih:

(20)

n

j

i i j ijx b

a

1 '

, , dimana xj

x

si

0 , 0 , ' j ij j ij ij x a x a a

Dica ri best optimum dengan menyelesaikan PL diatas.

2. Bentuk LPIC men jadi PL:

Min n j j jx c z 1

" _{, dimana}

x

si j

x

0 , 0 ,

"

j j j j j x c x c c terhadap: n j i i j ijx b

a

1

,

" , dimana xj

x

si

0 , 0 , " j ij j ij ij x a x a a

Dica ri worst optimum dengan menyelesaikan PL diatas.

Algorit ma 1 menggambarkan metode umu m untuk mengatasi kasus min imisasi pada LPIC dengan kendala yang me miliki batasan saja. Jika kendala me miliki batasan ma ka kendala tersebut dikalikan dengan (-1).

Contoh 7:

Selesaikan LPIC dengan kendala pertidaksamaan interval berikut:

Min Z [1,3]x₁ [2,4]x₂

terhadap: 0 , 4 : ] 7 , 6 [ ] 5 , 3 [ : ] 1 , 2 [ : 5 ] 4 , 2 [ : ] 9 , 6 [ ] 6 , 4 [ ] 3 , 2 [ : 2 1 2 5 2 1 4 2 1 3 2 1 2 2 1 1 x x x C x x C x x C x x C x x C

Dengan menggunakan Algoritma 1, maka akan didapatkan solusi best optimum dari PL sebagai berikut:

Min z x₁ 2x₂

terhadap: 0 , 4 : 6 5 : 2 : 5 4 : 6 6 3 : 2 1 2 5 2 1 4 2 1 3 2 1 2 2 1 1 x x x C x x C x x C x x C x x C a a a a

Ke mudian diselesaikan menggunakan softwere LINGO 8.0 sehingga diperoleh solusi optimu m x₁ 1,x₂ 1 dan Z = 3.

Ga mbar 13. Daerah fisibel solusi best optimum pada Contoh 7.

Sedangkan untuk solusi worst optimum, LPIC tersebut diubah menjadi PL sebagai berikut:

Min z 3x₁ 4x₂

terhadap: 0 , 4 : 7 3 : 1 : 5 2 : 9 4 2 : 2 1 2 5 2 1 4 2 1 3 2 1 2 2 1 1 x x x C x x C x x C x x C x x C b b b b

Ke mudian diselesaikan menggunakan softwere LINGO 8.0 sehingga diperoleh solusi optimu m x₁ 1.8,x₂ 1.6 dan Z = 11.8.

Ga mbar 14. Daerah fisibel solusi worst optimum pada Contoh 7.

[image:20.596.118.513.82.730.2] [image:20.596.320.514.87.376.2]

(21)

Ga mbar 15. Daerah fisibel LPIC pada Contoh 7.

Sebagaimana PL b iasa, PL pada Algorit ma 1 me miliki 3 hasil yang mungkin, yaitu: (i) t itik optimu m finite bounded; (ii) unboundedness; atau (iii) infeasibility, akibatnya LPIC me miliki beberapa ke mungkinan berikut :

Jika solusi best optimum infeasible, maka seluruh LPIC infeasible.

Contoh 8:

Min Z x₁ 1,3x₂ terhadap: 0 , ] 7 , 5 [ ] 2 , 1 [ : ] 1 , 2 [ : 2 1 2 1 2 2 1 1 x x x x C x x C

Solusi best optimum pada masalah LPIC d i atas adalah sebagai berikut:

Min Z x₁ x₂ terhadap: 0 , 5 2 : 2 : 2 1 2 1 2 2 1 1 x x x x C x x C a a

Dengan menggunakan softwere LINGO 8.0, solusi PL tersebut adalah infeasible, ma ka seluruh PL dari masalah LPIC di atas juga akan menghasilkan solusi infeasible.

Jika solusi worst optimu m unbounded, ma ka seluruh LPIC unbounded.

Contoh 9:

Min Z [1,2]x₁ x₂ terhadap: 0 , ] 8 , 5 [ ] 3 , 1 [ : 1 ] 4 , 2 [ : 2 1 2 1 2 2 1 1 x x x x C x x C

Solusi worst optimum pada masalah LPIC d i atas adalah sebagai berikut:

Min Z 2x₁ x₂ terhadap: 0 , 8 : 1 2 : 2 1 2 1 2 2 1 1 x x x x C x x C b b

Dengan menggunakan softwere LINGO 8.0, solusi PL tersebut adalah unbounded, maka seluruh PL dari masalah LPIC di atas juga akan menghasilkan solusi unbounded.

Jika solusi best optimum feasible dengan nila i

z

dan worst optimum infeasible, ma ka LPIC yang optimu m me miliki range antara

z

dan infeasibility.

Contoh 10:

Min Z x₁ 1,3x₂ terhadap: 0 , ] 7 , 2 [ ] 2 , 1 [ : ] 1 , 3 [ ] 2 , 1 [ : 2 1 2 1 2 2 1 1 x x x x C x x C

Pada kendala C₁, koefisien interval padax₂bertanda negatif. Oleh ka rena itu, kendala in i diubah terlebih dahulu men jadi: ] 1 , 3 [ ] 1 , 2 [

: 1 2

1 x x

C

Min Z x₁ x₂ terhadap: 0 , 2 2 : 3 : 2 1 2 1 2 2 1 1 x x x x C x x C a a

Dengan menggunakan softwere LINGO 8.0, solusi dari PL tersebut adalah

0 , 1 2 1 x

x dan z 1.

Sedangkan solusi worst optimum pada masalah LPIC di atas adalah sebagai berikut:

[image:21.596.114.301.86.280.2]

(22)

Dengan menggunakan softwere LINGO 8.0, solusi dari PL tersebut adalah infeasible.

Jadi masalah LPIC tersebut me miliki nila i optimu m yang berada antara z 1 dan infeasibility. Daerah fisibel pada solusi best optimum digambarkan sebagai berikut:

Ga mbar 16. Daerah fisibe l pada Contoh 10.

Jika solusi worst optimum feasible dengan nilai z dan best optimum unbounded, maka LPIC yang optimu m me miliki range antara dan z.

Contoh 11:

Min Z [1,3]x₁ x₂ terhadap:

0 ,

] 7 , 5 [ ] 1 , 1 [ 3 :

1 4 ] 1 , 2 [ :

2 1

2

2 1 1

x x

C

x x C

Min Z x₁ x₂ terhadap:

0 ,

5 3

:

1 4 :

2 1

2 1 2

2 1 1

x x

x x C

a a

Dengan menggunakan softwere LINGO 8.0, solusi dari PL tersebut adalah unbounded. Sedangkan solusi worst optimum pada masalah LPIC d i atas adalah sebagai berikut:

Min Z 3x₁ x₂ terhadap:

0 ,

7 3

:

1 4 2 :

2 1

2 1 2

2 1 1

x x

x x C

b b

Dengan menggunakan softwere LINGO 8.0, solusi dari PL tersebut adalah

1 . 1 , 7 .

2 ₂

1 x

x dan z 7.

Jadi masalah LPIC tersebut me miliki nila i optimu m yang berada antara

dan z 7. Daerah fisibel pada solusi worst optimum digambarkan sebagai berikut:

Ga mbar 17. Daerah fisibe l pada Contoh 11.

3.2 LPIC deng an kendal a persamaan inter val

Bentuk u mu m model ini ada lah sebagai berikut:

Min

n

j

j j j c x

c Z

1

,

Dengan kendala

n

j

i i j ij

ij

a

x

b

a

1

,

(1) untuk i 1,...,m

,

j

si 0

x

j

x dan xj 0 untuk

si

x

j

x . c_j,cj ,a_ij,aij ,b_i,bi I( ) dimana I( ) adalah himpunan seluruh bilangan interval pada .

[image:22.596.343.506.179.369.2] [image:22.596.326.511.440.614.2]

(23)

Teore ma 3

Pada kendala persa maan berbentuk interval

n

j

j j

j a x bb

a

1

,

, (2)

ma ka sepasang kendala pertidaksamaan berikut:

n

j j jx b

a

1

' , xj

x

si

0 , 0 , ' j j j j

j _a _x

x a

a (3)

.

n

j j jx b

a

1

" , xj

x

si

0 , 0 , " j j j j j x a x a

a (4)

mendefinisikan daerah konveks dimana tiap titiknya me menuhi sembarang versi khusus kendala persamaan interval.

Bukt i:

Misalkan x adalah suatu titik yang me menuhi sembarang versi khusus persamaan interval

n

j j jx b

a

1

.

Untuk x_j 0 dimana xj

x

si, maka

n j n j n j j j j j j

jx a x b a x

a

1 1 1

)

( dan

b b

b .

Oleh karena itu,

n j n j j j j

jx a x b b

a

1 1

)

( , maka x juga

me menuhi

n

j j jx b

a

1

. Sela in itu,

n j n j j j j

jx b a x

a b

1 1

)

( , maka x juga

me menuhi n j j jx a b 1 atau n j j jx b

a

1

.

Jadi x me menuhi pertidaksa maan

n

j j jx b

a 1 dan n j j jx b

a

1

.

Misalkan { | , 0}

1

1 j

n

j j jx b x

a

S x dan

S

2 1,x

x dimana x1 (x1',x2',...,x'n),

) ,..., ,

(x₁" x"₂ x"_n

2

x , ma ka:

n

j j jx b

a

1

' _{, dimana} ' ₀ j

x

(a)

n

j j jx b

a

1

" _{, dimana} " ₀ j

x

(b) Jika persamaan (a) dikalikan dengan dan persamaan (b) dikalikan dengan 1 ,

1

0 dan kemudian keduanya

diju mlahkan, maka didapat:

) ) 1 ( ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 1 " ' 1 1 " ' 1 " 1 ' b x x a b b x a x a b x a b x a n j j j j n j n j j j j j n j j j n j j j 1 " ' " 1 '

1 (1 ) ,...., (1 ) )

( x x x_n x_n S

1 " " 1 ' '

1,...., ) (1 )( ,...., )

(x x_n x x_n S

1

) 1

( 2 S

1 x

x

Jadi { | , 0}

1

1 j

n

j j jx b x

a

S x adalah

daerah konveks.

Misalkan { | , 0}

1

2 j

n

j j jx b x

a

S x dan

S

2 1,x

x dimana x1 (x₁',x₂',...,x'_n),

) ,..., ,

(x₁" x"₂ x"_n

2

x , ma ka:

n

j j jx b

a

1

' _{, dimana} ' ₀ j

x

(d)

n

j j jx b

a

1

" _{, dimana} " ₀ j

x

(e) Jika persamaan (d) dikalikan dengan dan persamaan (e) d ika likan dengan 1 ,

1

0 dan kemudian keduanya

(24)

) ) 1 ( ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 1 " ' 1 1 " ' 1 " 1 ' b x x a b b x a x a b x a b x a n j j j j n j n j j j j j n j j j n j j j 1 " ' " 1 '

1 (1 ) ,...., (1 ) )

( x x x_n x_n S

1 " " 1 ' '

1,...., ) (1 )( ,...., )

(x x_n x x_n S

1

) 1

( 2 S

1 x

x

Jadi { | , 0}

1

2 j

n

j j jx bx

a

S x adalah

daerah konveks.

Jadi pertida ksamaan (3) dan (4) me rupakan daerah konveks dimana tiap titiknya me menuhi sembarang versi khusus kendala persamaan interval.

Pe mbuktian in i analog untuk x_j 0 dimana

si

x

j

x .

Berdasarkan Teore ma 3, jika model LPIC me miliki kendala persa maan interval maka kendala persamaan tersebut diubah menjadi bentuk pertidaksamaan (3) dan (4). So lusi pada model PL ini menghasilkan nila i fungsi objektif terbaik.

Algoritma 2 : mene ntuk an setting koefisien best optimum untuk kendala persamaan inter val.

Diberikan k kendala persamaan interval dari

bentuk

n

j

j j

j a x bb

a

1

,

, dan titik best

optimum x* yang telah diperoleh mela lui Tore ma 3. Dicari a_ij dan b_i yang

mengoptimu mkan mode l.

Selesaikan Phase I dari PL untuk himpunan kendala berikut: Maks k i n j k i i ij b a

1 1 1

terhadap :

n

j

i ij ja b

x

1

0 , untuk

k i 1,....,

i i i ij ij ij b b b a a a ,

untuk i 1,....,k,j 1,...,n.

Pe mecahan Algoritma 2 menghasilkan versi khusus kendala persamaan interval yang me miliki solusi best optimum.

Teore ma 4

Pada saat kendala persamaan interval dari bentuk (2) dimasukkan pada model, maka solusi worst optimum akan terjadi pada salah satu kendala berikut :

n

j

i j ij

x

b

a

1

'

, dimana

0 , 0 , ' j ij j ij

ij _a _x

x a

a (5)

atau

n

j

i j ij

x

b

a

1

"

, dimana

0 , 0 , " j ij j ij ij x a x a

a (6)

Bukt i:

Andaikan titik worst optimum x me menuhi sembarang versi khusus kendala persamaan

interval

n

j j jx b

a

1

dan me miliki nila i

fungsi objektif z. Berdasarkan Teore ma 3, titik ini a kan berada pada daerah konveks dari solusi yang mungkin, didefinisikan oleh (3) dan (4). Pe rsamaan (5) dan (6) me rupakan versi persamaan ekstrim dari (3) dan (4). Misalkan z' adalah nilai fungsi objektif yang ditentukan saat PL yang sama dipecahkan

dengan cara mengganti

n

j j jx b

a

1

dengan

(5), dan z" adalah fungsi objektif yang ditentukan saat PL yang sama dipecahkan

dengan cara mengganti

n

j j jx b

a

1

dengan

(6). Berdasarkan asumsi bahwa tit ik worst optimum x me miliki nilai fungsi objektif z, ma ka z z' dan z z". Na mun, dikarenakan konveksitas dari daerah (3) dan (4), d imana (5) dan (6) merupakan versi persa maan ekstrim dari (3) dan (4), maka

]

[

', " maks z z

z . Ha l ini menimbu lkan

(25)

worst optimum terjadi ketika sembarang versi

khusus kendala persamaan

n

j j jx b

a

1

dimasukkan pada PL t idak terbukt i. Oleh karena itu, tit ik worst optimum dite mu kan hanya pada saat kendala yang bersesuaian dengan (5) atau (6) d imasukkan pada PL.

Teorema 4 menje laskan bahwa solusi worst optimum akan terjad i pada persamaan (5) atau (6). Sayangnya, diantara kedua persamaan tersebut tidak diketahui mana yang akan menghasilkan worst optimum pada nila i fungsi objektif. Jadi solusi algorit manya adalah me masukkan masing-masing persamaan (5) dan (6) kedala m model sehingga menghasilkan dua model PL yang berbeda, selanjutnya dipilih nila i yang terburuk pada fungsi objektif tersebut. Secara umu m, jika ada k kendala persamaan interval, ma ka ada 2k PL yang harus dipecahkan untuk mene mu kan solusi worst optimum.