PENDUGAAN PARAMETER MODEL DINAMIK DENGAN
METODE
ROBUST
MEDIAN ABSOLUTE DEVIATION
(MAD)
LENY YUSTIE WIDIASARI
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Pendugaan Parameter Model Dinamik dengan Metode Robust Median Absolute Deviation (MAD) adalah benar karya saya dengan arahan dari dosen pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut Pertanian Bogor.
ABSTRAK
LENY YUSTIE WIDIASARI. Pendugaan Parameter Model Dinamik dengan Metode Robust Median Absolute Deviation (MAD). Dibimbing oleh NGAKAN KOMANG KUTHA ARDANA dan ALI KUSNANTO.
Jika diketahui segugus data pada suatu model dinamik yang belum diketahui nilai-nilai parameternya, maka metode yang paling umum digunakan untuk menduga parameter adalah metode Least Square. Namun, metode ini sangat sensitif terhadap pencilan. Untuk mengatasi pencilan digunakan metode yang tahan terhadap pencilan, yaitu metode robust. Ada beberapa metode robust antara lain metode Least Absolute Deviation dan metode Median Absolute Deviation. Pendugaan parameter dengan metode Least Absolute Deviation dan Median Absolute Deviation relatif sama untuk banyaknya pencilan yang kecil. Sedangkan untuk banyaknya pencilan yang besar, metode Median Absolute Deviation paling tahan terhadap pencilan. Model yang parameternya diduga pada karya ilmiah ini yaitu model dinamik logistik dan model dinamik SEI (Susceptible, Exposed, dan Infectious) dengan data berupa data hipotetik. Keakuratan pendugaan parameter diukur dari nilai Mean Absolute Percentage Error (MAPE).
Kata kunci: Least Absolute Deviation, Least Square, Median Absolute Deviation, pencilan, robust
ABSTRACT
LENY YUSTIE WIDIASARI. Parameter Estimation of Dynamical Model using Robust Median Absolute Deviation (MAD) Method. Supervised by NGAKAN KOMANG KUTHA ARDANA and ALI KUSNANTO.
Given a data set in a dynamical model with unknown parameter values, the most commonly used method for parameter estimation is the least square method. However, this method is very sensitive to outliers. Because of this, a robust method to handle outliers is used. There are several robust methods such as Least Absolute Deviation method and Median Absolute Deviation method. When the number of outliers is relatively small, the result of parameter estimation using Least Absolute Deviation method and Median Absolute Deviation method are relatively similar. However, when the number of outliers is relatively large, the Median Absolute Deviation method is the most robust method to outliers. The dynamical models used in this manuscript are logistic and SEI (Susceptible, Exposed, and Infectious) models with hypothetical data. The accuracy of parameter estimation was measured by the value of Mean Absolute Percentage Error (MAPE).
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains
pada
Departemen Matematika
PENDUGAAN PARAMETER MODEL DINAMIK DENGAN
METODE
ROBUST
MEDIAN ABSOLUTE DEVIATION
(MAD)
LENY YUSTIE WIDIASARI
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Penyusunan karya ilmiah ini juga tidak terlepas dari dukungan dan bantuan berbagai pihak. Penulis mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada:
1 Keluarga: Mama, Bapak, dan kakak-kakak atas semua doa, dukungan, semangat, pengorbanan, perhatian, cinta dan kasih sayangnya.
2 Bapak Ir Ngakan Komang Kutha Ardana, MSc dan Bapak Drs Ali Kusnanto, MSi masing-masing sebagai dosen pembimbing I dan dosen pembimbing II atas semua ilmu yang diberikan, kesabarannya dalam membimbing penulis, dan bantuannya selama penulisan karya ilmiah ini.
3 Ibu Dr Ir Endar H Nugrahani, MS selaku dosen penguji. Terima kasih atas saran dan bantuannya selama penulisan karya ilmiah.
4 Dosen, staf penunjang Departemen Matematika, dan Bu Susi atas semua ilmu, kebaikannya, dan bantuannya.
5 Teman-teman Matematika 47, kakak-kakak Matematika 46, adik-adik Matematika 48, dan teman kosan (Rike dan Anggun) atas semua bantuannya, saran, ilmunya, dukungan dan motivasinya selama ini.
6 Semua pihak-pihak yang tidak bisa disebutkan satu persatu yang turut membantu dalam penyelesaian karya ilmiah ini.
Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.
DAFTAR ISI
DAFTAR TABEL vi
DAFTAR GAMBAR vi
DAFTAR LAMPIRAN vii
PENDAHULUAN 1
HASIL DAN PEMBAHASAN 6
Pendugaan Parameter Model Logistik 6
Pendugaan Parameter Model SEI 8
SIMPULAN 11
DAFTAR PUSTAKA 12
LAMPIRAN 13
DAFTAR TABEL
1 Nilai parameter awal dan nilai awal untuk setiap model dinamik 6 2 Parameter dugaan untuk setiap metode pada model logistik 7 3 Parameter dugaan untuk setiap metode pada model SEI 10 4 Nilai MAPE untuk setiap metode pada model logistik dan SEI 11 5 Nilai MAPE untuk setiap metode pada state variabel model SEI 47
DAFTAR GAMBAR
1 Bentuk umum boxplot 4
2 Tebaran data hipotetik model logistik tanpa pencilan 6 3 Plot pendugaan parameter model logistik dengan metode LS, LAD, dan
MAD untuk data hipotetik tanpa pencilan 7
4 Plot pendugaan parameter model logistik dengan metode LS, LAD, dan
MAD untuk data hipotetik dengan pencilan 7
5 Tebaran data hipotetik model SEI tanpa pencilan 8 6 Plot pendugaan parameter model SEI dengan metode LS, LAD, dan
MAD untuk data hipotetik tanpa pencilan 9
7 Plot pendugaan parameter model SEI dengan metode LS, LAD, dan
MAD untuk data hipotetik dengan pencilan 9
8 Boxplot APE ketiga metode pada data hipotetik model logistik dengan
pencilan 10% 10
9 Boxplot APE ketiga metode pada data hipotetik model logistik dengan
pencilan 40% 10
10 Plot pendugaan parameter model logistik dengan metode LS, LAD, dan MAD untuk data hipotetik dengan pencilan 40% 44 11 Plot pendugaan parameter model SEI dengan metode LS, LAD, dan
MAD untuk data hipotetik dengan pencilan 40% 45 12 Boxplot APE metode LS pada data hipotetik model SEI denganpencilan
10% 46
13 Boxplot APE metode LS pada data hipotetik model SEI dengan pencilan
40% 46
14 Boxplot APE metode LAD pada data hipotetik model SEI dengan
pencilan 10% 46
15 Boxplot APE metode LAD pada data hipotetik model SEI dengan
pencilan 40% 46
16 Boxplot APE metode MAD pada data hipotetik model SEI dengan
pencilan 10% 46
17 Boxplot APE metode MAD pada data hipotetik model SEI dengan
DAFTAR LAMPIRAN
1 Pembangkitan data hipotetik dan pendugaan parameter pada model
logistik 12
2 Pembangkitan data hipotetik dan pendugaan parameter pada model
SEI 22
3 Pengaruh jumlah pencilan pada plot pendugaan parameter model
logistik dengan metode LS, LAD, dan MAD 43
4 Pengaruh jumlah pencilan pada plot pendugaan parameter model SEI
dengan metode LS, LAD, dan MAD 44
1
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Kajian tentang model dinamik biasanya hanya terfokus pada masalah titik tetap, kestabilan, dan analisisnya dengan nilai-nilai parameter yang sudah diberikan atau dipilih sembarang. Kenyataannya, beberapa model dinamik belum diketahui nilai-nilai parameternya. Kesulitan mendapatkan nilai parameter dikarenakan kekurangan data real dari lapangan.
Jika diberikan suatu gugus data pada model dinamik yang belum diketahui nilai parameternya, maka masalah yang sering kali dihadapi yaitu menentukan metode untuk pendugaan parameter model tersebut. Ingin diduga nilai-nilai parameter yang bersifat robust (tahan) terhadap adanya pencilan data.
Pendugaan parameter model dinamik dapat dilakukan secara tidak langsung ataupun langsung. Pendugaan parameter model dinamik secara tidak langsung dimulai dengan mencari solusi analitik dari model dinamik kemudian dilanjutkan dengan melakukan regresi. Namun, tidak semua model dinamik dapat ditentukan solusi analitiknya. Untuk mengatasi hal ini, diperkenalkan pendugaan secara langsung. Pendugaan parameter model dinamik secara langsung dimulai dengan mencari solusi dari model dinamik. Solusi ini dapat berupa solusi analitik maupun solusi numerik. Setelah didapat solusinya, maka parameternya dapat diduga langsung menggunakan beberapa metode yang telah ada.
Metode yang paling umum digunakan untuk menduga nilai parameter dari suatu model dengan menggunakan segugus data pengamatan yaitu dengan cara meminimumkan jumlah kuadrat galatnya. Metode ini disebut metode Least Square (LS). Namun, metode LS ternyata tidak tahan dan sangat sensitif terhadap pencilan (Yafee 2002). Untuk mengatasi pencilan digunakan metode yang robust terhadap adanya pencilan data. Metode robust yang akan digunakan yaitu metode Least Absolute Deviation (LAD) dan Median Absolute Deviation (MAD). Metode LAD merupakan metode yang dikenal luas sebagai alternatif dari metode LS. Sebagai gantinya mengurangi jumlah galat kuadrat, metode LAD meminimumkan jumlah nilai absolut dari galat. Pendugaan parameter model dinamik dengan metode LAD telah diaplikasikan pada beberapa model dinamik (Tanika 2006). Berbeda dengan metode LAD, metode MAD meminimumkan median nilai mutlak selisih antara galat dengan median galat. Pada karya ilmiah ini, metode robust yang digunakan akan dibandingkan dengan metode LS.
2
Tujuan Penelitian
Tujuan dari karya ilmiah ini yaitu:
1 Mengkaji pendugaan parameter model dinamik dengan metode Least Square (LS) dan metode robust yaitu Least Absolute Deviation (LAD) dan Median Absolute Deviation (MAD).
2 Membandingkan metode Least Square (LS), Least Absolute Deviation (LAD), dan Median Absolute Deviation (MAD) dalam pendugaan parameter model dinamik.
LANDASAN TEORI
Model Dinamik
Misalkan terdapat suatu model dinamik dengan nstate variabel , , … , � yang dinyatakan dengan n buah persamaan diferensial biasa yang bergantung pada waktu t dinyatakan sebagai berikut:
̇ = , … , �
⋮
̇� = � , … , �
atau
̇ =�� ��� = , � .
Apabila bergantung pada vektor parameter p maka persamaan diferensialnya dapat dinyatakan sebagai berikut:
̇ =�� ��� = , �, � . (2)
(Strogatz 2000) Peminimuman Fungsi
Salah satu metode peminimuman fungsi yang lazim digunakan yaitu metode Newton. Misalkan diberikan fungsi n variabel f(x) dan diberikan titik awal , selanjutnya dicari hampiran titik yang meminimumkan fungsi f dengan menggunakan formula iterasi metode Newton sebagai berikut:
3 Pencilan (Outlier)
Pencilan merupakan suatu keganjilan dan menandakan suatu titik data yang sama sekali tidak tipikal dibandingkan dengan data lainnya. Oleh karena itu, suatu pencilan patut diperiksa secara cermat untuk mengetahui alasan atau penyebab terdapatnya pencilan.
(Draper dan Smith 1992) Misalkan terdapat n buah pengamatan data , , … , �. Q1 merupakan kuartil pertama dan Q3 merupakan kuartil ketiga. Pencilan antara lain dapat dideteksi dengan aturan metode Tukey yaitu pengamatan yang lebih besar dari Q3 + 1.5 (Q3–Q1) atau lebih kecil dari Q1 − 1.5 (Q3 –Q1).
(Seo 2002) Metode Least Square (LS)
Misalkan dari persamaan (2) diperoleh solusi ̂ �, � dan dari data pengamatan diperoleh suatu model � = ( �, � ) + � untuk i = 1, 2, ... , n. Maka p dapat diduga dengan cara berikut:
min ∑ �− ̂�
(Draper dan Smith 1992) Metode Robust
Metode penduga parameter lainnya yang bersifat robust terhadap pencilan yaitu metode Weighted Least Square (WLS), metode Least Absolute Deviation (LAD), metode Least Trimmed Square (LTS), metode Least Median of Square (LMS) (Yafee 2002). Keempat metode tersebut sudah diterapkan pada karya ilmiah sebelumnya. Metode robust lainnya yaitu metode Median Absolute Deviation (MAD).
(Ripley 1992) Metode Least Absolute Deviation (LAD)
Kriteria peminimuman pada metode LAD tidak menggunakan bentuk kuadrat, melainkan bentuk mutlak sehingga menjadi sebagai berikut:
min ∑ |��= �− ̂�|. (3)
(Yafee 2002) Persamaan (3) dapat ditulis ke dalam bentuk
4
Metode Median Absolute Deviation (MAD)
Parameter p juga dapat diduga dengan cara meminimumkan median nilai mutlak selisih antara galat dengan median galat atau dapat ditulis sebagai berikut:
min median| �− ̂� − median �− ̂� |.
(Ripley 1992) Mean Absolute Percentage Error (MAPE)
Mean Absolute Percentage Error (MAPE) didefinisikan sebagai berikut:
MAPE = �∑| � − ̂� �|
Keakuratan suatu penduga parameter dapat dilihat dari nilai MAPE. Semakin kecil nilai yang diperoleh maka pendugaan parameter akan memiliki nilai yang semakin akurat. Untuk melihat sebaran APE (Absolute Percentage Error), akan ditampilkan dalam diagram kotak (boxplot).
Gambar 1 Bentuk umum boxplot
(Weisstein 1999)
METODE PENELITIAN
Model Analisis
Model yang digunakan pada tulisan ini yaitu model logistik dan model SEI. 1 Model Logistik
Whisker
Whisker
Q3 (kuartil ketiga)
M (median)
Q1 (kuartil kesatu)
5 Suatu populasi seringkali meningkat secara eksponensial pada awalnya tetapi melambat pada akhirnya dan mendekati kapasitas tampungnya karena sumberdaya yang terbatas dapat direpresentasikan dengan model logistik. Model logistik yang kontinu terhadap waktu dijelaskan dalam persamaan diferensial sebagai berikut:
�� �� =
�� �−�
� ,
dengan P merupakan populasi, r dan K merupakan parameter yang akan diduga. (Strogatz 2000) 2 Model SEI
Model SEI yaitu model yang mengamati perubahan jumlah populasi terhadap waktu. Banyaknya individu di suatu populasi pada waktu t dinyatakan dengan N dan dibagi menjadi tiga kelompok, yaitu kelompok rentan (susceptible), tak terlindungi (exposed), dan kelompok terinfeksi (infectious). Kelompok rentan yaitu kelompok yang mempunyai potensi untuk tertular oleh suatu penyakit. Kelompok tak terlindungi yaitu kelompok yang telah terinfeksi tetapi belum dapat digolongkan sebagai kelompok terinfeksi. Kelompok terinfeksi yaitu kelompok yang telah positif mengidap suatu penyakit.
Model SEI yang digunakan dalam karya ilmiah ini yaitu model SEI dengan insidensi simple mass action dan reproduksi seragam. Model tersebut merupakan penurunan dari model umum SEI yang dirumuskan dalam sistem persamaan
dengan S proporsi kelompok rentan, E proporsi kelompok tak terlindungi, I proporsi kelompok terinfeksi, dan parameter yang akan diduga yaitu α, β, b, dan k.
(Gao et al. 1995) Data Pengamatan
Data yang digunakan merupakan data bangkitan atau hipotetik dengan bantuan software Mathematica 9. Data hipotetik diperoleh berdasarkan solusi numerik model dinamik dengan memberikan nilai parameter awal dan nilai awal seperti pada Tabel 1.
6
Tabel 1 Nilai parameter awal dan nilai awal untuk setiap model dinamik Model Dinamik Nilai Parameter Awal Nilai Awal
Model logistik � = 0.200 � =3.000 secara acak. Langkah-langkah membangun data hipotetik dapat dilihat secara rinci di Lampiran 1 dan Lampiran 2.
Metode Analisis
Dalam menduga parameter digunakan metode Least Square (LS), metode robust Least Absolute Deviation (LAD), dan metode robust Median Absolut Deviation (MAD). Penduga parameter model yang diperoleh digunakan untuk menghitung akurasi model dengan Mean Absolute Percentage Error (MAPE) yang ditampilkan pada boxplot.
HASIL DAN PEMBAHASAN
Pendugaan Parameter Model Logistik
Misalkan terdapat model logistik �′ = �� −�
� . Data hipotetik yang digunakan terdiri dari dua jenis, yaitu data hipotetik tanpa pencilan dan data hipotetik dengan pencilan. Tebaran data hipotetik tanpa pencilan dapat dilihat pada Gambar 2.
Gambar 2 Tebaran data hipotetik model logistik tanpa pencilan Parameter r dan K diduga dengan menggunakan tiga metode yaitu metode LS, LAD, dan MAD. Dengan menggunakan ketiga metode, untuk data hipotetik tanpa pencilan diperoleh plot seperti pada Gambar 3. Plot hasil pendugaan dengan ketiga metode terlihat hampir saling berhimpit.
7
Gambar 3 Plot pendugaan parameter model logistik dengan metode LS, LAD, dan MAD untuk data hipotetik tanpa pencilan
Sedangkan untuk data hipotetik dengan pencilan diperoleh plot seperti pada Gambar 4. Pada gambar tersebut, terlihat bahwa plot hasil pendugaan dengan metode LS cenderung tertarik ke arah pencilan. Plot hasil pendugaan dengan metode LAD dan MAD sama sekali tidak terpengaruh oleh pencilan dan keduanya hampir saling berhimpit.
Gambar 4 Plot pendugaan parameter model logistik dengan metode LS, LAD, dan MAD untuk data hipotetik dengan pencilan
Pengaruh jumlah pencilan pada plot hasil pendugaan dengan ketiga metode model logistik dapat dilihat pada Lampiran 3.
Nilai hasil dugaan yang diperoleh dari masing-masing metode adalah seperti pada Tabel 2.
Tabel 2 Parameter dugaan untuk setiap metode pada model logistik Data Hipotetik Parameter Nilai
8
Pendugaan Parameter Model SEI
Model SEI yang digunakan adalah seperti pada persamaan (2). Data hipotetik yang digunakan terdiri dari dua jenis, yaitu data hipotetik tanpa pencilan dan data hipotetik dengan pencilan. Tebaran data hipotetik tanpa pencilan dapat dilihat pada Gambar 5.
Gambar 5 Tebaran data hipotetik model SEI tanpa pencilan
Pendugaan parameter α, β, b, dan k pada model SEI juga menggunakan metode LS, LAD, dan MAD. Pendugaan dengan ketiga metode untuk data hipotetik tanpa pencilan diperoleh plot pendugaan seperti pada Gambar 6. Sedangkan untuk data hipotetik dengan pencilan diperoleh plot pendugaan seperti pada Gambar 7. Pada Gambar 7 terlihat bahwa plot pendugaan dengan metode LS cenderung tertarik ke arah pencilan. Sedangkan untuk metode LAD dan MAD, keduanya sama sekali tidak terpengaruh oleh pencilan dan keduanya hampir saling berhimpit.
9
Gambar 6 Plot pendugaan parameter model SEI dengan metode LS, LAD, dan MAD untuk data hipotetik tanpa pencilan
Gambar 7 Plot pendugaan parameter model SEI dengan metode LS, LAD, dan MAD untuk data hipotetik dengan pencilan
Pengaruh jumlah pencilan pada plot hasil pendugaan dengan ketiga metode model SEI dapat dilihat pada Lampiran 4.
10
Tabel 3 Parameter dugaan untuk setiap metode pada model SEI Data Cara lain untuk membandingkan ketiga metode dalam karya ilmiah ini yaitu dengan menggunakan diagram kotak (boxplot). Selisih Q3 dan Q1 menggambarkan tingkat keragaman suatu data, semakin besar nilainya maka data semakin beragam. Data yang digunakan dalam boxplot ini adalah absolute percentage error. Gambar 8 dan Gambar 9 memperlihatkan perbandingan boxplot dari ketiga metode pada model logistik.
Gambar 8 Boxplot APE ketiga metode pada data hipotetik model logistik dengan pencilan 10%
Gambar 9 Boxplot APE ketiga metode pada data hipotetik model logistik dengan pencilan 40%
Boxplot dari ketiga metode pada model SEI dapat dilihat pada Lampiran 5. Untuk lebih memperjelas seberapa besar nilai MAPE yang diperoleh, dapat dilihat pada Tabel 4.
11 Tabel 4 Nilai MAPE untuk setiap metode pada model logistik dan SEI
Model Data Hipotetik Metode MAPE
Logistik Tanpa Pencilan LS 0.036143
Dengan Pencilan 10% LS 2.545946
LAD 0.938613
MAD 0.988469
Dengan Pencilan 40% LS 6.052416
LAD 1.316777
MAD 0.974245
Nilai MAPE pada model SEI secara lengkap dapat dilihat pada Lampiran 6. Dari tabel di atas dapat dilihat bahwa nilai MAPE dari metode LS cukup besar dibandingkan dengan metode LAD dan MAD untuk data dengan pencilan pada model logistik dan model SEI. Nilai MAPE dari metode LAD dan MAD relatif sama untuk model logistik dan SEI dengan data pencilan 10%. Namun, untuk model logistik dan model SEI dengan data pencilan 40% nilai MAPE dari metode LAD dan MAD relatif tidak sama. Nilai MAPE dari metode LAD lebih besar dibandingkan dengan metode MAD.
SIMPULAN
12
DAFTAR PUSTAKA
Bertsekas DP. 2003. Nonlinear Programming. United States (US): Athena Scientific. Ed ke-2.
Draper N, Smith H. 1992. Analisis Regresi Terapan. Sumantri B, penerjemah. Jakarta (ID): Gramedia Pustaka Utama. Terjemahan dari: Applied Regression Analysis. Ed ke-2.
Gao LQ, Lorca JM, Hethcote HW. 1995. Four SEI endemic models with periodicity and separatrices. Mathematical Biosciences. 128(1):157-184.doi:10.1016/0025-5564(94)00071-7
Moreno JJM, Pol AP, Abad AS, Blasco BC. 2013. Using R-MAPE index as a resistant measure of forecast accuracy. Psicothema. 25(4):500-506.doi: 10.7334/psicothema2013.23.
Ripley BD. 1992. Robust statistics. Applied StatisticsMT2004. [diunduh 2013 Des 5]. Tersedia pada: http://www.stats.ox.ac.uk/pub/StatMeth/Robust.pdf. Seo S. 2002. A review and comparison of methods for detecting outliers in
univariate data sets [tesis]. United States: University of Pittsburgh.
Strogatz SH. 2000. Nonlinear Dynamics and Chaos. United States (US): Perseus Books Publishing, LLC.
Tanika L. 2006. Pendugaan parameter model dinamik dengan metode robust kuadrat terkecil tertimbang dan simpangan mutlak [skripsi]. Bogor: Institut Pertanian Bogor.
Weisstein EW. 1999. Box-and-whisker plot. MathWorld [diunduh 2014 Feb 10]. Tersedia pada: http://mathworld.wolfram.com/Box-and-WhiskerPlot.html. Yafee RA. 2002. Robust regression analysis: some popular statistical package
13 Lampiran 1 Pembangkitan data hipotetik dan pendugaan parameter pada model
23 Lampiran 2 Pembangkitan data hipotetik dan pendugaan parameter pada model
44
Lampiran 3 Pengaruh jumlah pencilan pada plot pendugaan parameter model logistik dengan metode LS, LAD, dan MAD
Gambar L1 Plot pendugaan parameter model logistik dengan metode LS, LAD, dan MAD untuk data hipotetik dengan pencilan 40%
_____ LS
45 Lampiran 4 Pengaruh jumlah pencilan pada plot pendugaan parameter model SEI
dengan metode LS, LAD, dan MAD
Gambar L2 Plot pendugaan parameter model SEI dengan metode LS, LAD, dan MAD untuk data hipotetik dengan pencilan 40%
46
Lampiran 5 Boxplot untuk setiap metode pada model SEI
Gambar L3 Boxplot APE metode LS pada data hipotetik model SEI dengan pencilan 10%
Gambar L4 Boxplot APE metode LS pada data hipotetik model SEI dengan pencilan 40%
Gambar L5 Boxplot APE metode LAD pada data hipotetik model SEI dengan pencilan 10%
Gambar L6 Boxplot APE metode LAD pada data hipotetik model SEI dengan pencilan 40%
Gambar L7 Boxplot APE metode MAD pada data hipotetik model SEI dengan pencilan 10%
47 Lampiran 6 Nilai MAPE untuk setiap metode pada state variabel model SEI
Data Hipotetik Metode State Variabel MAPE
48
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Purwokerto pada tanggal 24 April 1992 sebagai anak keenam dari pasangan Sarimin Hadi dan Surati. Tahun 2010 penulis lulus dari SMA Negeri 2 Purwokerto dan pada tahun yang sama penulis lulus seleksi masuk Institut Pertanian Bogor (IPB) melalui jalur Undangan Seleksi Masuk IPB dan diterima di Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.
