Lks matematika kelas x

(1)

@zmi_math00

Bentuk

pangkat, akar

dan logaritma

(2)

BENTUK PANGKAT, AKAR, DAN LOGARITMA

NAMA : KELAS :

1. BENTUK PANGKAT

1.1 PANGKAT BULAT POSITIF

Contoh 1 : Tentukan nilai dari

2

5 dan





1

3

4

Jawab :

2

5 =





1

3

4

=.

Contoh 2 : Dengan menguraikan menjadi perkalian, tentukan bentuk eksponen yang paling sederhana dari

a)

2

3

×

2

4

¿

(

…

)

.

(

…

)

.

(

…

)

×

(

…

)

.

(

…

)

.

(

…

)

.

(

…

)

¿

(

…

)

.

(

…

)

.

(

…

)

.

(

…

)(

…

)

.

(

…

)

.

(

…

)

¿

(

…

)

❑

b)

3

7

2

¿

(

…

)

.

(

…

)

.

(

…

)

.

(

…

)

.

(

…

)

.

(

…

)

.

(

…

)

(

…

)

.

(

…

)

¿

(

…

)

.

(

…

)

.

(

…

)

.

(

…

)

.

(

…

)

¿

(

…

)

❑

c)

 

2

3 4

¿

(

…

)

❑

.

(

…

)

❑

.

(

…

)

❑

.

(

…

)

❑

¿

(

…

)

❑

d)

 

pq

5

¿

(

…

)

.

(

…

)

.

(

…

)

.

(

…

)

.

(

…

)

¿

(

…

)

❑

.

(

…

)

❑

e)

2

3

4



¿

(

❑

)

.

(

❑

)

.

(

❑

)

.

(

❑

)

.

¿

(

…

)

❑

(

…

)

❑

Dari contoh 2 di atas dapat disimpulkan :

Jika

a b R

,



,

m A



dan

n



A

maka berlaku sifat-sifat eksponen sbb:

1.

a a

m

.

n



....

3.

 

a

m n



....

4.

(

ab

)

n

=

....

2.

a

m

n



...

5.

a

b

n



 

....

Contoh 3 : Dengan menggunakan sifat-sifat eksponen di atas, sederhanakan bentuk berikut :

a)

x x

2

.

7 = ...

b)

n

7

2

= ...

c)

 

x

2 5

= ....

d)

 

x y

2 3

= ...

e)

2

p

2 4

q



= ....

f)



2



3 4 2

xy

.

x y

(3)

LATIHAN SOAL 1. Sederhanakan

a)

p

6

p

4

¿

f)

x x

10

:

3

¿

k)





3



3 3

k

¿

b)

4

a

×

2

a

3

¿

g)

8 2

k

5

:

k

2

¿

l)

2 5

 

2 3

p

¿

c)

2

p

2

×

p

×

6

p

5

¿

h)

4

d x d d

3

2

:

4

¿

m)



3



2 3

p q

¿

d)

1

2

5



¿

i)

12



2

3



10 2 3

a

:

a

.

a

¿

n)



4



8

2 5 3

2 2

p qr

pq r

¿

e)

2

3

4



¿

j)



2



2 5

p

¿

o)





2

8

2 3 3

5 4

x y

¿

1.2. PANGKAT BULAT NEGATIF DAN NOL

Contoh 1 : Dengan menggunakan sifat-sifat eksponen, tentukan hubungannya dari :

a)

2

3

= ………..

b)

3

5

= ………

c)

2

3

5

= ………..

d)

3

2

6

= ………. Dari contoh 1 di atas dapat disimpulkan bahwa :

Untuk setiap

a



R a

,



0

dan

n R



berlaku sifat-sifat :

a

0



...

dan

a

n



...

Contoh 2: Sederhanakan dan jadikan pangkat positif dari :

a)

5

3 = ...

b)

1

2

3

= ...

c)









2

x y

2 2

= ...

d)

1

25

−2

= ... LATIHAN SOAL

1. Sederhanakan dan nyatakan dengan eksponen positif dari :

a)

a

5

¿

b)

a

−6

b

4

×

a

2

b

−2

¿

c)

4

m

7

n

−4

×

2

m

−6

n

−3

¿

d)

2

5

4

k



¿

(4)

f)

8

2

6

4

a



¿

g)

56

7

5

2

t



¿

h)

5

3

×

(

1

25

)

−1

:5

−2

=

¿

i)

10

4

:10

6

×

10 :10

−10

=

¿

j)

4

3

x



¿

k)

(

1

10.000

)

3 4

=

¿

l)

5

2 3

2

q

h

 



¿

m)

(

3

a

2

b

−3

)

3

×

(

2

a

4

)

−2

¿

n)

5

6

2 3

5 3 2

p q r

pq r





¿

o)

8

16

2 3

5 3

x y



¿

p)

125

23

.

8

2

3

.

(

125

×

4

)

0

=

¿

2. Jika a = 2, b = 3 dan c = -2. maka tentukan :

a)

a b

c

2 2





b)



2



4

3 2

bc

a



c)

a

2

b

5

b

3

c

×

4

c

a

−2

1.3 BENTUK AKAR dan EKSPONEN RASIONAL (PECAHAN) Masalah 1

Coba selesaikan bentuk eksponen di bawah ini: a)

2

3

=

¿

b)

2

−3

=

¿

c)

(

1

2

)

3

=

¿

d)

(−

2

)

3

=

¿

e)

2

13

=

¿

f)

kenapa

√

4

=

2

dan

√

9

=

3

*Silahkan diskusikan dengan teman sekelompok, untuk dapat menjawab soal diatas.

DEFINISI:

Bentuk akar termasuk bilangan irasional, yaitu bilangan yang tidak dapat dinyatakan dengan pecahan

a/b, a dan b bilangan bulat dan

b



0

Contoh bentuk akar :

2

,

3 5 2

,

3

,

3

4

,

5

7

dsb Contoh bukan bentuk akar :

4

,

9 8 16

,

3

,

4 dsb

*Catatan :

a

adalah bilangan non negatif, jadi

a



0

Perhatikan ilustrasi berikut:

(5)

2

4



....

maka 2 = ...

3

4



....

maka 3 = ...

Misal

a



x

m n/ , jika kedua ruas dipangkatkan n, maka :





a

n



x

m n n/

a

n



x

....

a



...

Jadi :

x

m n/



...

sehingga

x

1/n



...

Contoh 1: Ubah ke bentuk akar dari :

a)

2

1 2/ = b)

6

3 5/ = c)

2

x

3 2/ =

Contoh 2: Ubah ke bentuk pangkat dari :

a)

3

= ...

b)

1

2 3

x

= ...

Contoh 3: Tentukan nilai dari

16

3 4/

16

3 4/

=



...



/ 3 4

= ... = ... LATIHAN SOAL

1. Ubah menjadi bentuk akar

a)

3

1 2/

¿

b)

5

1 3/

¿

c)

4

3 4/

¿

d)

x

4 9/

¿

e)

1

3

2 3

x

 /

¿

2. Ubah ke bentuk pangkat

a)

2 5

b)

1

2

5

c) 3

5

2

d)

3

4 3

e)

2

7

2 5

x

3. Tentukan nilainya

a) 3

64

b)

8

2 3/

c)

32

3 5/

d)

81

3 8/

e)

27

64

2 3



(6)

4. Sederhanakan dalam bentuk akar

a)

2

3 4/

.

2

1 8/

b)

 

6

2

c)

2 2 18

.

d)

2

e)

12

2 3

.

3. Jika a = 1, b = 3 dan c = -18, maka tentukan x dari

x

b

ac

a



 



2

4

2

2.1 OPERASI BENTUK AKAR Operasi Pada Bentuk Akar

1.

ax a



a

2.

ab



a b

3.

a

√

c

±

b

√

c

=

(

a

±

b

)

√

c

4.

a

b

a

b



Contoh 1: Sederhanakan :

a)

20

= ...

b)

75

= ....

c)

x

3 = ....

d) 3

a

8 = ....

a)

3 2 4 2



= ... b)

4 3 7 3 5 3





= ... c)

8



18

= ....

Contoh 3 : Sederhanakan :

a)

√

6

×

√

3

= ... _b)



5



3



5



3



_{= ....}

c)



2 2

3



2



= ....

LATIHAN SOAL 1. Sederhanakan

a)

72

b)

4

×

3

√

160

c)

1200

d)

2 80

(7)

3. Sederhanakan

a)

(

√

2

+

3

) (

√

2

−

3

)

b)

(

√

5

−

√

3

) (

√

5

+

√

3

)

c)

(

3

√

5

+

2

√

3

) (

3

√

5

−

2

√

3

)

d)



x x



y



2

2.2 MERASIONALKAN PENYEBUT PECAHAN BENTUK AKAR

Jika kita menghitung bilangan, operasi perkalian lebih mudah daripada pembagian. Apalagi operasi pembagian dengan bentuk akar.

Ada 3 cara merasionalkan penyebut bentuk pecahan bentuk akar, yaitu :

1. Pecahan Bentuk

a

b

Diselesaikan dengan mengalikan

b

Contoh 1: Rasionalkan penyebut dari pecahan :

a)

2

3

_b)

2

3 3

Jawab :

a)

2

3

₌

2

3

_{x ...} = ...

b)

2

3 3

₌

2

3 3

_{x ...} = ...

2. Pecahan Bentuk

a

b



c

b

c

b

c



Contoh 2 : Rasionalkan penyebut pecahan

8

3



5

Jawab :

8

3

−

√

5

₌

8

3

−

√

5

_{x ...}

=

3. Pecahan Bentuk

a

√

b

−

√

c

b

c

b

c



Contoh 3 : Rasionalkan penyebut dari pecahan

12 3

6



2

Jawab :

12 3

6



2

₌

12 3

6



2

_{x ....} = ...

LATIHAN SOAL

1. Rasionalkan penyebutnya

a)

12

3

_b)

(8)

c)

9

2 3

d)

7 3

7

e)

4 3

5 2

f)

9

5



7

g)

20

4



6

h)

5

11 6



i)

2 5

7



13

j)

4 6

8 2 3



k)

14

10



13

l)



10

2

7

m)

8 3

11



7

n)

6

10 2 3



o)

3 2

3 5 4 2



3. PERSAMAAN EKSPONEN (SEDERHANA)

Persamaan eksponen yaitu persamaan yang eksponen/pangkatnya mengandung variabel/peubah.

1. Jika

a

f x( )



a

p maka f(x) = p

2. Jika

a

f x( )



a

g c( ) maka f(x) = g(x) dimana p suatu konstanta

Contoh 1: Tentukan HP dari :

a)

4

2x+3

=

8

b)

8

2x1



16

3x2

 

2

2 3 .... x



....

...

¿

....

2

...



2

... ...

¿

.... ...

¿

.... ...

¿

....

x

=

¿

....

x

=

¿

.... HP:{...} HP:{ ... } LATIHAN SOAL

Tentukan HP dari :

1)

27

x2



81

2x5 2)

5

x9



25

3x 3)

8

2x1



1

4)

1

2

8

2



 

x x

5)

9

1

27

4x5



6)

1

25

125

3 2 x

x





7)

5

2x



8)

16

8

2

2 1

1 x

x







9)

 

3

1

5 x



10)

8

4

1

32

8

2x3



3. LOGARITMA

(9)

Pernahkah kalian membuat larutan di laboratorium kimia? Misalnya saja di

laboratorium ada suatu larutan asam klorida dan natrium hidroksida dengan konsentrasi

masing-masing 0,001 Molar, kita disuruh oleh guru untuk menentukan pH (derajat

keasaman) suatu larutan tetapi tanpa menggunakan pH meter atau menggunakan

indicator universal. Bagaimana caranya kalian menghitung pH larutan tersebut?

Contoh 1

Diketahui dalam suatu botol berisi larutan asam klorida dengan konsentrasi 0,001

Molar. Hitunglah berapa pH larutan tersebut.

HCl 0,001 M

HCl → H

+

(aq)

+ Cl

-(aq)

[H

+

] = 1 . 0,001 M

= 1 . 10

-3

pH = - log [H

+

]

= - log 1 . 10

-3

= 3 . log 10

= 3

Contoh 2

Diketahui dalam suatu botol berisi larutan natrium hidroksida dengan konsentrasi

0,001 Molar. Hitunglah berapa pH larutan tersebut.

NaOH 0,001 M

NaOH → Na

+

(aq)

+ OH

-(aq)

[OH

-

] = 1 . 0,001 M

= 1 . 10

-3

pOH = - log [OH

-

]

= - log 1 . 10

-3

= 3 . log 10

= 3

pH = 14 – pOH

pH = 14 – 3

pH = 11

PENGERTIAN LOGARITMA Seperti telah kita ketahui bahwa :

Jika maka 5 = …

Jika maka

Jika maka 2 = …

Pada , bagaimana menyatakan 3 dengan 2 dan 8?

25

5

2



....

2

3



2



....

2

5



(10)

Untuk itu diperlukan notasi yang disebut Logaritma untuk menyatakan pangkat dengan bilangan pokok (basis) dengan hasil pangkat (numerus).

Jadi jika maka dibaca “2 log 8”

Sehingga logaritma merupakan invers dari perpangkatan. Secara umum dapat dinyatakan :

Jika maka x = …. syarat : Dimana:

a : basis logaritma y : numerus x : hasil logaritma

*Khusus untuk bilangan pokok 10, bisa dituliskan bisa juga tidak.

Jadi jika log 5 maksudnya .

Contoh 1: Nyatakan dalam bentuk logaritma dari perpangkatan :

a. b. c.

Jawab : a. 4 = ….

b. n = ….

c. b = ….

Contoh 2 : Nyatakan dalam perpangkatan dari bentuk logaritma :

a. b. log 100 = 2 c.

Jawab : a. b. log 100 = 2 c.

Contoh 3: Hitunglah :

a. = x … = 64 …. = … x = ….

a. = x … = … …. = … x = …. b. log 1000 = x … = …

…. = … x = ….

c. = x … = …

…. = …

x = ….

d. = x … = … …. = … x = ….

e. = x … = … …. = … x = ….

f. = x … = … …. = …

8

2

3



3



2

log

8

y

a

x



a



₀

,

a



1

dan

y



₀

5

log

10

81

3

4



2

n



128

a

b



c

81

3

4





128

2

n





c

a

b





81

log

4

3



p

q

r



log

81

log

4



3 p

log

q



r

64

log

2



8

1

log

2



27

log

3



1

log

5



4

log

2 1



81

1

log

3 1

(11)

x = ….

LATIHAN SOAL

1. Nyatakan dalam bentuk logaritma dari : a.

b.

c.

d. _e.

2. Nyatakan dalam bentuk perpangkatan dari : a. log 10.000 = 4

b.

c.

d.

e.

3. Tentukan nilainya dari :

a.

b.

c.

d. log 0,1

e. f. g. h. i. j. k. l. m. SIFAT-SIFAT LOGARITMA

Jika , maka :

1. 5.

2. 6.

3. 7.

4. 8.

25

5

2



9

1

3

2



1

5

0



3

9

1/2



16

1

2

1

4





4

16

1

log

2





0

1

log

7



2

1

3

log

9



2

16

1

log

4 1



625

log

5

4

log

4

1

log

7

4

1

log

2

16

log

2

27

1

log

3

1

log

2 1

8

log

2 1

8

1

log

2 1

8

log

2

81

1

log

3

9

log

3 3

1

0

,

0

,

0







b

c

dan

a

c

b

bc

a a

a

log



log



log

b

a

a b



log

c

b

c

b

a a

a

log



log



log

b

m

n

b

n a

am

log



b

c

b

c a

a

log



log

a

log

b

.

b

log

c



a

log

c

(12)

Bukti :

Sifat 1: Misal

Maka bc = ….

= ….

= … + …

Sifat 2: Misal

Sifat 3:

Misal

a. = ….

b. = …..

c. 2

log

2

10 = …..

d. =

e. =

f. = ….

....

log

b



m



b



a

....

log

c



n



c



a

...

log





a

bc





















mn a mn a n

a

b

x

b

nx

m

b

nx

m

b

log

...

log

...

log

n



am

b

...

log

...

log

b



m



b





c

b



c

a

m



m

c

a





m



a

...

log





a

b

5 log

3

3 log

5

25

2

log

3

.

5

log

8

.

3

log

5

16

log

3

log

4

log

₃

2 2



256

log

(13)

Contoh 3: Jika , maka tentukan

Jawab : =

LATIHAN SOAL

1. Sederhanakan

a. f.

b. g.

c. h.

d. i.

e. j.

2. Jika log 2 = 0,3010 dan log 5 = 0,6990, maka tentukan :

a. log 20 b. log 500 c. log 40 d. e.

3. Jika , maka tentukan :

a. b. c. d. e.

b

dan

a



log

5

4

log

4

3 5

log

9

log

5 5

log

3

2



...

9

log

2

log

8

log

6 6 6





2

log

15

.

3

log

16

.

15

log

9

10

log

4

log

50

log

2 2

2





3

log

4

.

2

log

3

.

4

log

8

18

log

2

log

3

log

2





8

log

16

6

log

2

3

log

3

log

2

log



625

log

16

15

log

2

log

6

log

5

log

9

3 3

3





10

log

5

log

25

log

2

log

3

3 3

3





5

log

2 5

log

8

n

dan

m



log

5

3

log

3

2

5

log