BAB 2
LANDASAN TEORI
2.1 Aksioma dan Teorema
Dalam penulisan skripsi ini, dijabarkan beberapa aksioma dan teorema yakni sebagai
berikut :
Aksioma 1
Untuk setiap kejadian , . Yakni bahwa probabilitas dari setiap kejadian adalah
non-negatif.
Aksioma 2
, menyatakan bahwa jika setiap kejadian pasti untuk terjadi, maka probabilitas
dari kejadian tersebut adalah 1.
Aksioma 3
Untuk jumlah kejadian saling asing yang tidak terbatas
Aksioma ini menyatakan bahwa untuk dua kejadian atau lebih yang saling asing, maka
probabilitas dari suatu kejadian atau lebih yang terjadi adalah jumlah dari masing-masing
probabilitasnya.
Bukti : Andaikan kejadian sedemikian hingga untuk Karena
, maka kejadian adalah kejadian saling asing, untuk
Berdasarkan aksioma 3, diperoleh :
Teorema 2
Untuk kejadian yang saling asing
Bukti : Andaikan kejadian tak terbatas dimana dimana
adalah kejadian yang diberikan dan untuk . Maka untuk kejadian yang tak
terbatas ini adalah saling asing dan
Untuk setiap kejadian
Bukti : Andaikan kejadian dan saling asing dan
Teorema 4
Untuk setiap kejadian
Bukti : Dari aksioma 1 diperoleh . Jika , maka dari teorema 3
yang mana ini berkontradiksi dengan aksioma 1, yang menyatakan
probabilitas setiap kejadian harus non-negatif, maka sehingga .
Teorema 5
Jika , maka
Bukti : Pada gambar berikut :
Gambar 2.1 Himpunan
Dari gambar, kejadian adalah gabungan dari kejadian dan , sehingga
, dari aksioma 1, , maka .
S
B
B A
Teorema 6
Untuk dua kejadian dan ,
Bukti: Pada gambar berikut :
Gambar 2.2 Himpunan
Dari gambar di atas dapat dituliskan
Dari teorema 2 didapat
Dari gambar.2 juga diperoleh
Maka
Sehingga
Teorema 7
Diberikan ruang sampel , jika S mempunyai N bagian dari kejadian untuk kejadian
dari .
Bukti : Diberikan dimana setiap adalah titik sampel dari ekperimen.
Untuk titik sampel dari probabilitas untuk semua , . Lalu diberikan
Teorema 8
Jika adalah sampel diskrit dengan elemen kejadian , dimana
mempunyai , maka untuk kejadian
Bukti :
, jika
, jika
Teorema 9
Jika , adalah partisi dari ruang sampel eksperimen dan untuk
untuk kejadian dari , maka dapat di tulis:
Bukti :
adalah mutually exclusive (saling bebas), dimana dimana
sehingga diperoleh adalah himpunan dari kejadian yang
mutually exclusive. Sekarang diperoleh diberikan
, untuk itu
Tetapi
2.2 Probabilitas
Probabilitas suatu kejadian adalah jumlah bobot semua titik sampel yang termasuk .
Probabilitas adalah suatu nilai untuk mengukur tingkat kemungkinan terjadinya suatu
kejadian yang tidak pasti. Misalnya, = 0,80 artinya probabilitas bahwa suatu
kejadian akan terjadi sebesar 80% dan probabilitas tidak terjadi adalah sebesar 20%.
Nilai probabilitas ini dapat dihitung berdasarkan nilai hasil pengamatan (obyektif) atau
berdasarkan pertimbangan (subyektif).
Besarnya probabilitas terjadinya suatu kejadian adalah antara nol sampai satu.
Atau dapat dapat dituliskan , dimana menyatakan nilai kemungkinan
bagi munculnya kejadian . Dan jumlah semua kemungkinan dari seluruh hasil kejadian
yang mungkin muncul adalah satu. Pernyataan tersebut dapat dituliskan
atau dimana menyatakan anggota ruang hasil.
Nilai probabilitas suatu kejadian dapat dihitung dengan rumus:
dimana: Probabilitas terjadinya kejadian
Banyaknya kejadian yang mungkin terjadi (populasi)
Kejadian yang ingin diukur (sampel)
Contoh : Berapa probabilitasnya terambil kartu gambar hati dari satu set kartu bridge
pada sekali pengambilan?
Jawab: (jumlah satu set kartu bridge)
(banyaknya kartu gambar hati dalam satu set kartu bridge)
2.3 Probabilitas Bersyarat
1. Bila dan mutually exclusive (kejadian yang saling meniadakan), maka :
2. Bila dan dua kejadian sembarang, maka
3. Bila ada kejadian yaitu yang mutually exclusive dan
membentuk kejadian , maka :
4. Bila dan independent (bebas), maka :
5. Bila A dan B dependent (tidak bebas), maka :
, dimana
Probabilitas bersyarat adalah probabilitas terjadinya kejadian A dengan syarat
kejadian B telah terjadi. Notasi dituliskan dalam bentuk dan dibaca probabilitas A
dengan syarat
Definisi : Jika A dan B adalah dua kejadian sedemikian hingga , maka :
2.4 Teorema Bayes, Probabilitas Prior dan Probabilitas Posterior
Teorema Bayes
Teorema Bayes berdasar pada probabilitas bersyarat. Dalam teorema Bayes, jika terdapat
saling meniadakan (mutually exclusive event), kemudian suatu kejadian di mana , maka :
dimana : = Probabilitas terjadinya kejadian Ai, dengan syarat terjadi
kejadian .
= Probabilitas terjadinya kejadian .
= Probabilitas terjadinya kejadian dengan syarat terjadi
kejadian
dengan = .
Teorema Bayes tersebut dapat dibuktikan sebagai berikut:
Probabilitas Prior
Probabilitas prior atau sering juga disebut sebagai probabilitas awal merupakan informasi
awal yang menyatakan nilai probabilitas suatu kejadian.
Contoh : Anda ingin membeli 100 unit suku cadang sepeda motor. Lalu sebelum transaksi
dilaksanakan, penjual mengatakan kepada Anda bahwa perusahaan mereka mentolerir 5%
hasil produksi yang cacat dari semua barang hasil produksi mereka per bulannya. 5% atau
0,05 ini adalah nilai probabilitas awal yang anda ketahui tentang kondisi suku cadang
Probabilitas Posterior
Probabilitas posterior sering juga disebut probabilitas tambahan untuk mendukung
probabilitas prior. Untuk lebih jelasnya, kembali pada contoh di atas, jika sekiranya
dilakukan pemeriksaan kembali atas hasil produksi suku cadang pada bulan tersebut, lalu
hasilnya didapat bahwa probabilitas suku cadang yang cacat ternyata tidaklah lagi 0,05
melainkan 0,10 atau 10 %. 0,10 atau 10% inilah yang disebut probabilitas posterior
sebagai pengganti probabilitas prior yang diketahui sebelumnya.
2.5 Probabilitas Obyektif dan Probabilitas Subyektif
Pada umumnya probabilitas selalu dikaitkan dengan distribusi frekuensi yang
menunjukkan seberapa seringnya (how frequently) suatu kejadian terjadi. Probabilitas
sering diperkirakan dengan limit dari frekuensi relatif.
Didalam prakteknya nilai frekuensi relatif itu sendiri dipergunakan untuk
memperkirakan nilai probabilitas. Misalnya kalau mata uang logam dilempar 1000 kali
kemudian gambar burung muncul 499 kali, maka = probabilitas
untuk memperoleh gambar burung sebesar 499/1000 = 0,499 atau 0,5. Kemudian
dikatakan, secara limit = 0,5 walaupun bisa terjadi dalam 100 kali lemparan,
gambar burung mungkin muncul 90 kali.
Di dalam jangka panjang, kalau lemparan sampai ribuan kali, angka rasio atau
perbandingan antrara munculnya dengan banyak lemparan ( , limitnya mendekati
0,5. Itulah sebabnya = 0,5. Analisis frekuensi relatif inilah yang pada dasarnya
mendasari nilai kemungkinan pada pelemparan mata uang, dan disebut sebagai
probabilitas obyektif.
Untuk memperoleh probabilitas obyektif dibutuhkan situasi dimana percobaan
Selain konsep probabilitas seperti di atas, kenyataan yang sering dihadapi adalah
hal yang berbeda. Sering persoalan yang dihadapi adalah situasi yang belum pernah
terjadi sebelumnya, misalnya : Apakah barang hasil produksi perusahaan akan dapat
diterima oleh pasar, apakah seseorang yang meminjam uang akan mengembalikan uang
yang dipinjamnya tepat pada waktu yang ditentukan dan lain sebagainya.
Untuk menghadapi persoalan semacam ini, dibutuhkan konsep probabilitas yang
lain, yang dapat menerangkan ketidakpastian tanpa harus menggunakan berbagai data
atau percobaan sebelum dapat dinyatakan nilai probabilitasnya. Probabilitas yang
demikian adalah probabilitas subyektif.
Probabilitas subyektif mencerminkan tingkat keyakinan (confident level) seseorang terhadap suatu kejadian yang tak pasti dan ini didasarkan pada pengalaman dan
informasi yang dia miliki pada saat itu. Oleh karena itu, pernyataan probabilitas semacam
ini akan menghasilkan probabilitas subyektif. Selain itu, nilai probabilitas yang dihasilkan
juga akan berbeda-beda antara orang yang satu dengan yang lain, karena pengalaman
ataupun keterampilan yang mereka miliki.
Perbedaaan utama antara pandangan subyektif dan obyektif adalah pada
pernyataan probabilitasnya (probability statement). Pandangan obyektif menyatakan probabilitas sebagai state of thing, yaitu ciri atau karakteristik suatu benda atau proses,
sama halnya dengan berat, volume, cepat, lambat dan sebagainya. Sebaliknya pandangan
subyektif menyatakan probabilitas sebagai state of mind atau suatu tingkat pengetahuan
yang dimiliki oleh seseorang berkenaan dengan suatu keadaan.
mengenai utilitas adalah bahwa dimungkinkan untuk memperoleh suatu ekspresi angka
mengenai preferensi seseorang.
Utilitas adalah angka yang mengekspresikan nilai pay-off sebenarnya sesuai dengan konsekuensi keputusan. Pay-off yang dimaksud disini dapat berupa satuan mata
uang (smu), jumlah satuan barang ataupun bentuk-bentuk ukuran lain yang bentuknya
sangat jelas. Untuk suatu himpunan hasil (set of outcomes) yang sudah dibuat peringkat berdasarkan preferensinya, dapat ditentukan nilai utilitasnya yang menjelaskan preferensi
tersebut. Utilitas terbesar untuk hasil yang paling disukai, sedangkan semakin kecil nilai
utilitas semakin tidak disukai.
Berikut dijabarkan beberapa asumsi untuk menentukan nilai utilitas yang
mempunyai kesamaan bahwa nilai utilitas yang diperoleh hanya mengenai individu
tunggal (hanya berlaku untuk perorangan) dan berperilaku taat azas (consistently) yang sesuai dengan seleranya. Dalam kata lain, kapanpun dan dimanapun, jika menghadapi
persolan yang sama, keputusan yang aakan diambilnya akan sama.
Asumsi-asumsi tersebut adalah :
1. Peringkat Preferensi
Asumsi ini menyatakan bahwa seseorang dapat menentukan untuk setiap pasang
hasil dan apakah Ia lebih memilih daripada , atau sebaliknya, atau tak
membedakan sama sekali antara memilih maupun . Asumsi ini akan mudah
dimengerti jika pay-off dalam bentuk satuan mata uang ataupun ukuran-ukuran kuantitatif lainnya. Peringkat preferensi akan menjadi lebih susah bila pay-off
dinyatakan secara kualitatif. Selama preferensi terhadap dua hasil pilihan tidak
dapat ditentukan, selama itu pula nilai utilitas tidak dapat diperoleh nilainya.
2. Transitivitas Preferensi
Asumsi kedua ialah apabila lebih disukai dari dan lebih disukai dari ,
maka jelas bahwa lebih disukai dari . Sifat yang demikian disebut
seseorang lebih menyukai buah durian daripada pepaya, dan Ia lebih menyukai
pepaya daripada pisang. Sehingga sifat taat azasnya adalah bahwa Ia lebih
menyukai durian daripada pisang.
3. Asumsi Kontinuitas
Asumsi kontinuitas menyatakan, ada beberapa permainan yang memiliki hasil
terbaik dan terburuk sebagai hasilnya, namun ada kalanya bahwa seseorang
menganggap sama preferensinya dengan hasil yang sedang (cukup) atau hasil
diantara dua keadaan hasil yang sangat ekstrim tersebut.
4. Asumsi Substitutabilitas
Asumsi substitutabilitas menyatakan, memungkinkan untuk
memperbaiki/merevisi suatu permainan dengan penggantian (substituting) suatu hasil dengan hasil lainnya, asalkan ada kesamaan. Dalam kata lain, seseorang
bersedia untuk menukar hasil yang diperolehnya pada sebuah permainan dengan
hasil yang ditawarkan pada permainan lain dimana Ia merasa tidak berbeda antara
keduanya.
5. Asumsi Peningkatan Preferensi
Asumsi ini berkenaan dengan setiap pasangan kejadian dengan hasil yang sama
yang mungkin dialami dalam sebuah permainan. Kejadian dengan nilai
probabilitas terbesar untuk hasil yang lebih diinginkan, harus lebih disukai. Atau
dalam artian lain, preferensi akan kejadian dengan probabilitas penerimaan hasil
terbesar pasti lebih disukai daripada yang sebaliknya.
2.7 Fungsi utilitas
Sebelum dipakai dalam pengambilan keputusan, tentunya perlu diketahui bagaimana
pengungkapan fungsi utilitas tersebut. Proses penjajagan ini juga harus dibuat sedemikian
Yang pertama sekali dilakukan dalam penjajagan fungsi utilitas adalah penentuan
batasaan nilai. Penjajagan ini dilakukan setelah keseluruhan model yang mencakup
ketidakpastian, probabilitas atau nilai kemungkinan dan kriteria penilaiannya adalah
tunggal, sehingga hanya terdapat satu besaran yang digunakan.
Syarat utama agar sebuah fungsi utilitas dapat ditentukan adalah bahwa nilai
maksimum dan nilai minimum dari persoalan yang sedang dihadapi tercakup dalam
fungsi tersebut. Oleh karena itu, pengambil keputusan harus mampu untuk menentukan
nilai maksimum dan minimum pada persoalan yang dihadapinya.
Selanjutnya, yang harus dilakukan adalah menggambarkan semua kumpulan
titik-titik nilai ekivalen tetap dari sebanyak mungkin situasi dan membentuknya dalam sebuah
kurve fungsi utilitas.
Contoh : ambil sebuah permasalahan dengan kriteria penilaian hasil dengan satuan
matuan uang rupiah yang berkisar antara Rp. 5000,- sampai dengan Rp. 50000,-. Lalu
kedua nilai di atas dijadikan sebagai batas-batas fungsi utilitas dengan Rp.5000,- sebagai
batas terendah ( dinyatakan dengan utilitas sebesar nol sedangkan Rp.50000,-
sebagi nilai tertinggi dinyatakan dengan utilitas sebesar . Dengan begitu, telah
didapat 2 titik dalam kurve fungsi utilitas yaitu ( dan ( , lalu dapat dijajagi titik
lainnya yang diperlukan.
Selanjutnya, untuk nilai ekivalen tetap ( , ( dan dapat dihitung
Sehingga secara keseluruhan, kelima titik fungsi utilitas di atas dapat digambarkan
[image:14.612.115.536.175.473.2]sebagai berikut :
Gambar.2.3 Penggabungan titik-titik hasil penjajagan kurva Utilitas
Secara matematis fungsi utilitas dapat dinyatakan dalam bentuk eksponensial,
yang bentuk umumnya adalah:
dimana : = Fungsi utilitas untuk nilai x
= batas bawah fungsi utilitas
= batas atas fungsi utilitas
= 2,7182 (nilai eksponensial 0,25
0,50 1
2.8 Pohon Keputusan
Diagram pohon keputusan adalah suatu diagram berupa pohon bercabang-cabang yang
menggambarkan hubungan antara alternatif keputusan/tindakan dengan kejadian-kejadian
tak pasti yang melingkupi setiap alternatif dan hasil alternatif keputusan yang dipilih.
Saat pengambilan keputusan adalah saat dimana pengambil keputusan sepenuhnya
memilih kendali dalam bertindak, sedangkan saat kejadian tak pasti adalah saat dimana
faktor eksternal yang menentukan apa yang akan terjadi.
Notasi yang digunakan dalam diagram pohon keputusan adalah sebagai berikut :
Tanda empat persegi sebagai simbol keputusan.
Tanda lingkaran sebagai simbol kejadian tak pasti.
Tahapan dalam penggambaran diagram pohon keputusan :
1. Tentukan terlebih dahulu kumpulan alternatif tindakan awal.
2. Tentukan kejadian tak pasti yang melingkupi alternatif tindakan awal.
3. Tentukan adanya alternatif tindakan lanjutan.
