Penerapan Persamaan Navier-Stokes Pada Pergerakan Fluida Dalam Tabung Dengan Metode Elemen Hingga

PENERAPAN PERSAMAAN NAVIER-STOKES PADA

PERGERAKAN FLUIDA DALAM TABUNG

DENGAN METODE ELEMEN HINGGA

SKRIPSI

TULUS JOSEPH HERIANTO MARPAUNG

110803054

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

PENERAPAN PERSAMAAN NAVIER-STOKES PADA

PERGERAKAN FLUIDA DALAM TABUNG

DENGAN METODE ELEMEN HINGGA

SKRIPSI

Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat

mencapai gelar Sarjana Sains

TULUS JOSEPH HERIANTO MARPAUNG

110803054

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

i

PERSETUJUAN

Judul : Penerapan Persamaan Navier-Stokes Pada

Pergerakan Fluida Dalam Tabung Dengan Metode Elemen Hingga

Kategori : Skripsi

Nama : Tulus Joseph Herianto Marpaung

Nomor Induk Mahasiswa : 110803054

Program Studi : Sarjana (S1) Matematika

Departemen : Matematika

Fakultas : Matematika Dan Ilmu Pengetahuan Alam

Universitas Sumatera Utara

Disetujui di Medan, Juli 2015

Komisi Pembimbing :

Pembimbing 2, Pembimbing 1,

Drs. Marihat Situmorang, M.Kom Prof. Dr. Tulus, M.Si. Ph.D

NIP. 196312141989031001 NIP. 196209011988031002

Disetujui Oleh

Departemen Matematika FMIPA USU Ketua,

ii

PERNYATAAN

PENERAPAN PERSAMAAN NAVIER-STOKES PADA PERGERAKAN FLUIDA DALAM TABUNG

DENGAN METODE ELEMEN HINGGA

SKRIPSI

Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil karya sendiri. Kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.

Medan, Juli 2015

iii

PENGHARGAAN

Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yesus Kristus atas bimbingan-Nya yang telah memberikan kekuatan dan kebijaksanaan kepada penulis dalam menyelesaikan skripsi ini dengan judul “Penerapan Persamaan Navier-Stokes Pada Pergerakan Fluida Dalam Tabung Dengan Metode Elemen Hingga.”

Sesuai dengan judul tulisan ini, diharapkan tulisan ini menjadi salah satu batu loncatan dalam pengembangan analisis persamaan Navier-Stokes dengan metode elemen hingga dalam kehidupan kita. Disamping itu, tulisan ini juga merupakan salah satu syarat dalam menempuh ujian Sarjana Sains jurusan Matematika di FMIPA USU Medan yang harus dipenuhi.

Dengan terwujudnya tulisan ini, penulis mengucapkan terimakasih banyak kepada :

1. Bapak Dr. Sutarman, M.Sc, selaku dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam,

2. Bapak Prof. Dr. Tulus, M.Si, Ph.D, selaku Dosen Pembimbing 1 dan Ketua Departemen Matematika yang selalu memberikan tenaga dan pikiran untuk mendorong serta mengarahkan penulis dalam penulisan skripsi ini.

3. Bapak Drs. Marihat Situmorang, M.Kom, selaku Dosen Pembimbing 2 yang memberikan motivasi dan ilmu pengetahuan kepada penulis. 4. Bapak Drs. Ujian Sinulingga, M.Si selaku Dosen Pembanding 1 yang

memberikan ilmu tentang persamaan diferensial parsial yang lebih mendalam.

5. Bapak Dr. Sawaludin, M.IT selaku Dosen Pembanding 2 yang membantu dalam perbaikan penulisan pada skripsi ini.

6. Bapak Victor E. Ginting, Universitas of Wyoming, AS dalam yang memberikan pengarahan dalam menghubungkan persamaan differensial tekhususnya persamaan Navier-Stokes dengan metode elemen hingga. 7. Seluruh Staf Pengajar Departemen Matematika dan Staf Administrasi

iv

8. Orang tua saya Saidi Posma Hamonangan Marpaung (+) / Risma Ida Anita br. Tambunan yang selalu mendoakan saya dan menyemangati saya dalam penulisan skripsi ini serta memberikan semua yang saya butuhkan dalam penyusunan skripsi ini.

9. Kakak saya Rissa Isabella Taruli Marpaung, S.Pd yang membantu ilmu, motivasi dan doa selalu dari awal sampai akhir.

10.Adik saya Roni Genevent Tonang yang membantu dalam penyusunan skripsi ini.

11.Keluarga semua yang tidak bisa saya sebut satu persatu dalam doa dan dukungan selalu kepada saya untuk menjadi seseorang yang lebih baik. 12.Kekasih saya, Dewi Murni br. Simarmata yang memberikan motivasi dan doa selalu kepada saya disaat saya merasakan jenuh dalam penyusunan skripsi ini.

13.Kawan-kawan seperjuangan Matematika stambuk 2011.

14.Akun facebook Kartun Ngampus yang memberikan hiburan selalu.

Terakhir, penulis menyadari masih banyak kekurangan dalam penulisan ini, oleh karena itu penulis meminta kritik dan saran yang membangun dari pembaca sekalian. Akhir kata penulis mengucapkan terimakasih atas perhatian saudara dan saudari. Semoga tulisan ini bermanfaat dalam dunia pendidikan dan kiranya Tuhan memberikan karunia-Nya kepada kita semua. Amin.

Medan, Juli 2015 Hormat Penulis

v

PENERAPAN PERSAMAAN NAVIER-STOKES PADA PERGERAKAN FLUIDA DALAM TABUNG

DENGAN METODE ELEMEN HINGGA

ABSTRAK

Banyak bencana alam sering terjadi. Salah satu bencana alam tersebut yaitu kejadian atau peristiwa yang sering berhubungan dengan fluida. Misalnya, banjir dan angin topan. Banjir yang terjadi merupakan pergerakan berlebihan dari suatu fluida cair. Dimana banyak penyebab yang membuat fluida tersebut bergerak secara tidak wajar. Umumnya Persamaan Navier-Stokes serangkaian persamaan yang menjelaskan pergerakan dari suatu fluida seperti cairan dan gas. Persamaan-persamaan ini menyatakan bahwa perubahan dalam momentum partikel-partikel fluida bergantung hanya kepada gaya viskos internal dan gaya viskos tekanan eksternal yang bekerja pada fluida. Oleh karena itu, persamaan Navier-Stokes menjelaskan keseimbangan gaya-gaya yang bekerja pada fluida. Gaya-gaya yang bekerja pada suatu fluida adalah gaya-gaya benda (body forces) dan gaya-gaya permukaan (surface forces). Untuk menyelesaikan penurunan persamaan Navier Stokes, maka diselesaikan dengan cara Analitik atau Teori, yakni Metode Elemen Hingga dengan mensubtitusi tegangan normal dan tegangan geser pada gaya-gaya yang bekerja pada elemen fluida maka akan diperoleh keseimbangan gaya-gaya yang bekerja pada elemen fluida, dan kemudian disubtitusi ke persamaan kontinutas dan viskositas kinematik sehingga diperoleh persamaan kekekalan momentum yang dikenal dengan persamaan Navier Stokes. Persamaan ini berlaku untuk fluida dengan viskositas tidak sama dengan nol. Penelitian ini dimaksudkan agar diperoleh cara untuk menanggulangi bencana alam yang berhubungan dengan pergerakan fluida berlebihan pada suatu wadah.

vi

APPLICATION OF NAVIER-STOKES EQUATIONS FLUID MOVEMENT IN THE TUBE

FINITE ELEMENT METHOD

ABSTRACT

There are so many natural disasters are common. One of the natural disaster which happened that are often associated with the fluid. For example, floods and hurricanes. Flooding that occurs is excessive movement of a fluid liquid. Where many causes that make the fluid move unnaturally. Generally the Navier-Stokes equations that describe the movement of a set of equations of a fluid such as liquid and gas. These equations states that the change in the momentum of fluid particles depend only on the viscous force of internal and external pressure the viscous force acting on the fluid. Therefore, the Navier-Stokes equation describes the balance of the forces acting on the fluid. The forces acting on a fluid are styles of objects (body forces) and surface forces (surface forces). To complete decline Navier Stokes equations, then solved by Analytical or theory, namely the Finite Element Method to substitute the normal stress and shear stress on the forces acting on the fluid element will be obtained the balance of the forces acting on the fluid element, and then substituted into the equation so that the kinematic viscosity continuity and momentum conservation equation known as the Navier Stokes equations. This equation applies to fluids with viscosities not equal to zero. This study aimed to obtain a way to cope with natural disasters related to the movement of excessive fluid in a container.

vi DAFTAR ISI

Halaman

Persetujuan i

Pernyataan ii

Penghargaan iii

Abstrak iv

Abstract v

Daftar Isi vi

Daftar Tabel vii

Daftar Gambar x

Bab 1. Pendahuluan

1.1. Latar Belakang 1

1.2. Rumusan Masalah 2

1.3. Batasan Masalah 2

1.4. Tujuan Penelitian 3

1.5. Manfaat Penelitian 3

1.6. Metodologi Penelitian 4

Bab 2. Tinjauan Pustaka

2.1. Dasar Fluida 5

2.2. Bilangan Reynolds 5

2.3. Laminar dan Turbulent Flow 6

2.4. Persamaan Navier-Stokes 7

2.5. Metode Elemen Hingga 10

2.6. Elemen Linier 1 Dimensi 12

2.7. Elemen Hingga 17

2.8. Formula Weak 23

2.9. Metode Galerkin 25

Bab 3. Metode Penelitian

3.1. Rancangan Penelitian 26

3.2. Teknik Analisis Data 26

3.3. Diagram Alir Penelitian 27

Bab 4. Hasil Pembahasan

4.1. Persamaan Dasar dalam Dinamika Fluida 28

4.2. Kondisi Awal dan Batas 29

4.3. Aliran Asimetrik 31

4.4. Formulasi Weak 32

4.5. Metode Standar Galerkin 34

vii Bab 5. Kesimpulan dan Saran

5.1. Kesimpulan 41

5.2. Saran 41

viii

DAFTAR TABEL

Nomor Judul Halaman

Tabel

2.1. Data Elemen 16

2.2. Data Elemen 22

ix

DAFTAR GAMBAR

Nomor Judul Halaman Gambar

1.1. Penuangan Air 1

2.1. Visualisasi zat warna yang beruntun dan pengukuran kecepatan aliran saluran (setelah percobaan terkenal oleh Osborne Reynolds pada tahun 1883): (a) aliran laminar, Re rendah, (b) aliran transisi,

Re moderat, dan (c) aliran turbulen, Re besar 7

2.2. Elemen Linier 12

2.3. Fungsi Bentuk Linier 14

2.4. Elemen Satu Dimensi untuk Pendekatan Distribusi Temperatur 15

2.5. Batang Termal dengan Beberapa Elemen 16

2.6. Fungsi Berat untuk Nodal 3 18

2.7. Fungsi-fungsi Berat untuk (a) Nodal Pertama ,(b) Nodal Bagian

Dalam (c) Nodal Terakhir dalam Grid 1 Dimensi 19

2.8. Batang Tumpuan Sederhana 23

4.1. Contoh buatan dengan wilayah � dan batas-batas � , � , � ��� � 33

4.2. Mesh dengan elemen segiempat 36

4.3. Besar gaya pada permukaan 37

4.4. Grafik Kecepatan Partikel terhadap Waktu 37

4.5. Pergerakan Fluida dalam Tabung 38

4.6. Pergerakan Fluida dalam tabung Setelah Satu Detik 39

4.7. Tekanan pada saat : a. t=0 detik ; b. t = 0,025 detik ; c. t = 0,075

v

PENERAPAN PERSAMAAN NAVIER-STOKES PADA PERGERAKAN FLUIDA DALAM TABUNG

DENGAN METODE ELEMEN HINGGA

ABSTRAK

Banyak bencana alam sering terjadi. Salah satu bencana alam tersebut yaitu kejadian atau peristiwa yang sering berhubungan dengan fluida. Misalnya, banjir dan angin topan. Banjir yang terjadi merupakan pergerakan berlebihan dari suatu fluida cair. Dimana banyak penyebab yang membuat fluida tersebut bergerak secara tidak wajar. Umumnya Persamaan Navier-Stokes serangkaian persamaan yang menjelaskan pergerakan dari suatu fluida seperti cairan dan gas. Persamaan-persamaan ini menyatakan bahwa perubahan dalam momentum partikel-partikel fluida bergantung hanya kepada gaya viskos internal dan gaya viskos tekanan eksternal yang bekerja pada fluida. Oleh karena itu, persamaan Navier-Stokes menjelaskan keseimbangan gaya-gaya yang bekerja pada fluida. Gaya-gaya yang bekerja pada suatu fluida adalah gaya-gaya benda (body forces) dan gaya-gaya permukaan (surface forces). Untuk menyelesaikan penurunan persamaan Navier Stokes, maka diselesaikan dengan cara Analitik atau Teori, yakni Metode Elemen Hingga dengan mensubtitusi tegangan normal dan tegangan geser pada gaya-gaya yang bekerja pada elemen fluida maka akan diperoleh keseimbangan gaya-gaya yang bekerja pada elemen fluida, dan kemudian disubtitusi ke persamaan kontinutas dan viskositas kinematik sehingga diperoleh persamaan kekekalan momentum yang dikenal dengan persamaan Navier Stokes. Persamaan ini berlaku untuk fluida dengan viskositas tidak sama dengan nol. Penelitian ini dimaksudkan agar diperoleh cara untuk menanggulangi bencana alam yang berhubungan dengan pergerakan fluida berlebihan pada suatu wadah.

vi

APPLICATION OF NAVIER-STOKES EQUATIONS FLUID MOVEMENT IN THE TUBE

FINITE ELEMENT METHOD

ABSTRACT

There are so many natural disasters are common. One of the natural disaster which happened that are often associated with the fluid. For example, floods and hurricanes. Flooding that occurs is excessive movement of a fluid liquid. Where many causes that make the fluid move unnaturally. Generally the Navier-Stokes equations that describe the movement of a set of equations of a fluid such as liquid and gas. These equations states that the change in the momentum of fluid particles depend only on the viscous force of internal and external pressure the viscous force acting on the fluid. Therefore, the Navier-Stokes equation describes the balance of the forces acting on the fluid. The forces acting on a fluid are styles of objects (body forces) and surface forces (surface forces). To complete decline Navier Stokes equations, then solved by Analytical or theory, namely the Finite Element Method to substitute the normal stress and shear stress on the forces acting on the fluid element will be obtained the balance of the forces acting on the fluid element, and then substituted into the equation so that the kinematic viscosity continuity and momentum conservation equation known as the Navier Stokes equations. This equation applies to fluids with viscosities not equal to zero. This study aimed to obtain a way to cope with natural disasters related to the movement of excessive fluid in a container.

BAB 1

PENDAHULUAN

1.1. Latar Belakang

Pada akhir-akhir sering kali terjadi bencana alam yang berhubungan dengan fluida, misalnya banjir dan angin topan. Banjir terjadi karena pergerakan yang berlebihan dari suatu fluida cair yang bergerak secara tidak wajar. Sebagai contoh tempat penampungan air yang tidak mampu mengantisipasi pergerakan fluida tersebut. Begitu juga halnya dengan angin topan, dimana pergerakan udara yang tidak menentu menyebabkan terjadinya topan.

Didalam kehidupan sehari-hari, proses terjadinya banjir dapat disaksikan secara langsung maupun tidak langsung. Peristiwa terjadinya banjir sama dengan peristiwa menuangkan air minum (fluida cair) pada sebuah gelas, tetapi jumlah dan dampak atau efek yang terjadi tidak dapat dikontrol.

Gambar 1.1. Penuangan Air

2

Dari ilustrasi diatas, dapat diperhatikan bagaimana fluida bergerak dalam suatu wadah tertentu. Dengan menganalisis pergerakan fluida, dapat mengurangi efek atau dampak negatif dari pergerakan fluida yang tidak diharapkan. Berdasarkan hal itu, penulis ingin membuat tulisan mengenai pergerakan fluida pada suatu wadah tertentu yaitu tabung sebagai wadah. Dari banyaknya metode yang dapat digunakan dalam menyelesaikan masalah tersebut, penulis tertarik menggunakan Metode Elemen Hingga (MEH). Dengan MEH, dapat membuat permasalahan tersebut kedalam persamaan Navier-Stokes. Dimana dengan MEH dapat dibatasi secara teliti peubah-peubah yang menyebabkan pergerakan fluida dalam wadah tersebut dan membuatnya pada suatu persamaan yaitu Persamaan Navier-Stokes.

Berdasarkan uraian yang penulis jelaskan di atas maka penulis memilih judul skripsi “Penerapan Persamaan Navier-Stokes pada Pergerakan Fluida dalam Tabung dengan Metode Elemen Hingga”.

1.2. Rumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang, maka permasalahan yang akan penulis teliti adalah bagaimana menyelesaikan persoalan penerapan persamaan Navier-Stokes dalam pergerakan fluida dalam tabung dengan menggunakan Metode Elemen Hingga.

1.3. Batasan Masalah

3

1.4. Tujuan Penelitian

Selain untuk memenuhi syarat kelulusan Program Strata-1 (S1) Program Studi Matematika Universitas Sumatera Utara, penyusunan skripsi ini bertujuan untuk :

1. menjelaskan konsep fluida dan aliran fluida

2. analisis numerik dan memodelkan dengan Metode Elemen Hingga pada Persamaan Navier-Stokes dengan software Comsol 4.2

1.5. Manfaat Penelitian

Manfaat dari penelitian ini adalah sebagai berikut:

1. Sebagai bahan referensi dalam menambah wawasan penulis dan pembaca dalam bidang matematika murni dan komputasi yang berhubungan dengan pembahasan pergerakan suatu fluida dengan menerapkan persamaan Navier-Stokes menggunakan Metode Elemen Hingga.

2. Informasi kepada pembaca bahwa permasalahan pergerakan suatu fluida dengan menerapkan persamaan Navier-Stokes menggunakan Metode Elemen Hingga.

3. Sebagai bahan pertimbangan bagi pembaca dalam menyelesaikan masalah pergerakan suatu fluida dengan menggunakan metode lainnya yang ada pada pembahasan pergerakan suatu fluida.

1.6 Metodologi Penelitian

Penelitian ini adalah penelitian literatur yang disusun dengan langkah-langkah sebagai berikut:

1. Memaparkan hubungan fluida pada Persamaan Navier-Stokes. 2. Menentukan kondisi awal dan batas

3. Mencari formula weak dari Persamaan Navier-Stokes.

4

5. Menentukan model matematika dengan Metode Elemen Hingga 6. Perhitungan elemen matriks dan elemen vektor dengan bantuan

BAB 2

TINJAUAN PUSTAKA

2.1.Dasar Fluida

Dalam buku yang berjudul “Fundamental of Fluid Mechanics” karya Bruce R. Munson, Donald F. Young, Theodore H. Okiishi, dan Wade W. Huebsch, fluida didefinisikan sebagai zat yang berdeformasi terus-menerus selama dipengaruhi suatu tegangan geser. Sebuah tengangan (gaya per satuan luas) geser terbentuk apabila sebuah gaya tangensial bekerja pada sebuah permukaan. Apabila benda-benda padat biasa seperti baja atau logam-logam lainnya dikenai oleh suatu tegangan geser, mula-mula benda ini akan berdeformasi (biasanya sangat kecil), tetapi tidak akan terus-menerus berdeformasi (mengalir). Namun, cairan yang biasa seperti air, minyak, dan udara memenuhi definisi dari sebuah fluida artinya, zat-zat tersebut akan mengalir apabila padanya bekerja sebuah tegangan geser. Beberapa bahan, seperti lumpur, aspal, dempul, odol dan lain sebagainya tidak mudah untuk diklasifikasikan karena bahan-bahan tersebut akan berperilaku seperti benda padat jika tegangan geser yang bekerja kecil, tetapi jika tegangan tersebut melampaui suatu nilai kritis tertentu, zat-zat tersebut akan mengalir. Ilmu yang mempelajari bahan-bahan tersebut disebut rheology dan tidak termasuk dalam cakupan mekanika fluida klasik.

2.2 Bilangan Reynolds

6

= �. . = .

di mana = �⁄ adalah rasio nyaman yang disebut viskositas kinematik fluida. Bilangan Reynolds adalah parameter dominan yang mempengaruhi hampir semua arus kental.

2.3 Laminar dan Turbulent Flow

Pentingnya jumlah Reynolds dengan indah digambarkan dalam percobaan klasik oleh Reynolds sendiri, menggunakan zat warna yang beruntun untuk memvisualisasikan aliran melalui pipa halus, seperti pada Gambar. 2.1. Jika jumlah Reynolds rendah, zat warna yang beruntun tetap lurus dan halus [Gambar. 2.1 (sebagai kondisi yang disebut laminar atau merampingkan aliran. Dalam Reynolds berbagai jumlah menengah [Gambar. 2.1 (b)], zat warna yang beruntun memperlihatkan perilaku yang tidak menentu, dan pengukuran titik, katakanlah, kecepatan terhadap waktu menunjukkan tidak beraturan "semburan" aktivitas . rentang peralihan ini disebut aliran transisi.

7

Gambar 2.1. Visualisasi zat warna yang beruntun dan pengukuran kecepatan aliran saluran (setelah percobaan terkenal oleh Osborne Reynolds pada tahun 1883): (a) aliran laminar, Re rendah, (b) aliran transisi, Re moderat, dan (c) aliran turbulen, Re besar.

2.4.Persamaan Navier-Stokes

Persamaan Navier-Stokes adalah dasar persamaan differensial parsial yang menguraikan aliran fluida yang tak dapat dimampatkan. Dengan menggunakan tingkat tekanan dan tingkat tegangan tensor. Hal ini, dapat ditunjukkan dari persamaan Fj sebagai bagian komponen kekuatan merekat dari F pada suatu wadah yang tak berputar yaitu sebagai berikut

=_{� [}� �_{� +}�_{� + � ∇. � ]}

8

Dalam buku yang berjudul “Fundamental of Fluid Mechanics” karya Bruce R. Munson, Donald F. Young, Theodore H. Okiishi, dan Wade W. Huebsch, persamaan Navier-Stokes adalah persamaan diferensial dasar yang menggambarkan aliran fluida Newtonian.

Suatu persamaan tegangan dapat disubitusikan terhadap persamaan differensial untuk benda yang bergerak yakni :

�� +��_{� +}��_{� +}��_{� = � (}�_{� +} �_{� +} �_{� +} �_{� )}

�� +��_{� +}��_{� +}��_{� = � (}�_{� +} �_{� +} �_{� +} �_{� )}

�� +��_{� +}��_{� +}��_{� = � (}�_{� +} �_{� +} �_{� +} �_{� )}

dan disederhanakan menggunakan persamaan kontinuitas

�_� +_�� = sehingga diperoleh :

(terhadap x)

� �_� + �_� + �_� + �_� = −�_� + �� + �_� +�_� +�_� (terhadap y)

� �_� + �_� + �_� + �_� = −�_� + �� + �_� +�_� +�_� (terhadap z)

9

masalahnya adalah mana “yang baik diambil” pada sifat-sifat matematika. Sayangnya, karena kompleksitas umum dari persamaan Navier-Stokes (yaitu nonlinier, tingkat-kedua, persamaan differensial parsial) kompleksitas tersebut tidak dapat dikerjakan dengan penyelesaian yang sangat baik kecuali pada beberapa permasalahan. Namun, pada beberapa permasalahan yang solusinya telah diperoleh dan dibandingkan dengan hasil eksperimen, ternyata hasilnya hampir dapat diterima. Oleh karena itu, persamaan Navier-Stokes dibuat sebagai pendekatan persamaan differensial untuk fluida Newtonian tak termampatkan.

Dari sisi koordinat polar silinder (tabung), persamaan Navier-Stokes dapat ditulis sebagai :

(terhadap r) � �_� + �_� + �� �� − �+ � � = − � ��+ �� + [ � � � � � − + � �� − � � �� + � � ]

(terhadap )

� � � � + � � � + � � � �� + �+ � � � = − � � + ���+ [ � � � � � � − �₊ � � �� + � �� + � � � ] (terhadap z) � � � � + � � � + � � � �� + � � � = − � � + �� + [ � � � � � � + � � �� − � � �� + � � � ]

2.5.Metode Elemen Hingga

10

dari system computer untuk perancangan. MEH mempunyai kemampuan yang sangat baik untuk menyelesaikan persoalan transien satu dimensi dan dua dimensi.

Metode Elemen Hingga (MEH) merupakan prosedur numerik untuk menyelesaikan permasalahan fisik yang diatur dengan persamaan diferensial atau teorema energi. Karakteristik MEH yang membedakan dengan prosedur numerik lainnya adalah :

1. MEH menggunakan penyelesaian integral untuk menghasilkan sistem persamaan aljabar

2. MEH menggunakan fungsi-fungsi kontinu sebagian (continuous piecewise smooth functions) untuk mendeteksi kuantitas atau beberapa kuantitas yang tidak diketahui

Secara umum MEH terdiri dari lima langkah dasar :

1. Mendiskritisasikan daerah-daerah yang meliputi langkah-langkah penempatan titik-titik nodal, penomoroan titik-titik nodal dan penentuaan koordinatnya.

2. Menentukan derajat atau orde persamaan pendekatan : linear atau kuadratik. Persamaan harus dinyatakan sebagai fungsi nodal. Persamaan ditentukan untuk tiap elemen.

3. Menyusun system persamaan-persamaan. 4. Menyelesaikan system persamaan-persamaan.

5. Menghitung kuantitas yang dicari. Kuantitas dapat merupakan komponen tegangan, heat flow, fluid velocities, dan lain-lain.

Persamaan dalam MEH biasanya berbentuk :

11

sedangkan { }berupa matrik kolom yaitu ‘gaya’ yang bekerja pada nodal. Gaya dapat berupa (gaya) atau (kalor).

Dalam menyelesaikan masalah fisik yang berhubungan dengan persamaan differensial, cara terbaiknya adalah :

1. Mencari solusi analitisnya. Pada banyak kondisi, solusi analitis sulit diperoleh, sehingga digunakan metode numerik untuk mencari solusi pendekatannya.

2. Beberapa prosedur untuk mendapatkan penyelesaiann persamaan differensial dengan metode numerik adalah :

a. Metode beda hingga b. Metode varisional c. Metode Residual Berat

Dari ketiga metode tersebut, akan menggunakan metode residual berat yaitu metode Galerkin.

2.6. Elemen Linier 1 Dimensi

Pada bagian ini akan dibahas pembagian daerah satu dimensi menjadi elemen-elemen linier dan mengembangkan persamaan untuk satu elemen-elemen. Persamaan elemen ini digeneralisasi untuk memperoleh persamaan kontinu sebagian untuk daerah satu dimensi tersebut.

Daerah satu dimensi merupakan segmen garis atau suatu garis. Pembagian segmen garis menjadi elemen-elemen yang lebih kecil dengan menggunakan nodal. Ketentuan untuk elemen dan nodal adalah :

1. Nomor nodal dengan urutan dari kiri ke kanan

2. Nomor elemen dengan urutan dari kiri ke kanan; di dalam tanda kurung ( -- )

Sedangkan ketentuan penempatan nodal :

12

nodal-nodal secara berjauhan jika unknown parameter nya konstan atau relative konstan.

2. Tempatkan nodal di manapun terdapat perubahan nilai koefisien D dan Q.

3. Tempatkan nodal di manapun jika diinginkan mengetahui nilai �

Elemen linier 1 dimensi adalah garis dengan panjang L dengan nodal pada ujung-ujungnya. Nodal dinyatakan dengan I dan j dan nilai nodal dengan �i dan �j . Elemen linier 1 dimensi ditunjukkan pada Gambar 2.2.

�2

Gambar 2.2. Elemen Linier

Parameter �berubah secara linier antara nodal i dan j. Persamaan �adalah :

� = � + � (14) Koefisien a1 dan a2 ditentukan dari nilai kondisi nodal :

�= Φi di x = Xi

�= Φj di x = Xj sehingga diperoleh

Φi = a1 + a2Xi dan Φj = a1 + a2Xj (15)

Eliminasi persamaan (15), maka dapat diperoleh � = Φ −Φ X₋

dan

� = Φ −Φ

− (16)

L

� = � + �

13

Substitusi persamaan (16) ke (14) diperoleh :

� = _�− Φ + −_� Φ

(17) Dengan L = Xj - Xi

Persamaan (17) adalah bentuk fungsi interpolasi elemen hingga standar. Fungsi linear x pada persamaan (17) adalah fungsi bentuk yang dinyatakan dengan N dan tanda indeks yang sesuai dengan nodalnya. Fungsi bentuk pada persamaan (17) dinyatakan dalam Ni dan Nj sebagai berikut :

=

_�− dan

=

− � Sehingga dapat ditulis :

� = Φ + Φ

dan dinyatakan dalam bentuk persamaan matrik sebagai :

� = [ ]{Φ}

dengan [ ] = [ ] merupakan vector baris fungsi bentuk dan

{Φ} =

{

Φi

Φ

}

merupakan vector kolom yang memuat nilai-nilai nodal elemen. Fungsi bentuk mempunyai karakteristik sebagai berikut :

1. Fungsi bentuk bernilai 1 (Φ = ) pada nodalnya dan bernilai nol (0) di nodal yang lain.

2. Jumlah 2 fungsi bentuk = 1, untuk kasus elemen linear 1 dimensi.

3. Fungsi bentuk merupakan polynomial dengan bentuk yang sama dengan persamaan interpolasi awal.

4. Turunan fungsi bentuk terhadap x = 0 untuk elemen linear 1 dimensi Berikut ini gambar fungsi bentuk linear dan :

Gambar 2.3 Fungsi Bentuk Linear

14

Contoh Ilustrasi :

Elemen 1 dimensi digunakan untuk mendekati distribusi temperatur pada sirip. T pada nodal i dan j adalah 120oC dan 90oC. Tentukan T pada titik yang berjarak 4 cm dari titik asal dan gradient T dalam elemen tersebut. Koordinat nodal i dan j masing-masing adalah 1,5 dan 6 cm dari titik asal

Penyelesaian :

� =

� =

i j

1,5

6

Gambar 2.4. Elemen Satu Dimensi untuk Pendekatan Distribusi Temperatur

Temperatur � dalam elemen ditentukan dengna persamaan (17) :

� = ( − ) Φ + (x − X_{L ) Φ}

Data elemen :

Xi = 1,5 cm Xj = 6,0 cm Φi = 120oC Φj = 90oC

x = 4,0 cm L = 4,5 cm Diperoleh :

15

Gradien temperature adalah turunan Φ terhadap x

Φ

= Φ − Φ

Diperoleh Φ= 9 −

, = − , �� /��

Persamaan kontinu sebagian untuk 1 dimensi disusun dengan menghubungkan beberapa persamaan linear. Persamaan linear tersebut dapat ditulis sebagai berikut:

� =

�

Φ +

�

Φ

(18)

Dengan :

� = ₋− �� � = − ₋ (19) Indeks (e) menunjukkan elemen. Nilai i,j dan e ditentukan dari grid elemen hingga.

Misalkan batang termal seperti pada Gambar 2.4 Persamaan untuk tiap elemen :

� = Φ + Φ

� = Φ + Φ

� = Φ + Φ

� = Φ + Φ

(1) (2) (3) (4)

16

e i j

(1) 1 2

(2) 2 3

(3) 3 4

(4) 4 5

Tabel 2.1. Data Elemen

Perhatikan bahwa N2(1) dan N2(2) adalah persamaan yang berbeda. = −₋ �� = ₋ −

Masing-masing persamaan pada persamaan (2.7) berlaku untuk elemen yang sesuai dan tidak dapat dipakai di luar elemen yang bersangkutan. Untuk selanjutnya, jika persamaan dalam bentuk � = N Φ + Φ maka Ni dan

Nj yang dimaksud adalah Ni(e)dan Nj(e) sedangkan Φ dan Φ menyatakan

nilai-nilai nodal elemen (e).

2.7. Elemen Hingga

Persamaan elemen hingga diperoleh dari perumusan Galerkin. Penyelesaian integral residual barat (weighted residual integral) menghasilkan satu persamaan nodal yang dipakai secara berulang-ulang untuk menghasilkan system persamaan-persamaan linear.

Suatu sistem persamaan linear diperoleh dari penyelesaian integral residual berat :

− ∫� �+ = (20)

Dengan fungsi berat yang disusun menggunakan fungsi bentuk Ni dan Nj.

Metode elemen hingga dengan fungsi berat Galerkin menentukan fungsi berat untuk nodal s, Ws, terdiri dari fungsi-fungsi bentuk untuk nodal s. Misalkan

fungsi berat untuk nodal 3 pada grid linear, seperti pada Gambar 2.6, terdiri dari fungsi-fungsi bentuk untuk nodal 3 :

17

Atau secara umum untuk fungsi berat Ws :

= {

_�+�

≤ ≤ _{≤ ≤}

(22)

�

=

−

− �

dan �+

=

−�

− �

Gambar 2.6.. Fungsi Berat untuk Nodal 3

18

Gambar 2.7. Fungsi-fungsi Berat untuk (a) Nodal Pertama ,(b) Nodal Bagian Dalam (c) Nodal Terakhir dalam Grid 1 Dimensi

Fungsi berat untuk nodal pertama :

W1(x) = N1(1) dan untuk nodal terakhir : Wp(x) = Np(p-1) (23)

Selanjutnya selesaikan integral residual berat dengan menggunakan urutan nodal r,s dan t. Persamaan (3.1) menjadi :

Rs = Rs(e) + Rs(e+1)

= − ∫ [ �+ ] − ∫ [ �+ ] + = (24)

Karena fungsi berat Ws = 0 untuk x < Xr dan x > Xt maka Ws (x) terdiri dari 2

persamaan terpisah dalam interval Xr≤ x ≤ Xt. Rs(e) dan Rs(e+1) adalah

kontribusi elemen (e) dan (e+1) kepada persamaan residual Rs pada nodal s.

Perhatikan persamaan integral (24) dan persamaan turunan sebagai berikut :

�

=

�

+

� �

�

=

�

+

� �

(25) �

19

Substitusi ke persamaan (24) diperoleh :

− ∫

� +

= −

�

| +

∫

� �

(27)

Untuk elemen (e) sedangkan untuk elemen (e+1) :

− ∫

� +

= −

�

| +

∫

� � +

(28) Telah diketahui sebelumnya bahwa

=

−

− , dan �

| =

− ₋ �

−

₋ − �

=

�

|

₌

Persamaan residual menjadi :

=

+

+

= − ∫

� �

+

=

+

+

= −

�

|

₌

+ ∫

� �

−

+

� +

|

₌

+ ∫

� �

−

+

(29)

Penyelesaian persamaan integral dalam persamaan (29) :

Dimulai dari elemen (e) .

�

= Φ + Φ

�

=

−�

�

Φ +

−

�

Φ

(30)

20

=

− _�

,

�

=

�

(31) dan

� �

=

�

−Φ + Φ

(32) Substitusi dan penyelesaian integral memberikan :

∫

� �

=

�

�

−Φ + Φ

(33) dan

∫

=

��

(34) Maka untuk elemen (e) diperoleh :

= −

�

|

₌

+

�_�

−Φ + Φ −

��

(35) Untuk elemen (e+1)

�

+

= Φ + Φ

�

+

=

−�

�

Φ +

−

�

Φ

(36)

dengan : +

=

−

�

;

� �+

= −

�

(37) dan

� �+

=

�

−Φ + Φ

(38)

Penyelesaian integral menghasilkan :

∫

� �

=

�_�

Φ + Φ

(39)

∫

=

��

(40)

Kontribusi elemen (e+1) terhadap persamaan residual :

+

=

�

|

21

Persamaan residual untuk nodal s :

=

� +

|

₌

−

�

|

₌

−

�_�

Φ [

D_L e

+

D L

e+

] Φ −

D_L e+

Φ −

��

−

�� +

=

(42) D dan Q adalah konstanta yang sama seperti ditentukan pada persamaan :

�

+ =

Suku ERROR pada persamaan (42) :

� +

| ₌ − � | ₌

Adanya suku ini menunjukkan bahwa metode elemen hingga merupakan pendekatan. Jika suku error dihilangkan, maka persamaan residual untuk nodal s adalah :

= − �_� − Φ − + [ �_� −

+ �_� ] Φ − �_� Φ + −

�� −

− �� =

Contoh penerapan persamaan (44) pada analisis batang tumpuan sederhana dengan momen terkonsentrasi pada ujung-ujungnya. Persamaan differensial pengatur untuk semua defleksi pada batang adalah : � �− =

E D Q L

1 2,4 x 1010 - 106 200

2 4,0 x 1010 _{- 10}6 ₂₀₀

3 4,0 x 1010 - 106 200

4 2,4 x 1010 - 106 200

22

Bentuk persamaan (44) dengan Q dan L konstan adalah :

=

−� − − +(� − + � ) − � +

�

−

=

Y = nilai defleksi nodal (�)

Gambar 2.8. Batang Tumpuan Sederhana Persamaan residual untuk nodal 2,3 dan 4 adalah :

R2 = - 1,2 Y1 + 3,2 Y2– 2,0 Y3 + 2 = 0

R3 = - 2,0 Y2 + 4,0 Y3– 2,0 Y4 + 2 = 0

R4 = - 2,0 Y3 + 3,2 Y4 – 1,2 Y5 + 2 = 0 (untuk 3 persamaan ini 108

‘dihilangkan’)

Tumpuan pada kedua ujung batang menunjukkan Y (0) = Y (800 cm) = 0 sehingga kondisi batas Y1 = 0 dan Y5 = 0, selanjutnya diperoleh set persamaan

:

R2 = 3,2 Y2– 2,0 Y3 = - 2

R3 = -2,0 Y2 + 4,0 Y3 - 2,0 Y4 = - 2

23

Diselesaikan dan diperoleh :

Y2 = -2,50 cm Y3 = -3,0 cm Y4 = -2,5 cm

a). Perhitungan defleksi di x = 300 cm, berada pada elemen (2) Y(2) = N2(2)Y2 + N3(2)Y3

= −

−

+

− −

Diketahui X2 = 200 cm ; X3 = 400 cm

Maka nilai simpangan di x = 300 cm :

= –

−

− , +

−

−

− ,

= - ½ (2,5 + 3,0) = - 2,75 cm b). Perhitungan slope di elemen (1) :

= _� − + = − , − = - 0,0125 cm/ cm

Sistem persamaan-persamaan linear pada contoh di atas dapat dinyatakan dalam notasi matrik :

{ } = [−, − −

− , ] { } − { − −

− } = { }

atau dalam bentuk persamaan matrik {R} = [K] {Y} – {F} = {0} dengan [K] menyatakan matrik system, {Y} menyatakan vektor simpangan, {F} menyatakan vektor gaya luar dan {R} menyatakan vektor residu untuk tiap elemen.

2.8. Formula Weak

Sebelum menerapkan Metode Elemen Hingga untuk memecahkan persamaan dengan kondisi batas, perlu untuk mengubah persamaan menjadi bentuk yang lebih cocok. Untuk melakukan itu ada dua alternatif:

1. Turunan satu dapat memperoleh masalah minimalisasi setara, yang memiliki tepat solusi sama dengan persamaan diferensial.

2. Turunan satu dapat memperoleh apa yang disebut formulasi lemah.

24

minimisasi yang setara , maka akan membatasi diri untuk metode kedua. Awalnya formulasi weak atau lemah telah diperkenalkan oleh matematika murni untuk menyelidiki perilaku solusi dari persamaan diferensial parsial, dan untuk membuktikan keberadaan dan keunikan dari solusi. Kemudian skema numerik telah didasarkan pada formulasi ini yang menyebabkan solusi perkiraan dengan cara yang konstruktif.

Dapat dilihat bahwa kondisi batas penting secara otomatis menunjukkan bahwa fungsi tes yang sesuai adalah sama dengan nol, sedangkan kondisi batas natural tidak memaksakan kondisi apapun baik dengan tidak diketahui atau fungsi tes. Hal ini tidak segera jelas apakah kondisi batas penting atau alami, kecuali dalam kasus di mana terdapat masalah minimisasi sesuai. Secara umum, bagaimanapun, dapat dikatakan bahwa untuk persamaan diferensial orde kedua, semua kondisi batas yang mengandung turunan pertama yang alami, dan fungsi yang diberikan pada batas sangat penting.

Dalam masalah rangka keempat situasinya lebih kompleks. Namun, untuk masalah fisik, secara umum, dapat dinyatakan bahwa jika kondisi batas mengandung turunan kedua atau ketiga mereka natural, sedangkan kondisi batas yang hanya berisi fungsi atau urutan pertama turunan sangat penting. Cara termudah untuk memeriksa apakah kondisi batas penting atau natural adalah untuk mempertimbangkan integral batas. Jika dalam beberapa cara syarat batas dapat diganti, kondisi batas wajar. Jika tidak kondisi ini penting dan fungsi pengujian harus dipilih sedemikian rupa sehingga integral batas lenyap.

2.9. Metode Galerkin

Titik awal adalah yang disebut sebagai metode Galerkin. Dalam metode ini solusinya c didekati oleh kombinasi linear dari fungsi ekspansi yang disebut fungsi dasar:

= ∑ � +

25

di mana parameter harus ditentukan. Fungsi dasar � harus independen linear.

Selain itu harus sedemikian rupa sehingga fungsi sewenang-wenang dalam ruang solusi dapat didekati dengan akurasi yang sewenang-wenang, tersedia dalam jumlah yang memadai fungsi dasar yang digunakan dalam kombinasi linear (45). Fungsi harus dipilih sedemikian rupa sehingga memenuhi kondisi batas penting. Secara umum ini berarti bahwa

� = dan = �.Dalam rangka untuk menentukan parameter =

, , … , � fungsi tes dipilih dalam ruang yang direntang oleh fungsi dasar

� untuk � . Hal ini cukup subtitusi

BAB 3

METODE PENELITIAN

3.1. Rancangan Penelitian.

Persamaan Navier Stokes didasarkan atas hukum gerakan Newton dan hukum gesekan viskos dari Newton yang telah diperluas. Sejauh ini tidak dibatasi dengan massa jenis yang konstan maupun viskositas yang konstan. Persamaan ini berlaku untuk fluida viskos dan kompresibel dengan viskositas yang bervariasi.

Didalam suatu fluida yang viskos, gaya permukaan yang bekerja pada elemen fluida dengan lebih kompleks. Ada dua macam gaya permukaan :

1. Gaya normal yang serupa dengan tekanan, tetapi mungkin tidak sama besarnya dalam segala arah.

2. Gaya geser yang arahnya sejajar dengan permukaan pada permukaan mana gaya tersebut bekerja.

3.2 Teknik Analisis Data

Langkah awal yang dilakukan terlebih dahulu dikaji sedikit tentang didalam suatu fluida yang viskos, gaya permukaan yang bekerja pada elemen fluida lebih kompleks. Beberapa fluida, Terutama zat cair mempunyai densitas yang hampir selalu mendekati konstan pada rentang tekanan dan temperatur yang lebar. Fluida-fluida yang menunjukkan kualitas seperti ini biasanya diperlukan sebagai zat yang inkompresibel (tidak dapat dimampatkan). Namun demikian pengaruh-pengaruh konpresibilitas lebih merupakan properti dari situasi ketimbang dari fluida itu sendiri.

Gaya-gaya yang bekerja pada suatu fluida dibagi menjadi 2 kelompok umum:

27

Gaya-gaya benda adalah gaya-gaya yang bekerja tampa kontak fisik, misalnya, gravitasi dan gaya elektrostatik.

2. Gaya-gaya permukaan (surface forces)

Tekanan dan gaya-gaya gesekan membutuhkan kontak fisik agar bisa melakukan transmisi. Karena membutuhkan permukaan agar bisa bekerja gaya-gaya tersebut dinamakan gaya-gaya permukaan.

3.3. Diagram Alir Penelitian

PERSAMAAN NAVIER-STOKES (PERSAMAAN DIFERENTIAL)

KONDISI AWAL DAN BATAS

FORMULA WEAK

METODE GALERKIN

METODE ELEMEN HINGGA

BAB 4

HASIL DAN PEMBAHASAN

4.1. Persamaan Dasar dalam Dinamika Fluida

Berdasarkan masalah pergerakan fluida dalam tabung, fluida yang akan dibahas dengan sifat sebagai berikut:

• medium adalah inkompresibel atau tidak mampat, • medium memiliki karakter Newtonian,

• sifat medium yang independen dan suhu seragam, • aliran laminar.

Untuk bidang aliran tiga dimensi persamaan dasar aliran fluida di bawah pembatasan di atas, dapat ditulis sebagai:

a. Persamaan Kontinuitas

� � =�_{�� +}�_{�� +}�_{�� =}

b. Persamaaan Navier-Stokes

� ( ��_{� + .} ) − � � = ��

di mana = , , � menunjukkan vektor kecepatan, ρ densitas fluida, = , , kekuatan tubuh per satuan massa, dan � tensor tekanan.

Komponen-wise bertuliskan : � ( � � � + � �� + � �� + � �� ) − ( �� �� + �� �� + �� �� ) = � �

dimana � = , ,

Untuk medium inkompresibel dan isotropik ketentuan tekanan � dapat ditulis sebagai

� = − � + = − � + � di mana menunjukkan tekanan,

� unit tensor

29

stres tensor deviatorik dan � viskositas fluida.

Komponen dari tensor didefinisikan oleh

= �_{�� +}�_��

� = − � + � �_{�� +}�_��

Jika μ konstan dimungkinkan untuk menyederhanakan ekspresi (48) dengan substitusi dari kondisi inkompresibilitas (47) dengan

� ( ��_{� + .} ) − � ∆ + = ��

Namun, akan lebih dipilih ekspresi (48) karena kondisi batas yang akan diimplementasikan lebih mudah dalam (48) dari dalam (53).

Persamaan (48) dapat dibuat berdimensi oleh pengenalan bilangan Reynolds Re yang didefinisikan oleh

= � �_�

di mana U adalah sejumlah kecepatan karakteristik dan L panjang karakteristik. Substitusi (54) ke dalam (48), (50) mendapatkan

�

� + . − � � = � (55.a)

� = − � + _�� (55.b)

dimana � tidak tergantung pada koordinat ruang.

4.2 Kondisi Awal Dan Batas

30

tinggi persyaratan konvektif mendominasi tensor stres dan sebagai akibatnya kondisi batas di outflow harus sedemikian rupa sehingga mereka membatasi aliran sesedikit mungkin.

Persamaan kontinuitas dan tekanan berperan sangat khusus dalam persamaan NavierStokes inkompresibel. Bahkan ada hubungan yang kuat antara keduanya. Hal ini dapat ditunjukkan (Ladyshenskaya, 1969), bahwa untuk inkompresibel mengalir Tidak ada batas kondisi eksplisit untuk tekanan harus diberikan. Biasanya kondisi batas untuk tekanan secara implisit diberikan dengan menetapkan tegangan normal.

Berikut jenis kondisi batas biasanya digunakan untuk dua dimensi mampat persamaan Navier-Stokes (ekstensi untuk ℝ lurus ke depan):

1. (kondisi batas Dirichlet), (56.a)

2. dan � diberikan, (56.b)

3. dan � diberikan, (56.c)

4. � dan � diberikan (57.d)

dimana menunjukkan komponen normal kecepatan pada batas dan komponen tangensial. � ∙ � ∙ menunjukkan komponen normal dari tensor tekanan pada batas dan � ∙ � ∙ komponen tangensial.

Contoh umum dari kondisi batas adalah:

• Pada dinding tetap: Tidak ada slip kondisi = . Ini adalah contoh dari jenis (56b).

• Pada arus masuk profil kecepatan yang diberikan: = . Ini juga merupakan contoh dari jenis (56b). Profil inflow khas = , parabola atau = , konstan.

31

Yang pertama (ut = 0, σnn = 0) mengatur arus keluar paralel dengan nol tegangan normal. Dari (52) dapat diturunkan bahwa

� = − + �

�

� = (�_{� +}�_{� )}

Sebagai konsekuensi untuk bilangan Reynolds tinggi � kira-kira sama dengan -p. Jadi � = berarti bahwa secara implisit � diatur sama dengan nol.

4.3. Aliran Asimetrik

Karena dalam perhitungan aliran umum tiga-dimensi, salah satu langkahnya biasanya mencoba untuk mengurangi satu dimensi dengan mempertimbangkan simetri dalam aliran atau arus kelalaian dalam arah tertentu. Hasil kemungkinan terakhir di aliran dua dimensi, seperti aliran saluran. Jika menggunakan silinder, simetri aliran mengurangi apa yang disebut aliran axisymmetric.

Dalam kasus seperti persamaan Navier-Stokes dan vektor kecepatan harus ditransformasikan ke sistem koordinat silinder dengan koordinat , � � � dan kecepatan komponen , � � �. Dalam axisymmetric mengalir variasi � − � �ℎ adalah nol dan semua turunannya � dapat diabaikan. Apakah komponen � dapat diabaikan tergantung pada aliran. Dalam � aliran berputar tidak sama dengan nol dan harus dalam tiga kasus diketahui kecepatan, meskipun hanya memiliki dua arah.

32

= (�_{� , �� ,}� �_��)�

� � = �_{� +}� �_{�� +}� �_��� =

��� = − + ��_{� , �}� �� = − + � �+ �_{�� ,}�

���= − + ��_{�� , �}� �� = ��� = � ( _�� � + �_{�� ),}�

��� = ��� = � �_{�� +}� �_{�� , �}� ��= ���= � (�_{�� +}� �_{� )}�

Perhatikan bahwa dalam ungkapan istilah / sering terjadi. Sebagai konsekuensinya harus berhati-hati dalam perhitungan numerik � � = . Pada simetri sumbu r = 0, perlu kondisi batas ekstra, yang disebut kondisi simetri. Satu segera memverifikasi bahwa kondisi simetri ini diberikan oleh:

� = ,�_{� = ,}� � = � � =

atau diterjemahkan ke tekanan :

� = , � = � � = � � =

4.4. Formulasi Weak

33

Gambar 4.1. Contoh buatan dengan wilayah dan batas-batas � , � , � � � .

Selain itu batasi untuk kasus dua dimensi. Gambar 4.5 menunjukkan contoh buatan dari Ω wilayah dengan empat batas Γ1 untuk Γ4. Pada masing-masing batas ini terdapat berbagai jenis kondisi batas. Perumusan contoh sekarang untuk � memecahkan harus memenuhi :

� � = , − � � + � . � = �� ,

� = − � + �_{�� +}�_{�� ,}

= � Γ , = , � = , � Γ

= , � = , � Γ � = , � = , � Γ

Dalam rangka untuk memperoleh formulasi yang lemah, persamaan (60) harus dikalikan dengan fungsi tes. Persamaan pertama (60) dikalikan dengan

fungsi tes mengakibatkan

34

Persamaan momentum (61) terdiri dari dua persamaan, yang mungkin setiap dikalikan dengan tes terpisah fungsi � . Jika � � � � � =

, persamaan ini dapat dikombinasikan untuk :

∫(− � � + � . � ) . Ω = ∫ � . Ω

Memilih � sama dengan nol memberi formulasi lemah asli untuk masing-masing persamaan.

Istilah pertama dapat lebih dikurangi dengan menerapkan integrasi dengan bagian (Gauss teorema) untuk :

∫ − � � . Ω = ∫ � . Ω − ∫ � + � Γ

Γ

dimana Γ menunjukkan batas , dalam arah normal dan arah tangensial.

Memang di semua penyelidikan teoritis berkenaan dengan bentuk lemah dari Navier-Stokes persamaan, p dan q diambil dari ruang yang sama dan u dan v yang diambil dari ruang yang sama. Pengamatan ini memotivasi pilihan fungsi dasar dalam metode standar Galerkin.

4.5 Metode standar Galerkin

Dalam metode standar Galerkin didefinisikan dua jenis fungsi dasar, dasar fungsi � � yang sesuai dengan tekanan dan fungsi �� � yang sesuai dengan komponen kecepatan. Akan mungkin menggabungkan fungsi dasar kecepatan ke dalam bentuk vektor oleh

� � = � � , � � = (� � ) Sekarang perkiraan � akan ditentukan oleh

ℎ = ∑ � �

35

�

_ℎ

= ∑

�

=

� +

� � = ∑

₌

�

�

Secara formal sistem persamaan dapat ditulis sebagai + � − � = �

� =

4.6. Simulasi Model dengan Comsol 4.2a

Untuk mendapatkan model dibutuhkan sebuah program yang menggunakan konsep Metode Elemen Hingga. Salah satunya adalah Comsol 4.2. Dan gambarkan bentuk tabung dan meletakkan fungsi-fungsi yang diperoleh dalam model tersebut sehingga diperoleh hasil yang sesuai.

Sebelumnya pilih model dengan 2D asimetrik dengan aliran laminar sehingga memungkinkan dalam memodelkan mengurangkan satu dimensi seperti yang dijelaskan pada bagian 4.3 dan mendapatkan gambar sesuai dengan persamaan-persamaan yang telah dibahas sebelumnya.

Variabel Besar

Lebar 6e-3 meter

Tinggi 14e-3 meter

Rho air _⁄

Mu air 1.51e-3[Pa*s]

Tabel 4.1. Data yang akan dimasukkan pada model

36

Gambar 4.2. Mesh dengan elemen segiempat

Oleh Metode Elemen Hinga, mesh pada gambar 4.1. dibuat dengan elemen segiempat. Sehinga diperoleh daerah dalam dimensi dua untuk estimasi nilai-nilai yang akurat.

Gambar 4.3. Besar gaya pada permukaan

37

dimasukkan dalam tabung memiliki pusat yaitu yang berwarna biru dimana proses pergerakan fluida berasal dari sana.

Gambar 4.4. Grafik Kecepatan Partikel terhadap Waktu

Pada Gambar 4.2 bisa melihat kecepatan pergerakan partikel dalam tabung dengan persamaan navier stokes. Untuk lebih mudah dalam melihatnya diperlihatkan dari waktu = sampai = . Hasil dari aliran fluida yang diperoleh adalah sebagai berikut :

38

Gambar 4.5. Pergerakan Fluida dalam Tabung

Gambar 4.6 Pergerakan Fluida dalam tabung Setelah Satu Detik

Pergerakan fluida dalam tabung dapat dilihat semakin lama semakin cepat dalam waktu 0 detik sampai satu detik. Semakin mempengaruhi kecepatan di pusat tabung. Sehingga jika kecepatan fluida dalam tabung tidak terkontrol dan dapat menyebabkan fluida keluar dari wadah. Dan untuk tekanan yang diperoleh dapat dilihat sebagai berikut.

a.

39

Gambar 4.7. Tekanan pada saat : a. t = 0 detik ; b. t = 0,150 detik ; c. t = 0,375 detik, d. t = 0,575 detik, e. t = 0,775 detik, f. t = 1 detik,

Perubahan tekanan terlihat dari t = 0 detik sampai t = 1 detik dimana terlihat semakin mengalami sedikit perubahan sesuai dengan Gambar 4.3 yang sudah diperoleh. Sehingga diperoleh hasil-hasil pada gambar diatas dengan metode Elemen Hingga yang dilakukan otomatis oleh Comsol 4.2.

Dari simulasi dengan Comsol 4.2a bisa dilihat penerapan Metode Elemen Hingga pada permasalahan dengan persamaan Navier-Stokes pada fluida dalam tabung dengan jelas. Hasil yang diperoleh dapat dilihat dari grafik, simulasi kecepatan, dan simulasi tekanan pada masalah yang diteliti c.

e.

d.

BAB 5

KESIMPULAN DAN SARAN

Pada bab ini akan diberikan kesimpulan yang diperoleh dari penelitian bab sebelumnya, selanjutnya akan diberikan saran untuk dipergunakan dalam penelitan lebih lanjut.

5.1 Kesimpulan

1. Fluida didefinisikan sebagai zat yang berdeformasi terus-menerus selama dipengaruhi suatu tegangan geser, dimana aliran fluida terdapat dua jenis yakni laminar dan turbulensi yang dipengaruhi oleh besar dari bilangan Reynolds 2. Analisis numerik dilakukan secara lebih detail dengan program comsol 4.2

dimana dapat dilihat pergerakan fluida dalam tabung yang menggunakan persamaan Navier-Stokes yang didiskritisasi dengan Metode Elemen Hingga

5.2 Saran

1. Pada penelitian ini penulis hanya membatasi penggunaan dengan analisis menggunakan software comsol 4.2 yang menerapkan Metode Elemen Hingga. Untuk penelitan selanjutnya diharapkan bagi pembaca menggunakan software yang lain dan metode yang berbeda.

42

DAFTAR PUSTAKA

A. Kuzmin. 2010. Computional Fluid Dynamic 2010. Springer. Russia.

A. Segal. 2012. Finite Element Methods for Incompressible Navier-Stokes Equations. Delft Institute of Applied Mathematics. Delft, The Netherlands.

Faber, T. E. Fluid Dynamics for Physicists. New York: Cambridge University Press, 1995.

Hidajat, R. 2005. Teori dan Penerapan Metode Elemen Hingga. UNS Press. Surakarta.

Mark, A. Partial Differential Equations and Boundary-Value Problems with Applications, Third Editon. McGraww-Hill. Singapore.

Roger, T. 1977. Navier-Stokes Equations Theory and Numerical Analysis. North-Holland. Amsterdam.