1 BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Matematika merupakan ilmu yang tidak dapat dipisahkan dari kehidupan manusia. Matematika juga merupakan media untuk melatih kemampuan berfikir kritis, kreatif dan dapat menyelesaikan masalah. Matematika sendiri berkembang sesuai dengan perkembangan zaman yang semakin hebat. Matematika menjadi alat bantu di kehidupan yang menunjang ilmu-ilmu pengetahuan serta menjadi ilmu pokok dalam perkembangan teknologi di dunia. Seorang matematikawan dari Jerman terhebat sepanjang masa, Gauss, pernah mengatakan bahwa „Matematika adalah ratu dari sains„ (Aji, Rizqon Halal Syah, 2014:157). Matematika sangat erat kaitannya dengan pola pikir manusia yang berpengaruh dalam kehidupan. Perkembangan pesat dalam bidang teknologi informasi dan komunikasi dewasa ini dilandasi oleh perkembangan matematika di bidang teori bilangan, aljabar, analisis, teori peluang dan matematika diskrit.
Matematika diskrit adalah cabang matematika yang membahas segala sesuatu yang bersifat diskrit. Salah satu cabang pembahasan matematika diskrit adalah teori graf. Teori graf merupakan cabang ilmu matematika yang memberikan gambaran dari sebuah masalah kehidupan nyata ke dalam bentuk diagram yang bertujuan untuk memudahkan dalam pemahaman (Masido, 2007). Teori graf pertama kali diperkenalkan oleh Leonhard Euler seorang matematikawan berkebangsaan Swiss pada tahun 1736 melalui tulisan Euler yang berisi tentang upaya pemecahan masalah jembatan Konigsberg yang sangat terkenal di Eropa.
Didefinisikan bahwa graf adalah himpunan pasangan terurut (V, E), dimana
2
Menurut Siang (2002:187) jika ditinjau dari arahnya graf dibedakan menjadi 2 yaitu, jika semua garisnya berarah maka graf-nya disebut Graf Berarah (Directed Graph, atau sering disingkat Digraph), sedangkan jika semua garisnya tidak berarah, maka graf-nya disebut Graf Tak Berarah (Undirected Graph). Selain itu ada juga pendapat dari Munir (2003: 293) bahwa sisi pada graf mempunyai orientasi arah. Berdasarkan orientasi arah pada sisi, maka secara umum graf dibedakan atas 2 jenis, yaitu Graf tak-berarah (Undirected Graph) dimana setiap sisi-sisinya tidak mempunyai orientasi arah dan Graf berarah (Directed Graph, atau Digraph) dimana setiap sisi-sisinya memiliki atau diberikan orientasi arah.
Dalam suatu graf terdapat banyak permasalahan yang dapat diselesaikan, diantaranya adalah pewarnaan (coloring), waktu minimal, aliran maksimal, mencari jarak terpendek, dan lain-lain. Dari berbagai permasalahan tersebut, permasalahan yang menonjol dan sering kali muncul adalah mengenai jarak terpendek. Jarak terpendek biasanya dihitung dari satu titik ke titik lain dalam suatu graf. Untuk memudahkan dalam menentukan jarak terpendek dari suatu graf dapat menggunakan suatu algoritma.
3 Menggunakan diagram alir (flowchart). Dari sekian banyak algoritma, untuk menentukan algoritma yang terbaik dalam proses pengerjaannya harus memperhatikan beberapa kriteria yaitu: Ada Output, Efektifitas dan Efisiensi, Jumlah langkahnya berhingga, Berakhir, dan Terstruktur. Dari kriteria tersebut diatas, dapat ditentukan suatu algoritma terbaik dari sekian banyak algoritma yang ada, yaitu: “suatu algoritma harus menghasilkan output yang tepat guna (efektif) dalam waktu yang relatif singkat dan penggunaan memori yang relatif sedikit (efisien) dengan langkah yang berhingga dan prosesnya berakhir baik dalam keadaan diperoleh suatu solusi ataupun tidak adanya solusi” (Suryadi, 1996: 3-4).
Penyelesaian masalah dengan model teori graf membutuhkan kecepatan, ketepatan, serta kemudahan dalam penyelesaiannya, maka dalam hal tersebut algoritma adalah salah satu solusi yang ditawarkan untuk permasalahan jarak terpendek pada suatu graf. Namun untuk pemilihan algoritma yang efektif dan efisien yang dilihat dari proses pengerjaannya adalah hal utama yang perlu dipertimbangkan sebelum mengerjakan suatu permasalahan jarak terpendek pada suatu graf. Oleh karena itu sebelum menyelesaikan permasalahan mengenai jarak terpendek pada suatu graf, haruslah mengetahui dengan jelas permasalahan tersebut, lalu menentukan algoritma apakah yang dapat memudahkan proses menentukan jarak terpendek pada suatu graf, sehingga memudahkan dalam proses menentukan jarak terpendek, serta menjadikannya algoritma tersebut sebagai solusi yang efektif, efisien, serta memiliki solusi yang tepat dalam menyelesaikan suatu permasalahan jarak terpendek.
4 pasangan titik, dan melakukannya dalam sekaligus untuk semua pasangan titik (Siang, 2002: 272). Algoritma ini mempresentasikan sebuah graf kedalam bentuk matriks untuk memudahkan dalam prosesnya. Setelah dipresentasikan dalam bentuk matriks, barulah melakukan perhitungan dari setiap titik-titiknya hingga menemukan jarak terpendek dari semua pasangan titik-titiknya. Dalam proses pengerjaannya algoritma Floyd Warshall akan memeriksa jarak antara vi dan vj apakah bisa lebih pendek jika melalui vi,vk dan vk,vj.
Algoritma Floyd Warshalladalah salah satu algoritma yang bisa ditawarkan untuk menentukan jarak terpendek dari suatu graf dikarenakan kemudahan dalam implementasinya. Namun masih banyak masalah jarak terpendek yang tidak terselesaikan dan tidak menemukan solusi yang baik dengan menggunakan algoritma tersebut, dikarenakan belum mengetahui definisi serta sifat-sifat dari algoritma Floyd Warshall. Sehingga dalam proses pengerjaannya algoritma Floyd Warshall tidak memberikan solusi yang baik, serta tidak menjadikan algoritma Floyd Warshall sebagai algoritma yang efektif dan efisien.
5 1.2 Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang di atas dapat dirumuskan permasalahan yang dikaji adalah, bagaimana asumsi algoritma Floyd Warshall untuk graf berarah?
1.3 Pembatasan Malasah
Kajian ini memiliki batasan-batasan dalam pembahasan agar tujuan dalam kajian dapat tercapai serta menghindari meluasnya permasalahan yang akan dikaji, maka penulis memberikan batasan kajian ini sebagai berikut:
1. Graf yang digunakan merupakan digraph tanpa sisi rangkap berarah dan tanpa
loop atau dapat disebut digraph sederhana (simple digraph); 2. Graf yang digunakan merupakan graf berhingga;
3. Jenis graf yang dibahas hanya mencakup jenis graf menurut arahnya, yaitu graf satu arah serta graf dua arah dalam satu garisnya;
4. Pembuktian akan dilakukan dengan menggunakan graf tidak berarah (memiliki dua arah dalam satu garisnya) dan graf berarah (memiliki satu arah dalam setiap garisnya);
1.4 Tujuan Kajian
Sesuai dengan latar belakang dan rumusan masalah, tujuan kajian ini adalah untuk menentukan asumsi-asumsi dari algoritma Floyd Warshall untuk graf berarah.
1.5 Manfaat Kajian
Berdasarkan latar belakang di atas maka manfaat dari kajian ini adalah sebagai berikut:
6 2. Secara Praktis diharapkan dapat memberi informasi baru tentang asumsi dari
algoritma Floyd Warshall, serta diharapkan dapat menambah pengetahuan atau dapat menjadi referensi bagi pembaca khususnya mahasiswa.
1.6 Metode Penelitian 1. Bahan dan Sumber Kajian
Buku yang dibutuhkan dalam kajian ini antara lain adalah buku Pengantar Teori Graf (Cahyono, Hendarto:2000); Matematika Diskrit (Lipschutz, Seymour dan Lipson, March: 2008); Matematika Diskrit Dan Aplikasinya Pada Ilmu Komputer (Siang, Jong Jek: 2002); Pengantar Analisis Algoritma (Suryadi, M.T.: 1996); Matematika Diskrit Edise Ke-II (Wibisono, Samuel: 2008); Graphs An Introductory Approach (Wilson, Robin J. dan Watkins, John J.:1989); serta dilengkapi buku penunjang yang lainnya dan informasi dari internet tentang algoritma Floyd Warshall.
2. Prosedur Kajian
Diawali dengan mencari suatu permasalahan yang kemudian menetapkan bahan dan sumber yang sesuai dengan permasalahan untuk mendapatkan informasi seluas-luasnya yang diperlukan adalah graf, algoritma, algoritma jarak terpendek, definisi dari algoritma Floyd Warshall, dan waktu penyelesaian dalam implementasinya yang selanjutnya informasi tersebut dikelola dengan sedemikian, sehingga menimbulkan permasalahan yang telah didapat yaitu “Analisis Asumsi Algoritma Floyd Warshall pada Graf Berarah”. 3. Analisis Hasil
Dilakukan dengan pengolahan dari literatur yang sudah didapat. Permasalahan pada skripsi ini adalah mendeskrepsikan asumsi algoritma Floyd Warshall. Asumsi yang akan dibuktikan adalah:
a. Algoritma Floyd Warshallhanya dapat menyelesaikan masalah jarak terpendek dari suatu graf yang memiliki satu arah (tidak memiliki dua arah dalam satu garisnya); serta
7 Analisis yang dilakukan adalah dengan mencari pokok bahasan yang mengarah pada asumsi algoritma Floyd Warshall yang selanjutnya asumsi akan dibuktikan, lalu akan dilihat dampak-dampak dari asumsi algoritma tersebut.
1.7 Kerangka Konseptual
8
a.Algoritma Floyd Warshall hanya
dapat menyelesaikan masalah jarak
terpendek dari suatu graf yang
memiliki satu arah (tidak memiliki
dua arah dalam satu garisnya); dan
b.Algoritma Floyd Warshall akan lebih
efektif dan efisien jika digunakan
untuk suatu graf dengan jumlah titik
(vertex) yang kecil.
Gambar 1.1 Peta Konsep Keterangan
: Jenis Graf
: Dapat dirubaah kedalam bentuk matriks : Masalah pada graf
: Dapat diselesaikan dengan : Memiliki asumsi
i
LAPORAN TUGAS AKHIR
Topik Tugas Akhir : Kajian Matematika
ANALISIS ASUMSI ALGORITMA FLOYD WARSHALL PADA GRAF BERARAH
TUGAS AKHIR
Diajukan Kepada Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan Universitas Muhammadiyah Malang
Sebagai Salah Satu Prasyarat untuk Mendapatkkan Gelar Sarjana Pendidikan Matematika
Oleh:
OKTA FEBRIANSYAH NIM: 201010060311109
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
ii
LEMBAR PERSETUJUAN
Tugas Akhir dengan Judul:
ANALISIS ASUMSI ALGORITMA FLOYD WARSHALL PADA GRAF BERARAH
Oleh:
OKTA FEBRIANSYAH NIM: 201010060311109
telah memenuhi persyaratan untuk dipertahankan di depan Dewan Penguji dan disetujui
pada tanggal 26 Agustus 2015
Menyetujui,
Pembimbing I Pembimbing II
iii
LEMBAR PENGESAHAN
Dipertahankan di depan Dewan Penguji Tugas Akhir Program Studi Pendidikan Matematika
Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan Universitas Muhammadiyah Malang dan Diterima untuk Memenuhi Persyaratan
Memperoleh Gelar Sarjana (S1) Pendidikan Matematika pada Tanggal: 26 Agustus 2015
Mengesahkan:
Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan Universitas Muhammadiyah Malang
Dekan,
Dr. Poncojari Wahyono, M. Kes.
DewanPenguji: TandaTangan
1. Dr. Siti Inganah, M.M.,M.Pd. 1. ……….
2. Rizal Dian Azmi, M.Sc. 2. ……….
3. Dr. Moh. Mahfud Effendi, M.M. 3. ……….
iv
SURAT PERNYATAAN
Saya yang bertanda tangan di bawah ini:
Nama : Okta Febriansyah
Tempat tanggal lahir : Malang, 19 Oktober 1991
NIM : 201010060311109
Fakultas : Keguruan dan Ilmu Pendidikan Program Studi : Pendidikan Matematika
Denganini menyatakan dengan sebenar-benarnya bahwa:
1. Skripsi dengan berjudul “Analisis Asumsi Algoritma Floyd Warshall pada Graf Berarah” adalah hasil karya saya, dan dalam naskah skripsi ini tidak terdapat karya ilmiah yang pernah diajukan oleh orang lain untuk memperoleh gelar akademik di suatu Perguruan Tinggi, dan tidak terdapat karya atau pendapat yang pernah ditulis atau diterbitkan oleh orang lain, baik sebagian atau keseluruhan, kecuali secara tertulis dikutip dalam naskah ini dan disebutkan dalam sumber kutipan atau daftar pustaka.
2. Apabila ternyata di dalam naskah skripsi ini dapat dibuktikan terdapat unsur-unsur plagiasi, saya bersedia skripsi ini digugurkan dan gelar akademik yang telah saya peroleh dibatalkan, serta diproses dengan ketentuan hukum yang berlaku.
3. Skripsi ini dapat dijadikan sumber pustaka yang merupakan hak bebas royalty non eksklusif.
Demikian pernyataan ini saya buat dengan sebenar-benarnya untuk dipergunakan sebagaimana mestinya.
Malang, 02 September 2015 yang menyatakan,
Okta Febriansyah
v MOTTO
Jangan pernh mengeluh ketika
tangan belum dapat menggapai bintang
di langit, tapi bersyukurlah ketika kamu masih dapat menginjakkan
kaki di bumi.
Kamu tak akan pernah menyesal ketika kamu mati untuk meraih
mimpi mu, namun kamu akan menyesal seumur hidup mu ketika
kamu menyerah untuk meraih mimpi mu itu.
(OP)
“Dan memohonlah pertolongan (kepada Allah) dengan sabar dan
shalat.
Dan (shalat) itu sungguh berat, kecuali bagi orang-orang yang
khusyuk”.
(Q.S Al-Baqoroh: 45)
Setiap orang belum tentu baik, tetapi selalu ada kebaikan pada setiap
orang.
Jangan terlalu cepat menilai seseorang, karena setiap orang suci pasti
punya masa lalu, dan setiap pendosa masih punya masa depan
vi
PERSEMBAHAN
Puji syukur kehadirat Allah SWT yang telah memberikan Rahmat dan Hidayah-Nya serta shalawat serta salam tetap tercurahkan kepada Rosulullah Muhammad SAW yang telah menuntun umat islam dari zaman jahiliyah zaman yang penuh dengan kebodohan serta pembodohan menuju zaman terang dan zaman kebenaran serta zaman terpelajar.
Tugas Akhir ini saya persembahkan untuk:
1. Ibu saya yang saya cintai serta Alm. Ayah yang selalu saya banggakan, terimakasih atas doa, dorongan materi dan moral yang selalu di berikan tiada henti kepada saya.
2. Kakak-kakakku, serta saudara-saudara yang lainnya, terimakasih atas dukungannya selama ini. Doa ku selalu menyertaimu.
3. Bapak. Dr. Moh. Mahfud Effendi, M.M. dan Ibu Alfiani Athma Putri Rosyadi, M.Pd. selaku dosen pembimbing I dan II yang selalu sabar membimbing serta memberi arahan saya hingga tugas akhir ini terselesaikan. 4. Teman-teman kelas Matkom C angkatan 2010, Ustad, Paeq, Ucup, Aris, Pras,
vii
KATA PENGANTAR
Puji syukur Alhamdulillah kepada Allah SWT, yang Maha Mengetahui lagi Maha Penyayang, karena dengan rahmat dan hidayah-Nya, penulis dapat menyelesaikan tugas Tugas Akhir judul “Analisi Algoritma Floyd Warshall pada Graf Berarah”. Shalawat serta salam selalu tercurahkan kepada Rosulullah Muhammad SAW, Keluarga dan para Sahabatnya.
Tugas Akhir ini merupakan kajian mengenai asumsi dari algoritma Floyd Warshall untuk menentukan jalur terpendek pada graf berarah. Dimana apabila asumsi tersebut tidak terpenuhi, maka akan menjadikan suatu algoritma yang tidak memberikan solusi yang benar serta akan menjadikan suatu algoritma yang tidak efektif dan tidak efisien dalam proses pengerjaannya.
Penulis menyadari bahwa Tugas Akhir ini dapat terselesaikan berkat bimbingan, bantuan dan motivasi dari banyak pihak. Oleh karena itu, dengan setulus hati penulis mengucapkan terimakasih kepada:
1. Dr. Moh. Mahfud Effendi, M.M., selaku dosen pembimbing I yang telah meluangkan waktu dan kesabaran dalam memberi petunjuk, bimbingan dan pengarahan kepada penulis sehingga terselesaikan Tugas Akhir ini.
2. Alfiani Athma Putri Rosyadi, M.Pd., selaku dosen pembimbing II yang telah meluangkan waktu untuk membimbing penulis dalam menyelesaikan Tugas Akhir ini.
Semoga Allah SWT menunjukkan jalan dan memberikan cahaya-Nya, serta melapangkan dada kita dengan limpahan iman dan keindahan tawakal kepada-Nya. Penulis berharap semoga Tugas Akhir ini dapat bermanfaat bagi semua pihak yang berkepentingan. Namun dalam penulisan Tugas Akhir ini penulis menyadari masih banyak kekurangan dan kelemahan karena terbatasnya kemampuan penulis, oleh karena itu kritik dan saran yang membangun sangat dibutuhkan, guna mengembangkan Tugas Akhir ini ke depannya.
Malang, 02 September 2015
x DAFTAR ISI
Halaman Judul ... i
Lembar Persetujuan ... ii
Lembar Pengesahan ... iii
Halaman Pernyataan Keaslihan ... iv
Halaman Motto ... v
2.1.2 Jenis Graf Berdasarkan Orientasi Arahnya ... 10
1. Graf Tak-Berarah ... 10
2. Graf Berarah ... 11
xi
2.3 Lintasan ... 14
2.4 Jarak Terpendek (Shortes Path) Pada Graf ... 15
2.4.1 Algoritma Jarak Terpendek ... 15
1. Algoritma Floyd Warshall ... 15
BAB III PEMBAHASAN ... 18
3.1 Analisis Asumsi ke-1 ... 18
3.1.1 Dibuktikan dengan graf yang memiliki arah ganda pada garisnya ... 18
3.1.2 Dibuktikan dengan graf yang memiliki satu arah pada setiap garisnya ... 21
3.2 Analisis Asumsi ke-2 ... 27
3.3 Pengaruh dari asumsi tersebut ... 27
3.3.1 Pengaruh Asumsi ke-1 ... 18
3.3.2 Pengaruh Asumsi ke-2 ... 21
BAB IV PENUTUP ... 28
4.1 Kesimpulan ... 28
4.2 Saran ... 28
DAFTAR PUSTAKA ... 29
xii
DAFTAR GAMBAR
Gambar 1.1 Peta Konsep ... 8
Gambar 2.1 Graf G ... 10
Gambar 2.2 Graf berarah (undirected graph) ... 11
Gambar 2.3 Graf Berarah (directed graph/digraph) ... 11
Gambar 2.4 Graf Sederhana dan Graf Rangkap ... 12
Gambar 2.5 Representasi Graf G kedalam Bentuk Matriks Kedekatan 13
Gambar 2.6 Graf Berarah (directed graph/digraph) ... 13
Gambar 2.7 Graf G ... 14
Gambar 2.8 Graf G ... 14
Gambar 2.9 Digraph G ... 15
Gambar 2.10 Flowchart ... 17
Gambar 3.1 Digraph G dengan arah ganda ... 18
Gambar 3.2 Digraph G dengan satu arah ... 21
Gambar 3.3 Digraph G dengan arah ganda ... 24
xiii
DAFTAR LAMPIRAN
Lampiran 1: Proses pembahasan algoritma jalur terpendek pada graf
29
DAFTAR PUSTAKA
Abdussakir, Nilna Niswatin A. dan Fifi Framelia N. 2009.Teori Graf. UIN-Malang Press: UIN-Malang.
Aji, Rizqon Halal Syah .15 juni 2014: jurnal: “Khazanah Sains dan Matematika Dalam Islam”
http://www.academia.edu/9990160/KHAZANAH_SAINS_D-AN_MATEMATIKA_DALAM_ISLAM_Rizqon_Halal_Syah_Aji,diakses pada
tanggal 30 Maret 2015.
Andhy. 2011. Jurnal Unikom: “Penerapan Algoritma Label-Setting Untuk Menentukan Jalur Terpendek Dari Dua Node Pada Peta Kota Bandung“,
http://elib.unikom.ac.id/gdl.php?mod=browse&op=read&id=jbptunikompp
-gdl-andhynim10-26393&q=andhy, diakses pada tanggal 15 Maret 2015. Ali, Thantowi. 2003 : Jurnal:”Analisis Teori Graf, Volume II Univ. Diponegoro”,
http://eprints.undip.ac.id/32238/6/M03_Ali_Thantowi_chapter_II.pdf, diakses pada tanggal 21 April 2015
Cahyono, Hendarto.2000:PengantarTeori Graf. UMM: Malang.
Hidayat, Andri, Mei 2013. Jurnal: ”Pencarian rute terpendek dengan menggunakan algoritma Fyold Warshall untuk taksi dengan rute Terminal Leuwi Panjang – Dipati Ukur”, http://elib.unikom.ac.id/files/disk1/625-/jbptunikompp-gdl-andrihiday31214-10-unikom_a-i.pdf, diakses pada tanggal 4 Maret 2015.
Kurniawati, Anik. 2007: Jurnal UMM: “Implementasi Algoritma Floyd Warshall Untuk Mencari Jarak Terpendek Dengan Menggunakan Program Turbo Pascal”.
Lipschutz, Seymour dan Lipson, March. 2008: Matematika Diskrit, Edisi Ketiga. Erlangga.
30
http://infor-matika.stei.itb.ac.id/~rinaldi.munir/Matdis/2006-2007/Makalah-/Makalah060-784.pdf, diakses pada tanggal 30 Maret 2015.
Siang, Jong Jek. 2002: Matematika Diskrit Dan Aplikasinya Pada Ilmu Komputer.
Andi: Yokyakarta.
Suryadi. MT. 1996: Pengantar Analisis Algoritma. Gunadarma: Jakarta.
Saniman dan M. Fathoni. 2008: Jurnal Saintikom: “Pengantar Algoritma Dan Pemrograman”, http://lppm.trigunadharma.ac.id/public/fileJurnal/6BEB3-OK-Jurnal13-Sani-MF-Algo1-1.pdf, diakses pada tanggal 4 Maret 2015. Wibisono, Samuel. 2008: Matematika Diskrit Edise Ke-II. Graha Ilmu:
Yogyakarta.
