BAB 9 Lingkaran fixs

(1)

BAB 9 LINGKARAN

Pada materi ini akan dibahas tentang persamaan lingkaran dan persamaan garis singgung lingkaran :

A. PERSAMAAN LINGKARAN

1. Persamaan lingkaran dengan pusat (0,0) dan jari – jari r

Rumus : x2y2r2 Contoh :

Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di titik (0,0) dan berjari – jari 2 2 !

Jawab :

 

2 2 2 2 2 2

2 2 x y r x y 2 2

x y 8   �  

  �

2. Persamaan lingkaran dengan pusat (a,b) dan jari – jari r

Rumus :



 



2 2 2

x a  y b r Contoh :

Tentukan persamaan lingkaran dengan pusat di P (3, – 4) dan menyinggung garis 4x – 3y – 49 = 0 !

Jawab :

Basic concept :

mencari jarak titik (a,b) ke garis px + qy + r = 0 sama dengan mencari panjang jari – jari lingkaran

d =

2 2 ap bq r

p q  



Jadi, dengan titik ( 3, – 4) dan garis 4x – 3y – 49 = 0, maka panjang jari – jari lingkaran tersebut :

d =



 



 

2 2 2 2

3.4 4. 3 49

ap bq r 15

3 5

p q 4 3

    

  _ _  _

  

(2)



 





 



2 2 2

2 2

x 3 y 4 3 x 3 y 4 9

       

3. Persamaan umum lingkaran 2 2

x y Ax By C 0   Contoh :

Tentukan persamaan umum lingkaran dengan pusat (-1, 2) dan jari – jari 4 !

Jawab :



 





 



2 2 2

2 2

x a y b r x 1 y 2 4

x 2x 1 y 4y 4 16 x y 2x 4y 11 0         �       �      �

4. Menentukan jari – jari lingkaran dan pusat lingkaran

Metode supertrik :

 



 



 

2 2 2

2 2

1 x a y b r

makapusat a,b dan jari jari r

2 jikadiketahui pers x y Ax By C 0 1 1

makapusat A, B 2 2

1 1

Jari jari r A B c

2 2             � � �  �_�  �_� � � � �    �_� � �_{� �}  �_� e e e

B. PERSAMAAN GARIS SINGGUNG LINGKARAN

1. Persamaan garis singgung yang melalui titik pada lingkaran

 Persamaan garis singgung lingkaran x2y2r2 pada titik (x1,y1)

Basic concept :

Mencari persamaan garis singgung (P.G.S) lingkaran 2 2 2

x y r _{pada titik (x}

1,y1) adalah dengan bagi

hasil.

Rumus : xx1 + yy1 = r2

 Persamaan garis singgung lingkaran



_{x a}_

 

2_{ }_{y b}



2__r2

(3)

Basic concept :

Mencari persamaan garis singgung (P.G.S) lingkaran



_{x a}_

 

2_{ }_{y b}



2__r2

pada titik (x1,y1) adalah dengan

bagi hasil.

Rumus :



x a x a

 

1  

 

y b y b

 

1 



r2

 Persamaan garis singgung lingkaran 2 2

x y Ax By C 0   _{pada titik (x}

1,y1)

Basic concept :

Mencari persamaan garis singgung (P.G.S) lingkaran 2 2

x y Ax By C 0   _{pada titik (x}

1,y1) adalah

dengan bagi hasil.

Rumus : 1 1



1





1



1 1

xx yy A x x B y y C 0

2 2

      

2. Persamaan garis singgung dengan gradien tertentu

 Jika sejajar garis ax + by = c, maka sejajar

x a

m

y b

   

 Jika tegak lurus garis ax + by = c, maka

tegak lurus

y b m

x a  

Rumus P.G.S : y – b = m(x – a) ± r m 12

PAKET SOAL DAN PEMBAHASAN 1. UN 2010

Salah satu persamaan garis singgung lingkaran



 

2



2

x 4  y 5 8_{yang sejajar dengan y – 7x + 5 = 0} adalah…

(4)

E. y – 7x + 43 = 0 Pembahasan :

Pusat (4,5) , r = 8 ; sejajar

x 7

m 7

y 1

     

P.G.S :









2

y b m x a r m 1 y 5 7 x 4 8 49 1 y 7x 28 5 20

* y 7x 23 20 7x y 3 0 * y 7x 23 20 7x y 43 0

   � 

   �

   �       �   

Jawaban:E 2. UN 2011

Persamaan garis singgung lingkaran x2_{+ y}2_{– 6x + 4y – 12}

= 0 di titik (7,1) adalah… A. 3x – 4y – 41 = 0 B. 4x + 3y – 55 = 0 C. 4x – 5y – 53 = 0 D. 4x + 3y – 31 = 0 E. 4x – 3y – 40 = 0 Pembahasan :

Metode supertrik : langsung subtitusi titik (7,1) ke pilihan jawaban :

   





   

A. 3x 4y 41 0 3 7 4 1 41 0 B. 4x 3y 55 0

4 7 3 1 0 C. 4x 5y 53 0

4 7 5 1 0 D. 4x 3y 31 0

4 7 3 1 31 0 benar E. 4x 3y 40 0

4 7 3 1 40 0   

  �

  

 �

  

 �

  

  

  �

So : ngeceknya mulai dari options E,D,C,B,dan A

Jawaban:D 3. UN 2012

Lingkaran



 



2 2

L x 1�   y 3 9_{memotong garis y = 3. Garis} singgung yang melalui titik potong antara lingkaran dan garis tersebut adalah…

(5)

B. x = – 4 dan x = – 2 C. x = – 4 dan x = 2 D. y = 2 dan y = – 4 E. y = – 4 dan y = – 2 Pembahasan :

Metode supertrik : langsung subtitusi ( masukkan) y = 3 ke persamaan lingkaran :



 







2 2

2

x 1 3 3 9 x 1 9 x 1 3 maka:

x 1 3 x 2 x 1 3 x 4

   

   

� � �

  �     �  

Jawaban:C 4. Persamaan lingkaran yang berpusat di (– 1,– 2) dan

menyinggung garis 3x – 4y – 20 = 0 adalah… A. x2y22x 4y 2 0  

B. x2y22x 4y 3 0   C. x2y22x 4y 4 0   D. x2y22x 4y 5 0   E. x2y22x 4y 6 0   Pembahasan :

Mencari jari – jari R :

   





 

2 2

ap bq c R

p q

1.3 2 . 4 20 R

3 4

3 8 20 15 ₃

5 5

  



     

     

  

Maka, persamaan lingkaran :



 

2



2 2

x 1 y 2 3

x 2x 1 y 4y 4 9 0 x y 2x 4y 4 0

   

       �

     �

Jawaban:C 5. Persamaan lingkaran yang melalui pusat (2, –3) dan

(6)

A.



 



2 2

x 2  y 3 9

B.



 



2 2

x 2  y 3 4

C.



 



2 2

x 2  y 3 9

D.



 



2 2

x 2  y 3 4

E.



 



2 2

x 2  y 3 2 Pembahasan :

Metode supertrik : menyinggung sumbu x, jari – jari = x2

= (2)2_{= 4}

Jadi, persamaan lingkaran tersebut adalah



 

2



2

x 2  y 3 4

Jawaban:B PAKET SOAL LATIHAN

1. Koordinat titik pusat dan jari – jari lingkaran x2_{+ y}2_{– 4x +}

6y + 4 = 0 adalah…

A. Pusat ( - 3, 2) dan R = 3 B. Pusat (3, - 2) dan R = 3 C. Pusat (- 2, - 3) dan R = 4 D. Pusat (2, - 3) dan R = 3 E. Pusat (2,- 3) dan R = 4

2. Diketahui lingkaran x2_{+ y}2_{+ px + 8y + 9 = 0 mempunyai}

jari – jari 4 dan menyinggung sumbu X. Pusat lingkaran tersebut adalah…

A. (3,4) D. (6, - 4)

B. (- 6, - 4) E. (6,6)

C. (3, - 4)

3. Diketahui persamaan lingkaran : x2_{+ y}2_{– 4x + 2y + c = 0}

melalui titik (5, - 1). Jari – jari lingkaran tersebut adalah…

A. 9 D. 3

B. 2 6 E. 7

C. 4

4. Persamaan lingkaran yang berpusat di (7,5) dan menyinggung garis x + 5 = 0 adalah…

(7)

C. x2y214x 10y 70 0   D. x2y214x 10y 62 0   E. x2y214x 10y 85 0  

5. Persamaan lingkaran yang berpusat di titik ( - 1, - 2) dan menyinggung garis 3x – 4y – 20 = 0 adalah…

A. x2y22x 4y 3 0   B. x2y22x 4y 4 0   C. x2y22x 4y 3 0   D. x2y22x 4y 4 0   E. x2y22x 4y 9 0  

6. Persamaan lingkaran yang berpusat di ( - 3, 4) dan menyinggung sumbu y adalah…

A. x2y26x 8y 9 0   B. x2y26x 8y 16 0   C. x2y26x 8y 9 0   D. x2y26x 8y 16 0   E. x2y26x 8y 25 0  

7. Persamaan garis singgung lingkaran x2_{+ y}2_{– 6x + 2y – 15}

= 0 pada titik (7,2) adalah…

A. 2x – 7y = 0 D. 4x + 3y – 53 = 0

B. 4x + y – 38 = 0 E. 4x + 3y – 34 = 0 C. 7x + 2y – 53 = 0

8. Salah satu persamaan garis singgung lingkaran



 

2



2

x 4  y 5 8_{yang sejajar dengan garis y = 7x – 14} adalah…

A. y + 7x + 3 = 0 D. – y – 7x – 3 = 0 B. y – 7x – 3 = 0 E. – y + 7x + 43 = 0 C. y – 7x + 43 = 0

9. Persamaan garis singgung lingkaran :



 



2 2

x 4  y 3 40 yang tegak lurus garis x + 3y + 10 = 0 adalah…

(8)

D. y = 3x + 5 dan y = 3x – 35 E. y = 3x – 5 dan y = 3x + 35

10. Lingkaran x2_{+ y}2_{– 16x – 12y = 0 memotong sumbu y di p.}

Salah satu persamaan garis singgung pada lingkaran di titik p adalah…