PROYEKSI ORTH OGON AL PAD A RUAN G H I LBERT
ROSM AN SI REGAR
Fa k u lt a s M a t e m a t ik a D a n I lm u Pe n ge t a h u a n Ju r u sa n M a t e m a t ik a
Un ive r sit a s Su m a t e r a Ut a r a
Pe n da h u lu a n
Pada umumnya suatu teorema mempunyai ruang lingkup yang terbatas seperti pada Teorema Proyeksi Orthogonal. Teorema Proyeksi Orthogonal pada Ruang Hilbert berperan sangat penting dalam membicarakan Teorema Spectral untuk operator-operator Linier Terbatas yang self-adjoint.
Dengan melihat dan mempelajari kasus-kasus inilah maka penulis merasa tertarik mengadakan studi literatur tentang sifat-sifat Proyeksi Orthogonal pada Ruang Hilbert.
Dengan tujuan untuk melihat beberapa sifat suatu Proyeksi dan sifat-sifat Orthogonal dalam suatu Ruang Hilbert dan sekaligus menunjukkan adanya kaitan antara Proyeksi dan Orthogonal.
M e t odologi
Adapun metode yang dipakai penulis pada tulisan ini adalah metode Deskripsi dan Explanatory dengan langkah-langkah sebagai berikut :
Langkah I : Meninjau beberapa Teorema dan pendefenisian pada Ruang Linier kemudian dilanjutkan pada Ruang Linier Bernorm.
Langkah II : Mengartikan Ruang Hilbert dan menunjukkan sifat-sifat khusus yang dimiliki Ruang Hilbert yang berkaitan dengan Proyeksi-proyeksi. Langkah III : Menggunakan Teorema mengenai sifat-sifat Orthogonal pada Ruang
Hilbert.
Langkah IV : Menunjukkan sifat-sifat dari suatu Proyeksi pada Ruang Hilbert. Langkah V : Membuktikan Teorema-teorema Proyeksi Orthogonal yang berkaitan
pada Ruang Hilbert.
La n da sa n Te or i
Sebagai landasan teori pada tulisan ini ditinjau beberapa teorema dan defenisi pada Ruang Linier yang kemudian berkaitan dengan Ruang Linier Bernorm. Kemudian pokok permasalahan adalah Proyeksi-proyeksi Orthogonal pada Ruang Hilbert, maka perlu juga dipahami sifat-sifat suatu Proyeksi dan Orthogonal, Operator Linier Terbatas yang Self-Adjoint dan Ruang Hilbert itu sendiri.
2 .1 . Ru a n g Lin ie r
Suatu Ruang Linier atas Field K dapat didefenisikan sebagai berikut : Defenisi 2.1.1.
Jika E adalah suatu Himpuan tak kosong ( E ≠ 0 ) maka E adalah suatu Ruang Linier atas Field K, dinotasikan dengan ( E , K , + , . ), dimana + dan . merupakan pemetaan yang didefenisikan sebagai berikut :
+ : E x E → E
+ ( x , y ) → x + y . : K x E → E
. ( α , x ) → α x
Dengan memenuhi aksioma-aksioma berikut :
1. x + ( y + z ) = ( x + y ) + z ; ∀ x , y ∈ E
2. x + y = y + x ; ∀ x , y ∈ E
3. ∃ θ ∈ E ∋ x + θ = x ; ∀ x ∈ E 4. ∀ x ∈ E ∃ -x ∈ E ∋ x + (-x) = θ
5. ( α + β ) x = α x + β x ; ∀ x ∈ E & ∀ α , β ∈ K
6. α ( x + y ) = α x + β y ; ∀ x , y ∈ E,
α∈ K
7. α ( β x ) = ( α β ) x ; ∀ x ∈ E, ∀α, β ∈ K 8. 1 . x = x . 1 = x ; ∀ x ∈ E
9. θ . x = θ ; ∀ x ∈ E
Jika K = R (Himpunan Bilangan Riel) maka E disebut Ruang Vektor Riel atau Ruang Linier Riel.
Jika K = C (Himpunan Bilangan Kompleks) maka E disebut Ruang Vektor Kompleks atau Ruang Linier Kompleks.
2 .2 . Ru a n g Lin ie r Be r n or m
Suatu Ruang Linier Bernorm didefenisikan sebagai berikut :
D e fe n isi 2 .2 .1 .
Andaikan E suatu Ruang Linier atas K
|| . || : E → R adalah suatu pemetaan dengan : x → || . || (x) = || x ||
disebut norm pada E jika dan hanya jika memenuhi axioma-axioma sebagai berikut :
1. || x || ≥ 0 ; ∀ x ∈ E
2. || x || = 0 ⇔ x = 0 ; ∀ x ∈ E
3. || α x || = | α | || x || ; ∀ x ∈ E ; α∈ K 4. || x + y || ≤ || x || + || y || ; ∀ x , y ∈ E Suatu Ruang Linier Bernorm atass K adalah pasangan ( E, || . || ) dimana E suatu Ruang Linier atas K dan || . || adalah norm pada E.
Suatu himpunan bagian F ≠ ∅ dari Ruang Linier E atas K dikatakan Ruang Bagian Linier dari E jika dan hanya jika x + y ∈ F dan α x ∈ F; ∀ x , y ∈ F dan ∀α∈ K.
D e fe n isi 2 .2 .3 .
Andaikan F dan G adalah Ruang Bagian Linier dari Ruang Linier E. ruang E disebut Direct Sum (jumlah langsung) dari F dan G jika dan hanya jika : E = F + G dan
F ∩ G = { 0 } Ditulis bahwa :
F + G = { x + y ; x ∈ F , y ∈ G } Jadi E adalah Direct Sum dari F dan G ditulis : E = F ⊕ G
Jelaslah bahwa E = F ⊕ G jika dan hanya jika untuk setiap x ∈ E maka dapat disajikan secara tunggal bahwa :
x = y + z dimana y ∈ F dan z ∈ G
2 .3 . Ru a n g Ba n a ch
Suatu Ruang Banach dapat didefenisikan sebagai berikut :
D e fe n isi 2 .3 .1 .
Ruang Linier Bernorm E yang lengkap disebut Ruang Banach jika dan hanya jika Barisan cauchy Konvergen di E.
2 .4 . Ru a n g D u a l
Kata Fungsional digunakan untuk mengenal pemetaan-pemetaan dari suatu Ruang Linier atas K terhadap K sendiri.
D e fe n isi 2 .4 .1 .
Andaikan E suatu Ruang Linier atas K : f : E → K
disebut fungsional linier jika memenuhi axioma sebagai berikut : f ( α x + β y ) = α f (x) + β f (y) ; ∀ x , y ∈ E ; α, β ∈ K\
D e fe n isi 2 .4 .2 .
Ruang Babach L ( E, K ) dari semua functional linier teerbatas pada Ruang Linieer Bernorm E atas K disebut Ruang Dual ( Ruang Rangkap ) dari E, dan dinotasikan dengan E*.
Elemen-elemen dari Ruang Dual E* dinyatakan dengan x#, y#, . . .
2 .5 . An n ih ila t or D e fe n isi 2 .5 .1 .
E adalah suatu Ruang Linier Bernorm atas K, X ⊆ E dimana Y ⊆ E* dimana X, Y ≠ ∅ didefenisikan sebagai berikut :
X⊥ = { x* ∈ E* ; x* (x) = 0 ; ∀ x ∈ X } Y⊥ = { x ∈ E ; x* (x) = 0 ; ∀ x* ∈ Y }
Himpunan X⊥ dan Y⊥masing-masing disebut Annihilator dari X dan Y.
2 .6 . Ope r a t or Lin ie r
Operator T adalah pemetaan dari suatu Ruang Linier E ke Ruang Linier F ( T : E → F ) dimana E dan F adalah Ruang Linier atas Field K yang sama.
D e fe n isi 2 .6 .1 .
E dan F Ruang Linier atas Field K yang sama. Operator T dari dan F disebut Operator Linier jika memenuhi sifat-sifat sebagai berikut :
1. T ( x1 + x2 ) = T ( x1 ) + T ( x2 ) ; ∀ x ∈ E
D e fn isi 2 .6 .2 .
Dari F Ruang Linier Bernorm, Operator Linier T dari E ke F disebut Operator Linier Terbatas jika dan hanya jika :
{ || Tx || : || x || ≤ 1 , x ∈ E } adalah himpunan bilangan riel yang terbatas.
Jadi :
T terbatas ⇔ ∃ M ∋ || Tx || ≤ M bilamana || x || ≤ 1.
D e fe n isi 2 .6 .3 .
Andaikan T ∈ L ( E, F ).
ℵ ( T ) = { x ∈ : Tx = 0 } disebut Ruang Null dari T. Range dari T ditunjukkan dengan ℜ ( T ).
Jelasnya ℵ ( T ) dan ℜ ( T ) adalah Ruang Bagian Linier dari E dan F.
D e fe n isi 2 .6 .4 .
Suatu operator T ∈ L ( H ) dikatakan self-adjoint jika dan hanya jika : T = T*
Himpunan dai semua operator-operator linier terbatas yang self-adjoint pada H dinyatakan dengan S.
D e fe n isi 2 .6 .5 .
Andaikan T ∈ L ( H ).
Operator tunggal T* ∈ L ( H ) yang memenuhi :
〈 Tx, y 〉 = 〈 x, T*y 〉 ; ∀ x, y ∈ H disebut Adjoint Ruang Hilbert dari T. Jelasnya untuk semua x, y ∈ H
〈 T*x, y 〉 = 〈 y, T*x 〉 = 〈 Ty, x 〉 = 〈 x, Ty 〉 Dari sini :
T ∈ L ( H ) adalah self-adjoint jika dan hanya jika :
〈 Tx, y 〉 = 〈 x, Ty 〉 ; ∀ x, y ∈ H
D e fe n isi 2 .6 .6 .
Operator T ∈ L ( E ) dikatakan suatu Regular jika dan hanya jika ada S ∈ L ( E ) sehingga :
TS = ST = I
Operator S disebut invers dari T , I disebut Operator Identitas. Jika S1 , S2 ∈ L ( E ) dan TS1 = S1 T = I, TS2 = S2T = I
Maka :
S1 = IS1 = ( S2T ) S1 = S2 ( TS1 ) = S2I = S2.
Dengan demikian S1 dan S2, ini menunjukkan bahwa invers T adalah tunggal. Le m m a 2 .6 .7 .
Andaikan T, S ∈ L ( H ) dan α ∈ K, maka kondisi-kondisi berikut dipenuhi. a.. ( T + S )* = T* + S*
b. (α T )* = ά T* c. ( TS )* = S* T* d. ( T* )* = T e. I* = I
f. T adalah regular ⇔ T* adalah Regular dan jika T Regular ⇒ ( T* )-1 = ( T-1 )*
Bukti :
Berdasarkan defenisi 2.6.5. diperoleh :
= 〈 x, ( T* + S* )y 〉
Ini menunjukkan T* adalah regular, an ( T* )-1 = ( T-1 )*
Himpunan dari semua operator-operator positive dalam S dinyatakan dengan S*.
Le m m a 2 .6 .1 0 .
Untuk setiap T ∈ S diperoleeh T2 ∈ S* Bukti :
〈 T 2 x, x 〉 = 〈 Tx, Tx 〉 ≥ 0 , ∀ x ∈ H
Jika T ∈ L ( H ) maka T*T ∈ S* sebab :
〈 T*Tx, x 〉 = 〈 Tx, Tx 〉 ≥ 0.
2 .7 . Ru a n g H ilbe r t
Pada bagian ini H adalah suatu Ruang Hilbert dengan Inner Product B.
D e fe n isi 2 .7 .1 .
Suatu bentuk Simetris Hermitean Positif pada E disebut suatu Inner Product atau suatu Skalar Produk pada E.
Suatu Ruang Hilbert adalah suatu Ruang Linier H atas K bersamaan dengan suatu Inner Produk B sedemikian hingga dihubungkan ke Ruang Linier Bernorm ( H, || . || )
dimana :
|| x || = B ( x, x )½ , ∀ x ∈ H adalah lengkap.
Dengan demikian suatu Ruang Hilbert dapat dikatakan suatu Ruang Banach yang mana norm ditentukan oleh suatu Inner Product.
Dalam penulisan lebih sederhana, Inner Product b ( x, y ) pada Ruang Hilbert dinotasikan dengan 〈x, y 〉.
Andaikan B adalah suatu bentuk Simetris Hermitean non negatif pada E, maka :
B ( x, y ) 2 ≤ B ( x, y ) B ( y, y ) ; ∀ x, y ∈ E Bukti :
Ambil x, y ∈ E; untuk setiap t ∈ R dan α∈ K dimana α = 1 diperoleh t2 B ( x, x ) + 2 t Re ( α b ( x, x ) + B ( y, y ) ) ≥ 0 ……..( 1 )
Ketidaksamaan ( 1 ) mencakup untuk semua bilangan-bilangan riel t, maka diperoleh
( Re ( α B ( x, y ) ) )2 ≤ B ( x, x ) B ( y, y ) ………( 2 )
α B ( x, y ) = B ( x, y ) Dari ketidaksamaan ( 2 ) diperoleh
B ( x, y ) 2 ≤ B ( x, x ) B ( y, y )
Te or e m a 2 .7 .5 .
Andaikan B suatu bentuk Simetris Hermitean non negatip pada E maka : B ( x + y, x + y ) = B ( x, x ) + 2 Re B ( x, y ) + B ( y, y)
≤ B ( x, x ) + 2 B ( x, y ) + B ( y, y )
≤ B ( x, x ) + 2 B ( x, x )½ B ( y, y )½ + B ( y, y ) = { B (x, x )½ + B ( y, y )½ }2
≤ { B (x, x )½ + B ( y, y )½ }2
Dari sini diperoleh :
B ( x + y, x + y )½ ≤ B ( x, x )½ + B ( y, y )½
Le m m a 2 .6 .7 .
Andaikan B adalah perkalian dalam pada E dan ambil || . || suatu norm pada E yang didefenisikan dengan :
|| x || = B ( x, x )½ , maka ( x, y ) → B ( x, y ) adalah pemetaan kontinu dari
E x E into K. Bukti :
E x E adalah Ruang Linieer Bernorm dengan norm yang didefenisikan dengan :
|| ( x, y ) || = max { || x || , || y || }.
Dengan menggunakan ketidaksamaan 2.7.4. diperoleh :
|| B ( x, y ) - B ( x0, y0 ) || = || B ( x - x0, y ) = B ( x0, y – y0 )
||
≤ || B ( x – x0, y ) || + || B ( x0, y – y0 ) ||
≤ || x – x0 || || y || + || x0 || || y – y0
||
Dengan demikian jika : || y – y0 || ≤ 1 diperoleh :
|| B ( x, y ) - B ( x0 , y0 ) || ≤ ( 1 - || x0 || - || y0 || ) maksimum
dari :
{ || x – x0 || , || y – y0 || }
yang mana pemetaan ::
Pr oy e k si- pr oy e k si Or t h ogon a l pa da Ru a n g H ilbe r t
Bab ini adalah merupakan pokok peermasalahan, dimana akan diamati hubungan antara Proyeksi dan sifat-sifat Orthogonal, dan dari sini dapat ditunjukkan adanya kaitan antara Proyeksi ddan Orthogonal.
3 .1 . Re pr e se n t a si Pr oy e k si da n Or t h ogon a l Pa da Ru a n g H ilbe r t D e fe n isi 3 .1 .1 .
Suatu Operator Linier P pada E dikatakan suatu Proyeksi jika daan hanya jika P2 = P.
Le m m a 3 .1 .2 .
Andaikan P adalah suatu Proyeksi pada E , maka : a. I - P adalah Proyeksi pada E
b. ℜ ( P ) = { x ∈ E : Px = x } c. ℜ ( P ) = ( I – P )
d. E = ℜ ( P ) ⊕ ℜ ( I – P )
e. Jika P adalah terbatas maka ( P ) dan ( I – P ) adalah tertutup Bukti :
a. Karena I – P adalah Proyeksi pada E maka : ( I – P ) = I2 - 2 P + P2
= I - 2P + P = I - P
b. Jelasnya bahwa { x ∈ E : Px = x } ⊆ ℜ ( P ). Pada sisi lain diandaikan x ∈ℜ ( P ) ⇒ x = Py Untuk beberapa y ∈ E diperoleh :
Px = P2y = Py = x , ini menunjukkan bahwa : { x ∈ E ; Px = x } = ( P).
c. Pembuktian ini lanjutan dari ( b ), dan pengamatan bahwa ( I – P)x = 0 jika dan hanya jika x = Px.
d. Untuk setiap x ∈ E diperoleh : x = Px + ( I – P )x.
Dengan demikian E = ℜ ( P ) + ℜ ( I – P ).
Jika x ∈ℜ ( P ) ∩ ℜ ( I – P ) maka dengan memakai sifat ( b ), yaitu :
ℜ ( P ) = { x ∈ E : Px = x } dikaitkan ke P dan I – P diperoleh : x = Px = ( I – P )x
Dari sini :
x = Px = P ( ( I – P )x ) = ( P - P* )x = ( P - P )x = 0
Ini menunjukkan bahwa ℜ ( P ) ∩ ℜ ( I – P ) = { 0 } dan dari sini jelaslah bahwa :
E = ℜ ( P ) ⊕ ℜ ( I – P ).
e. Ini dibuktika dari bahagian ( c ), jika dikaitkan ke P dan I – P diperoleh :
ℜ ( P ) = ℵ ( I ∈ P ) dan ℜ ( I – P ) = ℵ ( P ), dan dari sini ℜ ( P ) dan
ℜ ( I – P ) adalah tertutup sebab Ruang Null yang manapun dari Operator Linier Terbatas adalah tertutup.
Le m m a 3 .1 .3 .
Andaikan M dan N adalah Ruang Bagian Linier dari E dimana E = M ⊕ N maka ada suatu Proyeksi tunggal P dan E dengan ℜ ( P ) = M dan
Bukti :
Andaikan x ∈ E maka ada suatu titik yang tunggal yaitu y ∈ M dan z ∈ N dimana x = y + z.
Misalkan Px = y, ini mendefenisikan suatu pemetaan P dari E ke P itu sendiri, dan mudah untuk menunjukkan bahwa P adalah linier.
ℜ ( P ) = M dan ℵ ( P ) = N
Selanjutnya dimisalkan Q adalah suatu Proyeksi E dimana :
ℜ ( Q ) = M dan ℜ ( I – P ) = N untuk setiap x ∈ E diperoleh : x = QX + ( I - Q ) x , Qx ∈ M dan ( I – Q ) x ∈ N.
Dengan demikian dari defenisi haruslah didapat Px = Qx, ini membuktikan bahwa :
P = Q
Bagian ( d ) dan ( e ) dari lemma 3.1.2. menunjukkan bahwa jika P adalah suatu Proyeksi terbatas pada , maka E mempunyai peruraian jumlah langsung. E = ℜ ( P ) ⊕ ℜ ( I – P ) dimana ℜ ( P ) dan ℜ ( I – P ) adalah Ruang Bagian Linier Tertutup di E.
Toe r e m a 3 .1 .4 .
Andaikan E adalah Ruang Banach dan misalkan M dan N adalah Ruang Bagian Linier Tertutup dari E dimana E = M ⊕ N maka ada suatu Proyeksi yang tunggal dan terbatas P pada E, sehingga :
ℜ ( P ) = M dan ℜ ( I – P ) = N.
Andaikan K adalah suatu Himpunan Bagian Convveeks Tertutup yang tak kosong dari H dan x0∈ H, maka ada suatu titik yang tunggal k0∈ K dengan :
d ( x0 , K ) = || x0 - k0 ||
Bukti :
Ambil δ = d ( x0 , K ) dan pilih satu barisan ( kn ) dalam K dengan :
Akan dibuktikan bahwa ( kn ) Barisan Cauchy dengan menggunakan Hukum
Ini menunjukkan bahwa ( kn ) Barisan Cauchy dari H yang lengkap, maka
barisan ( kn ) konvergen.
Tinggal membuktikan bahwa k0 adalah tunggal.
Andaikan k’0 ∈ K dan || k’0 – x0 || = δ , ambil ( hn ) suatu barisan yang
diberikan oleh :
H2n – 1 = k0 dan h2n = k’0 ; untuk n = 1, 2, …
Maka hn∈ K dan lim || hn – x0 || = δ sehingga :
Terbuktilah bahwa ( hn ) barisan konvergen.
Ini hanya mungkin berlaku apabila k0 = k’0
x Orthogonal terhadap y jika dan hanya jika y Orthogonal terhadap x. Diberikan suatu himpunan bagian A ≠ ∅ dari H ditulis :
A⊥ = { x ∈ H : 〈 x, y 〉 = 0 ∀ y ∈ A }
Himpunan A⊥ disebut Complement Orthogonal dari A dalam H. jelaslah bahwa 0 ∈ A⊥ untuk setiap himpunan bagian A dari H.
Simbol ⊥ digunakan dalam 2 arti yang berbeda yaitu sebagai simbol Annihilator dan Complement Orthogonal.
Untuk menunjukkan Annihilator dari suatu himpunan bagian X dari Ruang Linier Bernorm E digunakan simbol X⊥ , sedangkan simbol Complement Orthogonal A ⊂ H adalah A⊥ .
Annihilator X⊥ adalah suatu himpunan bagian dari Dual E*.
Le m m a 3 .1 .7 .
Andaikan A adalah Himpunan Bagian yang tak kosong dari H, maka A⊥ adalah Ruang Bagian Linier Tertutup dari H dan A ⊆ ( A⊥ )⊥
Bukti :
〈α x + β y , z 〉 = α〈 x,, z 〉 + β 〈 y, z 〉 = 0
Ambil x ∈ H, karena A adalah tertutup dan conveks, oleh teorema 3.1.5. ditunjukkan bahwa ada suatu titik tunggal x ∈ A, dengan || x – x1 || = d ( x,
A )
Akan dibuktikan bahwa :
x – x1 ∈ A⊥ , andaikanlah kontradiksi maka :
x – x1 ∉ A⊥ dan pilih suatu titik y ∈ A dengan 〈 x – x1 , y 〉 ≠ 0
Karena A adalah Ruang Bagian Linier dari H, ambil α y sebagai pengganti y untuk beberapa α∈ K yang sesuai maka :
〈 x – x1 , y 〉 adalah riel.
Untuk setiap bilangan riel t dipenuhi :
3 .2 . Pe m bu k t ia n Te or e m a Pr oy e k si Or t h ogon a l pa da Ru a n g H ilbe r t . D e fe n isi 3 .2 .1 .
Suatu Proyeksi Orthogonal pada H adalah Proyeksi pada H yang juga merupakan Operator Linier Terbatas yang self-adjoint pada H.
Sebenarnya proyeksi Orthogonal pada H merupakan Proyeksi-proyeksi yang dihubungkan dengan penguraian jumlah langsung (direct sum decomposition) dari bentuk :
H = F ⊕ F⊥ dimana :
F adalah Ruang Bagian Linier Tertutup dari H
Le m m a 3 .2 .2 .
Andaikan P suatu Proyeksi Orthogonal pada H maka :
ℜ ( P )⊥ = ℜ ( I – P ) Bukti :
Andaikan x ∈ℜ ( P )⊥ maka untuk setiap y ∈ H diperoleh :
〈 Px, y 〉 = 〈 x, Py 〉 = 0
Dan dengan menggunakan lemma 2.7.3. didapat Px = 0 Dengan demikian :
Andaikan F suatu Ruang Bagian Linier Tertutup dari H. maka ada suatu Proyeksi Orthogonal yang tunggal P pada H
Andaikan bahwa Q adalah satu Proyeksi Orthogonal pada H,
Andaikan P adalah suatu Proyeksi Orthogonal pada H, maka : a. P ∈ S+
Andaikan P dan Q adalah Proyeksi Orthogonal pada H, maka ke –4 syarat berikut adalah equivalent.
Dengan demikian dari pembuktian ( d ) terbuktilah ( c )
Ini menunjukkan bahwa P ≤ Q sehingga terbuktilah ( b ) dari pembuktian ( c ).
Akhirnya anggap bahwa P ≤ Q dan andaikan : x ∈ℜ ( P )
maka :
〈 x, x 〉 = 〈 Px, x 〉 ≤ 〈 Qx, x 〉 Dari sini :
〈 ( I – Q ) x, x 〉 ≤ 0
Dengan lemma 3.2.4. bagian ( a ) diperoleh :
〈 ( I – Q ) x, x 〉 ≥ 0
Akibatnya dengan lemma 3.2.4. bagian ( b ) diperoleh : || ( I – Q )x || 2 = 〈 ( I – Q )x, x 〉 = 0
Dengan demikian : x = Qx - ( I – Q )x = Qx ∈ℜ ( Q ).
Ini menunjukkan bahwa :
ℜ ( P ) ⊆ ℜ ( Q ), maka dari pembuktian ( b ) terbuktilah ( a ).
Jadi jika P dan Q adalah Proyeksi-proyeksi Orthogonal pada H yang memenuhi salah satu syarat-syarat adalah teorema diatas maka :
Ra n gk u m a n
Dari pembicaraan mengenai studi pembuktian teorema Proyeksi Orthogonal pada Ruang Hibeert diatas, maka dapat dibuat rangkuman sebagai berikut :
1. F suatu ruang bagian linier tertutup dari Ruang Hilbert H, maka : F = H ⊕ H⊥
2. B suatu Inner Product pada E dan x, y ∈ E. B ( x, z ) = B ( y, z ).
Untuk setiap z ∈ E maka x = y.
3. E dan F Ruang Linier Bernorm, t ∈ L ( E, F ) maka Ruang Null dari T ditunjukkan dengan :
ℵ ( T ) = { x ∈ E : Tx = 0 } 4. A ≠ 0 ; A ⊆ H
Maka :
Complement Orthogonal dari A dalam H dinotasikan dengan : A⊥ = { x ∈ H : 〈 x, y 〉 = 0 ∀ y ∈ A }
5. P adalah Proyeksi Linier pada E dan P dikatakan suatu Proyeksi jika : P2 = P.
6. x ∈ H dikatakan Orthogonal terhadap titik y ∈ H jika dan hanya jika :
〈 x, y 〉 = 0 Atau :
D AFTAR PUSTAKA
1. Brown, A.L. and Page, A, Element of Functional Analysis, Van Nostrad Reinhold Company, London, 1970.
2. Yosida Kosaku, Functional Analysis, Sixth Edition, Springer – Verlag Berlin Heidelberg, New York, 1980.
3. Kreyzig Erwin, Introductory Functional Analysis With Applcations, John Wiley & Sons Second Edition, New York – Chichester – Brishane
Toronto 1978.
4. Limaye, Balmohan, Vishnu, Functional Analysis, Wiley Eastern Limited, New Delhi, 1981.
