PENDEKATAN MULTIPLE REGRESI PADA ANALISIS RAGAM
KLASIFIKASI DUA ARAH
SKRIPSI
MARISA INDA PUTRI
080823023
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
PENDEKATAN MULTIPLE REGRESI PADA ANALISIS RAGAM
KLASIFIKASI DUA ARAH
SKRIPSI
Diajukan untuk melengkapi tugas akhir dan memenuhi syarat mancapai gelar Sarjana Sains
MARISA INDA PUTRI
080823023
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
PERSETUJUAN
Judul : PENDEKATAN MULTIPLE REGRESI PADA
ANALISIS RAGAM KLASIFIKASI DUA ARAH
Kategori : SKRIPSI
Nama : MARISA INDA PUTRI
Nomor Induk Mahasiswa : 080823023
Program Stusi : SARJANA (S1) MATEMATIKA
Departemen : MATEMATIKA
Fakultas : MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
(FMIPA) UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
Disetujui
Medan, Juni 2010
Komisi Pembimbing :
Pembimbing 2 Pembimbing 1
Drs. Marwan Harahap, M.Eng Drs. Suwarno Ariswoyo, M.Si NIP 19461225197403001 NIP 195003211980303001
Diketahui/Disetujui oleh
Departemen Matematika FMIPA USU Ketua,
PERNYATAAN
PENDEKATAN MULTIPLE REGRESI PADA ANALISIS RAGAM KLASIFIKASI DUA ARAH
SKRIPSI
Saya mengakui bahwa Skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.
Medan, Juni 2010
PENGHARGAAN
Bismillahhirrahmanirrahhim, Segala Puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT atas berkat dan limpah-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan Skripsi ini tepat pada waktu yang telah ditentukan.
Ucapan terima kasih saya sampaikan kepada Bapak Drs. Suwarno Ariswoyo, M.Si dan Drs. Marwan Harahap, M.Eng selaku pembimbing pada penyelesaian skripsi ini yang telah memberikan panduan dan penuh kepercayaan pada penulis dalam menyempurnakan kajian ini. Panduan ringkas, padat dan profesional telah diberikan agar penulis dapat menyelesaikan skripsi ini. Serta Bapak Drs. Djakaria Sebayang dan Bapak Drs. H.Haluddin Panjaitan yang telah bersedia manjadi dosen penguji skripsi. Terima Kasih atas saran dan masukannya.
ABSTRAK
Prosedur Regresi Berganda untuk memperoleh suatu jawaban b=(XTX)−1 (XTY) bagi persamaan normal XTXb = (XTY) maka disyaratkan bahwa matriks XTX bersifat tidak singular. Dalam praktek, ini berarti bahwa persamaan normalnya harus terdiri atas persamaan-persamaan yang bebas satu sama lain yang banyaknya sama dengan banyaknya parameter yang harus diduga. Akan tetapi kalau datanya berasal dari percobaan yang terancang, perlu diperiksa bahwa semua persamaan itu bebas, kalau ternyata tidak demikian diambil langkah-langkah yang diperlukan untuk memperoleh nilai dugaan.
Pendekatan Regresi dapat digunakan untuk memecahkan masalah Analisis Ragam, baik ANOVA klasifikasi satu arah atupun klasifikasi dua arah. Dalam ANOVA, model adalah faktor terpenting. Disini akan dipelajari ANOVA klasifikasi dua arah dengan pendekatan regresi untuk masalah model pengaruh tetap. Permasalahan ini dapat dikerjakan jika modelnya diidentifikasikan secara benar dan kalau langkah-langkah pencegahan telah diambil agar diperoleh persamaan normal yang bebas. Suatu ciri model analisis ragam adalah bahwa model terparameterisasikan secara berlebih sehingga harus dibuat kendala-kendala pada parameter-parameternya.
MULTIPLE REGRESSION APPROACH TO TWO WAYS CLASSIFICATION ANALYSIS OF VARIANCE
ABSTRACT
The procedurs for multiple regression to obtained a solution 1 )
( −
= X X
b T (XTY) , of the normal equation XTXb = (XTY) , it is necessary that XTX be a nonsingular matrix. All this means in practise is that the normal equations must involve as many independent equation as there are parameters to be estimated. If data are obtained from a designed experiment, however, some case is needed to check that all the normal equations are independent, or if they are not, take steps to obtained stimated just the same.
DAFTAR ISI
Halaman
Persetujuan ii
Pernyataan iii
Penghargaan iv
Abstrak v
Abstrack vi
Daftar Isi vii
Daftar Tabel ix
Daftar Gambar x
Bab 1 Pendahuluan
1.1 Latar Belakang 1
1.2 Perumusan Masalah 2
1.3 Tujuan Penelitian 3
1.4 Kontribusi Penelitian 3
1.5 Tinjauan Pustaka 3
1.6 Metodologi Penelitian 5
Bab 2 Landasan Teori 6
2.1 Analisis Regresi 6
2.1.1 Regresi Linear Sederhana 6
2.1.2 Metode Kuadrat Terkecil 8
2.1.3 Uji Kelinearan dan Keberartian Regresi 9 2.1.4 Pendekatan melalui Analisis Variansi 11 2.2 Pengertian Dasar Penyimpangan dan Ragam 13
2.3 Analisis Ragam (ANAVA) 15
2.3.1 Analisis Variansi Klasifikasi Satu Arah 15 2.3.2 Analisis Variansi Klasifikasi Dua Arah 21 2.3.3 Analisis Variansi Klasifikasi Dua Arah dengan Interaksi 28
Bab 3 Pembahasan 34
3.1 Multiple Regresi 34
3.1.1 Metode Kuadrat Terkecil dengan Matriks 37 3.1.2 Analisis Ragam dalam Regresi Linear Berganda 38 3.2 Pendekatan Multiple Regresi pada Analisis Ragam Klasifikasi 41
Dua Arah
3.3 Pendekatan Multiple Regresi pada Analisis Ragam Klasifikasi 45 Dua Arah dengan Interaksi
3.4 Penggunaan Peubah Boneka 47
Bab 4 Kesimpulan dan Saran 56
4.1 Kesimpulan 56
4.2 Saran 56
DAFTAR TABEL
Halaman Tabel 2.1 Tabel Analisis Variansi Regresi Sederhana 12
Tabel 2.2 k Sampel Acak 16
Tabel 2.3 Analisis Variansi untuk Klasifikasi Satu Arah 21
Tabel 2.4 Klasifikasi Dua Arah 22
Tabel 2.5 Analisis Variansi Klasifikasi Dua Arah 28 Tabel 2.6 Klasifikasi Dua Arah dengan Interaksi 29 Tabel 2.7 Analisis Variansi Klasifikasi Dua Arah dengan Interaksi 33 Tabel 2.8 Jumlah Kuadrat ANAVA Dua Arah dengan Interaksi 33 Tabel 3.1 Tabel ANAVA untuk Sumber Variasi Y 40 Tabel 3.2 Analisis Ragam Klasifikasi Dua Arah tanpa Interaksi 44 Tabel 3.3 Analisis Ragam Klasifikasi Dua Arah dengan Interaksi 46 Tabel 3.4 Data 24 Amatan dari Katalisator dan Pereaksi 49
Tabel 3.5 Data Contoh 49
Tabel 3.6 Analisis Ragam Klasifikasi Dua Arah 51
Tabel 3.7 Data Peubah Boneka X1, X2, X3 52
Tabel 3.8 Data Peubah Boneka X4, X5 52
DAFTAR GAMBAR
Halaman
Gambar 2.1 Diagram Pencar 7
ABSTRAK
Prosedur Regresi Berganda untuk memperoleh suatu jawaban b=(XTX)−1 (XTY) bagi persamaan normal XTXb = (XTY) maka disyaratkan bahwa matriks XTX bersifat tidak singular. Dalam praktek, ini berarti bahwa persamaan normalnya harus terdiri atas persamaan-persamaan yang bebas satu sama lain yang banyaknya sama dengan banyaknya parameter yang harus diduga. Akan tetapi kalau datanya berasal dari percobaan yang terancang, perlu diperiksa bahwa semua persamaan itu bebas, kalau ternyata tidak demikian diambil langkah-langkah yang diperlukan untuk memperoleh nilai dugaan.
Pendekatan Regresi dapat digunakan untuk memecahkan masalah Analisis Ragam, baik ANOVA klasifikasi satu arah atupun klasifikasi dua arah. Dalam ANOVA, model adalah faktor terpenting. Disini akan dipelajari ANOVA klasifikasi dua arah dengan pendekatan regresi untuk masalah model pengaruh tetap. Permasalahan ini dapat dikerjakan jika modelnya diidentifikasikan secara benar dan kalau langkah-langkah pencegahan telah diambil agar diperoleh persamaan normal yang bebas. Suatu ciri model analisis ragam adalah bahwa model terparameterisasikan secara berlebih sehingga harus dibuat kendala-kendala pada parameter-parameternya.
MULTIPLE REGRESSION APPROACH TO TWO WAYS CLASSIFICATION ANALYSIS OF VARIANCE
ABSTRACT
The procedurs for multiple regression to obtained a solution 1 )
( −
= X X
b T (XTY) , of the normal equation XTXb = (XTY) , it is necessary that XTX be a nonsingular matrix. All this means in practise is that the normal equations must involve as many independent equation as there are parameters to be estimated. If data are obtained from a designed experiment, however, some case is needed to check that all the normal equations are independent, or if they are not, take steps to obtained stimated just the same.
BAB 1
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Sampai saat ini, model Regresi dan model Analisis Variansi telah dipandang sebagai
dua hal yang tidak berkaitan. Meskipun ini merupakan pendekatan yang umum dalam
menerangkan kedua cara ini pada taraf permulaan, model Analisis Variansi dapat
dipandang sebagai hal khusus model Regresi Linear.
Dalam penelitian menggunakan eksperimen, analisisnya dilakukan
menggunakan Analisis Variansi (ANAVA) berdasarkan model dan desain eksperimen
yang cocok untuk permasalahannya. Desain dan analisis eksperimen yang
berpedoman pada pengetahuan dasar inilah yang akan dibicarakan hubungannya
dengan Analisis Regresi. Analisis Regresi pada dasarnya adalah studi mengenai
ketergantungan variabel tak bebas dengan satu atau lebih variabel bebas, dengan
tujuan untuk mengestimasi dan/atau memprediksi rata-rata populasi atau nilai rata-rata
variabel tak bebas berdasarkan nilai variabel bebas. Hasil Analisis Regresi adalah
berupa koefisien (parameter) untuk masing-masing variabel bebas. Prosedur Regresi
berganda untuk memperoleh parameternya, 1 )
( −
= X X
b T (XTY) yaitu, disyaratkan bahwa matriks (XTX) bersifat tidak singular, ini berarti bahwa persamaan normalnya harus terdiri atas persamaan-persamaan yang bebas satu sama lain yang banyaknya
sama dengan banyaknya parameter yang harus diduga. Akan tetapi, kalau datanya dari
suatu percobaan yang terancang, perlu diperiksa bahwa semua persamaan itu bebas,
kalau ternyata tidak demikian, maka harus diambil langkah-langkah yang diperlukan
Metode yang banyak digunakan untuk menganalisis data dari suatu percobaan
yang terancang adalah teknik analisis ragam. Seringkali teknik ini dipandang sama
sekali berbeda dari regresi secara umum, belum banyak peneliti yang menyadari
bahwa setiap masalah analisis ragam dengan pengaruh tetap dapat ditangani melalui
teknik regresi secara umum kalau modelnya diidentifikasi secara benar dan
langkah-langkah pencegahan telah diambil agar diperoleh persamaan normal yang bebas.
Suatu ciri analisis ragam adalah model ini terparameterisasikan secara berlebih,
artinya model ini mengandung lebih banyak parameter dari pada yang dibutuhkan
untuk merepresentasikan pengaruh-pengaruh yang diinginkan. Parameterisasi
berlebihan ini biasanya dikompensasi dengan membuat kendala terhadap
parameter-peremeternya. Kendala pada percobaan untuk klasifikasi 2 arah tanpa interaksi
diambil
∑ ∑
= = = =
I
i
J
j j i
1 1
0 β
α dan dengan interaksi
∑ ∑
∑
∑
= = = = = = = =
I
i
J
j
J
j ij I
i ij j
i
1 1 1 1
0 γ γ
β
α .
Seringkali tanpa disadari bahwa semua situasi analisis ragam mempunyai model, dan
bahwa model itulah yang menjadi dasar bagi pembuatan tabel analisis ragam.
Pendekatan regresi untuk suatu rancangan percobaan, maka peubah bebas (X)
diberi nilai satu (1) dan nol (0), atau dengan membuat peubah boneka yang bersifat
pengelompokan.
1.2 Perumusan Masalah
Dalam aplikasinya model regresi dan model analisis variansi digunakan untuk
menangani dua masalah yang berlainan. Akan tetapi, setiap model matematika yang
parameternya linear seperti model analisis variansi, dapat dipandang sebagai hal
khusus model regresi linear. Yang menjadi masalah dalam penelitian ini adalah
bagaimana teknik analisis variansi klasifikasi dua arah dapat dikerjakan melalui
1.3 Tujuan Penelitian
Menguraikan cara untuk menyelesaikan persoalan analisis ragam klasifikasi dua arah
dengan pendekatan multiple regresi dengan penggunaan peubah bebas (X) yang diberi
nilai satu (1) dan nol (0) atau dengan membuat peubah boneka yang bersifat
pengelompokan.
1.4 Kontribusi Penelitian
a. Dapat diketahui bahwa Analisis Regresi merupakan model linear yang sangat
umum dan sampai batas tertentu dapat digunakan menangani permasalahan dalam
Analisis Variansi.
b. Menambah wawasan dan memperkaya literatur dalam bidang statistika yang
berhubungan dengan Analisis Variansi (ANOVA) dengan pendekatan regresi.
c. Mengkaji lebih dalam lagi hubungan antara Analisis Variansi dan Analisis
Regresi.
1.5 Tinjauan Pustaka
Multiple regresi banyak dibahas pada ([2], [4], [6], [8], [11]dan [12]. Model regresi
yang menggunakan lebih dari satu variabel bebas disebut model regresi berganda.
Pada umumnya, hubungan antara k variabel yaitu antara Y dengan X1,X2,..., Xk dengan
k variabel bebas suatu sampel dengan n observasi adalah
i ki k i
i
i X X X
Y =β0 +β1 1 +β2 2 +...+β +ε Dengan :
Xi = variabel independen ke-i
Yi = variabel dependen ke-i
k
β β β
β0, 1, 2,..., = parameter model yang akan ditaksir
i
Setelah menaksir persamaan regresi, pada referensi [6] yaitu masalah
berikutnya menilai baik buruknya kecocokan model regresi yang digunakan dengan
data. Perhatikan kesamaan berikut :
(yi −y)=(yˆi −y)+(yi −yˆi) Variasi regresi sisa
Bila ruas kiri dan kanan dikuadratkan dan kemudian dijumlahkan maka diperoleh
∑
=n − =∑
= − + −i
n
i
i i i
i y y y y y
y
1 1
2 2
)} ˆ ( ) ˆ {( )
(
=
∑
∑
∑
= − + = − + = − −
n
i
n
i
n
i
i i i
i i
i y y y y y y y
y
1 1 1
2 2
). ˆ )( ˆ ( 2 ) ˆ ( )
ˆ (
Perkalian yang terakhir penulisan i = 1 dan n pada∑ dihilangkan sehingga menjadi
∑
(yˆi −y)(yi −yˆi)=∑
yˆi(yi −yˆi)−y∑
(yi −yˆi).Bagian kedua ruas kanan sama dengan nol karena
∑
(yi −yˆi)=∑
(yi −a−bxi)=0Bagian pertama ruas kanan juga sama dengan nol karena
) ˆ )( (
) ˆ ( ˆ
∑
yi yi −yi =∑
a+bxi yi −yi= a
∑
(yi −yˆi)+b∑
(yi −yˆi)xi= 0 + b
∑
(yi −a−bxi)xi= 0
Jadi persamaan dapat ditulis kembali sebagai berikut:
∑
∑
∑
= − = = − − =n −i
i i n
i i n
i
i y y y y y
y
1 1
2 1
2
) ˆ ( )
ˆ ( )
(
JKT JKR JKS
Persamaan ini adalah persamaan dasar dalam analisis regresi dan analisis variansi.
Jadi dengan demikian dapat pula ditulis sebagai :
Dari referensi [6] dan [12] secara matematik model klasifikasi dua arah tanpa
interaksi dapat ditulis sebagai berikut:
ij j i ij
y =µ+α +β +ε ,
dengan:
i=1,2,...,I, j=1,2,...J,
Bila kedua faktor ada interaksi, maka banyaknya pengamatan per sel haruslah
lebih besar dari satu agar interaksi dan sisa dapat dipisah. Dengan adanya interaksi
maka persamaan menjadi
yijk = µ+αi +βj +γij +εijk,
dengan:
i = 1,2,…,I; j= 1,2,…,J; k=1,2,...,K.
K = adalah banyaknya dalam pengamatan dalam tiap sel.
1.6 Metode Penelitian
1. Membentuk model Analisa Variansi klasifikasi dua arah, yaitu Model Analisis
Variansi dapat ditulis dalam bentuk umum model Analisis Regresi dengan Xi (i =
1,2,... I) mendapat nilai 1 dan 0.
2. Menaksir parameter pada analisis variansi klasifikasi dua arah, yaitu
parameterisasi yang berlebihan dalam Analisis Variansi dikompensasi dengan
membuat kendala terhadap parameter-parameternya.
3. Membentuk tabel Analisis Variansi yaitu, Model Analisis Variansi adalah menjadi
dasar pembuatan tabel Analisis Variansi klasifikasi dua arah.
4. Pendekatan Regresi terhadap Analisis Variansi klasifikasi dua arah, yaitu
membentuk persamaan regresi berganda dengan penggunaan peubah boneka
(dummy variables) atau peubah bebas.
BAB 2
LANDASAN TEORI
2.1 Analisis Regresi
Salah satu tujuan analisis data adalah untuk memperkirakan/memperhitungkan
besarnya efek kuantitatif dari perubahan suatu kejadian terhadap kejadian lainnya.
Setiap kebijakan (policy), baik dari pemerintah maupun swasta, selalu dimaksudkan
untuk mengadakan perubahan (change). Sebagai contoh, Pemerintah menambah
jumlah pupuk agar produksi padi meningkat, Pemerintah menaikkan gaji pegawai
negeri agar prestasi kerja mereka meningkat dan lain sebagainya. Untuk keperluan
evaluasi/penilaian suatu kebijaksanaan mungkin ingin diketahui besarnya efek
kuantitatif dari perubahan suatu kejadian terhadap kejadian lainnya. Kejadian-kejadian
tersebut untuk keperluan analisis bisa dinyatakan didalam perubahan nilai variabel.
Untuk analisis dua kejadian (events) digunakan dua variabel X dan Y. Teknik
Statistika untuk memeriksa dan memodelkan hubungan diantara variabel-variabel
disebut Analisis Regresi.
2.1.1 Regresi Linear Sederhana
Regresi linear sederhana adalah suatu prosedur untuk mendapatkan hubungan
matematis dalam bentuk suatu persamaan antara variabel dependen tunggal dengan
variabel independen tunggal. Hubungan antara variabel dependen dan variabel
independen ini dapat dirumuskan ke dalam suatu bentuk hubungan fungsional sebagai
berikut:
i i a bX
Dengan:
Yi = variabel terikat ke-i Xi = variabel bebas ke-i
a = intersep (titik potong kurva terhadap sumbu Y)
b = kemiringan (slope) kurva linear
Dalam membuat keputusan, selalu ada resiko yang disebabkan oleh adanya
kesalahan (error). Risiko hanya bisa diperkecil dengan memperkecil kesalahan
(minimized error→minimized risk). Dengan memperhitungkan kesalahan pengganggu ε, maka bentuk persamaan linear menjadi sebagai berikut:
Yi = a+bXi +ε
Dengan :
a dan b adalah konstanta yang diestimasi
ε adalah kesalahan pengganggu (disturbance’s error)
εi = Yi - Yˆidisebut juga sisa yang terkandung galat yang sifatnya acak dan
penyimpangan model dari keadaan sesungguhnya.
Dalam praktek, untuk melihat hubungan antara X dan Y, dikumpulkan
pasangan data (X,Y) sebagai suatu observasi, misalnya sebagai berikut:
n i X
X X
X1, 2,..., ,...,
n i Y
Y Y
Y1, 2,..., ,....,
digambar pada sistem koordinat tegak lurus hasilnya disebut diagram titik atau
diagram pencar. Dapat dilihat pada gambar 2.1.
Y
X
Garis lurus yang terdapat pada diagram pencar pada gambar 2.1 yang memperlihatkan
adanya hubungan antara kedua variabel disebut garis regresi atau garis perkiraan, dan
persamaan yang digunakan untuk mendapatkan garis regresi pada data diagram pencar
disebut persamaan regresi yang merupakan suatu variabel matematika yang
mendefenisikan hubungan antara dua variabel.
2.1.2 Metode Kuadrat Terkecil
Untuk mendapatkan garis regresi yang paling baik yaitu garis regresi yang memiliki
deviasi atau kesalahan terkecil, maka digunakan metode kuadrat terkecil. Metode
kuadrat terkecil ialah suatu metode untuk menghitung β0 dan β1, sedemikian
sehingga kesalahan kuadrat memiliki nilai terkecil. Dengan bahasa metematika,
dinyatakan sebagai berikut:
Yi = β0 +β1Xi +ei, i = 1, 2, …, n
ei = Yi −(β +0 β1Xi)= kesalahan pengganggu
2 1 0 2
)] (
[ i i
i Y X
e =∑ − β +β
∑ = jumlah kesalahan kuadrat
Jadi metode kuadrat terkecil adalah metode untuk menghitung β0 dan β1
sedemikian rupa sehingga
∑
ei2 = terkecil (minimum). Caranya ialah denganmembuat turunan parsial (partial differential) dari
∑
ei2 mula-mula terhadap β0kemudian terhadap β1 kemudian menyamakannya dengan nol.
∑
∑
∑
∑
= − + − = ⇒ = +∂ ∂
i i
i i
i
X n
Y X
Y e
1 0 1
0 0
2
0 ) 1 )]( (
[
2 β β β β
β .... (2.1)
∑
∑
∑
∑
∑
= − + − = ⇒ = +∂
∂ 2
1 0
1 0 1
2
0 ) )]( (
[
2 i i i i i i i
i
X X
Y X X
X Y
e
β β
β β
β …. (2.2)
Persamaan (2.1) dibagi dengan
n X n
n n
Y
n⇒
∑
i = β0 +β1∑
iMasukkan β0 ke persamaan (2.2)
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
+ − = ⇒ + − = 2 1 1 2 1 1 )( i i i i i i i i
i
i X X
n X n Y Y X X X X Y Y
X β β β β
(
∑
)
∑
∑ ∑
∑
= − + 21 2 1 i i i i i i X n X n Y X Y
X β β
(
)
n Y X Y X n XXi i
∑
i i∑ ∑
i i∑
∑
= − − 1 2 2 β Sehingga(
)
∑
∑
∑ ∑
(
∑
)
∑
∑
∑
∑ ∑
− − = − −= 2 2 2 2
1 / / i i i i i i i i i i i i X X n Y X Y X n n X X n Y X Y X β
2.1.3 Uji Kelinearan dan Keberartian Regresi
Setelah menaksir persamaan regresi, masalah berikutnya adalah menilai baik
buruknya model regresi dengan data. Jadi diperlukan ukuran tentang kecocokan data.
Analisis regresi adalah alat statistik yang dapat digunakan untuk mengetahui derajat
hubungan linear antara satu variabel dengan variabel lain. Umumnya analisis korelasi
digunakan dalam hubungannya dengan analisis regresi untuk mengukur ketepatan
garis regresi dalam menjelaskan (explaining) variasi nilai variabel dependen.
Ukuran statistik yang dapat menggambarkan hubungan antara suatu variabel
dengan variabel lain adalah koefisien determinasi (R2) dan koefisien korelasi (r).
Koefisien determinasi adalah salah satu nilai statistik yang dapat digunakan untuk
mengetahui apakah ada hubungan pengaruh antara dua variabel. Perhatikan kesamaan
berikut:
(yi −y)=(yˆi −y)+(yi−yˆi) Variasi regresi sisa
Bila ruas kiri dan kanan dikuadratkan dan kemudian dijumlahkan maka diperoleh
∑
=n − =∑
= − + −i n i i i i
i y y y y y
y 1 1 2 2 )} ˆ ( ) ˆ {( ) ( =
∑
∑
∑
= − + = − + = − − n i n i n i i i i i ii y y y y y y y
y
1 1 1
2 2 ). ˆ )( ˆ ( 2 ) ˆ ( ) ˆ
Perkalian yang terakhir pada persamaan (2.3) penulisan i = 1 dan n pada∑
dihilangkan sehingga menjadi
∑
(yˆi −y)(yi −yˆi)=∑
yˆi(yi −yˆi)−y∑
(yi −yˆi). Bagian kedua ruas kanan sama dengan nol karena menurut (2.1)∑
(yi −yˆi)=∑
(yi −a−bxi)=0Bagian pertama ruas kanan juga sama dengan nol karena menurut (2.2)
) ˆ )( (
) ˆ ( ˆ
∑
yi yi −yi =∑
a+bxi yi −yi= a
∑
(yi −yˆi)+b∑
(yi− yˆi)xi= 0 + b
∑
(yi −a−bxi)xi= 0,
Jadi persamaan dapat ditulis kembali sebagai berikut
∑
∑
∑
= − = = − − =n −i
i i n
i i n
i
i y y y y y
y
1 1
2 1
2
) ˆ ( )
ˆ ( )
( …. (2.4)
JKT JKR JKS
Persamaan (2.4) adalah persamaan dasar dalam Analisis Regresi dan Analisis
Variansi. Ruas kiri disebut jumlah kuadrat total (JKT) atau jumlah variasi total dan
menyatakan jumlah penyimpangan y disekitar nilai rata-ratanya. Bagian pertama ruas
kanan disebut jumlah kuadrat regresi (JKR) dan ini adalah variasi respons disekitar
nilai rata-ratanya ( )y . Bagian kedua ruas kanan disebut jumlah kuadrat galat (sisa) dan disingkat JKS. Bagian ini mengukur sisa dari variasi total (JKT) yang tidak dapat
diterangkan oleh x, atau bagian yang sifatnya acak. Jadi dengan demikian dapat pula
ditulis sebagai berikut:
JKT = JKR + JKS
Variasi Total = Variasi karena Regresi + Variasi karena Sisa.
Sifat penjumlahan (aditif) seperti ini banyak dijumpai dalam statistika, dan ini tidak
hanya berlaku untuk bentuk kuadrat tapi juga untuk derajat kebebasannya. Jika
pengaruh X terhadap Y besar maka diharapkan JKR cukup besar dibandingkan
dengan JKS. Bila JKR besar maka JKS kecil dan sebaliknya, sedangkan JKT tetap.
Dengan demikian JKT dapat dijadikan pembanding untuk menentukan besar kecilnya
Dari definisi
R2 = =
− −
∑
∑
2 2
) (
) ˆ (
y y
y y
i i
JKS JKR
Dengan:
R2 disebut koefisien korelasi dua arah atau koefisien penentu (determinasi).
Karena 0≤JKR≤JKT, maka tentunya 0≤R2 ≤1. Jadi R2 dapat mengukur kecocokan data dengan model makin dekat R2 dengan 1 makin baik kecocokan data dengan
model dan sebaliknya, makin dekat R2 dengan 0 makin jelek kecocokan tersebut.
y
yi −y yi −yˆi yˆ =a+bx
y yˆi − y
x
Gambar 2.2 Menguraikan variasi menurut unsurnya
2.1.4 Pendekatan Melalui Analisis Variansi
Dari persamaan (2.4) dapat dilihat penguraian jumlah kuadrat total atas kedua
komponennya, jumlah kuadrat regresi dan jumlah kuadrat galat. Tujuan utama
penguraian bukanlah untuk menghitung R2, tetapi merupakan langkah awal yang
sangat penting dalam menelaah komponen jumlah kuadrat total. Untuk menentukan
apakah pengaruh suatu peubah bebas X besar atau kecil terhadap respon Y diperlukan
pembanding yang baku, yang tidak dipengaruhi baik buruknya model yang digunakan.
Disamping JKT dapat diuraikan atas kedua komponennya, derajat
kebebasannya dapat diuraikan juga. Sifat penjumlahan (aditif) ini merupakan salah
satu keunggulan dari metode kuadrat terkecil.
Tabel 2.1 Tabel Analisis Variansi Regresi Sederhana
Sumber JK (Jumlah dk(Derajat RK(Rataan F
Variasi Kuadrat) Kebebasan) Kuadrat) hitung
Regresi JKR =
∑
(Yˆi −Y)2 1 s =JKR/1 12 s s12Sisa JKS =
∑
(Yi −Yˆi)2 n-2 2 =s JKS/(n-2)
Total JKT =
∑
(Yi −Y)2 n-1Tabel 2.1 Memperlihatkan bentuk umum tabel analisis variansi (ANAVA) untuk
regresi linear sederhana. Kolom keempat menunjukkan jumlah kuadrat dibagi dengan
derajat kebebasannya, untuk regresi dan sisa.
Andaikan hipotesis yang akan diuji adalah
H0 : β =0
H1 : β ≠0
Yang pada dasarnya hipotesis nol ini mengatakan bahwa variasi dalam Y diakibatkan
oleh fluktuasi acak yang tidak tergantung pada nilai X dengan kata lain X tidak
mempengaruhi respons Y. Bila hipotesis nol ditolak yaitu bila nilai Statistik F
hitungan melebihi nilai kritisFα(1, n-2) maka disimpulkan bahwa terdapat jumlah variasi yang berarti dalam responY yang disebabkan atau diterangkan oleh model
yang dipandang benar, yaitu fungsi linear. Bila statistik F berasal dalam daerah
penerimaan maka disimpulkan bahwa data tidak memberikan cukup dukungan kepada
2.2 Pengertian Dasar Penyimpangan dan Ragam
Sebagai contoh misalkan dilakukan penelitian lapangan melalui survei sehingga hasil
sampel yang diperoleh meliputi N individu. Individu tersebut dapat berupa
perorangan, rumah tangga, industri kecil, atau wilayah dan lainnya. Masing-masing
individu dinyatakan dengan huruf I yang menunjukkan individu ke-i dalam sampel.
Informasi yang diperoleh dari setiap individu memberikan nilai-nilai pengamatan Y
adalah: Y1, Y2, Y3, …, Yn. Dapat dilihat gambar 2.3 yaitu satu contoh mengenai
berbagai hasil pengamatan yang diperoleh dari individu pertama sampai dengan ke- N.
Y
5 -
4 - Y =3,36
3 -
2 -
1 -
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 (individu)
Gambar 2.3 Contoh pengamatan dalam bentuk nilai rata-rata
Langkah pertama yang harus dilakukan yaitu memilih model apa yang akan
digunakan. Model tersebut bisa berupa nilai rata-rata, median, modus dan lainnya
ataupun yang lebih rumit mengikuti suatu pola tertentu secara linear ataupun
nonlinear. Pada gambar 2.3 diambil suatu contoh dalam bentuk nilai rata-rata hitung,
Y , dari seluruh pengamatan. Model ini akan menggambarkan dengan sempurna pola yang terdapat dalam kenyataan bila masing-masing individu dalam sampel
memberikan nilai yang persis sama besarnya dengan nilai rata-rata tersebut.
Dengan demikian seberapa besar penyimpangan yang terjadi antara nilai
pengamatan dan nilai yang terkandung dalam model dihitung dari nilai rata-rata
Yi = Y +(Yi −Y) i = 1,2,3, …, N …. (2.5)
Dimana (Yi −Y)memberikan besaran nilai penyimpangan sehingga menggambarkan naik turunnya (fluktuasi) hasil pengamatan terhadap model dan menunjukkan seberapa
jauh model yang dipakai tidak mampu menjelaskan kenyataan yang ada. Arah panah
ke bawah berarti penyimpangan yang negatif sedangkan arah ke atas menunjukkan
penyimpangan yang positif.
Persamaan (2.5) mempergunakan suatu model yang sederhana nilai rata-rata
Y . Dalam bentuk umumnya persamaan tersebut dapat dinyatakan sebagai berikut :
Yi = Yˆ+(Yi −Yˆ) i = 1,2,3, …, N
Pengamatan = Cocokan + Residual
Yˆ merupakan model yang menggambarkan prediksi atau dugaan (estimasi) yang disebut juga dengan fitted values. Nilai Yˆ dapat berupa suatu titik fungsi linear atau nonlinear, Sedangkan (Yi −Yˆ)menunjukkan besarnya penyimpangan atau residual.
Berdasarkan definisi dapat dilihat dengan jelas bahwa residual merupakan sisa
dari hasil pengamatan yang belum dapat dijelaskan oleh suatu model tertentu. Dalam
Analisis Regresi, yang menjadi tujuan utama adalah membuat jumlah kuadrat sisa
atau residu, JKS =
∑
(Yi −Yˆ)2 sekecil mungkin agar dicapai suatu pemecahan persoalan dalam bentuk besaran dan arah pengaruh peubah bebas terhadap peubah takbebas. Oleh karena itu terdapat keterkaitan yang erat antara banyak peubah bebas dan
JKS. Semakin banyak peubah bebas dalam suatu persamaan regresi, JKS akan
cenderung mengecil dengan kata lain semakin besar kemampuan model dalam
menjelaskan keragaman peubah tak bebas.
Tujuan yang sama pada Analisis Regresi itulah menjadi arah pokok dalam
pendekatan Analisis Ragam meskipun dilihat dari sudut pandang yang lain. Analisis
Ragam mencoba membuat semua residu mengacak (random). Dalam keadaan
demikian, keragaman peubah tak bebas tidak bisa dijelaskan lebih lanjut oleh kofaktor
2.3 Analisis Ragam (ANAVA)
Analisa Ragam (Analysis of Variance) merupakan metode yang digunakan untuk
menganalisis atau menguraikan keragaman total data menjadi komponen-komponen
sumber keragaman. Dalam analisis variansi yang paling sederhana, dipergunakan satu
peubah tak bebas. Persyaratan utama yang harus dipenuhi berkaitan erat dengan skala
pengukuran. Peubah tak bebas paling tidak harus dapat diukur dalam bentuk skala
interval. Sedangkan peubah bebas dapat berupa peubah nonmetrik (peubah yang tidak
dapat diukur) atau sebagai gabungan antara peubah nonmetrik dengan peubah metrik
(peubah yang dapat diukur). Peubah bebas yang nonmetrik lebih dikenal sebagai
faktor, sementara peubah metrik disebut sebagai kofaktor.
Bila keseluruhan peubah bebas tersebut hanya terdiri atas kofaktor, maka
analisa yang dipakai adalah Analisa Regresi. Analisa Regresi sederhana memecahkan
permasalahan yang hanya mengandung satu kofaktor saja. Bila lebih dari satu
kofaktor, pemecahan tersebut ditangani oleh Analisa Regresi Ganda (Multiple Regression Analysis). Akan tetapi bila keseluruhan peubah bebas adalah faktor, maka analisa yang digunakan pada dasarnya adalah Analisa Variansi (Analysis of Variance).
Jika yang menjadi perhatian utama terletak pada apakah ada kemungkinan pengaruh
satu faktor terhadap peubah tak bebas, maka pembahasan ini disebut dengan Analisa
Variansi Satu Arah (One - Way Classification Analysis of Variance), jika pada dua
faktor analisanya dilakukan dengan Analisa Variansi Dua Arah (Two - Way Classification Analysis of Variance).
2.3.1 Analisis Variansi Klasifikasi Satu Arah
Di dalam klasifikasi satu arah melibatkan sebuah faktor penentu. Populasi yang
berbeda ini diklasifikasikan menurut perlakuan atau grup yang berbeda dan dianggap
saling bebas dan berdistribusi normal dengan rataan µ1 =µ2 =...=µI dan variansi
2
σ . Istilah perlakuan digunakan secara umum dengan arti berbagai klasifikasi, apakah itu kelompok, adukan, penganalisis, pupuk yang berbeda, atau berbagai daerah disuatu
Ingin dicari metode yang sesuai untuk menguji hipotesis:
H0 : µ1 =µ2 =...=µI
H1 : tidak semua µi =0
Misalkan yij menyatakan pengamatan ke j dalam perlakuan ke i dan Ti
menyatakan jumlah semua pengamatan dalam sampel dari perlakuan ke i, y i
menyatakan rataan semua pengamatan dalam sampel dari perlakuan ke i, T.. jumlah
semua nI pengamatan, dan y rataan semua nI pengamatan. Tiap pengamatan dapat .. ditulis dalam bentuk
ij i ij
y =µ +ε , ….(2.6)
Tabel 2.2 k sampel acak
Perlakuan
1 2 I
n
y y y
1 12 11
n
y y y
2 22 21
In I I
y y y
2 1
Jumlah T1. T2. TI. T..
Rataan y .1. y 2 .
I
y y ..
Dengan εij menyatakan penyimpangan ke j pada sampel ke i dari rataan perlakuan
padanannya. Suku εij menyatakan galat acak yang peranannya sama dengan suku
galat dalam model regresi. Bentuk lain dari persamaan (2.6) diperoleh dengan
mengganti µi =µ+αi, dengan kendala
∑
=
I
i i
1
α = 0 dipenuhi.
Jadi dapat ditulis :
ij i ij
Bila µ menyatakan rataan keseluruhan dari semua µi; yakni I I i i
∑
= = 1 µ µ Dengan: iα disebut sebagai efek atau pengaruh perlakuan ke i.
Hipotesis nol bahwa rataan populasi sama dan lawan tandingan bahwa paling
sedikit dua dari rataan ini tidak sama diganti dengan hipotesis yang setara,
H0 : α1 =α2 =...=αI= 0
H1 : tidak semua αi =0.
Uji yang dipakai didasarkan pada perbandingan dua taksiran bebas dari
kesamaan variasi populasi σ2. Kedua taksiran tersebut diperoleh dengan menguraikan
total variasi data, diusahakan oleh penjumlahan ganda
∑∑
= = − I i n j ij y y 1 1 2 ..)
( menjadi dua
komponen.
Teorema 2.1 Identitas Jumlah Kuadrat
∑
∑∑
∑∑
= = − = =I − + = = −i I i n j i ij i I i n j
ij y n y y y y
y
1 1 1
2 2 1 1 2 .) ( ..) . ( ..) ( . Bukti . .) ( .) ..)( . ( 2 ..) . ( ] .) ( .) ..)( . ( 2 ..) . [( .)] ( ..) . [( ..) (
1 1 1 1 1 1
2 2
1 1
2 2
1 1 1 1
Suku yang ditengah sama dengan nol, karena
. 0 .
.)
( 1
1 1 1
= −
= − =
−
∑
∑
∑
∑
== = = n
y n y y
n y y
y
n
j ij n
j
n
j
n
j ij i
ij i
ij
Jumlah yang pertama tidak mengandung indeks j, jadi dapat ditulis
. ..) . ( ..)
. (
2
1 1 1
2
∑∑
=I = − =∑
= −i n
j
I
i i i y n y y
y
Sehingga
∑∑
∑∑
= = − =∑
= − + =I = −i n
j
i ij I
i n
j
I
i i
ij y n y y y y
y
1 1
2 2
1 1 1
2
.) (
..) . ( ..)
(
Agar memudahkan penggunaannya maka suku identitas jumlah kuadrat akan ditandai
dengan lambang berikut:
JKT =
∑∑
− == =
I
i n
j
ij y
y 1 1
2 ..)
( jumlah kuadrat total
JKA =
∑
= −
I
i
i y
y n
1
2 ..) .
( = jumlah kuadrat perlakuan
JKG =
∑∑
= = −
I
i n
j
i ij y
y 1 1
2 .)
( = jumlah kuadrat galat
Identitas jumlah kuadrat dapat dituliskan: JKT = JKA + JKG.
Identitas jumlah kuadrat menyatakan bahwa variasi antar perlakuan dan dalam
perlakuan dijumlahkan menjadi jumlah kuadrat total. Akan tetapi, pemahaman lebih
mendalam dapat diperoleh dengan menyelidiki nilai harapan dari JKA dan JKG.
Kemudian akan diturunkan taksiran variasi yang merumuskan rasio yang akan
Perlu dibandingkan ukuran variansi antara perlakuan yang sesuai dengan
variansi dalam perlakuan agar dapat ditemukan perbedaan yang berarti dalam
pengamatan akibat pengaruh perlakuan. Perhatikan nilai harapan jumlah kuadrat
perlakuan.
Teorema 2.2 E(JKA) = (I-1)
∑
=
+ I
i i
n 1
2 2
α σ
Bukti
Bila JKA dipandang sebagai peubah acak yang nilai-nilainya berubah bila percobaan
diulang beberapa kali, maka dapat ditulis:
JKA =
∑
= −
I
i
i y
y n
1
2 ..) .
( .
Dari model : yij =µ+αi +Eij
Diperoleh
.
. i i
i E
y =µ+α +
..,
.. E
y =µ+ karena 0. 1
=
∑
=I ii
α Jadi
JKA =
∑
= + −
I
i
i i E E
n 1
2 ..) . (α
dan E(JKA) =
∑
∑
∑
= + = − + =
I
i
I
i
I
i
i i i
i n E E nIE E n E E
n
1 1 1
2 2
2
.) ( 2
..) ( .)
( α
α
Karena Eij merupakan peubah bebas dengan rataan nol dan variansi σ2, maka
diperoleh : ( .) , 2 2
n E
E i =σ ( ..) ,
2 2
nI E
E =σ E(Ei.)=0
∑
∑
= =
+ − =
− + =
I
i i I
i i
n I
I n
JKA E sehingga
1 2 2
1
2 2 2
) 1 ( ) (
α σ
Salah satu taksiran σ2 yang didasarkan pada I-1 derajat kebebasan diberikan oleh
Rataan Kuadrat Perlakuan
1 2
1 − =
I JKA
s .
Bilo H0 benar dan tiap αi pada teorema 2.2 sama dengan nol, maka
2 1=σ
− I JKA E
Dan 2 1
s merupakan taksiran σ2 yang tak bias. Akan tetapi, bila H1 yang benar, maka
1 1
1 2 2
− + =
−
∑
= I nI JKA E
I
i i
α σ
dan s menaksir 12 σ2ditambah suatu suku tambahan mengukur variasi akibat pengaruh yang sistematik.
Taksiran σ2yang kedua dan bebas dari hipotesis, didasarkan pada I(n-1)
derajat kebebasan, ialah rumus yang dikenal, yaitu
Rataan Kuadrat Galat
) 1 ( 2
− =
n I
JKG s
Identitas jumlah kuadrat tidak saja menguraikan keragaman total data, tetapi juga
jumlah semua derajat kebebasan. Dengan perkataan lain
nI - 1 = I – 1 + I(n-1).
Bila H0 benar, rasio
2 2 1 s s f =
Merupakan suatu nilai peubah acak F yang berdistribusi F dengan derajat kebebasan
I-1 dan I(n-1). Karena s menaksir lebih 12 σ2bila H0 salah, maka diperoleh uji ekasisi
Hipotesis nol ditolak pada taraf keberartian αbila
)] 1 ( , 1
[ − −
> f I I n f α
Perhitungan masalah analisis varianasi diringkas dalam bentuk tabel seperti pada
[image:34.595.133.487.237.426.2]tabel 2.3.
Tabel 2.3 Analisis Variansi untuk klasifikasi satu arah
Sumber Jumlah Derajat Rataan f
Variasi Kuadrat Kebebasan Kuadrat Hitungan
Perlakuan JKA I-1
1 2
1 − =
I JKA
s 2
2 1 s s
Galat JKG I(n-1)
) 1 ( 2
− =
n I
JKG s
Total JKT nI-1
2.3.2 Analisis Variansi Klasifikasi Dua Arah
Analisis Variansi klasifikasi dua arah merupakan pengembangan atau perluasan dari
analisa dengan satu arah. Anava klasifikasi dua arah membahas tentang keragaman
dalam satu peubah tidak bebas Y yang ditimbulkan oleh keragaman dua faktor.
Tabel 2.4 Klasifikasi dua arah
Perlakuan Blok
1 2 ... J
Jumlah Rataan
1 y11 y12 … y1J T1. y 1.
2 y 21 y … 22 y2J T2. y 2.
I y I1 yI2 ... y IJ TI. y I.
Jumlah T.1 T.2 … T.J T..
Rataan y .1 y … .2 y. J y ..
Dengan:
= .
i
y rataan pengamatan untuk perlakuan ke i
= j
y. rataan pengamatan dalam blok ke j
..
y = rataan keseluruhan ij pengamatan
Ti. = jumlah pengamatan untuk perlakuan ke i
T.j = jumlah pengamatan dalam blok ke j
..
T = jumlah keseluruhan ij pengamatan.
Rata-rata rataan populasi perlakuan ke i, µi, didefenisikan sebagai
J
J
j ij
i
∑
== 1 .
µ µ
Rata-rata rataan populasi blok ke j, µ.j, didefenisikan sebagai
I
I
i ij j
∑
== 1 .
Dan rata-rata rataan keseluruhan µ, didefenisikan sebagai
IJ
I
i J
j ij
∑∑
= == 1 1 µ µ
Untuk menentukan apakah ada bagian variasi dalam pengamatan yang
diakibatkan oleh perbedaan dalam perlakuan, dilakukan uji
0 semua
tidak :
... . . :
i. 1
. 2
1 0
= = = = =
µ µ µ
µ µ H
H I
dan untuk menentukan apakah ada variasi yang diakibatkan oleh perbedaan blok
dilakukan uji
0 semua tidak :
, . ... . . :
.j 1
2 1 0
= = = = =
µ µ µ
µ µ H
H J
Tiap pengamatan dapat dituliskan dalam bentuk
ij ij ij
y =µ +ε
denganεijmengukur penyimpangan nilai amatan yij dari rataan populasi µij.
Bentuk persamaan yang lebih disukai diperoleh dengan penggantian
j i ij µ α β
µ = + +
Dengan αi menyatakan pengaruh perlakuan ke i dan βj menyatakan pengaruh blok
ke j. Dianggap bahwa pengaruh perlakuan dan blok aditif. Jadi dapat ditulis
ij j i ij
y =µ+α +β +ε
Model ini mirip dengan klasifikasi satu arah, perbedaan utamanya adalah adanya
pengaruh blok βj. Konsep dasarnya mirip sekali dengan klasifikasi satu arah kecuali
disini pengaruh tambahan akibat blok harus diperhitungkan dalam analisis karena
Bila sekarang dikenakan pembatasan bahwa
∑
=I =i i
1 0
α dan 0
1 =
∑
J= jj
β
Maka,
i J
j
j i
i
J µ α
β α µ
µ = +
+ + =
∑
=1) (
. dan j
I
i
j i j
I µ β
β α µ
µ =
∑
=1 + + = + ) (.
Hipotesis nol bahwa i rataan perlakuan µi. sama, dan karena itu sama
denganµ dengan menguji hipotesis
0 semua tidak :
, 0 ...
:
i 2 1 0
= = = = =
α α α
α
i
I
H H
Begitu juga hipotesis nol bahwa j rataan blok µ.j sama, setara dengan menguji
hipotesis
0 semua tidak :
0 ...
:
j 1
2 1 0
= = = = =
β β β
β H
H J
Tiap uji pada perlakuan akan didasarkan pada perbandingan taksiran-taksiran
bebas untuk variasi populasi bersama σ2. Taksiran ini diperoleh dengan memisahkan
jumlah kuadrat total data menjadi tiga bagian dengan menggunakan identitas berikut.
Teorema 2.3 Identitas Jumlah Kuadrat
∑∑
=I = − =∑
= − +∑
= −i J
j
I
i
J
j j i
ij y J y y I y y
y
1 1 1 1
2 2
2
..) .
( ..)
. ( ..)
(
∑∑
= = − − + + Ii J
j
j i
ij y y y
y 1 1
Bukti
∑∑
=I = − =∑∑
= = − + − + − − +i J j I i j i ij j i J j
ij y y y y y y y y y
y
1 1 1
2 1 2 ..)] . . ( ..) . ( ..) . ( [ ..) (
∑
=∑
= − +∑∑
= = − +∑∑
= = − − + = I i I i J j I i J j j i ij j J ji y y y y y y y
y
1 1 1 1 1
2 2 1 2 ..) . . ( ..) . ( ..) . (
∑∑
= = − − + I i J j j i y y yy 1 1 ..) . ..)( . ( 2
∑∑
= = − − − + + I i J j j i iji y y y y y
y 1 1 ..) . . ..)( . ( 2
∑∑
= = − − − + + I i J j j i ijj y y y y y
y 1 1 ..) . . ..)( . ( 2 .
Suku perkalian silang semuanya sama dengan nol. Jadi
∑∑
=I = − =∑
= − +∑
= −i J j I i J j j i
ij y J y y I y y
y
1 1 1 1
2 2 2 ..) . ( ..) . ( ..) (
∑∑
= = − − + + I i J j j iij y y y
y 1 1 2 ..) . . (
Identitas jumlah kuadrat dapat dituliskan dengan lambang persamaan
JKT = JKA + JKB + JKG
Dengan :
JKT =
∑∑
= = − I i J j ij y y 1 1 2 ..)
( = jumlah kuadrat total
JKA =
∑
= − I i i y y J 1 2 ..) .
( = jumlah kuadrat perlakuan
JKB =
∑
= − J j j y y I 1 2 ..) .
( = jumlah kuadrat blok
JKG =
∑∑
= = − − + I i J j j i
ij y y y
y 1 1 2 ..) . .
Dengan mengikuti cara kerja seperti diuraikan pada teorema 2.2 yaitu bila
jumlah kuadrat tersebut ditafsirkan sebagai fungsi peubah acak bebas, maka dapat
IJ
y y
y11, 12,..., ditunjukkan bahwa nilai harapan jumlah kuadrat perlakuan, blok, dan galat adalah,
E(JKA) =
∑
=
+
− I
i i
J I
1 2 2
) 1
( σ α
E(JKB) = (J-1)
∑
=
+ J
j j
I 1
2
2 β
σ
E(JKG) = (I-1)(J-1)σ2.
Salah satu taksiran σ2
didasarkan pada I-1 derajat kebebasan, adalah
1 2
1 − =
I JKA s
Bila pengaruh perlakuan α1 =α2 =...=αI =0, maka s merupakan taksiran tak bias 12 dari σ2. Akan tetapi, bila pengaruh perlakuan tidak semuanya nol, maka
1 1
1 2 2
− + =
−
∑
= I JI JKA E
I
i i
α σ
dan s akan secara berlebihan menaksir12 σ2. Taksiran kedua σ2, didasarkan atas J-1 derajat kebebasan, diberikan oleh
1 2
2 − =
J JKB
s .
Taksiran s merupakan taksiran tak bias dari 22 σ2 bila pengaruh blok .
0 ...
2
1 =β = =βJ =
β Bila pengaruh blok tidak semuanya nol, maka:
1 1
1 2 2
− + =
−
∑
=J I
J JKB E
J
j j
Dan s22 akan secara berlebihan menaksir 2
σ . Taksiran ketiga dari σ2, didasarkan pada (I-1)(J-1) derajat kebebasan dan bebas dari s2, diberikan oleh
) 1 )( 1 ( 2
− − =
J I
JKG
s ,
Yang tidak bias, terlepas apakah kedua hipotesis nol benar atau salah.
Untuk menguji hipotesis nol bahwa pengaruh perlakuan semuanya sama
dengan nol, dengan menghitung rasio:
2 2 1 1
s s f = ,
Yang merupakan nilai peubah acak F1 yang berdistribusi F dengan derajat kebebasan
I-1 dan (I-1)(J-1) bila hipotesis nol benar. Hipotesis nol ditolak pada taraf keberartian
α bila f1 > fα[I −1,(I −1)(J −1)].
Untuk menguji hipotesis nol bahwa pengaruh blok semuanya sama dengan nol,
dengan menghitung rasio:
2 2 2 2
s s f = ,
Yang merupakan nilai peubah acak F2 yang berdistibusi F dengan derajat kebebasan
J-1 dan (I-1)(J-1) bila hipotesis nol benar. Perhitungan Anava untuk klasifikasi dua
Tabel 2.5 Analisis Variansi Klasifikasi Dua Arah
Sumber
Variasi
Jumlah
Kuadrat
Derajat
Kebebasan
Rataan
Kuadrat
F
Hitunga n
Perlakuan
Blok
Galat
JKA
JKB
JKG
I-1
J-1
(I-1)(J-1)
1 2
1 − =
I JKA s
1 2
2 − =
J JKB s
) 1 )( 1 ( 2
− − =
J I
JKG s
2 2 1 1
s s f =
2 2 2 2
s s f =
Jumlah JKT IJ-1
2.3.3 Analisis Variansi Klasifikasi Dua Arah dengan Interaksi
Klasifikasi dua arah dengan interaksi mencakup uji hipotesa tentang pengaruh baris,
kolom dan interaksi antara baris dan kolom. Untuk menentukan rumus klasifikasi dua
arah dengan pengamatan yang berulang dalam rancangan acak lengkap, pandang K
sebagai replikasi pada tiap kombinasi perlakuan faktor A diamati pada I taraf dan
faktor B pada J taraf. Pengamatan dapat disajikan dalam suatu matriks yang barisnya
menyatakan taraf faktor A sedangkan kolomnya menyatakan taraf faktor B. Tiap
kombinasi perlakuan menentukan suatu sel dalam matriks. Jadi terdapat IJ sel,
masing-masing berisi K pengamatan. Seluruh IJK pengamatan diperlihatkan pada
Tabel 2.6 Klasifikasi Dua Arah dengan Interaksi
Faktor A
(baris)
Faktor B (kolom)
1 2 … J
Jumlah Rataan
1
2
I
111
y y121 … y1J1
112
y y122 … y1J2
K
y11 y12K … y1JK
211
y y221 … y2 J1
212
y y222 … y2 J2
K
y21 y22K … y2JK
yI11 yI21 … yIJ1
yI12 yI22 … yIJ2
yI1K yI2K … yIJK
.. 1 y
.. 2 y
..
I
y
.. 1 y
.. 2 y
..
I
y
Jumlah y .1. y.2. … y.J. y…
Rataan
y . .1 y . … ..2 .
J
y y …
Pengamatan pada sel ij membentuk sampel acak berukuran n dari suatu
populasi yang dianggap berdistribusi normal dengan rataan µij dan variansi
2 σ . Semua populasi yang banyaknya IJ dianggap mempunyai variansi yang sama. Tiap
pengamatan dalam tabel 2.6 dapat ditulis dalam bentuk
ijk ij ijk
Dengan εijk mengukur penyimpangan pengamatan nilai y pada sel ke ij dari rataan ijk populasi µij. Bila γij menyatakan pengaruh interaksi antara faktor A taraf ke i dan
faktor B taraf ke j, αipengaruh faktor A,
β
j pengaruh faktor B danµ rataankeseluruhan, maka dapat ditulis
ij j i
ij µ α β (γ)
µ = + + +
sehingga yijk =µ+αi+βj +(γ)ij +εijk
Yang akan dikenakan pembatasan
∑
∑
∑
∑
= = = = = = J= =j ij I i ij J j j I i i 1 1 1 1 0 ) ( , 0 ) ( , 0 ,
0 β γ γ
α
Ketiga hipotesis yang akan diuji adalah:
0 semua tidak : 0 ... : i 1 2 1 0 = = = = = α α α α H H I 0 semua tidak : 0 ... : j 1 2 1 0 = = = = = β β β β H H J 0 ) ( semua tidak : 0 ) ( ... ) ( ) ( : 1 12 11 0 = = = = = ij IJ H H γ γ γ γ
Tiap uji ini akan didasarkan pada perbandingan taksiran σ2yang bebas
diperoleh dengan menguraikan jumlah kuadrat data menjadi empat bagian dengan
menggunakan kesamaan (identitas) berikut.
Teorema 2.4 Identitas Jumlah Kuadrat
∑∑
=I =∑
= − =∑
= − +∑
= −i J j I i J j j i ijk K k y y IK y y JK y y
1 1 1 1
2 2 2 1 ...) . . ( ...) .. ( ...) ( . .) ( ...) . . .. . (
1 1 1
Identitas jumlah kuadrat dapat dituliskan dengan lambang persamaan
JKT = JKA + JKB +JK(AB) + JKG
Derajat kebebasannya menurut kesamaan
IJK - 1 = (I-1) + (J-1) + (I-1)(J-1) + IJ(K-1).
Bila tiap jumlah kuadrat pada sebelah kanan kesamaan jumlah kuadrat dibagi
dengan derajat kebebasannya, maka diperoleh keempat statistik yaitu
, 1 2 1 − = I JKA s , 1 2 2 − = J JKB s , ) 1 )( 1 ( ) ( 2 3 − − = J I AB JK s ) 1 ( 2 − = K IJ JKG s
Semua taksiran variansi ini adalah taksiran σ2
yang bebas dengan syarat bahwa tidak
ada pengaruh αi,βj dan (γ)ij.
Bila jumlah kuadrat dipandang sebagai fungsi dari peubah acak bebas Y111,
Y112, …, YIJK maka
1 1 ) ( 1 2 2 2 1 − + = − =
∑
= I JK I JKA E S E I i i α σ 1 1 ) ( 1 2 2 2 2 − + = − =∑
= J IK J JKB E S E J i j β σ ) 1 )( 1 ( ) ( ) 1 )( 1 ( ) ( ) ( 1 2 1 2 2 3 − − + = − − =∑∑
= = J I K J I AB JK E S E I i ij J j γ σ 2 2 ) 1 ( ) ( =σ − = K IJ JKG E S EDari rumus dengan mudah dapat disimpulkan bahwa keempat taksiran σ2tidak bias
Untuk menguji hipotesis nol bahwa pengaruh perlakuan semuanya sama
dengan nol, dengan menghitung rasio:
2 2 1 1
s s f = ,
Yang merupakan nilai peubah acak F1 yang berdistribusi F dengan derajat kebebasan
I-1 dan IJ(K-1) bila hipotesis nol benar. Hipotesis nol ditolak pada taraf keberartian α bila f1 > fα[I −1,IJ(K −1)].
Untuk menguji hipotesis nol bahwa pengaruh blok semuanya sama dengan nol,
dengan menghitung rasio:
2 2 2 2
s s f =
,
Yang merupakan nilai peubah acak F2 yang berdistibusi F dengan derajat kebebasan
J-1 dan IJ(K-1) bila hipotesis nol benar. Hipotesis ini ditolak pada taraf keberartian
α bila f2 > fα[(J −1,IJ(K−1)]. Untuk menguji hipotesis H0 bahwa pengaruh
interaksi semuanya nol, maka:
2 2 3 3
s s f =
yang merupakan nilai peubah acak F3 yang berdistribusi F dengan derajat kebebasan
(I-1) (J-1) dan IJ(K-1) bila H0 benar. Adanya interaksi bila
)]. 1 ( ), 1 )( 1 [(
3 > f I − J − IJ K−
f α
Perhitungan mengenai masalah Anava untuk klasifikasi dua arah dengan
Tabel 2.7 Analisis Variansi untuk klasifikasi dua arah dengan interaksi
Sumber Variasi
Jumlah Kuadrat
Derajat Kebebasan
Rataan Kuadrat f hitung
Pengaruh
utama
A (baris)
B (kolom)
Interaksi
AB
Sisa
JKA
JKB
JK(AB)
JKG
I-1
J-1
(I-1)(J-1)
IJ(K-1)
1 2
1 − =
I JKA S
1 2
2 − =
J JKB S
) 1 )( 1 (
) ( 2
3
− − =
J I
AB JK S
) 1 ( 2
− =
K IJ
JKG S
2 2 1 1
S S f =
2 2 2 2
S S f =
2 2 3 3
S S f =
Total JKT IJK-1
[image:46.595.219.456.508.728.2]Jumlah Kuadrat diperoleh dengan membentuk tabel jumlah berikut:
Tabel 2.8
A
B
1 2 … J
Jumlah
1
2
I
. 11 y
y12. … y1 j. .
21 y
y22. … y2 j.
. 1
I
y yI1. … yIJ
.. 1 y
.. 2 y
..
I
y
Jumlah .. 1 y
y.2. … y.J.
BAB 3
PEMBAHASAN DAN HASIL
3.1 Multiple Regresi
Untuk memperkirakan/meramalkan nilai dari variabel Y, akan lebih baik apabila ikut
memperhitungkan variabel-variabel lain yang ikut mempengaruhi Y. Dengan
demikian ada hubungan antara satu variabel tidak bebas (dependent variable) Y
dengan beberapa variabel lain yang bebas (independent variable) X1, X2, …, Xk.
Hubungan antara sebuah variabel tak bebas (dependent variable) dengan dua buah
atau lebih variabel bebas (independent variable) dalam bentuk regresi disebut dengan
Regresi Linear Ganda.
Untuk meramalkan Y, apabila semua nilai variabel bebas diketahui, maka
dapat digunakan persamaan regresi linear berganda. Hubungan antara Y dan X1, X2,
…, Xk yang sebenarnya adalah :
Yi = β0 +β1X1i+β2X2i +...+βkXki+εi … (3.1)
Anggapan yang diambil dalam model ini ialah bahwa X1,X2,...,Xn tidak mempunyai distribusi sedangkan εiberdistribusi N(0,σ2)
Apabila dinyatakan dalam bentuk persamaan matriks berikut.
Y = XB + ε Dengan:
Y, B, ε = vektor
dimana Y =
