Rangkuman materi contoh soal latihan soa 001

(1)

IRISAN KERUCUT

BAB 10

Lingkaran

A.

1. Pengertian Lingkaran

Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak konstan/sama terhadap sebuah titik tertentu. Sebuah titik tertentu itu disebut pusat lingkaran dan titik-titik yang berjarak sama itu disebut jari-jari (r).

2. Persamaan Lingkaran

a. Persamaan lingkaran dengan pusat O(0,0) x2_{+ y}2_{= r}2

Posisi titik (a, b) terhadap lingkaran:

• PADA lingkaran : x2_{+ y}2_{= r}2 →_a2_{+ b}2_{= r}2 • DI DALAM lingkaran : x2_{+ y}2_{= r}2 →_a2_{+ b}2_{< r}2 • DI LUAR lingkaran : x2_{+ y}2_{= r}2 →_a2_{+ b}2_{> r}2

b. Persamaan lingkaran dengan pusat (a, b) (x – a)2_{+ (y – b)}2_{= r}2

• Menyinggung sumbu X, maka r = |b| • Menyinggung sumbu Y, maka r = |a|

c. Persamaan umum lingkaran x2_{+ y}2_{+ Ax + By + C = 0}

( )

2 2

1 1

Pusat = a, b A, B

2 2

1 1

Jari-jari = r A B C

2 2

 

= −_ − _

 

   

= _− _ + −_ _ −

(2)

3. Penentuan Jarak Suatu Titik ke Persamaan Lingkaran

a. Jarak titik (x_o, y_o) ke garis Ax + By + C = 0

2 2

o o

Ax By C

d

A B

+ +

=

+

b. Jarak dari titik (x₁, y₁) ke titik (x₂, y₂)

(

) (

2

)

2

1 2 1 2

d= x −x + y −y

4. Hubungan Garis Lurus Dengan Lingkaran

Hubungan Garis dan Lingkaran Syarat

Garis memotong lingkaran pada dua titik

D > 0

Garis menyinggung lingkaran

D = 0

Garis tidak menyinggung dan memotong

D < 0

5. Persamaan Garis Singgung Lingkaran

a. Persamaan garis singgung di titik (x₁, y₁) pada lingkaran x2_{+ y}2_{= r}2

x₁ x + y₁ y = r2

b. Persamaan garis singgung di titik (x₁, y₁) pada lingkaran (x – a)2_{+ (y – b)}2_{= r}2

(x₁ – a)(x – a) + (y₁ – b)(y – b) = r2

c. Persamaan garis singgung di titik (x₁, y₁) pada lingkaran x2_{+ y}2_{+ Ax + By + C = 0}

x . x₁ + y . y₁ +1

2A(x + x1) + 1

2 B(y + y1) + C = 0

Persamaan Garis Singgung Lingkaran Jika Diketahui Gradien (m)

• Persamaan garis singgung pada lingkaran dengan pusat (0, 0) 2

y mx r m= ± +1

(3)

6. Persamaan Garis Singgung Persekutuan Dua Lingkaran

Persaman Garis Persekutuan Dalam

R

R₁

R₂ P

S Q

( )

2

(

)

2 1 2 RS= PQ − R +R

Persaman Garis Persekutuan Luar

R

R₁

R₂ P

S

Q

( )

2

(

)

2 1 2 RS= PQ − R −R

Parabola

B.

1. Parabola dengan Titik Puncak O (0, 0)

Persamaan y2_{= 4px} _{Persamaan x}2_{= 4py}

Puncak (0, 0) Fokus F(p, 0)

Sumbu simetri sumbu x (y = 0) Direktriks x = – p

LR = |4p|

Puncak (0, 0) Fokus F(0, p)

Sumbu simetri sumbu y (x = 0) Direktriks y = – p

LR = |4p|

2. Parabola dengan Titik Puncak P(a, b)

Persamaan (x – a)2_{= 4p (y – b)} _{(y – b)}2_{= 4p (x – a)}

Puncak (a, b) Fokus F(a, b + p) Sumbu simetri sumbu x = a

Direktriks y = b – p LR = |4p|

Puncak (a, b) Fokus F(a+ p, b) Sumbu simetri sumbu y = b

Direktriks x = a – p LR = |4p|

Elips

C.

1. Persamaan Elips dengan Pusat O(0,0) 2 2

2 2

x y

+ = 1

a b

Atau

b2_x2_{+ a}2_y2_{= a}2_b2

Keterangan:

• Pusat O(0, 0)

(4)

• Fokus F₁(c, 0) dan F₂(–c, 0) dengan a2_{= b}2_{+ c}2 • Sumbu simetri = sumbu x dan sumbu y

• Sumbu simetri yang melalui titik fokus F₁dan F₂ disebut sumbu utama.

• Sumbu simetri yang tegak lurus sumbu utama disebut sumbu sekawan. • Sumbu utama (sumbu mayor) = 2a dan sumbu sekawan (sumbu minor) = 2b • Direktriks = x = ± a2

c • Eksentrisitas = e = c

a

2. Persamaan Elips dengan Pusat O(α, β)

2 2

(x - ) (y - ) 1

a b

α ₊ β ₌

Keterangan:

• Pusat O(α, β)

• Puncak A₁(a + α, β) dan A₂(–a + α, β)

• Fokus F₁(c + α, β) dan F₂( –c + α, β)

• Sumbu simetri x = α dan y = β

• Sumbu mayor = 2a dan sumbu minor = 2b • Direktriks = x =

2 a

c α±

• Eksentrisitas = e =c a

Hiperbola

D.

1. Persamaan Hiperbola dengan Pusat O(0,0) 2 2

2 2

x y

=1 a −b

Atau

b2_x2_{– a}2_y2_{= a}2_b2

Keterangan:

• Pusat O(0, 0)

• Fokus F₁(c, 0) dan F₂(–c, 0) dengan c2 _{= a}2_{+ b}2

• Titik puncak A₁(a, 0) dan A₂(–a, 0), selisih jarak = 2a dengan c > a

• Persamaan direktriks = x = 2 a

c

±

• Persamaan asimtot = y = b a

(5)

2. Persamaan Hiperbola dengan Pusat (α, β)

2 2

(x - ) (y - )

- 1

a b

α β ₌

Keterangan:

• Pusat (α, β)

• Titik puncak A₁(a + α, β) dan A₂(–a + α, β)

• Fokus F₁(c + α, β) dan F₂(–c + α, β)

• Sumbu utama y = β dan sumbu sekawan x = α

• Direktriks = x = 2 a

c α±

• Eksentrisitas = e = c a

• Asimtot = (y – β) = b

a

± (x – α)

2 2

(y - ) (x - )

- 1

a b

β α ₌

(6)

1. Diketahui sebuah persamaan parabola y = ax2₊

bx + c. Jika a, b, dan c berturut-turut merupakan suku pertama, kedua, dan ketiga suatu barisan aritmetika, serta garis singgung parabola terse-but di titik (1, 12) sejajar dengan garis y = 6x, maka nilai (3a + 2b + c) = ....

A. 20 B. 22 C. 14 D. 18 E. 16

2. Parabola y = ax2_{+ bx + c melalui titik (0, 1), (1, 0)}

dan (3, 0). Jika titik minimum parabola tersebut adalah (p, q), maka q = ….

1 A.

3 2 B. 1

3 1 C. 2

3 1 D. 1

3 1 E. 1

4

−

3. Diketahui lingkaran L berpusat di titik (–2, 3) dan melalui titik (1, 5). Jika lingkaran L diputar 90° terhadap titik O (0, 0) searah jarum jam, kemudian digeser ke bawah sejauh 5 satuan, maka persamaan lingkaran L yang dihasilkan adalah ….

A. x2_{+ y}2_{– 6x + 6y – 5 = 0}

Latihan

Soal

C. x2_{+ y}2 _{– 6x + 5 = 0}

D. x2_{+ y}2 _{– 6x + 6y + 5 = 0}

E. x2_{+ y}2 _{+ 6x – 6y – 5 = 0}

4. Jika jari-jari lingkaran L adalah r dan A suatu titik pada L sehingga ∠ ABC = 45° .

L

A

B

C 45°

Maka luas daerah yang diarsir adalah ….

2

2 1

A. r (9 2 ) 2

1

B. r ( 2) 4

1

C. r ( 1) 4

1

D. r ( 2) 2

E. r (2 9) π

π

−

5. Garis x + y = 4 memotong parabola y = 4x – x2

dititik A dan B. Panjang ruas garis AB adalah ….

A. 4 3 B. 4 C. 3 2 D. 2 3 E. 2

(7)

A. x – 7y – 26 = 0 B. 4x – 3y + 19 = 0 C. 3x – 4y – 19 = 0 D. x + 7y – 26 = 0 E. 3x + 4y – 19 = 0

7. Dari sebuah kerucut lingkaran tegak diketahui bahwa penambahan volume karena bertam-bahnya jari-jari dengan 24 cm sama dengan penambahan volume karena bertambahnya tinggi kerucut itu dengan 24 cm. Jika tinggi semula kerucut tersebut 3 cm, maka jari–jari semula ….

A. 18 B. 12 C. 8 D. 6 E. 3

8. Persamaan x2 _{+ y}2 _{+ 4x – 6y + 13 = 0 merupakan}

lingkaran yang berpusat di ….

A. (2, 3) B. (4, 6) C. (–2, –3) D. (2, –3) E. (–2, 3)

9. Parabola y = x2 _{– 6x + 8 digeser ke kanan sejauh}

2 satuan searah dengan sumbu x dan digeser ke bawah sejauh dengan 3 satuan. Jika parabola hasil pergeseran ini memotong sumbu x di x₁ dan x₂ , maka x₁ + x₂ = ….

A. 12 B. 11 C. 10 D. 9 E. 8

10. Jika lingkaran x2 _{+ y}2 _{+ 6x + 6y + c = 0}

menying-gung garis x = 2 maka nilai c = ....

(8)

1. Jawaban: D

• Persamaan parabola ax2_{+ bx + c}

• a, b, dan c membentuk barisan aritmetika:

U1 + U3 = 2 U2

a + c = 2b

a – 2b + c = 0 ... (1)

• Garis singgung parabola tersebut di titik

(1, 12), maka: f(x) = ax2_{+ bx + c}

f(1) = 12

f(1) = a (1)2_{+ b(1) + c}

12 = a + b + c

a + b + c = 12 ... (2)

Persamaan 1 dan 2 dieliminasi a – 2b + c = 0

a + b + c = 12 – –3b = –12 b = 4 a + b + c = 12 a + 4 + c = 12 a + c = 12 – 4 a + c = 8

• Persamaan garis singgung sejajar dengan

y = 6x, apabila dua persamaan garis seja-jar, maka gradien (m) adalah m₁ = m_2. persamaan y = 6x

m₁ = 6 m₁ = m₂ = 6 m = 2a + 4 6 = 2a + 4 6 – 4 = 2a

Pembahasan

a = 1

a + c = 8 dan c = 8 – 1 = 7

Jadi, 3a + 2b + c = 3(1) + 2(4) + 7 = 18

2. Jawaban: A

Persamaan parabola y = ax2_{+ bx + c}

Koordinat y = ax2 + bx + c

(0, 1) c = 1

(1, 0)

a + b + c = 0 a +b + 1= 0

a + b = –1 ... 1)

(3, 0)

9a + 3b + c = 0 9a + 3b + 1 = 0

9a + 3b = –1 …… 2)

Persamaan (1) dan (2) dieliminasi

a + b = – 1 ×3 3a + 3b = –3 9a + 3b = –1 ×1 9a + 3b = –1

–6a = –2

a = 1

3

1 4

b 1

3 3

 

= − −_{ }= −

 

Persamaan parabola → y = ax2_{+ bx + c =} 2

1 4

x x 1

3 −3 +

Titik minimum (p, q), maka nilai q:

2

b 4ac

q 4a

4 1 _{16 4}

4 1

1

3 3 ₉ ₃

1 4 3

− =

−

₋  ₋  

−

   

   

= = = −

(9)

3. Jawaban: D

• Pusat lingkaran (–2, 3) dirotasi 90° searah

jarum jam, berarti sudut bernilai negatif

( )

( ) ( )

x' cos( 90 ) sin( 90 ) x y' sin( 90 ) cos( 90 ) y

x' 0 1 2

y' 1 0 3

0 2 1 3

x'

y' ₁ ₂ _{0 3}

x' 3 y' 2 − ° − − °       =    _{− °} _{− °}          −       =   ₋           × − + ×    =         _ _{− × − + ×} _     =        

• Titik selanjutnya ditranslasi ke bawah

sejauh 5 satuan

x'' 3 0 3

y'' 2 5 3

       

= + =

       ₋ ₋

       

• Persamaan lingkaran dengan pusat (3, –3)

melalui (1, 5)

r = (1 –(–2))2_{+ (5 – 3)}2_{= 9 + 4 = 13}

Persamaannya:

(x – 3)2_{+ (y –(–3))}2_{= 13}

(x – 3)2_{+ (y + 3)}2_{= 13}

x2_{– 6x + 9 + y}2_{+ 6y + 9 = 13}

x2_{+ y}2_{– 6x + 6y + 5 = 0}

4. Jawaban: B

• ∠BXC = 2∠BAC = 2(45°) = 90°

• Luas segitiga BXC

_BC₌ _r2_{+ =}_r2 _2r2 ₌_{r 2}

2

1 1

LBXC r 2 r 2

2 2 1 LBXC r 2   = _{ }   =

• Luas yang diarsir = Luas Juring BXC – Luas ∆BXC

(

)

2 2 2 1 1 r r 4 2 1 r 2 4 π π = − = −

5. Jawaban: C

Garis x + y = 4 memotong parabola y = 4x – x2

dititik A dan B.

x + y = 4 y = 4 – x

Perpotongan antara y = x – 4 dan parabola y = 4x – x2

y = 4 – x 4x – x2_{= 4 – x}

x2_{– 5x + 4 = 0}

(x – 4)(x – 1) = 0 x = 4 dan x = 1

Masukan ke persamaan y = 4 – x x = 4 ⇒ y = 0 ⇒ (4, 0)

x = 1 ⇒ y = 3 ⇒ (1, 3)

Jarak dari satu titik ke titik lainnya

(

) (

)

2 2

b a b a

2 2

AB (x x ) (y y )

1 4 3 0

9 9 18 3 2 = − + − = − + − = + = = L A B C r r X 45°

(10)

6. Jawaban: E

Persamaan lingkaran: x2_{+ y}2_{– 4x + 6y – 12 = 0}

x2_{– 4x + y}2_{+ 6y – 12 = 0}

(x – 2)2_{– 4 + (y + 3)}2_{– 9 = 12}

(x – 2)2_{+ (y + 3)}2_{= 12 + 4 + 9}

(x – 2)2_{+ (y + 3)}2_{= 25}

(x – 2)2_{+ (y + 3)}2_{= 5}2

Persamaan Lingkaran (x – a)2_{+ (y – b)}2_{= r}2

Pusat (a, b) → r = jari -jari Pusat = (2, –3)

Gradien PQ = (1 ( 3)) 4

5 2 3

− − = −

Gradiennya saling tegak lurus, maka: m₁ m₂ = –1

m₂ = 1 1

m −

m₂ = 1 3

4 4

3

− = −

Persamaan garis singgung: y – b = m(x – a)

3

y 1 (x 5)

4

3 15

y x 1

4 4

4y 3x 15 4

3x 4y 19 0

− = − −

= − + +

+ − =

7. Jawaban: B

V kerucut 1 2 r t 3π

=

t_awal= 3

Penambahan volume karena bertambahnya r dengan 24 cm

2 1

V r t

3 1 π

π

=

= +

Penambahan volume karena bertambahnya tinggi 24 cm

2

2 1

V r t

3 1

V r (24 3)

3 1

V r (27) 3

V 9 r π

π

=

= +

=

Jari-jari awalnya adalah:

V₁ = V₂

π(r + 24)2_{= 9}π_r2

r2_{– 48r – 576 = 9r}2

r2_{– 6r – 72 = 0}

(r + 6)(r – 12) = 0 r = – 6, r = 12

Karena jari-jari tidak mungkin bernilai negatif, maka nilai r yang memenuhi adalah 12.

8. Jawaban: E

x2 _{+ y}2 _{+ 4x – 6y + 13 = 0}

Pusat lingkaran

1 1

A (4) 2

2 2

1 1

B ( 6) 3

2 2

Pusat lingkaran ( 2,3)

− = − = −

− = − − =

−

9. Jawaban: C

y = x2_{– 6x + 8}

y = 0

x2_{– 6x + 8 = 0}

(x – 4)(x – 2) = 0 x = 4 dan x = 2

Sumbu simetri b ( 6) 3

2a 2(1)

−

= − = − =

Nilai ekstrim D b2 4ac

4a 4a

−

= − = −

(11)

Titik puncak = (3, –1)

1

–1

–4

0 2 3 4 5 6

3 satuan 2 satuan

(5, –4)

Persamaan baru memiliki nilai x

₁

= 4 dan x

₂

= 6

Maka 4 + 6 = 10

10. Jawaban: D

Lingkaran x2 _{+ y}2 _{+ 6x + 6y + c = 0 menyinggung}

x = 2

x2_{+ y}2_{+ 6x + 6y + c = 0}

(2)2_{+ y}2_{+ 6(2) + 6y + = 0}

4 + y2_{+ 12 + 6y + c = 0}

y2_{+ 6y + 16 + c = 0}

Syarat menyinggung: b2_{– 4ac = 0}

b2_{– 4ac = 0}

62_{–4(1)(16 + c) = 0}

(12)

NOTASI SIGMA, BARISAN,

DERET, DAN SUKU BANYAK

BAB 11

Notasi Sigma

A.

Notasi sigma digunakan untuk menyatakan penjumlahan berurutan dari suatu bilangan yang sudah ber-pola.

n

i 1 2 3 n

i 1

U U U U ... U

=

= + + + +

∑

Keterangan:

n

i i 1

U =

∑

= dibaca penjumlahan suku Ui dari i = 1 sampai i = n i = indeks penjumlahan

i = 1 = disebut batas bawah penjumlahan i = n = disebut batas atas penjumlahan

Barisan dan Deret Aritmetika

B.

Barisan aritmetika adalah barisan atau deret yang memiliki beda atau selisih yang sama dan dituliskan dalam bentuk:

U₁, U₂, U₃, ..., U_n

Deret aritmetikanya dituliskan dalam bentuk: U₁ + U₂ + U₃ + ... + U_n

Jika deret aritmetika U₁+ U₂+ U₃, ... = a + (a + b) + (a + 2b) + ...

• beda (b) = U₂ – U₁ = U₃ – U₂ = U_n – U_n–1

• U₁ = a, maka suku ke-n = U_n = a + (n – 1)b

• Jumlah sampai suku ke-n = n

=

{

+ −

(

)

}

n

S

2a

n 1 b

(13)

Barisan dan Deret Geometri

C.

Jika suatu deret berbentuk = U₁+ U₂ + U₃, ... = a + ar2_{+ ar}3_{+ ..., maka deret ini disebut deret geometri dan}

barisnya disebut baris geometri. Pada baris atau deret geometri berlaku:

• rasio (r) = 2 3 n 1 2 n 1

U

U U

r

U U U−

= = =

• U₁ = a, maka suku ke-n = U_n = arn–1

• Jumlah sampai suku ke-n =

( )

n

a r 1

S untuk r 1

r 1

−

= → >

−

( )

n

a 1 r

S untuk r 1

1 r

−

= → <

−

• Suku tengah pada deret geometri ganjil = U_t2_{= a.U} n

Deret Geometri Tak Hingga

D.

1. Deret geometri tak hingga konvergen adalah deret yang memiliki limit jumlah.

Syarat: |r| < 1 → –1 < r < 1

Jumlah deret tak hingga = ~ a S

1 r

= −

2. Deret geometri tak hingga divergen adalah deret yang tidak memiliki limit jumlah.

Syarat: |r| > 1 →r < –1 atau r > 1

Jumlah deret tak hingga = S_~ = tidak ada

Suku Banyak

E.

Suku banyak atau polinom dalam variabel x berderajat n memiliki bentuk umum:

a_nxn_{+ a} n–1 x

n–1_{+ ...+ a} 2x

2_{+ a} 1x + a0

Keterangan:

n : pangkat tertinggi dari x atau derajat tertinggi dari suku banyak a_n : koeisien dari xn

a_n–1 : koeisien dari xn–1

a₀ : suku tetap

1. Nilai Suku Banyak

Suku banyak dalam x ditulis dalam fungsi f(x). Jika nilai x diganti dengan konstanta h, maka f(h) disebut nilai suku banyak. Untuk menentukan nilai suku banyak dapat dilakukan dengan dua metode yaitu:

a. Metode substitusi

(14)

b. Metode Sintesis Horner

Metode Sintesis Horner adalah metode untuk mengetahui nilai suku banyak dengan koeisien suku banyak disusun dalam urutan pangkat turun. Contoh: Nilai suku banyak dari f(x) = ax3_{+ bx}2_{+ cx + d}

untuk x = h adalah?

a × h

a

a b c d

a × h + b

a × h2_{+ bh}

a × h2_{+ bh + c}

a.h3_{+ bh}2_{+ ch}

a.h3_{+ bh}2_{+ ch + d}

x = h

2. Kesamaan Suku Banyak

Dua bentuk aljabar yang memiliki nilai sama untuk setiap variabel x dikatakan identik atau sama. Simbol identik adalah “≡” (ekuivalen).

3. Pembagian Suku Banyak

suku banyak yang akan dibagi = pembagi . hasil bagi + sisa f (x) = g(x) . H(x) + sisa

a. Pembagian dengan pembagi berbentuk x – h Sisa pembagian oleh (x – h) terhadap a_nxn_{+ a}

n–1 x

n–1_{+ ... + a} 2x

2_{+ a}

1x + a0 , yaitu f(x) = (x – h) . H(x) + f

(h), S = F(h). Keterangan :

(x– h) : pembagi H(x) : hasil bagi

f(h) : sisa

b. Pembagian dengan pembagi berbentuk ax + b

Pembagian suatu suku banyak oleh (ax+ b) dinyatakan sebagai berikut. Ubah dahulu bentuk (ax + b).

b b

x + dengan h =

a→ −a

b

(15)

b

f(x) .H(x) S

a

1

f(x) (ax b).H(x) S a

H(x) f(x) (ax b). S

a

x

 

=_ + _ +

 

= + +

Hasil bagi =H(x)

a , sisa = S

c. Pembagian dengan pembagi berbentuk ax2_{+ bx + c}

Jika pembagi ax2_{+ bx + c dapat difaktorkan, maka:}

f(x) = (ax2_{+ bx + c). H(x) + S(x)}

Hasil bagi = H(x), sisa = S(x) dalam bentuk persamaan px + q

4. Teorema Sisa

Jika f(x) dibagi g(x) mempunyai hasil H(x) dan sisa S(x). f(x) = g(x) . H(x) + S(x)

F(x) = suku banyak yang dibagi g(x) = pembagi

H(x) = hasil bagi S(x) = sisa pembagian

Jika f(x) berderajat ndan g(x) berderajat m(m≤ n) maka derajat H(x) dan S(x) masing-masing sebagai berikut:

• Derajat (x) adalah (n – m)

• Derajat maksimum S(x) adalah (m – 1) • Jika H(x) = ax + b maka S(x) = konstan • Jika g(x) = ax2_{+ bx + c maka S(x) = Ax + B}

5. Teorema Faktor

a. Jika pada suku banyak f(x) berlaku f(a) = 0, f(b) = 0 dan f(c) = 0 maka f(x) habis dibagi (x – a) (x – b) (x – c).

b. jika f(a) = 0 maka x – a adalah faktor dari f(x).

(16)

1. Fungsi f(x) dibagi (x – 1) sisanya 3, sedangkan jika dibagi (x – 2) sisanya 4. Kalau dibagi (x2_{– 3x}

+ 2) maka sisanya ….

A. x + 1 B. 2x – 3 C. 2x + 1 D. x + 2 E. –x + 2

2. Dari barisan empat buah bilangan, jumlah tiga bilangan pertama sama dengan nol dan

kuadrat bilangan pertama sama dengan 2₃ kali bilangan ketiga. Jika setiap dua bilangan yang berdekatan sama selisihnya, maka bilangan keempat adalah ….

4 A.

3 4 B.

3

2 C.

3 4 D.

9

4 E.

9

−

3. Suku banyak habis dibagi (x – 1). Sisa pembagian oleh (x – 1) (x + 1) adalah ….

1

A. f(1)(1 x) 2

− −

1

B. f( 1)(1 x) 2

− − +

Latihan

Soal

1

D. f( 1)(1 x)

2 − +

1

E. f(1)(1 x)

2 −

4. Graik hasil produksi suatu pabrik per tahun

merupakan suatu garis lurus. Jika produksi

pada tahun pertama 110 unit dan pada

tahun ketiga 150 unit, maka produksi tahun

ke-15 adalah ….

A. 690 B. 330 C. 360 D. 390 E. 510

5. Suku ke-n suatu deret geometri adalah 4–n_.

Maka jumlah deret tak hingga tersebut adalah ….

A. 1

3

B. 1

2

C. 1 D. 2 E. 3

6. Jumlah deret tak hingga: 2_{log x +}4 _{log x +}16 _log

x + ... adalah ….

A. 1logx 2

B. 2 1

logx 2

(17)

7. Antara bilangan 20 dan 116 disisipkan 11 bilangan sehingga terjadi sebuah deret hitung. Maka jumlah deret hitung adalah ….

A. 416 B. 880 C. 884 D. 768 E. 952

8. μ₁, μ₂, μ₃, … adalah barisan aritmetika dengan suku-suku positif. Jika μ₁ + μ₂ + μ₃= 24 dan μ₁2

= μ₃–10 maka μ₄= ....

A. 32 B. 30 C. 24 D. 20 E. 16

9. Diberikan suku banyak f(x) = x3 _{+ 3x}2 _{+ A. Jika}

f"(2), f'(2), f(2) membentuk barisan aritmetika, maka f"(2) + f'(2) + f(2) = ....

A. 72 B. 67 C. 59 D. 45 E. 31

10. Dari sebuah deret aritmetika (deret hitung) diketahui suku ke tiga sama dengan 9, sedangkan jumlah suku ke lima dan ke tujuh sama dengan 36. Maka jumlah 10 suku yang pertama sama dengan ….

(18)

1. Jawaban: D

Misalnya sisa ax + b: f (x) = ax + b

f(1) = a(1) + b = 3

a + b = 3 ...(1) f( 2) = a(2) + b = 4

2a + b = 4 ...(2)

Dari persamaan (1) dan (2), kita dapatkan: a + b = 3

2a + b = 4 –a = –1 a = 1

a + b = 3 1 + b = 3 b = 2

maka sisanya f(x) = ax + b = x + 2

2. Jawaban: B

4 bilangan tersebut membentuk barisan aritmetika karena selisih bilangan yang berdekatan sama.

Barisan arimetika: U_1,U_2,U_3,dan U₄ U_n = a + (n – 1)b

a = suku ke- 1 b = beda

• Jumlah tiga bilangan pertama sama

dengan nol U₁ + U₂ + U₃ = 0

a +(a + b) + (a + 2b) = 0 3a + 3b = 0

3a = –3b

Pembahasan

• Kuadrat bilangan pertama sama dengan 2

3 kali bilangan ketiga

(

)

( )

(

( )

)

2

1 3

2

2 2

U U

3 2

a a 2b

3 2

b b 2b

3 2

b b

3 2

b b 0

3

2

b b 0

3

2 b 0 atau b =

3

=

= +

− = − +

=

− =

 ₋  ₌

 

 

=

b = 0, maka a = 0 ⇒ U₄ = 0

b = 2

3, maka a = – 2

3⇒ U4 =

2 2 4

3

3 3 3

₋ ₊   ₌

   

   

Jadi, nilai bilangan keempat adalah 4/3.

3. Jawaban: C

f(x) dibagi oleh (x – 1) (x + 1) bersisa maka dapat ditulis:

f(x) = (x – 1)(x + 1). Q(x) + (ax + b). Misal sisa adalah .

f(1) = 0

(19)

Dari persamaan (1) dan (2):

a + b = 0

–a + b = f(–1) + 2b = f (–1) 1

b f( 1) 2

= −

1

a + f( 1) 0 2

1

a f( 1)

2

− =

= − −

Jadi, sisanya = ax + b = 1f( 1)x 1f( 1)

2 2

− − + −

1f( 1) 1 x

( )

2

= − −

4. Jawaban: D

Graik menunjukan barisan aritmetika: U₁ = a

b = U_n – U_n–1 U_n = a + (n–1)b

a = 110 U₃ = a + 2b 150 = 110 + 2(b) 40 = 2b

b = 20

U₁₅ = a + 14b U₁₅ = 110 + 14(20) U₁₅ = 110 + 280 U₁₅ = 390

5. Jawaban: A

Pada deret geometri U_n = ar n–1

n

n (n 1) n

(n 1) n 1

U 4 1

r 4

U 4 4

−

− + − − −

−

= = = =

U_n = 4–n

4–n_{= ar}n–1

4–n_{= a(4}–n+1₎

n n 1 4 a 4 − − + =

( n n 1) a 4= − + −

1 a

4

=

Jumlah deret tak hingga:

~

1 1

a ₄ ₄ 1

S

1 3

1 r ₁ 3

4 4

= = = =

− ₋

6. Jawaban: E

2_{log x +}4_{log x +}16 _{log x + ...}→_{deret geometri}

tak hingga. Gunakan rumus:

n n 1 U r U− = 2 4 2 2 1 4 2 2 2 2 ~

U logx logx log2

r .

U logx log4 logx

log2 1

log2 log2

log4 2

a logx logx

S 2 logx

1 1

1 r ₁

2 2

= = =

= = = =

− ₋

7. Jawaban: C

Di antara 20 dan 116 disisipkan 11 bilangan, maka total bilangan menjadi 13 bilangan.

U₁ = a = 20 U₁₃ = 116 U_n = a + (n –1)b U₁₃ = a + 12b 116 = 20 +12b 12b = 116 –20 12b = 96 b = 8

( )

{

}

n n

S 2a n 1 b

2

= + −

13 13

S (2(20) (13 1)8) 2

= + −

13 13

S (40 96)

2

(20)

13 13

S (136)

2

=

S₁₃ = 13(68) S₁₃ = 884

8. Jawaban: D

μ₁, μ₂, μ₃, … adalah barisan aritmetika dengan nilai positif:

U_n= a + (n –1)b a = suku ke-1 b = beda

μ₁ + μ₂ + μ₃= 24

a + (a + b) + (a + 2b) = 24 3a + 3b = 24

a + b = 8 b = 8 – a

μ₁2₌μ 3 – 10

a2_{= a + 2(8 – a) – 10}

a2_{= a + 16 – 2a – 10}

a2_{+ a – 6 = 0}

(a + 3)(a – 2) = 0 a = –3 (tidak mungkin) a = 2

b = 8 – 2 = 6

Maka: U₄ = a + 3b = 2 + 3(6) = 20

9. Jawaban: A

f(x) = x3_{+ 3x}2_{+ A}

f'(x) = 3x2_{+ 6x}

f"(x) = 6x + 6 f"(2) = 6(2) + 6 f"(2) = 12 + 6 = 18 f'(2) = 3(2)2_{+ 6(2) = 24}

f(2) = (2)3_{+ 3(2)}2_{+ A}

f(2) = 20 + A

Maka barisan aritmetika yang terbentuk ada lah 18, 24, 20 + a

24 – 18 = 20 + a – 24 6 = – 4 + a

a = 10

Jadi U₃ = 20 + 10 = 30

Barisan aritmetika 18, 24, 30 ⇒ f"(2) + f'(2) + f(2) = 18 + 24 + 30 = 72

10. Jawaban: A

Deret aritmetika: U₃ = 9

a + 2b = 9 a = 9 – 2b U₅ + U₇ = 36

(a + 4b) + (a + 6b) = 36 2a + 10b = 36

a + 5b = 18 (9 – 2b) + 5b = 18 9 + 3b = 18 3b = 18 – 9 3b = 9 b = 3

a = 9 – 2b = 9 – 2(3) = 3

( )

{

}

n

10

10 n

S 2a n 1 b

2 10

S (2(3) (10 1)3) 2

S 5(6 27)

S 5(33)

S 165

= + −

= +

=

(21)

FUNGSI KOMPOSISI DAN

FUNGSI INVERS

BAB 12

RELASI

A.

Relasi adalah cara untuk memasangkan anggota dari suatu himpunan terhadap himpunan lain.

Fungsi dan Pemetaan

B.

Fungsi dan pemetaan dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu relasi dari A ke B. Disebut fungsi apabila setiap elemen himpunan A dipasangkan tepat satu kali pada elemen himpunan B. Untuk lebih memahaminya, perhatikan gambar-gambar dibawah ini.

Fungsi B

a b

c z

y x A

Fungsi

A B

a b

c z

y x

Bukan Fungsi B

a b

c _z

y x A

Bukan Fungsi B

a b

c z

y x A

(22)

Fungsi Komposisi

C.

Fungsi komposisi adalah fungsi baru yang dihasilkan dari penggabungan operasi dua fungsi secara beru-rutan.

B

z y

x

A f(x) g(x) C

h(x)

B

y x

A f(x)

f–1_(x)

h(x) = (g o f)(x) = g(f(x))

Sifat-Sifat Komposisi Fungsi

D.

1. Operasi komposisi pada fungsi tidak bersifat komutatif. (g o f)(x) ≠ (f o g)(x)

2. Operasi komposisi fungsi bersifat asosiatif. (f o (g o h))(x) = ((f o g) o h)(x)

3. Operasi fungsi identitas I(x) = x (f o I)(x) = (I o f)(x) = f(x)

Fungsi Invers

E.

1. Jika f(x) merupakan fungsi dari himpunan A ke B, maka invers fungsi f adalah suatu relasi dari B ke A.

(23)

1. Jika, f(x) = x , x 0> dan g(x) = x

x 1+ x ≠ –1, maka (g o f)–1_{(2) = ….}

A. 4 B. 2 C. 1

D. ₂1

E. ₄1

2. Jika f(x) = –x + 3, maka f(x2_{) + [ f(x) ]}2 _{– 2f(x)}

=

….

A. 2x2_{+ 4x + 6}

B. 2x2_{– 6x + 4}

C. 2x2_{– 4x – 1}

D. 6x + 4 E. –4x + 6

3. Jika g(x) = (x + 1) dan (f o g)(x) = x2_{+ 3x + 1,}

maka f(x) = ....

A. x2_{+ 3x – 1}

B. x2_{+ 4x + 3}

C. x2_{+ 6x + 1}

D. x2_{+ 5x + 5}

E. x2_{+ x –1}

4. Jika

2 6

F tanx, 0 2

4 sin x π π

 

= ≤ ≤

 

 +  , maka F(3)

= ....

A. π B.

2 π

C. 2 π D. 1 E. 0

Latihan

Soal

5. f(x) = 1 + cos x + cos2_{x + cos}3_{x + ... untuk 0 < x}

< π ....

A. merupakan fungsi naik B. merupakan fungsi turun

C. mempunyai nilai maksimum saja D. mempunyai nilai minimum saja E. mempunyai nilai maksimum dan

minimum

6. Jika 2

f(x)= x +1 dan (f o g)(x) = 1

x 2− 2

x −4x 5+ , maka g(x – 3) = ....

1 A.

x 3

1 B.

x 1 1 C.

x 1 1 D.

x 5

1 E.

x 3

+

−

+

−

7. Graik fungsi f(x) x x 2= − naik untuk nilai x yang memenuhi ….

A. 3 < x < 4 B. 2 < x < 3 C. 2 < x < 4 D. x > 2 E. x > 4

8. Diketahui f(x) = 25–x_{+ 2}x_{– 12. Jika f(x}

1) =

f(x

2

) =

(24)

A. –6 B. –5 C. 6 D. 5 E. 3

9. Misalkan:

2

2x 1,untuk 0 x 1 f(x)

x 1,untuk x yanglain

− < <

 = 

+ 

Maka f(2) f(2) f(–4) + f 1

2

   

  f(3) = ....

A. 42 B. 75 C. 95 D. 85 E. 205

10. Jika f(x) = x2_{– 2 dan g(x) = 2x + 1 maka komposisi}

f{g(x)} = ….

A. 4x2_{+ 4x – 1}

B. x2_{+ 2x –1}

C. 4x2_{– 2}

D. 4x2_{+ 4x + 1}

E. x2_{– 3}

(25)

1. Jawaban: A

x

f(x) x , x 0,dan g(x) , x 1 x 1 (g f)(x) g(f(x))

x (g f)(x)

x 1

= > = ≠ −

+ = = +   2 1 a a

Jikaf(a) , maka f(a)

a 1 a 1 −  −  = _{= } _  −  + 2 1 2 1 1 Maka: x (g f) (x)

x 1

2 (g f) (2)

2 1 (g f) (2) 4

− − − −   = _ ₋ _ −   = _ ₋ _ =   

2. Jawaban: E

f(x) = –x +3 2f(x) = –2x + 6 f(x2_{) = –x}2_{+ 3}

[f(x)]2_{= (–x + 3)}2_{= x}2_{– 6x + 9}

f(x2_{) + [f(x}2_)]2 _–2f(x)

= –x2_{+ 3 + x}2_{– 6x + 9 – (–2x + 6)}

= –x2_{+ 3 + x}2_{– 6x + 9 + 2x – 6}

= –4x + 6

3. Jawaban: E

g(x) = (x + 1)

(f o g)(x) = x2_{+ 3x +1}

g(x) = x + 1 g–1_{(x) = x –1}

(f o g o g–1_{)(x) = f(x)}

x2_{+ x –1 = f(x)}

f(x) = x2_{+ x –1}

Pembahasan

4. Jawaban: E

2

2 6

F tanx

4 sin x

6

3,syarat: x 2 4 sin x

x = π π π   =    +  = ≤ ≤ + 2 2 6 3 4 sin x

6 3 4 sin 6 3 4 0 3 3 π = + = + = + =

F(3) = …

Maka

2 6 F(3) F

4 sin x

 

= _ ₊ _

2 6

F tan

4 sin x

F(3) 0 π   =    +  =

5. Jawaban: B

f(x) = 1 + cos x + cos2_{x + cos}3_{x + ... batas 0 < x}

< π

Misal x 3 π

= (diantara 0 < x < π), maka:

2 3

f(x) 1 cos cos cos ...

3 3 3

π  π  π

= + + _{ }+ _{ }+

   

1 1 1

f(x) 1 ...

2 4 8

= + + + +

1 1 1

f(x) 1 ...

2 4 8

= > > > +

(26)

6. Jawaban: D

2

f(x)= x +1 dan

( )

_{f g (x)} 1 _x2 _{4x 5} x 2

= − +

−



(f o g)(x) = f(g(x))

Misal g(x) = a, maka: f(g(x)) = (f o g)(x)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1

a 1 x 4x 5

x 2

x 4x 5

a 1

x 2

x 4x 5

a 1

x 2

x 4x 5 x 4x 4

a x 2 1 a x 2 1 a x 2 + = − + − − + + = − − + = − − − + − − + = − = − = − Maka: 1 g(x) x 2 1 g(x 3)

x 3 2 1 g(x 3) x 5 = − − = − − − = − 7. Jawaban: D

Grafik fungsi f(x) x x 2= − naik → Syarat fungsi naik adalah f’(x) > 0

f(x) x x 2= −

Karena nilai akar x – 2 ≥ 0 x ≥ 2

Maka jawaban yang tepat x > 2

8. Jawaban: C

f(x) = 25–x_{+ 2}x_{– 12}

f(x₁) = f(x₂) = 0 f(x) = 25–x1_{+ 2}x1_–12

1

5 2 2x + 2

x1_{–12 = 0}

Misal 2x1_{= y, maka:}

1 1 2 x 3 1 x 2 1 32

y 12 0 y

y 12y 32 0

(y 8)(y 4) 0 y 8 2 2 x 3 y 4 2 2 x 2 + − = − + = − − = = = = = = =

Karena f(x₁) = f(x₂) = 0 , maka x₁ = x₂ x₁ x₂ = 3(2) = 6

x₁ x₂ = 3(3) = 9 x₁ x₂ = 2(2) = 4

9. Jawaban: D

2

2x 1,untuk 0 x 1 f(x)

x 1, untuk x yang lain

− < <

 = 

+ 

f(2) = x2_{+ 1 = 2}2_{+ 1 = 5}

f(–4) = x2_{+ 1 = (–4)}2_{+ 1 = 17}

1 1

f 2x 1 2 1 0

2 2

 ₌ _{− =}  _{− =}

   

   

f(3) = x2_{+ 1 = 3}2_{+ 1 = 10} 1

f(2)f( 4) f f(3) 5(17) 0(10) 85 2

 

− + _{ } = + =

 

10. Jawaban: A

f(x) = x2_{–2 dan g(x) = 2x + 1}

f{g(x)} = f o g(x) = (2x + 1)2_–2

= 4x2_{+ 4x + 1 – 2}

[image:26.651.70.591.74.811.2]

(27)

LIMIT FUNGSI

BAB 13

Limit Fungsi Aljabar

A.

Limit fungsi f untuk x mendekati a, dituliskan dalam bentuk:

x a L limf(x)

→

=

Teorema Limit

B.

1.

x a lim k k

→ =

2. n n

x a

lim x a ,n bilangan asli

→ = ∈

3.

x a

lim (bx c) = ab c

→ + +

4.

x a x a

lim k.f(x) k.lim f(x)

→ = →

5.

[

]

x a x a x a

lim f(x) g(x) lim f(x) lim g(x)

→ ± = → ± →

6.

[

]

x a x a x a

lim f(x).g(x) lim f(x).lim g(x)

→ = → →

7. x a

x a

x a lim f(x) f(x)

lim dengan g(x) 0

g(x) lim g(x) → →

→

= ≠

8.

[ ]

n n

x a _x _a

lim f(x) lim f(x)

→ _→

 

= _ _

9. n _n

x a x a

lim f(x) lim f(x) →   = →

Menentukan Limit Fungsi Aljabar

C.

1. Limit Fungsi f(x) untuk x → a

a. Jika f(a) = k , maka

x a limf(x) k

(28)

b. Jika f(a) =c

0, maka limf(x)x→a = ∞

c. Jika f(a) =0

c, makalimf(x) 0x→a =

d. Jika f(a) = 0

0, maka kamu perlu menyederhanakan dulu bentuk f(x) sehingga kamu mendapatkan

bentuk f(a) seperti bentuk pada a, b, dan c.

2. Limit Fungsi f(x)

g(x) untuk x → ∞

a. Jika derajat pembilang f(x) lebih besar daripada derajat penyebut g(x), maka nilai _xlim f(x) g(x) →∞ = ∞.

b. Jika derajat dari pembilang f(x) sama dengan derajat penyebut g(x), maka nilai

x f(x)

lim real.

g(x)

→∞ =

c. Jika derajat dari pembilang f(x) lebih kecil daripada derajat penyebut g(x), maka nilai

x f(x)

lim 0.

g(x)

→∞ =

3. Mengenal Bilangan e

Bilangan e yang dikenal sebagai bilangan alam, dideinisikan dengan:

( )

x

1 x 0

1

lim 1 e

x

lim 1 x e x

x

→∞

→

 ₊  ₌

 

 

+ =

Limit Fungsi Trigonometri

D.

1.

x 0 x 0

x sinx

lim 1 dan lim 1

sinx x

→ = → =

2.

x 0 x 0

x tanx

lim 1 dan lim 1

tanx x

→ = → =

3.

x 0 x 0

sinax ax a

lim lim

bx sinbx b

→ = → =

4.

x 0 x 0

tanax ax a

lim lim

bx tanbx b

→ = → =

5.

x 0

sinax a lim

sinbx b

→ =

6.

x 0

tan ax a lim

tan bx b

→ =

7.

x 0

tanax a lim

sin bx b

(29)

1. Berapakah nilai dari

x 1

3x x x 4

lim .... x 1 → + − = −

A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 E. 10

2

2 x 3

9 x

lim ....

2 x 3 4 3

→

−

= + − A. −4 3

B. −2 3

C. 0

D. 2 3

E. 4 3

xlim(3x 2)→∞ − − 2

9x −2x 5−

= .... 5 A. 3 4 B. 3 C. 1

1 D.

3 E. 0

−

4. Berapakah nilai dari ₃

x 1 tan(1 x) lim .... x 1 → − = −

A. 1

2

B. 1 C. –1

D. 1

3

E. 1

3

−

Latihan

Soal

2 2 2 x 0 7x sin(2x) lim .... tan 3x → + =

A. 7 B. 8

C. 11

9

D. 1 E. 3

2 2

x 2

2x 8 x 2x

lim

x 2 2x 4

→  −   −  +  ₋   ₋      = ....

A. ∼ B. 7 C. 8 D. 9 E. 5

7. Jika

x 0 sinx

lim 1

x

→ = , maka x 0 2 2

2 sin2x

lim ....

x x tanx →

 ₋  ₌

 

 

A. 1 B. 2 C. 0 D. –2 E. –1

(

)

x 2 2

x 2

lim ....

3 x 5

→

− ₌

− +

A. 3

B. 3

2

C. 2

3

D. 0

E. 3

2

(30)

(

)

2

2 x 1

3x 1 4

lim ....

x 4x 5

→

− −

=

+ −

A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 E. 8

10. Berapakah nilai dari ₃ 8

8

lim ....

2 x

x x

→

− = −

A. 20 B. 24 C. 12 D. 16 E. 8

(31)

1. Jawaban: D

x 1

3x x x 4 0

lim 0 x 1 → + − = −

Jika hasil limit 0

0 , maka menurut teori L’Hospital

bentuk limit dapat diselesaikan dengan mendiferensialkan fungsinya.

x 1

3

3 x

3x x x 4 ₂

lim 1 x 1 2 x 3 3 2 1 2 9 → + + − = − + = =

2. Jawaban: B

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

2 2 x 3 2 2 2 2 x 3 2 2 2 x 3 2 2 2 x 3 9 x lim

2 x 3 4 3

9 x 2 x 3 4 3

lim

2 x 3 4 3 2 x 3 4 3

9 x 2 x 3 4 3

lim

4 x 3 48

9 x 2 x 3 4 3

lim

4x 12x 48

→ → → → − + − − + + = × + − + + − + + = + − − + + = + −

(

2

)

(

2

)

2 x 3

9 x 2 x 3 4 3

lim 4x 36 → − + + = −

(

2

)

x 3 1

lim 2 x 3 4 3

4 →

 

= _− + + _

 

(

2

)

1

2 3 3 4 3

4   = −_ + + _  

Pembahasan

(

)

1

4 3 4 3 4   = −_ + _   3 3 = − − 2 3 = −

3. Jawaban: A

2 2

x

b d

lim ax bx c ax dx c

2 a →∞

−

 ₊ _{+ −} ₋ ₊ ₌

 

(

)

2 2

x

2 2

x

lim 3x 2 9x 2x 5

lim 9x 12x 4 9x 2x 5

12 ( 2) 2 9 10 6 5 3 →∞ →∞  ₋ ₋ ₋ ₊        = _ − + − − + _ − − − = − = = −

4. Jawaban: E

3 x 1

tan(1 x) 0 lim

x 1 0

→ − = −

(

)

(

)

2 3 2

x 1 x 1

2

1 sec (1 x) tan(1 x)

lim lim

x 1 3x

1 sec (1 1) 3(1) 1(1) 3 1 3 → → − − − = − − − = − = = −

5. Jawaban: D

( )

2 2

2 x 0

7x sin 2x lim

tan 3x →

+

( )

2 2 2 2 x 0 sin 2x 7x lim

tan 3x tan 3x →

 

= _ + _

(32)

( )

2 2

2 2 2 2

sin x

7 x 2

3 tan x 3 tan x

= + 7 2 .1 .1 9 9 = + 9 9 = = 1

6. Jawaban: D

(

)

2 2 x 2 2 2 x 2 2 x 2 x 2 x 2

2x 8 x 2x

lim

x 2 2x 4

2 2x 8 x 2x

lim

2x 4

5x 2x 16 lim

2x 4 (5x 8)(x 2) lim 2(x 2) 5x 8 lim 2 5(2) 8 2 9 → → → → →  −   −  +  ₋   ₋      − + − = − − − = − + − = − + = + = =

7. Jawaban: B

2 2 2

x 0 x 0 ₂

2

x 0 ₂

2

2 2 2 2

x 0 x 0

2 sin2x 2 sin2x

lim lim

sinx

x x tanx x _x

cos x

2 2sinx cos x lim

sinx

x _x

cos x

2 sin2x 2 2cos x

lim lim

x x tanx x x

→ → → → →      ₋ ₌ ₋   _ _           = _ − _        ₋ ₌ ₋        

(

2

)

2 x 0 2 2 x 0 2

=lim 1 cos x x sin x = 2lim x → → −

8. Jawaban: E

(

)

(

)

(

)

(

)(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

2 2

x 2 2

2

x 2 2 2

2 2 x 2 2 2 x 2

x 2 3 x 5

lim

3 x 5

x 2 3 x 5

lim

3 x 5 3 x 5

x 2 3 x 5

lim

9 x 5

x 2 3 x 5

lim x 4 → → → → − + + = × + + − + − + + = − + + + − + + = − + − + + = − +

(

)

(

)

(

)

2 x 2 2 x 2 2

(x 2) 3 x 5

lim

(x 2)(x 2)

3 x 5

lim

(x 2)

3 2 5

(2 2) 3 2 → → − + + = − + − + + = − + + + = − + = −

9. Jawaban: C

(

)

2 ₂

2 2

x 1 x 1

2 2 x 1 2 2 x 1 x 1 x 1

3x 1 4 9x 6x 1 4

lim lim

x 4x 5 x 4x 5

9x 6x 3

= lim

x 4x 5

3(3x 2x 1) = lim

x 4x 5

3(3x 1)(x 1) = lim

(x 5)(x 1) 3(3x 1) lim

(x 5) 3(3(1) + 1) =

(1 + 5) 12 = = 2

(33)

10. Jawaban: C

Jika hasil limit 0₀, maka menurut teori L’Hospital bentuk limit dapat diselesaikan dengan mendiferensialkan fungsinya.

3 3

x 8

3 2 3

x 8 x 8 x 8

3 2

3 2 3

x 8 8 8 0

lim

0

x 2 8 2

x 8 1

lim lim lim3 x

1 1 x 2

3 x

3 8 3 64 12 →

→ → →

− ₌ − ₌

− −

− ₌ ₌

−

(34)

EKSPONEN

BAB 14

Definisi Eksponensial

A.

Eksponensial adalah salah satu fungsi yang paling penting dalam matematika. Eksponen berarti bilan-gan berpangkat yang secara notasi ditulis denbilan-gan cara:

an

Keterangan: a = bilangan pokok n = pangkat (eksponen)

Sifat-Sifat Eksponen

B.

( )

(

)

m n m n

n m m n

m m

m

m m m

m m n n

1. a a a 2. a : a a

3. a a

1

4. a

a

a a

5.

b b

6. a b a b

7. a a + − × −

× =

=

  =    

× = ×

=

Fungsi Eksponen

C.

(35)

Grafik Fungsi Eksponen dengan f : x → ax atau f (x) = ax, a > 0, a ≠ 1

y

x 0

a > 1 (0, 1)

y = ax

y

x 0

0 < a < 1

(0, 1)

y = ax

Sifat Fungsi Eksponen y = f (x) = a

D.

x

1. Nilai fungsi deinit positif (kurva berada di atas sumbu x). 2. Memotong di sumbu y pada titik (0, 1).

3. Monoton naik untuk a > 0 dan monoton turun untuk 0 < a < 1. 4. Mempunyai fungsi invers yaitu fungsi logaritma.

Persamaan Fungsi Eksponen

E.

1. Jika af(x)_{= a}p_{, a > 0 dan a ≠ 1, maka f(x) = p.}

2. Jika af(x)_{= a}g(x)_{, a > 0 dan a ≠ 1, maka f(x) = g(x).}

3. Jika af(x)_{= b}f(x)_{, a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1, dan a ≠ b, maka f(x) = 0.}

4. Jika p(x)f(x)_{= p(x)}g(x)_{, maka:}

a. p(x) = 1

b. p(x) ≠ 0, p(x) ≠ 1, maka f (x) = g (x)

c. p(x) = –1, dengan f(x) dan g(x) keduanya sama-sama ganjil atau keduanya sama-sama genap. d. p(x) = 0, dengan syarat f(x) > 0 dan g(x) > 0.

Pertidaksamaan Fungsi Eksponen

F.

1. Untuk a > 1

a. Jika af(x)_{≥ a}g(x)_{, maka f (x) ≥ g(x)}

b. Jika af(x)_{≤ a}g(x)_{, maka f (x) ≤ g(x)}

2. Untuk 0 < a < 1

a. Jika af(x)_{≥ a}g(x)_{, maka f (x) ≤ g(x)}

(36)

1. Nilai x yang memenuhi persamaan 42x + 1_{. 3}4x +1

= 432 adalah ….

A. 2 B. 1 C. 0

D. 1

2

E. 1

2

−

2. Jika a ≠ 0, maka

( ) ( )

( )

2 3

3

1 4 3 2a 2a

.... 16a

−

=

A. 22_a

B. 22_a

C. –22_a

D. –2a E. –2a2

3. Jika a > 0 dan a ≠ 1memenuhi 3

b 4 1 a

a −

  =  _{ } , maka 2_{log b = ….}

1 A. 1

3 1 B. 1

2 1 C.

2 1 D.

3 2 E.

3

4. Penyelesaian persamaan 2x 1 x 2

3 + =9 − adalah ….

Latihan

Soal

C. 2 D. 4

E. 41 2

5. Hasil kali semua nilai x yang memenuhi

persamaan ₄ x3+2x2− −3x 6 ₋₂ 4 x2+4 x 8− ₌₀

adalah

….

A. –4 B. –3 C. –2 D. 2 E. 4

6. Jika

3 3 3 2 2 4

a =b c− , maka c dinyatakan dalam a dan b adalah ….

A. a2_b2

B.

1 3 2 2 4

a b 3

−

C. 2

2 3 a b−

D. 1 3 2 2 a b

E.

1 3 2 2 4

a b 3

7. Akar persamaan 5x 1 x 3

3 − =27 + adalah ….

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 E. 5

8. Nilai x yang memenuhi persamaan

(

)

7 2x 3 _0,008 −

(37)

A. 1 B. 0 C. –1 D. –2 E. –3

9. Jika a > 0, b > 0 dan a > b maka

(

)

(

)

(

)(

)

1 2 2

1 1 1 1

a b a b

a b ab a b

− ₋ ₋

− − − −

+ −

+ − = ....

(

)

(

)

(

)

2

2 A. ab

ab B.

a b C. a b

1 D.

a b ab E.

a b

+ +

− + −

+

10. Jika 2_{log 3 = a dan}3_{log 5 = b, maka}15_{log 20 =}

….

( )

2 A.

a 2 ab B.

a(1 b) a C.

2 b 1 D.

2ab 1 a 1 b E.

2 ab

+ +

+ + + +

(38)

1. Jawaban: D

(

)

( )

2x 1 4 x 1

2x 4 x

2x 2

2x

4 .4 .3 .3 432

12 4 3 432

4.3 36 36 36 1 x 2 = = = = =

2. Jawaban: D

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

2 2 3 3 3 3 1 1

4 ₃ 4 4 ₃

2 3 3 4 3 2 3 3 4 3 7 3 4 3 7 4 3 3

2a 2a 2a 2a

16a 2 a

2a 2a 2a 2a 2a 2a 2a 2a 2a − − − − − − − = − − = − = − = = − = −

3. Jawaban: E

( )

3 3 b 4 b 4 1 3 1 a a a a b 4 − − −   =  _{ } = =

Pembahasan

( )

1

2 2 2 ₃

logb= log 2

( )

2 2_logb=2_{log 2} 3

(

)

2 2 2

logb log2 3 = 2 2 logb 3 =

4. Jawaban: E

2x 1 x 2

2x 1 2(x 2)

2x 1 2x 4 2 3 9 3 3 3 3 3 3 2x 1 2x 4 2

2x 1 4x 8

2x 4x 8 1

2x 9 1 x 4 2 + − + − + − + − = = = = + = − + = − − = − − − = − =

5. Jawaban: A

3 2 2

x 2x 3x 6 4 x 4 x 8

2 x 2x 3x 6 4 x 4 x 8

4 2 0

4 2 2 2 + − − + − + − − + − + − − + − − = = =

3 2 2

2 x +2x −3x 6− = 4x +4x 8−

(

3 2

)

2

4 x +2x −3x 6− =4x +4x 8−

3 2 2

4x +8x −12x 24 4x− = +4x 8− 3 2

4x +4x −16x 16 0− =

(39)

Nilai x yang memenuhi adalah x = – 2 dan x = 2

Hasil kali = (–2)(2) = –4

6. Jawaban: A

( )

3 3 3 2 2 4

3 3 2 4

3 2

3 3 3 4 2 2

1 1 4 ₂ 4 4 1 ₁ 4 2 2

a b c

a c

b

c a .b

c ab c ab c ab − − = = = =   _ _ =         =

7. Jawaban: E

35x–1_{= 27}x+3

35x–1_{= 3}3(x+3)

5x – 1 = 3x + 9 2x = 10 x = 5

8. Jawaban: C

(

)

( )

7 2x 3

4 x 5

7 2x

4 x 5 3

7 2x

4 x 5 3 ₃

3

7 2x 4 x 5 0,008 1 0,2 8 2 1000 10 2 2 10 10 2 2 10 10

7 2x 4x 5

2x 2 x 1 − − + − _{− +} − − + − − + =   ₌              =     _ _     ₌          − = − + = − = −

9. Jawaban: D

(

)

(

)

(

)(

)

1 2 2 ₂ ₂

1 1 1 1

2 2

1 1 1

a b a b _{a b} _a _b

1 1 a b

a b ab a b

a b b a

1 1 1 1 1

a b a b a b

=

1 1 a b

a b b a

b a ab(a b) =

a b

ab

b a ab

=

ab(a b) a b − − − − − − −    ₋      + − ₌ +        + − ₊ ₋            ₊   ₋         +       ₊   ₋          −      +  − − _× + − 2 b a =

(a b)(a b)(a b) (a b) =

(a b)(a b)(a b) 1 = (a b) − + + − − − + + − − +

10. Jawaban: B

15_{log 20} 3 3 log 20 log 15 =

(

)

(

)

( )

3 3 3 3 3 3

3 2 3

3 3

log 4 5 log 3 5

log 4 log 5 log 3 log 5

log2 log5 log3 log5

2 log2 log5 log3 log5

1 2 2 ab

2 b b _{2 ab}

a a a a

1 b 1 b 1 b a 1 b

(40)

TURUNAN FUNGSI

BAB 15

Turunan Fungsi Aljabar

A.

1. Rumus Turunan

Secara umum, turunan dapat dituliskan ke dalam bentuk:

h 0

f(x h) f(x) f'(x) lim

h →

+ − =

2. Notasi Leibniz

Turunan dari y = f(x) sering ditulis dalam bentuk y'=f'(x). Notasi lain dari y' dan f'(x) berturut-turut

adalah dy dx dan

df

dx yang disebut dengan notasi Leibniz untuk diturunkan.

3. Sifat Turunan

a. f(x) = g(x) + h(x) ⇒ f'(x) = g'(x) + h'(x) b. f(x) = g(x) – h(x) ⇒ f'(x) = g'(x) – h'(x)

c. f(x) = g(x).h(x) ⇒ f'(x) = g'(x).h'(x) + g(x).h'(x)

d. f(x) g(x) f '(x) g'(x) h(x) g(x) h'(x)₂

h(x) h (x)

⋅ − ⋅

= ⇒ =

e. f(x) = gn_(x)⇒_{f'(x) = n . g}n–1_{(x) . g'(x)}

f. f(x) = eg(x)⇒ _{f'(x) = e}g(x)_{. g'(x)}

4. Menentukan Turunan Fungsi f(x) = axn

a. Menentukan turunan fungsi f(x) axn_{untuk n bilangan asli.}

f(x) = axn_{, maka f'(x) = nax} n–1

b. Menentukan turunan fungsi f(x) = axn_{untuk n bilangan rasional.} 1

(41)

Persamaan Garis Singgung

B.

Salah satu kegunaan turunan adalah dalam menentukan garis singgung dari kurva, yang dituliskan da-lam rumus:

y – f(a) = f'(a)(x – a)

Turunan Rumus Fungsi

C.

1. Rumus Turunan Fungsi Bentuk y = u ± v

y = u ± v y' = u' ± v'

2. Rumus Turunan Fungsi Bentuk y = u.v

y = u.v y' = u'v + uv'

3. Rumus Turunan Fungsi Bentuk y = u v

2 u y

v u'v uv' y'

v

=

− =

4. Rumus Turunan Fungsi Bentuk y = un_{, u = f(x)}

y = un

y' = nun–1_.u'

Turunan Fungsi Trigonometri

D.

1. f(x) = sin ⇒ f'(x) = cos x 2. f(x) = cos ⇒ f'(x) = – sin x 3. f(x) = tan x ⇒ f'(x) = sec2_x

(42)

1. Turunan pertama dari fungsi y cos x sinx cos x sinx

− = + adalah ….

(

)

(

)

(

)

2 2 2 2 2 2 2 2 A.

cos x sin x 1 B.

cos x sinx 2 C.

cos x sinx 3 D.

cos x sinx 1 E.

cos x sin x

− − + − + − + − +

2. Apabila 2 1

f(x) x 1

x

= − + maka f'(x) adalah ....

2 2 2 2 2 1 A. x

x 1

B. 2x 1

x 1

C. 2x 1

x 1 D. x

x 1 E. 2x

x + − + − − − +

3. Fungsi

2 x 3 f(x) x 1 + =

− akan turun apabila nilai x ….

A. –3 < x < –1

B. –3 < x < –1 atau x > 1 C. –1 < x < 1 atau 1 < x < 3 D. x < – 3 atau x > 1

Latihan

Soal

4. Turunan pertama dari y = (x + 1)2_{(x + 2)}_adalah

….

A. 3x2_{+ 8x + 5}

B. 3x2_{+ 8x + 2}

C. 2x2_{+ 6x + 5}

D. 3x2_{+ 3x + 2}

E. 2x2_{+ 8x + 2}

5. Diketahui fungsi

2

x 6

f(x) x

+

= . Turunan pertama

fungsi f(x) adalah f'(x) = ….

2 2 2 2 2 6

A. x x

x 3

B. x x

x 1

C. x x

3x

3 1

D. x x

2 3x

3 3

E. x x

2 x + − − + −

6. Garis singgung pada kurva x2_{– y + 2x – 3 =}

0 yang tegak lurus pada garis x – 2y + 3 = 0 mempunyai persamaan ….

A. y + 2x + 7 = 0 B. y + 2x + 3 = 0 C. y + 2x + 4 = 0 D. y + 2x – 7 = 0 E. y + 2x – 3 = 0

7. Jika fungsi f(x) = sin ax + cos bx memenuhi f’(0)

= b dan f'

2a π

 

 

(43)

C. 1 D. 0 E. –1

8. Jika f(x) 2x 1₂

x 3

+ =

− , maka turunan pertama dari fungsi f di –3 atau f' (–3) = ….

1 A.

3 2 B.

3 1 C.

2 5 D.

6

1 E. 1

2

−

9. Turunan fungsi y = tan x, untuk x 2n 1

2 π

+

≠ , n

= bilangan bulat, ialah ….

A. cot x B. cos2_x

C. sec2_{x + 1}

D. cot2_{x + 1}

E. tan2_{x + 1}

10. Jika f(x) 2x 5 3x 2

− =

− , maka f‘(1) = ….

A. 11 B. –11 C. –7 D. –3

E. 2

(44)

1. Jawaban: C

2

2 cos x sinx

y

cos x sinx

( sinx cos x)(cos x sinx) (cos x sinx)( sinx cos x) y'

(cos x sinx)

(cos x sinx)(cos x sinx) (cos x sinx) y'

(cos x sinx)

− = + − − + − − − + = + − + + − − = +

2 2 2 2

2

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

(cos x 2sinx cos x sin x) (cos x 2sinx cos x sin x) y'

(cos x sinx)

cos x 2sinx cos x sin x cos x 2sinx cos x sin x y'

(cos x sinx) 2cos x 2sin x

y'

(cos x sinx) 2(cos x sin x) y'

(cos x sinx) 2 y'

(cos x sinx)

− + + − − + = + − − − − + − = + − − = + − + = + − = +

2. Jawaban: E

2

2 1

2

2 1

f(x) x 1

x

f(x) x x 1

f '(x) 2x x

1 f '(x) 2x

x − − = − + = − + = + = +

3. Jawaban: C

Syarat fungsi menurun f'(x) < 0 2 x 3 f(x) x 1 + =

− turun untuk nilai x:

2

x 3

f(x)

x 1 f '(x) 0

+ = − <

Pembahasan

( )

2 2 2

x 2x 3

0 x 1

(x 3)(x 1) 0 x 1

− −

< −

− + _<

−

Nilai x pembuat nol fungsi x = –1, x = 1, x = 3

1

3

–1

Hp: –1 < x < 1atau 1 < x < 3

4. Jawaban: A

f(x) = u.v f'(x) = u'v + uv y = (x + 1)2_{(x + 2)}

y' = 2(x + 1)(x + 2) + (x + 1)2₍₁₎

y' = 2(x2_{+ 3x + 2) + x}2_{+ 2x + 1}

y' = 2x2_{+ 6x + 4 + x}2_{+ 2x + 1}

y' = 3x2_{+ 8x + 5}

5. Jawaban: E

(

)

( )

2 2 1 2 2 2

x 6 u

y v x u'v v'u y' v 1

2x x x x 6

2 f '(x) x − + = = − = − + = 3 1 2 2 1 2 3 2 − − −

= x x x x

(45)

3 3 x

2 x x

= −

3 3 x

x .

2 x x x

 

= _{− } _

 

2

3 3 x

x 2 x   = _{− } _   2

3 3 x

x

2 x

= −

6. Jawaban: A

x2_{– y + 2x – 3 = 0}⇒_{y = x}2_{+ 2x – 3}

x – 2y + 3 = 0 ⇒ 2y = x + 3 y = 1x 3

2 +2 , maka didapat m1 = 1 2

Karena garis singgungnya tegak lurus, maka: m₁.m₂ = –1

1

2.m2 = –1

m₂ = –2

Kurva y = x2_{+ 2x – 3}

y’ = 2x + 2 = m₂ 2x + 2 = –2 2x = –4 x = –2

Jika x = –2 maka y = (–2)2_{+ 2.(–2) – 3}

= 4 – 4 – 3 = –3 (x₁, y₁) = (–2, –3)

Jadi, garis singgungya adalah: y – y₁ = m₂(x – x₁)

y + 3 = –2(x + 2) y + 3 = –2x – 4

y = –2x – 7 ⇒ y + 2x + 7 = 0

7. Jawaban: B

⇔ f(x) = sin ax + cos bx ⇔ f'(0) = b

⇔ f'(x) = a cos ax – b sin bx ⇔ f'(0) = a cos a (0) – b sin b (0) ⇔ b = a(1) – 0

b = a

⇔ f(x) = sin ax + cos bx

⇔ f'

2a π

 

 

  = – 1

⇔ f'(x) = a cos ax – b sin bx

f' acosa - asina

2a 2a 2a

π π π

     

⇔ _ _ = _ _ _ _

     

⇔ –1 = 0 – a ⇔ a = 1

⇔ a + b = 1 + 1 = 2

8. Jawaban: C

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2x 1 f(x) x 3

2(x 3) (2x 1)(2x) f '(x)

(x 3) 2x 6 (4x 2x) f '(x)

(x 3)

2x 2x 6

f '(x)

(x 3)

2( 3) 2( 3) 6 f '( 3)

(( 3) 3) 18

f '( 3) 36

1 f '( 3)

2 + = − − − + = − − − + = − − − − = − − − − − − − = − − − − = − = −

9. Jawaban: E

2 2 2 2 2 2 2 sinx tanx cos x sinx y cos x

cos x cos x sinx( sinx) y'

cos x cos x sin x y'

cos x 1 y'

cos x y' sec x y' tan x 1

(46)

10. Jawaban: A

2

2 2x 5 f(x)

3x 2

2(3x 2) (2x 5)(3) f'(x)

(3x 2)

6x 4 6x 15 f'(x)

(3x 2)

11 f '(x)

(3x 2)

11 11

f '(1) 11

(3(1) 2) 1

− =

−

− − −

=

−

− − +

=

−

= −

= = =

(47)

INTEGRAL

BAB 16

Definisi Integral

A.

Integral merupakan kebalikan dari proses diferensiasi. Lambang integral adalah ∫. Sehingga integral dari fungsi f(x) terhadap peubah xdapat dituliskan:

∫ f(x) dx Keterangan:

∫ = notasi integral f(x) = fungsi integran x = variabel integrasi

Integral Aljabar

B.

1. ax dxn a xn 1 C; n 1 n 1

+

= + ≠ −

+

∫

2.

(

ax b dx

)

n

( )(

1 ax b

)

n 1 C; a 0 dan n 1 a n 1

+

+ = + + ≠ ≠ −

+

∫

3. ∫ a dx = ax + C

4. ∫ 0 dx = C

Integral Trigonometri

C.

1. ∫ sin x dx = –cos x + C

2. ∫ cos x dx = sin x + C

3. ∫ sin a dx = –1

acos ax + C

4. ∫ cos ax dx = 1

(48)

5. ∫ cos(ax + b) dx = 1

a sin(ax + b) + C

6. ∫ sin (ax + b) dx = – 1

acos (ax + b) + C

7.

(

)

(

)

(

)

cos a b x cos a b x 2sinax cosbx dx 2

2 a b 2 a b

 − + 

= _− − _

− +

 

∫

8. cos ax b sin ax b dxn

(

) (

)

( )

1 cosn 1

(

ax b

)

C a n 1

+

+ + = − + +

+

∫

9. sin ax b cos ax b dxn

(

) (

)

( )

1 sinn 1

(

ax b

)

C a n 1

+

+ + = + +

+

∫

Integral Substitusi

D.

Jika u suatu fungsi yang dapat didiferensialkan dan r suatu bilangan rasional tak nol, dan r ≠ –1, maka:

( )

r

( )

1

( )

r 1

u x u' x dx u x C

r 1 +

= +

+

∫

Integral Parsial

E.

Jika u dan v fungsi-fungsi yang dapat didiferensialkan, maka:

∫ u dv = uv – ∫ v du

Integral Tertentu

F.

Integral tertentu adalah integral yang dapat ditentukan nilainya. Jika fungsi f terdeinisi pada interval [a,

b], maka

( )

b

a f x

∫

dinamakan integral tertentu fungsi f dari a ke b.

( )

( ) ( )

b

b a a

f x =[F(x)] =F b −F a

∫

Aplikasi Integral

G.

1. Menghitung Luas Daerah yang Dibatasi Kurva dan Sumbu X

0

y _{y = f(x)}

a b

( )

b

a

(49)

0

y y2 = 9(x)

y₁ = f(x)

a b

b

2 1 a

L=

∫

y −y dx

0 y

y = f(x)

a b

( )

b

a

L= −

∫

f x dx

0 y

y₂ = 9(x) y₁ = f(x)

a b

=

∫

−

b

2 1

a

L

y

y dx

2. Menghitung Luas Daerah yang Dibatasi Kurva dan Sumbu Y

0 y

x = g(y) a

b

( )

b

a

L=

∫

g y dy

0

y x = g(y)

a b

( )

a

b

L=

∫

g y dy

0

y _x

2

x₁

a

b

(

)

b

2 1 a

L=

∫

x −x dy

3. Menghitung Volume

Diputar terhadap sumbu x Diputar terhadap sumbu y

b 2

a V=π

∫

y dx

b 2

(50)

1. Daerah D dibatasi oleh kurva y = sin x , 0 ≤ x ≤

π dan sumbu x. Jika daerah D diputar terhadap sumbu x, maka volume benda putar yang ter-jadi adalah ….

A. π B. 2π C. π2

D. 1

2π 2