DIMENSI METRIK PADA GRAF K1+MCn DAN GRAF K1 + mPn

DIMENSI METRIK PADA GRAF

K1+mC_n

DAN GRAF

K1 +mPn

SKRIPSI

Oleh

Elvin Trisnaningtyas NIM 061810101077

JURUSAN MATEMATIKA

DIMENSI METRIK PADA GRAF

K1+mC_n

DAN GRAF

K1 +mPn

SKRIPSI

diajukan guna melengkapi tugas akhir dan memenuhi salah satu syarat untuk menyelesaikan Program Studi Matematika (S1)

dan mencapai gelar Sarjana Sains

oleh

Elvin Trisnaningtyas NIM 061810101077

JURUSAN MATEMATIKA

PERSEMBAHAN

Skripsi ini saya persembahkan untuk :

1. ibunda dan ayahanda tercinta, yang telah mendoakan dan memberi kasih sayang dengan penuh ketulusan;

MOTTO

“Sesungguhnya sesudah kesulitan itu ada kemudahan.

Maka apabila kamu telah selesai (dari suatu urusan), kerjakanlah dengan sungguh-sungguh (urusan) yang lain, dan hanya kepada Tuhanlah hendaknya kamu berharap.”

PERNYATAAN

Saya yang bertanda tangan di bawah ini: Nama : Elvin Trisnaningtyas NIM : 061810101077

menyatakan dengan sesungguhnya bahwa skripsi yang berjudul “ Dimensi Metrik pada Graf K1+mC_n dan Graf K1 +mPn ” adalah benar-benar hasil karya sendiri, kecuali kutipan yang sudah saya sebutkan sumbernya, belum pernah diajukan pada institusi mana pun, dan bukan karya jiplakan. Saya bertanggung jawab atas keabsahan dan kebenaran isinya sesuai dengan sikap ilmiah yang harus dijunjung tinggi.

Demikian pernyataan ini saya buat dengan sebenarnya, tanpa ada tekanan dan paksaan dari pihak mana pun serta bersedia mendapat sanksi akademik jika ternyata di kemudian hari pernyataan ini tidak benar.

Jember, Juni 2012 Yang menyatakan,

SKRIPSI

DIMENSI METRIK PADA GRAF

K1+mC_n

DAN GRAF

K_{1 +}mP_n

Oleh

Elvin Trisnaningtyas NIM 061810101077

Pembimbing

Dosen Pembimbing Utama : Kristiana Wijaya, S.Si., M.Si.

PENGESAHAN

Skripsi berjudul Dimensi Metrik pada Graf K1 +mC_n dan Graf K1+mPn telah diuji dan disahkan pada:

hari :

tanggal :

tempat : Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember.

Tim Penguji

Mengesahkan Dekan FMIPA,

Prof. Drs. Kusno, DEA., Ph.D. NIP.196101081986021001

Sekretaris,

RINGKASAN

Dimensi Metrik pada Graf K1+mC_n dan Graf K1 +mPn; Elvin Trisnaningtyas, 061810101077; 2012; 79 halaman; Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Jember.

Sebarang himpunan tak kosong yang dilengkapi dengan suatu urutan disebut himpunan terurut. Himpunan terurut W ₌(w₁,w₂,...,w_k) dari titik-titik pada graf titik-titik G mempunyai representasi berbeda. Himpunan pembeda dengan kardinalitas minimum disebut himpunan pembeda minimum (minimum resolving set), dan kardinalitas tersebut menyatakan dimensi metrik dari G dan dinotasikan dengan

). (G β

Permasalahan yang dibahas adalah menentukan dimensi metrik pada graf

n mC

K1+ dan graf K1 +mPn, dengan langkah - langkah penyelesaian meliputi:

pertama adalah menentukan pemilihan titik yang memungkinkan sebagai anggota W

resolving set, untuk mempermudah penentuan, dilakukan penotasian di setiap titik di

;

G langkah kedua adalah mencari W resolving set dari kemungkinan titik yang ada

pada G selanjutnya langkah ketiga yaitu mencari W resolving set dengan ;

kardinalitas minimum. Jika ya maka kardinalitas tersebut adalah dimensi metrik dari

G , tetapi jika tidak maka kembali ke langkah kedua.

Hasil dari penelitian ini adalah dimensi metrik graf K1 +mC_n, n≥3, m≥2

PRAKATA

Puji syukur kehadirat Allah Swt. karena atas segala rahmat, hidayah dan

karunia-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi yang berjudul “_Dimensi

Metrik pada Graf K1+mC_n dan Graf K1+mPn”. Skripsi ini disusun untuk

memenuhi salah satu syarat menyelesaikan pendidikan strata satu (S1) pada Jurusan

Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Jember.

Penyusunan Skripsi ini tidak lepas dari bantuan berbagai pihak. Oleh karena

itu, pada kesempatan ini penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada:

1. Bapak Prof. Drs. Kusno. DEA., Ph.D. selaku Dekan Fakultas Matematika dan

Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Jember;

2. Ibu Kristiana Wijaya, S.Si., M.Si dan Bapak Kosala Dwidja Purnomo, S.Si.,

M.Si. selaku Dosen Pembimbing yang telah meluangkan waktu, pikiran, dan

perhatian dalam penulisan skripsi ini;

3. Bapak Drs. Rusli Hidayat, M.Sc. dan Bapak Kusbudiono, S.Si., M.Si. selaku

Dosen Penguji yang telah memberikan masukan guna menyempurnakan

skripsi ini;

4. Bapak Kusbudiono, S.Si., M.Si. selaku Dosen Pembimbing Akademik yang

telah membimbing selama penulis menjadi mahasiswa;

5. keluarga tercinta yang telah memberikan dorongan dan doanya demi

terselesaikannya skripsi ini;

6. teman-teman mahasiswa jurusan matematika yang telah banyak memberikan

masukan, saran, serta kritik dalam hal penyusunan skripsi ini.

Penulis juga menerima segala kritik dan saran dari semua pihak demi

kesempurnaan skripsi ini. Akhirnya penulis berharap, semoga skripsi ini dapat

DAFTAR ISI

HALAMAN PENGESAHAN ... vi

2.4.5 Graf K1 +mCn ... 9

2.4.6 Graf K1 +mP_n ... 10

2.5 Jarak (distance_{)pada Graf ... 11}

2.6 Dimensi Metrik ... 12

2.7 Beberapa Penelitian Tentang Dimensi Metrik yang Sudah Dilakukan ... 18

2.8 Beberapa Contoh Pengaplikasian Dimensi Metrik ... 19

BAB 3. METODE PENELITIAN 3.1 Metodologi ... 20

3.2Diagram Alur Metodologi Penelitian ... 22

BAB 4. HASIL DAN PEMBAHASAN 4.1 Dimensi Metrik pada Graf K1+mCn, n≥3, m∈Ν ... 25

4.2Dimensi Metrik pada Graf K1+mP_n, n≥2, m∈Ν ... 42

4.2.1 Dimensi Metrik pada Graf K1+Pn,n≥2 ... 43

4.2.2 Dimensi Metrik pada Graf K1 +mP_n, n≥2, m≥2 ... 55

4.9 Graf kipas F4 ... 46

4.10 Graf kipas F ... 47 5 4.11 Graf kipas F ... 48 ₆ 4.12 Graf kipas F ... 50 7 4.13 Graf kipas F ... 51 8 4.14 Graf K₁+mP₂, m≥2 ... 56

4.15 Graf K₁+mP₃, m≥2 ... 58

4.16 Graf K₁+mP₄, m≥2 ... 61

4.17 Graf K₁+mP₅, m≥2 ... 64

DAFTAR TABEL

Halaman

2.1 Dimensi metrik pada beberapa kelas graf ... 18

4.1 Hasil representasi titik-titik di K₁ +mC₃, m≥2, terhadap

W dengan W ₌2m ... 29 4.2 Hasil representasi titik-titik di K1 +mC4, m≥2, terhadap

W dengan W ₌2m ... 31 4.3 Hasil representasi titik-titik di K₁ +mC₅, m≥2, terhadap

W dengan W =2m ... 34 4.4 Hasil representasi titik-titik di K1 +mC6, m≥2, terhadap

W dengan W =2m ... 36 4.5 Hasil representasi titik-titik di graf kipas F terhadap W ... 45 ₃

4.6 Hasil representasi titik-titik di graf kipas F4 terhadap W ... 46

4.7 Hasil representasi titik-titik di graf kipas F terhadap W ... 47 5

4.8 Hasil representasi titik-titik di graf kipas F terhadap W 6

dengan W =3 ... 49 4.9 Hasil representasi titik-titik di graf kipas F terhadap W 7

dengan W =3 ... 50 4.10 Hasil representasi titik-titik di graf kipas F terhadap W ₈

W dengan W ₌m... 57

4.13 Hasil representasi titik-titik di K₁ +mP₃, m≥2, terhadap

W dengan W ₌2m ... 59 4.14 Hasil representasi titik-titik di K₁ +mP₃, m≥2, terhadap

W dengan W =2m−1 ... 60 4.15 Hasil representasi titik-titik di K1 +mP4, m≥2, terhadap

W dengan W ₌2m ... 62 4.16 Hasil representasi titik-titik di K1 +mP5, m≥2, terhadap

W dengan W =2m ... 65 4.17 Hasil representasi titik-titik di K₁ +mP₆, m≥2, terhadap

W dengan W ₌3m... 68 4.18 Hasil representasi titik-titik di K₁ +mP₆, m≥2, terhadap

W dengan W ₌3m₋1... 70 4.19 Hasil representasi titik-titik di K₁ +mP₇, m≥2, terhadap