PENDAHULUAN
Pada bab ini akan diberikan pendahuluan sebelum memasuki pembahasan pokok. Pendahuluan ini meliputi latar belakang masalah, rumusan masalah, maksud dan tujuan, tinjauan pustaka, batasan masalah, metodologi penelitian, dan siste-matika penulisan.
1.1. Latar Belakang Masalah
Salah satu cabang dari pemrograman matematika adalah pemrograman multi-level (multi-multi-level programming). Masalah pemrograman bimulti-level merupakan masa-lah pemrograman multi-level dengan dua tingkat, yang terdiri dari masamasa-lah tingkat atas (leader) dan masalah tingkat bawah (follower). Pada masalah pemrograman bilevel, jika fungsi tujuan dan kendala masing-masing leader dan follower berben-tuk linier, maka masalah tersebut dinamakan dengan masalah pemrograman bilevel linier (BLP linier).
Dalam pengambilan keputusan, leader bergerak pertama kali dan berupaya untuk mengoptimalkan tujuannya. Pada saat yang sama, leader juga harus meng-antisipasi semua kemungkinan dari respon lawanya (follower). Keputusan leader berpengaruh pada hasil dan tindakan yang dapat dilakukan oleh follower. Kemu-dian follower mengamati keputusan leader dan memberikan reaksi untuk mengop-timalkan tujuannya sendiri tanpa memperhatikan akibat untuk leader. Setiap pe-ngambilan keputusan, leader dan follower mencoba mengoptimalkan fungsi tu-juannya sendiri tanpa mengikuti fungsi tujuan dari bagian yang lain. Akan tetapi keputusan dari setiap bagian mempengaruhi nilai-nilai tujuan dari fungsi lain.
Solusi optimal masalah BLP linier terdapat pada daerah induksi (induci-ble region). Untuk menemukan solusi tersebut, dapat menggunakan definisi solu-si untuk masalah BLP linier, atau menggunakan metode pendekatan Kuhn-Tucker
dan pendekatan implisit dari algoritma branch and bound. Proses tersebut diawal-i dengan membentuk formula dardiawal-i masalah pemrograman bdiawal-ilevel menjaddiawal-i masa-lah pemrograman one-level menggunakan pendekatan Kuhn-Tucker. Formula yang terbentuk memuat kendala non-linier berupa persamaan complementary slackness. Oleh karena itu, digunakan algoritma branch and bound untuk mengatasi bentuk non-linier tersebut dengan memeriksa semua kondisi complementary dan menyele-saikan submasalah linier yang dihasilkan.
Pada kasus tertentu, terdapat kelemahan dari metode penyelesaian masa-lah pemrograman bilevel linier tersebut. Masamasa-lah BLP linier dengan kasus tertentu tidak dapat diselesaikan dengan metode pendekatan Kuhn-Tucker dan algoritma Branch and bound, karena keluaran dari penyelesaian masalah tersebut menggu-nakan program LINGO berupa solusi infisibel. Hal ini berarti solusi dari masalah BLP linier tidak berada pada daerah induksi. Oleh karena itu, akan dibahas me-ngenai pendefinisian solusi optimal untuk masalah BLP linier, proses mendapatkan metode perluasan pendekatan Kuhn-Tucker dan perluasan algoritma branch and bound untuk menangani masalah tersebut. Lebih lanjut, metode perluasan ini da-pat menyelesaikan masalah BLP linier dengan kasus yang lebih umum. Kemudian untuk memperjelas penggunaan metode perluasan ini, akan diberikan contoh pe-nyelesaian dari masalah BLP linier.
1.2. Perumusan Masalah
Berkaitan dengan penjabaran di bagian sebelumnya, pokok bahasan pada tulisan ini meliputi :
1. Merumuskan model masalah BLP linier menggunakan metode pendekatan Kuhn-Tucker dan penyelesaiannya menggunakan algoritma branch and bo-und.
2. Masalah BLP linier dengan kasus tertentu tidak dapat diselesaikan dengan metode pendekatan Kuhn-Tucker dan algoritma branch and bound.
3. Mencari solusi optimal untuk masalah BLP linier menggunakan metode per-luasan pendekatan Kuhn-Tucker dan perper-luasan algoritma branch and bound.
1.3. Batasan Masalah
Pada skripsi ini, pembahasan dibatasi pada masalah pemrograman bilevel dengan masalah tingkat atas dan bawah berbentuk linier. Himpunan fisibel dari per-masalahan ini merupakan himpunan yang tak kosong dan kompak. Untuk setiap ke-putusan yang ditentukan oleh leader, follower mempunyai ruang untuk merespon, dan setiap reaksi rasional follower merupakan pemetaan dari titik ke titik. Untuk menyelesaikan masalah pemrograman bilevel linier, terlebih dahulu diformulasikan dengan menggunakan pendekatan Kuhn-Tucker. Formula yang terbentuk diselesai-kan dengan bantuan algoritma branch and bound.
1.4. Maksud dan Tujuan
Secara umum, penelitian ini bertujuan untuk mempelajari masalah program bilevellinier. Adapun tujuan khusus yang ingin dicapai dalam penelitian ini adalah sebagai berikut:
1. Membahas model dan sifat-sifat dasar dari masalah BLP linier.
2. Menganalisa penyelesaian masalah BLP linier menggunakan metode pende-katan Kuhn-Tucker dan algoritma branch and bound.
3. Menganalisa kelemahan metode tersebut dalam menyelesaikan masalah BLP linier dengan kasus tertentu dan cara mengatasinya.
4. Mencari solusi optimal masalah BLP linier menggunakan metode perluasan pendekatan Kuhn-Tucker dan perluasan algoritma branch and bound.
Skripsi ini diharapkan dapat memberikan wawasan kepada pembaca bahwa matematika dapat digunakan sebagai media untuk menganalisis persoalan nyata, salah satunya adalah untuk menyelesaikan permasalahan bilevel linier yang terdi-ri daterdi-ri dua masalah yang saling mengoptimalkan fungsi tujuannya masing-masing
menggunakan metode perluasan pendekatan Kuhn-Tucker dan algoritma branch and bound.
1.5. Tinjauan Pustaka
Permasalahan pada skripsi ini adalah tentang penyelesaian masalah program bilevellinier yang terdiri dari dua masalah yang saling mengoptimalkan fungsi tu-juannya masing-masing, yaitu masalah leader dan follower. Permodelan dan sifat-sifat teoritis dari masalah BLP linier dibahas dalam bukunya Bard (1998) yang di-gunakan sebagai referensi utama. Sedangkan referensi pendukung dari teori ini pe-nulis juga mempelajari buku karangan Dempe (2002) dan jurnal oleh Bard (1991). Ada banyak algoritma yang digunakan untuk menyelesaikan masalah BLP linier. Dalam buku tersebut disajikan salah satu metode yang paling efisien, yang dikenal sebagai pendekatan Kuhn-Tucker. Ide dasarnya adalah memformulasikan masalah BLP linier menggunakan pendekatan Kuhn-Tucker. Proses ini dilakukan dengan mengganti masalah follower dengan kondisi Kuhn-Tucker dan selanjutnya menambahkan sistem yang dihasilkan ke dalam masalah leader. Kemudian formula yang terbentuk diselesaikan dengan algoritma branch and bound untuk mengata-si kendala complementary slackness yang berbentuk non-linier. Dengan menggu-nakan metode ini, masalah BLP linier lebih mudah untuk diselesaikan (Bard dan Moore, 1990).
Tantangan utama dari masalah pemrograman bilevel linier adalah bagai-mana memecahkan masalah BLP linier dengan kasus tertentu menggunakan me-tode Kuhn-Tucker dan algoritma branch and bound. Keluaran dari masalah BLP linier dengan kasus khusus ini menggunakan program LINGO menghasilkan solusi infisibel. Permasalahan ini berdasarkan tulisan Shi dkk. (2005a) yang membahas pendefinisian solusi untuk masalah bilevel linier. Kemudian pada tulisan berikut-nya, Shi dkk. (2005b) membahas metode perluasan pendekatan Kuhn-Tucker untuk masalah bilevel linier. Dengan menggunakan definisi baru pada tulisan sebelum-nya, diperoleh syarat perlu dan cukup yang menjamin eksistensi solusi optimal da-ri masalah BLP linier. Berdasarkan teorema tersebut, diperoleh metode perluasan
pendekatan Kuhn-Tucker. Ide dasar pada metode ini adalah menambahkan kenda-la leader pada penerapan kondisi Kuhn-Tucker terhadap masakenda-lah follower dakenda-lam merumuskan formula dari masalah BLP linier.
Penelitian dalam tulisan berikutnya, Shi dkk. (2006) membahas metode per-luasan algoritma branch and bound untuk mengatasi kendala persamaan comple-mentary slacknesyang terdapat pada formula dari masalah BLP linier mengguna-kan metode perluasan Kuhn-Tucker. Perluasan algoritma dilakumengguna-kan berdasarmengguna-kan pe-nambahan banyaknyapkendala leader pada kondisi complementary slackness yaitu
ui gi = 0, dengani = 1, . . . , p + q + m. Algoritma dapat mencapai optimal jika
untuk setiap indeksimemenuhi kondisi persamaan complementary tersebut. Dalam penelitian ini diperlukan beberapa buku dan jurnal sebagai bahan referensi. Ada banyak buku dan jurnal yang dapat digunakan untuk mempelaja-ri program linier, namun penulis menggunakan buku karangan Bard (1998) dan Bazaara dkk. (2009) sebagai refensi utama. Sedangkan buku karangan Winston (2004), Taha (2007) Fang (1993) dan Mital (1976) sebagai referensi pendukung-nya. Buku tersebut juga digunakan untuk mempelajari dualitas, himpunan konveks dan kondisi Kuhn-Tucker.
1.6. Metode Penelitian
Pada skripsi ini dibahas mengenai penyelesaian masalah BLP linier meng-gunakan metode pendekatan Kuhn-Tucker dan algoritma branch and bound. Me-tode penelitian yang digunakan dalam skripsi ini adalah studi literatur. Adapun penelitian ini dibagi menjadi empat tahapan. Tahapan pertama yaitu memformu-lasikan masalah BLP linier menjadi masalah pemrograman one-level menggunak-an metode pendekatmenggunak-an Kuhn-Tucker. Pada tahap ini, diawali dengmenggunak-an menerapk-an kondisi Kuhn-Tucker pada masalah follower, kemudimenerapk-an menambahkmenerapk-an sistem yang dihasilkan ke dalam masalah leader. Formula yang terbentuk memuat ken-dala non-linier berupa persamaan complementary slackness. Sebelumnya dipelajari konsep-konsep dasar mengenai program linier, teori dualitas, kondisi Kuhn-Tucker dan pemrograman bilevel.
Pada tahap selanjutnya, menyelesaikan formula yang telah dibentuk meng-gunakan algoritma branch and bound untuk mengatasi kondisi complementary ter-sebut. Terlebih dahulu didefinisikan beberapa notasi yang digunakan pada algo-ritma. Kemudian mempelajari kerangka kerja algoritma dan dilanjutkan dengan mempelajari algoritma untuk masalah BLP linier. Selanjutnya menerapkan algo-ritma untuk menyelesaikan formula yang telah dibentuk tersebut.
Pada prakteknya, masalah BLP linier pada kasus tertentu tidak dapat di-temukan solusinya menggunakan metode pendekatan Kuhn-Tucker dan algoritma branch and bound. Hal ini dapat dilihat dari keluaranya yang berupa solusi infisi-bel dengan menggunakan program LINGO, yang berarti bahwa solusi dari masalah BLP linier dengan kasus tertentu tidak berada pada daerah induksi. Oleh karena itu, pada tahapan berikutnya dibentuk definisi baru untuk solusi masalah BLP ber-dasarkan solusi optimal Pareto. Berber-dasarkan definisi tersebut, diperoleh syarat perlu dan cukup yang menjamin eksistensi solusi optimal dari masalah BLP linier. Kemu-dian berdasarkan syarat ini, diperoleh metode perluasan pendekatan Kuhn-Tucker dan perluasan algoritma branch and bound untuk menyelesaikan masalah BLP li-nier sebagai tahap terakhir dari penelitian ini.
Tahapan terakhir yaitu menerapkan metode perluasan pendekatan Kuhn-Tucker dan perluasan algoritma branch and bound untuk menyelesaikan contoh masalah pemrograman bilevel linier dengan kasus tertentu, sehingga metode yang diberikan dapat lebih mudah dipahami. Lebih lanjut, metode perluasan ini dapat menyelesaikan masalah BLP linier yang lebih umum.
1.7. Sistematika Penulisan
Sistematika penulisan skripsi ini adalah sebagai berikut:
BAB I PENDAHULUAN
Pada bab ini berisi tentang latar belakang masalah, perumusan masalah, batasan masalah, maksud dan tujuan, tinjauan pustaka, metode penelitian, dan sistematika penulisan.
BAB II DASAR TEORI
Pada bab ini dibahas teori-teori dan sifat yang menjadi dasar dalam mempelajari bab selanjutnya. Teori yang dibahas antara lain meliputi program linier, dualitas program linier, kondisi Karush Kuhn-Tucker dan pemrograman bilevel.
BAB III MASALAH PEMROGRAMAN BILEVEL LINEAR
Pada bab ini membahas tentang deskripsi umum dan sifat teoritis dari BLP lini-er, merumuskan formula dari permasalahan BLP linier dengan metode pendekatan Kuhn-Tuckerdan menyelesaikanya dengan algoritma branch and bound. Selain itu juga diberikan contoh permasalahan dan penyelesaian masalah BLP linier meng-gunakan metode tersebut.
BAB IV PERLUASAN METODE PENYELESAIAN MASALAH
PEMROGRAMAN BILEVEL LINEAR
Pada bab ini dibahas penyelesaian masalah pemrograman bilevel linier serta kele-mahan dalam metode penyelesaiannya. Kemudian didefinisikan solusi baru untuk mengatasi kelemahan tersebut, dan dibentuk metode perluasan Kuhn-Tucker dan perluasan algoritma branch and bound untuk penyelesaian masalah bilevel linier.
BAB V PENUTUP
Pada bab ini berisi kesimpulan dari semua pembahasan yang telah dijabarkan pada bab-bab sebelumnya, serta sedikit saran yang dapat membantu penelitian selanjut-nya.
