Fungsi dan Operasi pada Fungsi. Kalkulus I

Fungsi dan Operasi pada Fungsi

Kalkulus I

2 Pengertian Fungsi

– Relasi : aturan yang memetakan 2 himpunan – Fungsi

Misalkan A dan B himpunan. Relasi biner f dari A ke B merupakan suatu fungsi jika setiap elemen di dalam A dihubungkan dengan tepat satu elemen di dalam B, artinya :

 

₁

 

₂

2 1

2

1, x A, jika x x , maka f x f x

x   



3 Pengertian Fungsi

Jika f adalah fungsi dari A ke B kita menuliskan f : A  B

yang artinya f memetakan A ke B.

A disebut daerah asal (domain) dari f dan B disebut daerah hasil (codomain) dari f.

Relasi di bawah ini merupakan fungsi

a i u e

i

o

1 2 3 4 5

A B

4 Pengertian Fungsi

Relasi di bawah ini bukan merupakan fungsi :

a

i u e o

1 2 3 4 5

A B

Himpunan yang berisi semua nilai pemetaan f disebut

jelajah (range) / jangkauan dari f. Perhatikan bahwa jelajah dari f adalah himpunan bagian dari B.

a mempunyai 2 nilai

MA 1114 Kalkulus I

5 Pengertian Fungsi

Jelajah :



^{y f}

 

^{x  y,x  A}



^{ B}

Jelajah/range/jangkauan dinotasikan dengan R_f Contoh :

1. Carilah domain dan range dari fungsi :

 

4 3

1

  x x f

Jawab :

a. Mencari domain

6 Pengertian Fungsi

0 3

4x  

4

 3

 x



 



 





 



  

 ,

4 3 4

, 3 Df











 4

3

 

⁰





f 

R ^R_f ^



^{ ,0}

  

^{ 0,}

syarat agar fungsi tersebut terdefinisi adalah :

Sehingga atau

b. Mencari Range

Hal ini dikarenakan f(x) tidak mungkin bernilai nol atau

7 Contoh

 

3 1

2



 

x x x

f

0 1

3x  

3

1

 x

a. Mencari domain

Sehingga 



 



 

 



 



  

 ,

3 1 3

, 1 Dt

2. Carilah domain dan range dari fungsi :

Syarat agar fungsi tersebut terdefinisi adalah :

8 Contoh

 

3 1

2



 

 x

y x x

f

2 3xy  y  x 

y x

xy   2  3



^y



^y

x 3 1  2 

b. Range

1 3

2



 

y x y

0 1

3y  

3

 1 y



 

 

 



 

 

 ,

3 1 3

, 1 Rf







 

 3 1

Syarat fungsi tersebut terdefinisi,

Jadi

Atau

9 Contoh

 

^{x   x2  5x 6}

f

0 6

2 5  

 x x

0 6

2  5  

 x x



^{ 2}



^{ 3}



^{ 0}

 x x

a. Mencari domain

TP = -2, -3

-3 -2

++ -- ++

Jadi ^D_f ^



^3,2



3. Carilah domain dan range dari fungsi :

Syarat agar fungsi tersebut terdefinisi adalah :

10 Contoh

 

^{x  y   x2 5x  6}

f

6

2 5

2  x  x  y



⁶



⁰

5 ²

2    

 x x y



 x

b. Mencari Range

Agar , maka D ≥ 0



⁶



⁰

1 . 4

25  ²  

 y

0 24

4

25  ²  

 y

0 4

1 ² 

 y

2 4

D  b  ac

11 Contoh



^{1 2}



^{1 2}



^{ 0}

 y y

2 , 1 2

 1 TP 



^



 

 



 0,

2 , 1 2 1 Rf

12 12



++ --

--

Jadi,





 2 , 1 0

12 Macam-macam Fungsi

 

^{x a a x a x a}_n^xn

f  ₀  ₁  ₂ ² ...

 

^{x a}₀

f 

 

^{x a a x}

f  ₀  ₁

 

^{x a}₀ ^a₁^{x a}₂^x2

f   

Macam-macam fungsi :

-Fungsi konstan, -Fungsi linier, -Fungsi kuadrat, 1. Fungsi polinom

13 Macam-macam Fungsi

   

^x

q x p

   

1 1

2 3

2





 

x x

x x f

2. Fungsi Rasional

p(x), q(x) = fungsi polinom dengan q(x) ≠ 0 contoh :

3. Fungsi harga/nilai mutlak

 

^{x  3 x 1  2 x  2}

f

Bentuk umum :

Fungsi yang mengandung harga mutlak, contoh :

14 Macam-macam Fungsi

 

^x

 

^{x  n  n  x  n 1}

 

^{5  5}

 ^{3,2  3}

4. Fungsi bilangan bulat terbesar

= Bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan x

 

^{x f}

 

^x

f  

5. Fungsi Genap

dan grafiknya simetris Disebut fungsi genap jika

terhadap sumbu y



^1,2



^{ 2}

15 Macam-macam Fungsi

 

^{x x2}

f 

 

^{x x}

f 

 

x

 

x f  cos

 

x f

 

x f   

 

^x

 

^x

f  sin

 

^{x x3}

f 

Contoh :

6. Fungsi Ganjil

simetris terhadap titik asal, contoh :

Disebut fungsi ganjil jika dan grafiknya

16 Macam-macam Fungsi

 

^x

f ^g

 

^x

 

^x

f ^g

 

^x

^

^{f  g}

^{ }

^{x  f}

^

^g

^{ }

^x

^



^{f  g}

 

^x

 

^x

g ^g

 

^x Df

7. Fungsi Komposisi

dan , komposisi fungsi antara

dan ditulis Domain dari

adalah himpunan semua bilangan x dengan domain sehingga di dalam

Diberikan fungsi

Syarat agar dua fungsi bisa dikomposisikan, terpenuhi

maka harus





 _f

g D

R

17 Fungsi Komposisi

Hal tersebut dapat diilustrasikan sebagai berikut :

g(x) f(x)

(fog)(x)

D_g Rg D_f R_f





 _f

g D

R

18 Fungsi Komposisi

Dengan cara yang sama, ^{g  f}  ^{x  g}^f  ^x 

Syarat agar dua fungsi bisa dikomposisikan, terpenuhi

maka harus





 _g

f D

R

Domain dari komposisi fungsi f dan g didefinisikan sbb :



g

 

f



g

f x D g x D

D _   



f

 

g



f

g x D f x D

D _   

Sedangkan definisi dari Range komposisi fungsi komposisi

  

g f



f

g g t R t R

R _    Rg_f 



y  Rg y  g

 

t ,t  Rf



  

f g



g

f f t R t R

R _    Rf_g 



y  Rf y  f

 

t ,t  Rg



atau atau

19 Fungsi Komposisi



^{f  g}

  

^{x  g  f}

 

^x

 



^{f  g  h}

 

^{x }



^{f }



^{g  h}

  

^x

Sifat-sifat fungsi komposisi :

 

x x

f  ^g

 

^{x 1 x 2}

f

g  f  g

Contoh :

Tentukan dan beserta domain dan range-nya!

1. Jika diketahui



^



 0, Df



^



 0, Rf



g  D



^,1



g  R

20 Contoh

g

f D

R 



^0,



^{ } g  f



^{g  f}

 

^{x  g}



^f

 

^x



^{ g}

 

^{x 1 x}

Karena = , maka fungsi

terdefinisi

f g 



f

 

g



f

g x D f x D

D _   

 



^{  }



 x 0, x



^{     }



 x 0 x

a. Mencari Domain

21 Contoh



^{ 0  0}



 x x



^{ 0  0}



 x x



^



^



^





 x 0, 0,



^





 x 0,

f g 



g

 

f



f

g y R y g t t R

R _    , 

   



^{      }



 y ,1 y 1 t²,t 0, R_{g  f}

b. Mencari Range



^{ ,1}



^



^{ ,1}





 y R_gf



^{ ,1}





 y Jadi

22 Contoh



 _f

g D

R



^{ ,1}

 

^{ 0,}



^

 

^{0,1  }

g f 



^{f  g}

 

^{x  f}



^g

 

^x



^{ f}



^{1 x 2}



^{ 1 x 2}

Karena , maka fungsi

terdefinisi dengan

g f 



g

 

f



g

f x D g x D

D _   

 



^{   }



 x 1 x² 0,



^{1 2  0}



 x x

c.Domain



^{1   1}



 x x

 

^1,1







 

^1,1



23 Contoh

g f 



f

 

g



g

f y R y f t t R

R _    , 

   



^{ 0,  ,   ,1}



 y y t t



^{ 0  ,0   1}



 y y t t



^{ 00  1}



 y y



^0,



^

 

^0,1



 

^0,1



d. Range

24 Contoh

 

^{x x x}

f  ^g

 

^{x  x 1}



f 

D R_f   R_g   D_g   2. Jika diketahui fungsi

f g 

g

f D

R       g  f

Tentukan beserta domain dan range-nya!

= , sehingga terdefinisi

f

g 

 



f g



f

g x D f x D

D _   



^{ }



 x x x a. Domain







 ^{ }

25 Contoh

f g 



g

 

f



f

g y R y g t t R

R _    , 



^{   }



 y y t 1,t b. Range













26 Grafik dari fungsi

1. Garis Lurus

c mx

y  

persamaan garis lurus yang melewati (0,c)

 3

 x y

3

-3

contoh :

27 Garis Lurus



^{y  y}₁



^{ m}



^{x  x}₁





^x₁^{, y}₁



1 2

1 1

2

1

x x

x x

y y

y y



 







^x₁^{, y}₁

 

^{& x}₂^{, y}₂



Persamaan garis lurus melalui

Persamaan garis lurus melalui

c bx

ax

y  ²  

ac b

D  ²  4

2. Grafik fungsi kuadrat (parabola)

Diskriminan 

28 Grafik Fungsi Kuadrat

Titik puncak = _



 



  a D a

b , 4 2

D>0 D=0 D<0

a_>0

x

y

29 Grafik Fungsi Kuadrat

Gambarlah grafik fungsi y  x²  x 1

Contoh :

a =1 jadi a > 0 ac b

D  ²  4 4 1² 



= -3 < 0

 grafik menghadap ke atas

 tidak menyinggung sumbu x

30 Grafik Fungsi Kuadrat

– Titik potong dengan sumbu koordinat

– Karena D<0, maka titik potong dengan sumbu x tidak ada – Titik potong dengan sumbu y

x = 0  y = 1

dengan demikian grafik melalui (0,1)

• Titik puncak = ^



 



  a D a

b , 4 2



 



 4

, 3 2 1

31 Grafik Fungsi Kuadrat

c by

ay

x  ²  



 



  a b a

D , 2 4

a b

 2

Untuk persamaan kuadrat

Titik puncak = Sumbu simetri = Gambar grafik fungsi

2  1

 x x y

-1

1

12



3 4

32 Grafik Fungsi Majemuk

3. Grafik Fungsi Majemuk

x x

f ( )  Contoh :

1. Gambarkan grafik fungsi









 

0 ,

0 ,

x x

x x x

y=-x y=x

33 Grafik Fungsi Majemuk

 







 

2 2

2 1

x x

x x f

 1 y

 2 x

 2

 x y

2. Gambarkan grafik fungsi

Grafiknya terdiri dari 2 untuk dan garis

untuk x  2 bagian, yaitu garis

 2

 x y

2

 1 y

34 Grafik Fungsi Majemuk

3. Gambarkan grafik dari fungsi

 

2

2 4



  x x x

f

f(x) terdefinisi untuk setiap x kecuali 2, sehingga

domain dari f(x) adalah semua bilangan riil kecuali 2 Fungsi f(x) dapat diuraikan sebagai berikut :

    



² ²



²



 

x x x x

f

35 Grafik Fungsi Majemuk

 

^{x  x  2}

f x  2

atau , jika

Range dari f(x) adalah semua bilangan riil kecuali 4.

Jadi grafiknya terdiri dari semua titik pada garis y  x  2

kecuali titik (2,4).

 2

 x y

2 4

36 Grafik Fungsi Majemuk

3. Gambarkan grafik dari fungsi

 

^{x x}

f  1 3











 

 1 3 0

0 3

3 1

1 x x

x x x

Kita definisikan :

1

13

 13

x

y 13 y 13x

37 Translasi



^{x a}



f

y  

 ^x

f y 



^{x a}



f

y  

 ^x

f y 

 

^{x a}

f

y  

 ^x

f y 

 

^{x a}

f

y  

 ^x

f y 

 grafik mengalami pergeseran sejauh a ke kanan

 grafik mengalami pergeseran sejauh a ke kiri

 grafik mengalami pergeseran sejauh a ke atas

 grafik

Untuk fungsi yang dinyatakan sebagai ^{y  f}

 

^x

mengalami pergeseran sejauh a ke bawah

, a ^{> 0}

38 Translasi



^{y a}



f

x  

 ^y

f x 



^{y a}



f

x  

 ^y

f x 

 

^{y a}

f

x  

 ^y

f x 

 

^{y a}

f

x  

 ^y

f x 

 grafik mengalami pergeseran sejauh a ke atas

 grafik mengalami pergeseran sejauh a ke bawah

 grafik mengalami pergeseran sejauh a ke kanan

 grafik

Untuk fungsi yang dinyatakan sebagai ^{x  f}

 

^y

mengalami pergeseran sejauh a ke kiri

, a ^{> 0}

39 Contoh Translasi

 

^{x  x2  4x  5}

f ^



^{x2  4x  4}



^{ 4  5}



^{ 2}



^{2 1}

 x

x2

y 



^{ 2}



²

 x y

digeser sejauh

1. Gambarkan grafik dari fungsi



2 ke kanan

2

2 4

x

y  y  x 2²

40 Contoh Translasi



^{ 2}



²

 x y



^{ 2}



^{2 1}

 x y

Kemudian digeser sejauh 1 ke atas maka akan terbentuk

2 4

 2²

 x y

  ₂² ₁

 x y

41 Contoh Translasi

 

^{x x}

f  1 3

x y  3

2. Gambarkan grafik fungsi Kita lihat dahulu grafik

:

3

x

y  3 y  3x

42 Contoh Translasi

x y  1 3

x y  3

Grafik dapat

yang digeser dipandang sebagai grafik

ke atas sejauh 1 satuan

1

x y  3

x y 1  3

Soal Latihan

   

1 3



 

x x x x

f

 ^{x x}

f 3 24

 

^{x  x}



^{x 2}



f

Tentukan domain dan range dari fungsi di bawah ini

 

^{x  x2 5x 6}

f

 

^{ 3  1  2}

x x x

f

Diketahui

Apakah f o g terdefinisi? Bila ya, tentukan rumusan dari f o g dan domain dari f o g.

x x

f ( )  4  g(x)  x

,

1 2

3 4 5

 ^{x  3 x2}

6 f

Gambarkan grafik dari fungsi di bawah ini 7