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Journal de Th´

eorie des Nombres

de Bordeaux

17

_{(2005), 859–870}

On the largest prime factor of

n

! + 2

n

−

1

par

Florian LUCA

_et

Igor E. SHPARLINSKI

R´esum´e. _{Pour un entiern≥2, notonsP(n) le plus grand facteur} premier den. Nous obtenons des majorations sur le nombre de solutions de congruences de la formen! + 2n

−1 ≡0 (modq) et nous utilisons ces bornes pour montrer que

lim sup

n→∞

P(n! + 2n

−1)/n≥(2π2_{+ 3)/18.}

Abstract. _{For an integern}≥2 we denote byP(n) the largest prime factor ofn. We obtain several upper bounds on the number of solutions of congruences of the formn! + 2n

−1 ≡0 (modq) and use these bounds to show that

lim sup

n→∞

P(n! + 2n

−1)/n≥(2π2_{+ 3)/18.}

FlorianLuca

Instituto de Matem´aticas

Universidad Nacional Aut´onoma de M´exico C.P. 58089, Morelia, Michoac´an, M´exico

E-mail_{:fluca@matmor.unam.mx}

Igor E.Shparlinski

Department of Computing Macquarie University Sydney, NSW 2109, Australia

E-mail_{:igor@ics.mq.edu.au}