LKPD Nilai Mutlak Konsep, Persamaan

(1)

LEMBAR KERJA PESERTA DIDIK (LKPD)

Satuan

Satuan Pendidikan Pendidikan : : SMA SMA Negeri Negeri MalangMalang Mata

Mata Pelajaran Pelajaran : : MatematikaMatematika Kelas/Semester

Kelas/Semester : : X/1X/1 Mater/Pokok

Mater/Pokok Bahasan/SPB Bahasan/SPB : : Persamaan Persamaan dan dan Pertidaksamaan Pertidaksamaan NilaiNilai Mutlak Linier Satu Variabel / Konsep Mutlak Linier Satu Variabel / Konsep Nilai Mutlak.

Nilai Mutlak. A.

A. Identitas kelompokIdentitas kelompok Kelompok

Kelompok : : ... Kelas

Kelas : : ... Anggota

Anggota Kelompok Kelompok : : ... : : ... : : ... : : ... B.

B. Tujuan Tujuan PembelajPembelajaranaran

Melalui kegiatan pengamatan, tanya jawab, penugasan, diskusi, dan penemuan Melalui kegiatan pengamatan, tanya jawab, penugasan, diskusi, dan penemuan diharapkan peserta didik aktif, bekerja sama dalam kegiatan pembelajaran dan diharapkan peserta didik aktif, bekerja sama dalam kegiatan pembelajaran dan bertanggung jawab dalam meny

bertanggung jawab dalam menyelesaikan masalah serta dapat :elesaikan masalah serta dapat : 1.

1. Melatih sikap sosial dengan berani bertanya, berpendapat, mau mendengar orangMelatih sikap sosial dengan berani bertanya, berpendapat, mau mendengar orang lain, bekerja sama dalam diskusi di kelompok, sehingga terbiasa berani bertanya, lain, bekerja sama dalam diskusi di kelompok, sehingga terbiasa berani bertanya, berpendapat, mau mendengar orang lain, dan bekerja sama dalam aktivitas berpendapat, mau mendengar orang lain, dan bekerja sama dalam aktivitas

sehari-hari; hari; 2.

2. Menunjukkan ingin tahu selama mengikuti proses;Menunjukkan ingin tahu selama mengikuti proses; 3.

3. Peserta didik dapat menjelaskan konsep nilai mutlak dengan benar dan kritikPeserta didik dapat menjelaskan konsep nilai mutlak dengan benar dan kritik 4.

4. Peserta didik dapat menyusun persamaan dan pertidaksamaan nilai mutlak linierPeserta didik dapat menyusun persamaan dan pertidaksamaan nilai mutlak linier satu variabel dengan benar dan kreatif

satu variabel dengan benar dan kreatif 5.

5. Peserta didik dapat menyelesaikan masalah konstektual yang berkaitan denganPeserta didik dapat menyelesaikan masalah konstektual yang berkaitan dengan persamaan

persamaan dan dan pertidaksamaan pertidaksamaan nilai nilai mutlak mutlak linier linier satu satu variabel variabel secara secara aljabaraljabar dengan teliti dan kreatif.

dengan teliti dan kreatif. C.

C. PetunjukPetunjuk 1)

1) Isilah identitas pada bagian yang disediakan!Isilah identitas pada bagian yang disediakan! 2)

2) Bacalah dan pahami petunjuk belajar dengan teliti!Bacalah dan pahami petunjuk belajar dengan teliti! 3)

3) Bacalah lembar kerja siswa dengan teliti dan cermat!Bacalah lembar kerja siswa dengan teliti dan cermat! 4)

4) Waktu pengerjaan adalah 2Waktu pengerjaan adalah 2

××

45 menit.45 menit. 5)

5) Jawablah pertanyaan pada tempat yang disediakan dengan lengkap dan sistematis!Jawablah pertanyaan pada tempat yang disediakan dengan lengkap dan sistematis! 6)

(2)

(3)

D.

D. Uraian MateriUraian Materi Definisi

Definisi : Untuk setiap bilangan real : Untuk setiap bilangan real



, harga mutlak dari, harga mutlak dari



ditulis ditulis

||||

dan dan

|||| == {{ ,jika ≥0

_{−,jika <0}

,jika ≥0

Nilai mutlak suatu bilangan adalah jarak antara bilangan itu dengan

Nilai mutlak suatu bilangan adalah jarak antara bilangan itu dengan nol pada garisnol pada garis bilangan real.

bilangan real. Sifat

Sifat dari nilai mutlak : dari nilai mutlak : a. a.

 ≥≥ 0 0 ddaann |||| == ||−

−||

b. b.

||..|| == ||||..||||

c. c.

||−

−|| == ||||

d. d.

||



|| == 



e. e.







 ==

||||

||||

f. f.

|| ++ || ≠≠ |||| ++ |||| || −− || ≠≠ |||| −− ||||

E. E. LatihanLatihan Masalah 1 Masalah 1

Pahamilah Masalah 1 berikut ini! Pahamilah Masalah 1 berikut ini! ..

Perhatikan pergerakan langkah di bawah ini: Perhatikan pergerakan langkah di bawah ini: “Maju 4 langkah, jalan!”, hal ini berarti

“Maju 4 langkah, jalan!”, hal ini berarti jarak jarak pergerakan pergerakan barisan barisan adalah adalah 4 4 langkahlangkah kedepan. Jika perintah pimpinan pasukan adalah “Mundur 3 langkah, jalan!”, hal ini kedepan. Jika perintah pimpinan pasukan adalah “Mundur 3 langkah, jalan!”, hal ini berarti bahwa pasukan akan bergerak ke belakang sejauh 3 lang

berarti bahwa pasukan akan bergerak ke belakang sejauh 3 langkah.kah. Bila kita sepakati :

Bila kita sepakati :

Kegiatan pramuka merupakan salah satu kegiatan Kegiatan pramuka merupakan salah satu kegiatan ekstrakurikuler yang diadakan di sekolah. Suatu ekstrakurikuler yang diadakan di sekolah. Suatu pasukan

pasukan pramuka pramuka sedang sedang belajar belajar baris baris berbaris berbaris didi lapangan sekolah pada hari Sabtu. Sebuah perintah lapangan sekolah pada hari Sabtu. Sebuah perintah dari pimpinan regu, yaitu “Maju 4 langkah, jalan!”, dari pimpinan regu, yaitu “Maju 4 langkah, jalan!”, hal ini berarti jarak pergerakan barisan adalah 4 hal ini berarti jarak pergerakan barisan adalah 4 langkah kedepan. Jika perintah pimpinan pasukan langkah kedepan. Jika perintah pimpinan pasukan adalah “Mundur 3 langkah, jalan!”, hal

adalah “Mundur 3 langkah, jalan!”, hal ini berarti ini berarti bahwa

bahwa pasukan pasukan akan akan bergerak bergerak ke ke belakang belakang sejauh sejauh 33 langkah. Bagaimana pergerakan langkah mereka dan langkah. Bagaimana pergerakan langkah mereka dan berapa langkah yang telah dilakukan ?

berapa langkah yang telah dilakukan ?

AYO MENGAMATI AYO MENGAMATI

(4)

Tanda positif (+) menunjukkan arah ke kanan atau ke depan dan tanda negatif (-) Tanda positif (+) menunjukkan arah ke kanan atau ke depan dan tanda negatif (-) menunjukkan arah ke kiri atau ke belakang. Sehingga diperoleh :

menunjukkan arah ke kiri atau ke belakang. Sehingga diperoleh : No

No Deskripsi Deskripsi Aba-aba Aba-aba Notasi Notasi Matematika Matematika Banyak Banyak LangkahLangkah 1

1 4 4 Langkan Langkan ke ke depandepan

……

2

2 3 3 Langkah Langkah keke belakang

belakang

……

Dalam pergerakan langkah pasukan pramuka di atas menggunakan arah tetapi dalam Dalam pergerakan langkah pasukan pramuka di atas menggunakan arah tetapi dalam menghitung banyaknya langkah yang dijalani pasukan pramuka tidak menggunakan menghitung banyaknya langkah yang dijalani pasukan pramuka tidak menggunakan arah.

arah.

Dalam matematika banyaknya langkah yang dijalani pasukan pramuka merupakan Dalam matematika banyaknya langkah yang dijalani pasukan pramuka merupakan konsep nilai mutlak.

konsep nilai mutlak.

Jika kita hanya menghitung banyaknya langkah, bukan arahnya maka : Jika kita hanya menghitung banyaknya langkah, bukan arahnya maka : ||……| | + + ||…………|| …..

….. ++ ….….

Setelah memahami Masalah 1. Perhatikan beberapa contoh perpindahan posisi pada Setelah memahami Masalah 1. Perhatikan beberapa contoh perpindahan posisi pada garis bilangan sebagai berikut dan isilah titik-titik berikut !

garis bilangan sebagai berikut dan isilah titik-titik berikut !

•

• Garis bilangan digunakan sebagai media untuk menunjukkan nilai mutlakGaris bilangan digunakan sebagai media untuk menunjukkan nilai mutlak •

• Tanda panah digunakan untuk menentukan besar nilai mutlak, dimana arah ke kiriTanda panah digunakan untuk menentukan besar nilai mutlak, dimana arah ke kiri

menandakan nilai mutlak dari bilangan negatif dan begitu juga sebaliknya. Arah menandakan nilai mutlak dari bilangan negatif dan begitu juga sebaliknya. Arah ke kanan menandakan nilai mutlak dari bilangan positif.

ke kanan menandakan nilai mutlak dari bilangan positif.

•

• Besar nilai mutlak dilihat dari panjang tanda panah dan dihitung dari bilangan nol.Besar nilai mutlak dilihat dari panjang tanda panah dan dihitung dari bilangan nol.

1. 1.

Tanda

Tanda panah panah bergerak bergerak ke ke arah arah 3 3 berawal berawal dari dari bilangan bilangan 0 0 menuju menuju bilanganbilangan 3. Hal ini berarti nilai

3. Hal ini berarti nilai

||33||

= = 3 Atau b3 Atau berjarak 3 satuan erjarak 3 satuan dari bilangan dari bilangan 0.0.

2. 2.

pada garis bilangan di atas, pada garis bilangan di atas,

||33||

pada garis bilangan di atas, pada garis bilangan di atas,





(5)

Tanda panah bergerak ke arah

…

berawal dari bilangan

…

menuju

…

Hal ini berarti nilai

…

=

…

atau berjarak

…

satuan dari bilangan 0.

3.

…

berawal dari bilangan 0 menuju bilangan

…

=

…

atau berjarak

…

4.

…

berawal dari bilangan

…

menuju bilangan

…

.Hal ini berarti nilai

…

=

…

atau berjarak

…

satuan dari bilangan 0. Untuk lebih memahami konsep nilai mutlak lengkapilah tabel berikut :

Bilangan Non Negatif

()

Nilai Mutlak =

||

Bilangan Negatif

(−)

Nilai Mutlak

= ||

0

…

-1

…

1

…

-2

…

4

…

-4

…

5

…

-5

…

6

…

-6

…

7

…

-7

…

8

…

-8

…

9

…

-9

…

10

…

-10

…



…

−

…

pada garis bilangan di atas,

−







(6)

Berdasarkan pengamatan pada penyelesaian masalah 1, masalah 2 dan tabel di atas kesimpulan tentang nilai mutlak yang diperoleh adalah :



-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

 = || … … … …

…



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

 = || … … … …

…

Plotlah hasil dari tabel di atas pada koordinat kartesius!

Jika



anggota himpunan bilangan real (ditulis

 ∈ 

) maka nilai mutlak dari



akan bernilai …

(7)

Pahamilah Masalah 2 berikut!

Gunakan definisi untuk menentukan nilai mutlak berikut a. Tentukan

⌈ − 2⌉

untuk x bilangan real

Penyelesaian :

 − 2 = 0

 = ⋯

⌈ + 2⌉ = {  + 2  … ≥ ⋯

_…

_{… < …}

Diperoleh interval dengan menggambarkan garis bilangan berikut

b. Tentukan

|2+3|

Penyelesaian :

+=

2 =

….

 = ⋯

|2+3| = { …

_…

 ……

_{ ……}

AYO MENGAMATI

(8)

Identitas:

Nama :

No Absen : Kelas :

Kerjakan soal berikut dengan benar dan tepat

1. Tentukan nilai mutlak berikut menggunakan definisi a. Tentukan

| − 3|

b. Tentukan

|3−2|

untuk x bilangan real c. Tentukan





(9)

LEMBAR KERJA PESERTA DIDIK (LKPD)

Satuan Pendidikan : SMA Negeri Malang Mata Pelajaran : Matematika

Kelas/Semester : X/1

Materi/Pokok Bahasan/SPB : Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak Linear Satu

Variabel/Persamaan Nilai Mutlak Linier Satu Variabel

A. Identitas

Nama Peserta Didik : ... Nomor Absen : ... Kelas : ... B. Tujuan Pembelajaran

Melalui kegiatan pengamatan, tanya jawab, penugasan, diskusi, dan penemuan diharapkan peserta didik aktif, bekerja sama dalam kegiatan pembelajaran dan bertanggung jawab dalam menyelesaikan masalah serta dapat :

1) Mengidentifikasi persamaan dan pertidaksamaan nilai mutlak dari bentuk linear satu variabel

2) Menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan dengan persamaan dan pertidaksamaan nilai mutlak dari bentuk linear satu variabel secara aljabar atau

grafik C. Petunjuk

1) Isilah identitas pada bagian yang disediakan!

2) Bacalah dan pahami petunjuk belajar dengan teliti! 3) Bacalah lembar kerja siswa dengan teliti dan cermat! 4) Waktu pengerjaan adalah 2

×

45 menit.

5) Jawablah pertanyaan pada tempat yang disediakan dengan lengkap dan sistematis! 6) Tanyakan pada bapak/ibu guru jika terdapat hal yang kurang jelas!

D. Uraian Materi Masalah 3

Pahamilah permasalahan berikut!

Sungai pada keadaan tertentu mempunyai sifat cepat meluap di musim hujan dan cepat kering di musing kemarau. Diketahui debit air sungai ters ebut adalah



liter/detik pada cuaca normal dan mengalami perubahan debit sebesar



liter/detik di cuaca tidak normal. Tunjukkan nilai penurunan minimum dan peningkatan maksimum debit air tersebut.

(10)

Nilai mutlak peningkatan dan penurunan debit air tersebut dengan perubahan



liter/detik dapat ditunjukkan dengan persamaan

| − | = 

,



adalah debit air sungai

Penyelesaian:

Berdasarkan Definisi yang telah dipelajari di Lembar Kerja Peserta Didik mengenai Konsep Nilai Mutlak maka

| − | = {  −  jika  ≥ 

_{− +  jika  < }

Akibatnya

| − | = 

berubah menjadi i) Untuk

≥,−

atau

 =  + 

ii) Untuk

<,−+=

atau

 =  − 

Hal ini berarti penurunan minimum debit air adalah

( − )

Dengan pemahaman yang telah dimiliki, maka dapat digambarkan sebagai berikut

Dari ilustrasi di atas dapat dinyatakan penurunan minimum debit air adalah

…

liter/detik dan peningkatan maksimum debit air adalah

…

liter/detik Hal tersebut merupakan masalah yang berkaitan dalam persamaan nilai mutlak. Terdapat sifat persamaan nilai mutlak

Sifat

Untuk setiap

,,

dan



bilangan real dengan

 ≠ 0

1) Jika

|+| = 

dengan

 ≥ 0

, maka salah satu sifat berikut berlaku i)

|+| = 

, untuk

 ≥ −





ii)

−(+) = 

, untuk

<=−





2) Jika

|+| = 

dengan

 < 0

, maka tidak ada bilangan real



yang memenuhi persamaan

|+| = 

Ada tiga bentuk persamaan sebagai berikut.

1) Persamaan nilai mutlak linear satu variabel berbentuk

| ()| = 

| ()| =()

dengan

() > 0

| ()| = |()|

(11)

Perhatikan contoh penyelesaian persamaan nilai mutlak linear satu variabel 1)

|| = 4

|| = {… ,jika…

_{… ,jika…}

Jika

 ≥ 0 → || = 4

 = ⋯

Karena

4 ≥ 0

maka ……. Jika

 < 0 → || = 4

−=⋯

 = ⋯

Karena

−4<0

maka …….

Jadi, nilai



yang memenuhi adalah

=………}

2)

|2−1| = 3

… …… = ⋯ ∨ … …… = ⋯

… = ⋯ ∨ … = ⋯

 = ⋯ ∨  = ⋯

Jadi, nilai



 = ………}

Atau

|2−1| = 3

(2−1)



_{= (3)}



(………)



_{− (…)}



_{= 0}

(2−1−3)(2−1+3) = 0

(−−1)(5−1) = 0

 = ⋯ ∨  = ⋯

Jadi, nilai



 = ………}

E. Latihan

Kerjakan soal-soal di bawah ini!

1) Buatlah contoh persamaan nilai mutlak linear satu variabel dan bukan persamaan ! 2) Tentukan penyelesaian persamaan nilai mutlak dari

| + 5| = 1!

3) Tentukan himpunan penyelesaian dari

|2−4| = 3

! 4) Tentukan himpunan penyelesaian dari

| + 1| =  − 2

| − 2| =|2+5|

|| + | − 5| = 5

!

7) Waktu rata-rata yang diperlukan sekelompok siswa berlari menempuh 1 mil adalah 9 menit. Catatan waktu lari siswa bisa lebih cepat atau lebih lambat 1 menit dari waktu rata-rata ini. Tulislah sebuah persamaan untuk menampilkan situasi ini. Selesaikan persamaan ini untuk menentukan waktu tercep at dan waktu terlama yang ditempuh sekelompok siswa tersebut.

(12)

(13)

LEMBAR KERJA PESERTA DIDIK (LKPD)

Materi/Pokok Bahasan/SPB : Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak Linier Satu Variabel /

Pertidaksamaan Nilai Mutlak Linier Satu Variabel

A. Identitas

Nama Peserta Didik : ... Absen : ... Kelas : ... B. Tujuan Pembelajaran

Melalui kegiatan pengamatan, tanya jawab, diskusi kelompok, penugasan individu dan kelompok, serta penemuan, peserta didik diharapkan dapat terlibat aktif, bekerjasama dalam kegiatan pembelajaran dan bertanggung jawab menyelesaikan masalah serta dapat

1. Mengidentifikasi persamaan dan pertidaksamaan nilai mutlak dalam bentuk linier satu variabel

2. Menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan dengan persamaan dan pertidaksamaan nilai mutlak dari bentuk linear satu variabel dengan perhitungan

aljabar maupun dengan grafik .

C. Petunjuk

×

45 menit.

D. Uraian Materi

Dalam kehidupan sehari-hari, banyak kita jumpai kasus yang melibatkan pembatasan suatu hal. Seperti lowongan kerja mensyaratkan pelamar dengan batas usia tertentu, batas nilai cukup seorang pelajar agar dinyatakan lulus dari ujian, dan batas berat bersih

(14)

Contoh lain dari pertidaksamaan adalah uraian permasalahaan berikut. Masalah 4

Seorang bayi lahir prematur di sebuah Rumah Sakit Ibu dan Anak. Untuk mengatur suhu tubuh bayi tetap stabil di suhu 34°C, maka harus dimasukkan ke inkubator selama

2 hari. Suhu inkubator harus dipertahankan berkisar antara 32°C hingga 35°C. Bayi

tersebut lahir dengan BB seberat 2.100-2.500 gram. Jika pengaruh suhu ruangan membuat suhu inkubator menyimpang sebesar 0,2°C, tentukan interval perubahan suhu

inkubator.

Dari uraian permasalahan diatas dapat dikatakan, Pertidaksamaan nilai mutlak adalah pertidaksamaan yang memuat variabel yang berada didalam tanda mutlak.

Untuk setiap a_dan x_{bilangan real}

1. Jika

 ≥ 0

dan

|| ≤ 

, maka

−  ≤  ≤ 

2. Jika

 < 0

dan

|| ≤ 

, maka tidak ada bilangan real x_{yang memenuhi}

pertidaksamaan tersebut

3. Jika

||





dan

 > 0

maka

 ≥ 

atau





− 

Bentuk umum pertidaksamaan nilai mutlak dengan kedua ruas bernilai positif adalah

| ()| < |()|

.

Cara menyelesaian pertidaksamaan nilai mutlak linear satu variabel ada 2, yaitu: a. Menggunakan Definisi Nilai Mutlak

b. Mengkuadratkan Kedua Ruas Pertidaksamaan

Langkah mengkuadratkan kedua ruas pertidaksamaan hanya boleh dilakukan ji ka kedua ruas bernilai positif.

Perhatikan contoh penyelesaian pertidaksamaan nilai mutlak linear satu variabel 1) Tentukan penyelesaian pertidaksamaan

| − 2| ≤ 3

Jawab :

a. Dengan menggunakan definisi nilai mutlak

… ≥ ⋯ … … . . ≥ ⋯

… … … ≥ ⋯ … … … ≥ ⋯ …

… ≥  ≥ ⋯

….≤ ⋯ atau… ≥ ⋯

Gambarlah himpunan penyelesaian pada garis bilangan

(15)

b. Dengan mengkuadratkan kedua ruas

| − 2| ≥3→(−2)



_{≥ 3}



(−2−3)(−2+3)≥0

(……)(…….)



0

Gambarlah himpunan penyelesaian pada garis bilangan

Jadi, nilai





=

………}

E. Latihan

1) Dengan menggunakan definisi nilai mutlak tentukan penyelesaian permasalahan berikut :

a) Tentukan penyelesaian pertidaksamaan

|5−8| ≤ 1

b) Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan

|3−2| ≥ |2+7|

2) Dengan mengkudratkan kedua ruas tentukan penyelesaianpertidaksamaan

| + 3| ≤ |2−3|

3) Tegangan normal yang di distribusikan PLN ke rumah-rumah adalah 220 volt. Akan tetapi tegangan nyata di rumah-rumah di toleransi boleh berbeda paling besar 11 volt dari tegangan normal 220 volt. Tuliskan sebuah pertidaksamaan untuk menampilkan situasi seperti ini. Selesaikan pertidaksamaan ini untuk menentukan kisaran tegangan nyata yang masi bisa ditoleransi oleh PLN!

4) Jarak terpendek yang diperlukan untuk menghentikan suatu mobil sejak pengereman dilakukan disebut jarak henti. Jarak henti ini merupakan faktor penting

yang perlu diuji sebelum peluncuran produk mobil baru. Data mengenai jarak henti dapat digunakan untuk menghitung waktu reaksi pengemudi (selang waktu mulai pengemudi melihat kejadian sampai dia bereaksi menginjak pada rem) berdasarkan

tingkat kelajuan mobil (dalam meter/jam). Suatu penelitian menyatakan bahwa jarak henti dapat dinyatakan dengan formula : d = |0,44v2 + 1,1v|, dimana v adalah kelajuan dan d dalam meter. Pada batas kelajuan berapakah jarak henti mobil lebih dari 200 meter?

5) Gambarlah daerah himpunan penyelesaian pertidaksamaan

3+4≤12,,∈



!

(16)

(17)

LEMBAR KERJA PESERTA DIDIK

(PEGANGAN GURU)

(18)

LEMBAR KERJA PESERTA DIDIK (LKPD)

Mater/Pokok Bahasan/SPB : Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak Linier Satu Variabel / Konsep Nilai Mutlak.

A. Identitas

Nama Peserta didik : ... No. Absen : ... Kelas : ... B. Tujuan Pembelajaran

Melalui kegiatan pengamatan, tanya jawab, penugasan, diskusi, dan penemuan diharapkan peserta didik aktif, bekerja sama dalam kegiatan pembelajaran dan bertanggung jawab

dalam menyelesaikan masalah serta dapat :.

1. Mengidentifikasi persamaan dan pertidaksamaan nilai mutlak dari bentuk linear satu variabel.

2. Menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan dengan persamaan dan Pertidaksamaan nilai mutlak dari bentuk linear satu variabel secara aljabar atau grafik

C. Petunjuk

×

45 menit.

D. Uraian Materi

Definisi : Untuk setiap bilangan real



, harga mutlak dari



ditulis

||

dan

|| = { ,jika ≥0

_{−,jika <0}

Nilai mutlak suatu bilangan adalah jarak antara bilangan itu dengan nol pada garis bilangan real.

(19)

Sifat dari nilai mutlak : g.

 ≥ 0 dan || = |−|

h.

|.| = ||.||

i.

|−| = ||

j.

|



| = 



k.







 =

||

||

l.

| + | ≠ || + || | − | ≠ || − ||

E. Latihan Masalah 1 .

Perhatikan pergerakan langkah di bawah ini:

“Maju 4 langkah, jalan!”, hal ini berarti jarak pergerakan barisan adalah 4 langkah kedepan. Jika perintah pimpinan pasukan adalah “Mundur 3 langkah, jalan!”, hal ini berarti bahwa pasukan akan bergerak ke belakang sejauh 3 langkah.

Bila kita sepakati :

Tanda positif (+) menunjukkan arah ke kanan atau ke depan dan tanda negatif (-) menunjukkan arah ke kiri atau ke belakang. Sehingga diperoleh :

No Deskripsi Aba-aba Notasi Matematika Banyak Langkah

1 4 Langkan ke depan

|+4|

4

2 3 Langkah ke

belakang

|−3|

3

Dalam pergerakan langkah pasukan pramuka di atas menggunakan arah tetapi dalam menghitung banyaknya langkah yang dijalani pasukan pramuka tidak menggunakan arah.

Kegiatan pramuka merupakan salah satu kegiatan ekstrakurikuler yang diadakan di sekolah. Suatu pasukan pramuka sedang belajar baris berbaris di lapangan sekolah pada hari Sabtu. Sebuah perintah dari pimpinan regu, yaitu “Maju 4 langkah, jalan!”, hal ini berarti jarak pergerakan barisan adalah 4 langkah kedepan. Jika perintah pimpinan pasukan adalah “Mundur 3 langkah, jalan!”, hal ini b erarti bahwa pasukan akan bergerak ke belakang sejauh 3 langkah. Bagaimana pergerakan langkah mereka dan berapa langkah yang telah dilakukan ?

(20)

Dalam matematika banyaknya langkah yang dijalani pasukan pramuka merupakan konsep nilai mutlak.

Jika kita hanya menghitung banyaknya langkah, bukan arahnya maka :

|4| + |-3|

4 + 3

Setelah memahami Masalah 1. Perhatikan beberapa contoh perpindahan posisi pada garis bilangan sebagai berikut dan isilah titik-titik berikut !

• Garis bilangan digunakan sebagai media untuk menunjukkan nilai mutlak

• Tanda panah digunakan untuk menentukan besar nilai mutlak, dimana arah ke kiri

menandakan nilai mutlak dari bilangan negatif dan begitu juga sebaliknya. Arah ke kanan menandakan nilai mutlak dari bilangan positif.

• Besar nilai mutlak dilihat dari panjang tanda panah dan dihitung dari bilangan nol.

1.

Tanda panah bergerak ke arah 3 berawal dari bilangan 0 menuju bilangan 3. Hal ini berarti nilai

|3|

= 3 Atau berjarak 3 satuan dari bilangan 0.

2.

















=





atau berjarak





3.

|3|









−



(21)

−





−



_

. Hal ini berarti nilai ,

−







=





atau berjarak





4.

−3

.Hal ini berarti nilai

|−3|

= 3 atau berjarak 3 satuan dari bilangan 0. Masalah 2

Penyelesaian:

Bila disepakati :

Tanda positif (+) menunjukkan arah ke kanan atau ke depan dan tanda negatif (-) menunjukkan arah ke kiri atau ke belakang. Sehingga diperoleh :

No Deskripsi Notasi Matematika Banyaknya Langkah perintah 1 2 langkah ke depan +2 2 2 3 langkah ke belakang -3 3 3 2 langkah ke depan +2 2 4 1 langkah ke belakang -1 2 5 1 langkah ke belakang -1 1

Pergerakan lompatan Lina dari posisi awal bisa dinyatakan dengan :

2 + 3 + 2 + 1 + 1

Lina bermain lompat-lompatan di lapangan. Dari posisi diam, Lina melompat ke depan 2 langkah, kemudian 3 langkah ke belakang, dilanjutkan 2 langkah ke depan, kemudian 1 langkah ke belakang, dan akhirnya1 langkah lagi ke belakang. Bagaimana pergerakan langkah Lina dan berapa banyak lompatan

yang dilakukan Lina?

(22)

Untuk lebih memahami konsep nilai mutlak lengkapilah tabelberikut : Bilangan Non

Negatif

()

Nilai Mutlak =

||

Bilangan Negatif

(−)

Nilai Mutlak= |x|

0 0 -1 1 1 1 -2 2 4 4 -4 4 5 5 -5 5 6 6 -6 6 7 7 -7 7 8 8 -8 8 9 9 -9 9 10 10 -10 10 … … … …



−





-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

 = ||

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

 = ||

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Plotlah hasil dari tabel di atas pada koordinat kartesius!

(23)

Jika anggota himpunan bilangan real (ditulis

 ∈ 

) maka nilai mutlak dari

(24)

LEMBAR KERJA PESERTA DIDIK (LKPD)

Materi/Pokok Bahasan/SPB : Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak Linear Satu

Variabel/Persamaan Nilai Mutlak Linier Satu Variabel

A. Identitas

Nama Peserta Didik : ... Nomor Absen : ... Kelas : ... B. Tujuan Pembelajaran

Melalui kegiatan pengamatan, tanya jawab, penugasan, diskusi, dan penemuan diharapkan peserta didik aktif, bekerja sama dalam kegiatan pembelajaran dan bertanggung jawab dalam menyelesaikan masalah serta dapat :

1) Mengidentifikasi persamaan dan pertidaksamaan nilai mutlak dari bentuk linear satu variabel

2) Menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan dengan persamaan dan pertidaksamaan nilai mutlak dari bentuk linear satu variabel secara aljabar atau

grafik C. Petunjuk

×

45 menit.

D. Uraian Materi Masalah 3

Perhatikan berikut!

Sungai pada keadaan tertentu mempunyai sifat cepat meluap di musim hujan dan cepat kering di musing kemarau. Diketahui debit air sungai ters ebut adalah



liter/detik pada cuaca normal dan mengalami perubahan debit sebesar



liter/detik di cuaca tidak normal. Tunjukkan nilai penurunan minimum dan peningkatan maksimum debit air tersebut.

Nilai mutlak peningkatan dan penurunan debit air tersebut dengan perubahan



liter/detik dapat ditunjukkan dengan persamaan

| − | = 

,



adalah debit air sungai

(25)

Penyelesaian:

Berdasarkan Definisi yang telah dipelajari di Lembar Kerja Peserta Didik mengenai Konsep Nilai Mutlak maka

| − | = {  −  jika  ≥ 

_{− +  jika  < }

Akibatnya

| − | = 

berubah menjadi iii) Untuk

≥,−

atau

 =  + 

iv) Untuk

<,−+=

atau

 =  − 

Hal ini berarti penurunan minimum debit air adalah

( − )

Dengan pemahaman yang telah dimiliki, maka dapat digambarkan sebagai berikut

Dari ilustrasi di atas dapat dinyatakan penurunan minimum debit air adalah

(−)

liter/detik dan peningkatan maksimum debit air adalah

(+)

liter/detik

Hal tersebut merupakan masalah yang berkaitan dalam persamaan nilai mutl ak. Terdapat sifat persamaan nilai mutlak

Sifat

Untuk setiap

,,

dan



bilangan real dengan

 ≠ 0

1) Jika

|+| = 

dengan

 ≥ 0

, maka salah satu sifat berikut berlaku i)

|+| = 

, untuk

 ≥ −





ii)

−(+) = 

, untuk

<=−





2) Jika

|+| = 

dengan

 < 0

, maka tidak ada bilangan real



yang memenuhi persamaan

|+| = 

Ada tiga bentuk persamaan sebagai berikut.

| ()| = 

| ()| =()

dengan

() > 0

| ()| = |()|

(26)

Perhatikan contoh penyelesaian persamaan nilai mutlak linear satu variabel 1)

|| = 4

|| = { ,jika  ≥ 0

_{−,jika  < 0}

Jika

 ≥ 0 → || = 4

 = 4

Karena

4 ≥ 0

maka memenuhi Jika

 < 0 → || = 4

− = 4

=−4

Karena

−4<0

maka memenuhi

Jadi, nilai



=4,−4}

2)

|2−1| = 3

2−1=3 ∨ −(2−1) = 3

2−3=1 ∨ −2−3=−1

−=1 ∨ −5=−1

 = −1 ∨  = 15

Jadi, nilai



=−1,







Atau

|2−1| = 3

(2−1)



_{= (3)}



(2−1)



_{− (3)}



_{= 0}

(2−1−3)(2−1+3) = 0

(−−1)(5−1) = 0

 = −1 ∨  = 15

Jadi, nilai



=−1,







E. Latihan

1) Buatlah contoh persamaan nilai mutlak linear satu variabel dan bukan persamaan ! 2) Tentukan penyelesaian persamaan nilai mutlak dari

| + 5| = 1!

|2−4| = 3

| + 1| =  − 2

| − 2| =|2+5|

|| + | − 5| = 5

!

(27)

KUNCI JAWABAN LKPD PERSAMAAN NILAI MUTLAK

1) Buatlah contoh persamaan nilai mutlak linear satu variabel dan bukan persamaan ! Jawab : Contoh persamaan : •

| + 5| = 9

•

|5| = | + 6|

•

|| −5=|−2|

Bukan persamaan •

|5| = 9

•

| + 6| = | + 6|

•

|| −=|−2|

2) Tentukan penyelesaian persamaan nilai mutlak dari

| + 5| = 1!

Jawab :

| + 5| = {  + 5,jika  ≥ −5

_{−( + 5),jika  < −5}

Jika

 ≥ −5,maka ∶  + 5 = 1 sehingga  = −4

Jika

 < 5,maka ∶ −( + 5) = 1 sehingga  = −6

Atau

 + 5 = 1 sehingga  = −4

 + 5 = −1 sehingga  = −6

Jadi, nilai



=−4,−6}

|2−4| = 3

!

Jawab :

|2−4| = 3

2 − 4 = 3 ∨ −(2−4) = 3

2−3=4 ∨−2−3=−4

−=4 ∨−5=−4

 = −4 ∨  = 45

Jadi, nilai



=−4,







Atau

|2−4| = 3

(2−4)



_{= (3)}



(2−4)



_{− (3)}



_{= 0}

(2−4−3)(2−4+3) = 0

(−−4)(5−4) = 0

 = −4 ∨  = 45

Jadi, nilai



=−4,



(28)

| + 1| =  − 2

! Jawab :

| + 1| = {  + 1,jika  ≥ −1

_{− − 1,jika  < −1}

Jika

 ≥ − 1 → | + 1| =  − 2

 + 1 =  − 2

 −  = − 2 − 1

Karena

0=−3

maka tidak mempunyai penyelesaian Jika

 < − 1 → |  + 1 =  − 2

−  − 1 =  − 2

−−=−2+1

−2=−1

Karena

 =





maka tidak memenuhi

<−1

Jadi, nilai



}

| − 2| =|2+5|

! Jawab

| − 2| = |2+5| ↔ ( − 2)



_{= (2+5)}



( − 2)



_{− (2+5)}



_{= 0}

[( − 2) + (2+5)][( − 2) − (2+5)] = 0

(3+3)(−−7) = 0

 = −1 ∨ = 7

Jadi, nilai



=−2,7}

|| + | − 5| = 5

!

|| = { ,jika  ≥ 0

_{−,jika  < 0}

| − 5| = {  − 5,jika  ≥ 5

_{− + 5,jika  < 5}

Jika

 < 0 → || + | − 5| = 5

− + (−+5) = 5

−2+5=5

−2=0

Karena

 = 0

maka tidak memenuhi

 < 0

Jika

0 ≤  < 5 → || + | − 5| = 5

 + (−+5) = 5

 −  = 5 − 5

Karena

0 = 0

maka tidak mempunyai penyelesaian Jika

 ≥ 5 → || + | − 5| = 5

 + ( − 5) = 5

2=10

Karena

 = 5

, maka memenuhi

 ≥ 5

(29)

Jawab :

Misalkan catatan waktu siswa adalah



menit maka kita bisa memodelkan situasi nyata ini dengan persamaan nilai mutlak.

| − 9| = 1

Untuk menentukan waktu tercepat dan terlama kita tinggal menyelesaikan persamaan nilai mutlak tersebut.

| − 9| = {  − 9,jika  ≥ −9

_{−( − 9),jika  < 9}

•

jika  ≥ −9 maka  − 9 = 1

 = 1 + 9

=10

• j

ika  < 9 maka −( − 9) = 1

−  + 9 = 1

−  = 1 − 9

−=−1

 = 8

(30)

LEMBAR KERJA PESERTA DIDIK (LKPD)

Materi/Pokok Bahasan/SPB : Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak Linier Satu Variabel /

Pertidaksamaan Nilai Mutlak Linier Satu Variabel

A. Identitas

Nama Peserta Didik : ... Absen : ... Kelas : ... B. Tujuan Pembelajaran

Melalui kegiatan pengamatan, tanya jawab, diskusi kelompok, penugasan individu dan kelompok, serta penemuan, peserta didik diharapkan dapat terlibat aktif, bekerjasama dalam kegiatan pembelajaran dan bertanggung jawab menyelesaikan masalah serta dapat

1. Mengidentifikasi persamaan dan pertidaksamaan nilai mutlak dalam bentuk linier satu variabel

2. Menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan dengan persamaan dan pertidaksamaan nilai mutlak dari bentuk linear satu variabel dengan perhitungan

aljabar maupun dengan grafik .

C. Petunjuk

×

45 menit.

D. Uraian Materi

Dalam kehidupan sehari-hari, banyak kita jumpai kasus yang melibatkan pembatasan suatu hal. Seperti lowongan kerja mensyaratkan pelamar dengan batas usia tertentu, batas nilai cukup seorang pelajar agar dinyatakan lulus dari ujian, dan batas berat bersih

(31)

Contoh lain dari pertidaksamaan adalah uraian permasalahaan berikut. Masalah 4

Seorang bayi lahir prematur di sebuah Rumah Sakit Ibu dan Anak. Untuk mengatur suhu tubuh bayi tetap stabil di suhu 34°C, maka harus dimasukkan ke inkubator selama

2 hari. Suhu inkubator harus dipertahankan berkisar antara 32°C hingga 35°C. Bayi

tersebut lahir dengan BB seberat 2.100-2.500 gram. Jika pengaruh suhu ruangan membuat suhu inkubator menyimpang sebesar 0,2°C, tentukan interval perubahan suhu

inkubator.

Dari uraian permasalahan diatas dapat dikatakan, Pertidaksamaan nilai mutlak adalah pertidaksamaan yang memuat variabel yang berada didalam tanda mutlak.

Untuk setiap a_dan x_{bilangan real}

1. Jika

 ≥ 0

dan

|| ≤ 

, maka

−  ≤  ≤ 

2. Jika

 < 0

dan

|| ≤ 

, maka tidak ada bilangan real x_{yang memenuhi}

pertidaksamaan tersebut

3. Jika

||





dan

 > 0

maka

 ≥ 

atau





− 

Bentuk umum pertidaksamaan nilai mutlak dengan kedua ruas bernilai positif adalah

| ()| < |()|

.

Cara menyelesaian pertidaksamaan nilai mutlak linear satu variabel ada 2, yaitu: a Menggunakan Definisi Nilai Mutlak

b Mengkuadratkan Kedua Ruas Pertidaksamaan

Langkah mengkuadratkan kedua ruas pertidaksamaan hanya boleh dilakukan jika kedua ruas bernilai positif.

Perhatikan contoh penyelesaian pertidaksamaan nilai mutlak linear satu variabel 1) Tentukan penyelesaian pertidaksamaan

| − 2| ≤ 3

Jawab :

a. Dengan menggunakan definisi nilai mutlak

− 3 ≥  − 2 ≥ 3

− 3 + 2 ≥  − 2 + 2 ≥ 3 + 2

− 1 ≥  ≥ 5

 ≤ −1 atau  ≥ 5

(32)

b. Dengan mengkuadratkan kedua ruas

| − 2| ≥3→(−2)



_{≥ 3}



(−2−3)(−2+3)≥0

( − 5)( + 1)



0

Jadi, nilai





=

| ≤ −1 atau  ≥ 5, ∈ }

E. Latihan

1) Dengan menggunakan definisi nilai mutlak tentukan penyelesaian permasalahan berikut :

c) Tentukan penyelesaian pertidaksamaan

|5−8| ≤ 1

d) Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan

|3−2| ≥ |2+7|

2) Dengan mengkudratkan kedua ruas tentukan penyelesaianpertidaksamaan

| + 3| ≤ |2−3|

4) Jarak terpendek yang diperlukan untuk menghentikan suatu mobil sejak pengereman dilakukan disebut jarak henti. Jarak henti ini merupakan faktor penting

yang perlu diuji sebelum peluncuran produk mobil baru. Data mengenai jarak henti dapat digunakan untuk menghitung waktu reaksi pengemudi (selang waktu mulai pengemudi melihat kejadian sampai dia bereaksi menginjak pada rem) berdasarkan

tingkat kelajuan mobil (dalam meter/jam). Suatu penelitian menyatakan bahwa jarak henti dapat dinyatakan dengan formula : d = |0,44v2 + 1,1v|, dimana v adalah kelajuan dan d dalam meter. Pada batas kelajuan berapakah jarak henti mobil lebih dari 200 meter?

3+4≤12,,∈

(33)

KUNCI JAWABAN LKPD PERTIDAKSAMAAN NILAI MUTLAK

1) Ingat Definisi nilai mutlak

Jika

| ()|





maka

()



− 

atau

()





Dari definisi dapat diperoleh hubungan sebagai berikut

|+|



 ↔  + 



−  atau  + 





a) Tentukan penyelesaian pertidaksamaan

|5−8| ≤ 1

Jawab : ↔

−1≤5−8≤1

↔

− 1 + 8 ≤ 5  − 8 + 8 ≤ 1 + 8

↔





≤





≤





↔





≤  ≤





↔









atau









Jadi, nilai



yang memenuhi adalah HP ₌

≤





atau  ≥





, ∈ 

b) Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan

|3−2| ≥ |2+7|

Jawab :

|3−2|



|2+7|

↔

3 − 2



− (2+7)

atau

3−2 ≥ (2+7)

↔

5



− 5

atau





9

↔





− 1

atau





9

Jadi, nilai



| ≤ −1 atau  ≥ 9, ∈ }

2) Dengan mengkuadratkan kedua ruas

Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan

| + 3| ≤ |2−3|

Jawab :

| + 3| ≤ |2−3|

→(+3)



_{≤ (2−3)}



(+3)



_{− (2−3)}



_{≤ 0}

(



_{+6+9) − (4}



_{−12+9) ≤ 0}

(−3



_{+18) ≤ 0}

3(−+6) ≤ 0

 ≤ 0

atau

 ≥ 6

(34)

Jadi, nilai



| ≤ 0   ≥ 6, ∈ }

Jawab :

Misalkan tegangan nyata di rumah-rumah sebagia variabel x volt maka kita bisa memodelkan tegangan nyata di rumah-rumah ini dengan pertidaksamaan nilai mutlak.

|−220| ≤ 11

Untuk menentukan kisaran tegangan nyata yang masih dalam batas toleransi PLN kita tinggal menyelesaikan model matematika pertidaksamaan nilai mutlak.

|−220| = {  − 220,jika  ≥ 220

_{−(−220),jika  < −220}

•

jika  ≥ 11 maka

−220≤11

≤11+230

≤231

•

jika  < −11

maka

−(−220) ≤ 11

−+220≤11

−≤11−220

209≤≤231

≥209

Artinya, tegangan nyata di rumah-rumah yang masih toleransi oleh PLN terletak antara 209 volt sampai 231 volt.

4) Oleh karena kelajuan selalu bernilai positif, maka |0,44 v2 + 1,1v| = 0,44 v2 + 1,1v. Selanjutnya, agar jarak henti mobil lebih dari 200 meter, maka diharuslah lebih besar dari dua ratus.

Jawab :

|0,44v



_{+ 1,1v| >200}

↔

|0,44v



+ 1,1v| >200

↔

0,44v



+ 1,1v − 200 > 0

↔

22v



+ 5,5v−10000 >0

 = 22,  = 55  = −10000

(35)

 = −± √

_2



−4

 = −55± √ 3025+880000

₄₄

 = −55± √ 883025

₄₄

 = −55 ± 939,7

₄₄





≈ −55 + 939,7

₄₄

≈20,1 /





≈ −55 − 939,7

₄₄

≈ −22,6 /

Jadi, batas kelajuannya jarak henti mobil lebih dari 100 meter adalah -22,6 < v < 20,1 meter/jam.

3+4≤12,,∈



! Jawab:

3+4≤12

, ganti tanda ketidaksamaan sehingga diperoleh garis

3+4=12

• Titik potong dengan sumbu

,=0

3+4(0) = 1 2 ↔ 3  = 1 2 ↔  = 4

• Titik potong dengan sumbu

,=0

3(0)+4=12↔4=12↔=3

• Titik potong dengan sumbu koordinat di (4, 0) dan (0, 3). Diperoleh grafik

3+4=12

.

Ambil titik uji (0,0) untuk mendapat daerah penyelesaian dari pertidaksamaan

3+4≤12

, diperoleh

3(0)+4(0) ≤ 12

0

≤ 12

(Benar)

Dengan demikian, titik (0, 0) memenuhi pertidaksamaan

3+4≤12

Himpunan penyelesaian pertidaksamaan adalah daerah di bawah garis batas (yang diarsir)