A2-1
Kontrol Tracking Fuzzy Menggunakan Sistem Servo
Tipe Integral Pada Inverted Pendulum
Trihastuti Agustinah, Bahruddin, Achmad Jazidie
Jurusan Teknik Elektro – FTI Institut Teknologi Sepuluh Nopember
Kampus ITS Keputih Sukolilo, Surabaya 60111
ABSTRAK Masalah tracking sinyal referensi oleh kereta yang bergerak pada trek horisontal dan penyeimbangan batang pendulum terbalik (inverted pendulum) merupakan persoalan klasik dalam bidang kontrol. Dalam penelitian ini, teknik kontrol tracking fuzzy digunakan untuk memeroleh solusi dari persoalan tersebut. Teknik kontrol fuzzy berbasis model fuzzy Takagi-Sugeno digunakan untuk menangkap prilaku nonlinear plant pendulum. Sistem servo tipe integral berbasis observer diimplementasikan agar kereta dapat mengikuti sinyal referensi yang diberikan dan pendulum dapat mempertahankan posisi tegak, sedangkan observer digunakan karena terdapat state sistem pendulum yang tidak terukur. Hasil simulasi menunjukkan bahwa kereta dapat mengikuti sinyal referensi yang diberikan dan pendulum dapat dipertahankan dalam posisi tegak.
Kata Kunci : Kontrol tracking fuzzy, sistem servo tipe integral, inverted pendulum.
1. PENDAHULUAN
Masalah yang utama dalam teknik kontrol sistem nonlinear adalah mengontrol sistem atau plant agar memberikan output yang dapat mengikuti sinyal referensi (masalah tracking). Dalam teori kontrol linear multivariabel telah banyak dilakukan studi tentang pemecahan masalah tersebut yang disebut dengan sistem servo [1]. Beberapa metode telah dikembangkan untuk mendapatkan solusi dari masalah tracking tersebut [2-5]. Robust fuzzy model
following observer sebagai salah satu metode
penyelesaian permasalahan tracking seperti yang telah diajukan oleh Uang dan Huang memberikan alternatif yang cukup baik [2]. Namun dalam aplikasinya metode ini memerlukan beberapa persyaratan yang semuanya harus terpenuhi. Dalam kaitannya untuk menyelesaikan permasalahan yang serupa tetapi tidak memenuhi semua syarat tersebut, maka metode ini tidak bisa diaplikasikan.
Untuk mengatasi permasalahan kontrol tracking pada inverted pendulum, pada makalah ini digunakan metode sistem kontrol tracking menggunakan sistem servo tipe integral dan model fuzzy Takagi-Sugeno (T-S). Sistem servo tipe integral diharapkan dapat memberikan sinyal kontrol yang tepat untuk mengatur posisi gerakan motor sesuai dengan input referensi dan sekaligus mempertahankan inverted pendulum pada posisi tegak.
Teknik kontrol fuzzy mampu menangkap prilaku plant (sistem) nonlinear melalui interpolasi model linear berganda. Interpolasi ini merepresentasikan adanya kebergantungan linear dari setiap aturan untuk setiap variabel inputnya, sehingga stabilitas global dari sistem dapat dicapai [6]. Model linear, yang merupakan hasil linearisasi dari plant nonlinear pada titik operasi nominal, digunakan untuk menyusun implikasi fuzzy dalam model fuzzy Takagi-Sugeno, di mana setiap implikasi menggambarkan dinamika lokal dalam ruang state
yang berbeda-beda. Keseluruhan model sistem dan dinamika sistem dicapai melalui pencampuran (blending) fuzzy dari implikasi dalam model fuzzy sistem tersebut. Sedangkan aturan kontroler didesain dengan menggunakan skema PDC, yaitu tiap aturan kontroler akan mengkompensasi aturan plant yang bersesuaian [6].
Selanjutnya makalah ini disusun dengan sistematika sebagai berikut: seksi 2 membahas tentang sintesa sistem kontrol tracking fuzzy menggunakan sistem servo tipe integral pemodelan fuzzy Takagi-Sugeno. Aplikasi desain sistem kontrol fuzzy dan simulasi kontroler tracking fuzzy untuk inverted pendulum terdapat pada seksi 3, dan seksi 4 terakhir memuat kesimpulan.
2. KONTROL TRACKING FUZZY
Dalam makalah ini sistem kontrol tracking fuzzy dibangun berdasarkan sintesa dari struktur kontrol tracking sistem servo tipe integral berbasis observer dan model fuzzy Takagi-Sugeno (T-S). Observer digunakan untuk mengestimasi state sistem yang tidak terukur sehingga aturan kontrol state feedback dapat digunakan.
Model fuzzy T-S yang digunakan untuk merepresentasikan dinamika plant nonlinear sebagai berikut:
Aturan plant ke-i:
IF z1(t) adalah Fi1 dan ... dan zg(t) adalah Fig THEN
x
&
(
t
)
=
A
ix
(
t
)
+
B
iu
(
t
)
;)
(
)
(
t
C
x
t
y
=
ii
=
1
,
2
,
L
,
r
(1)dengan state
x
(
t
)
∈
R
n, input kontrolu
(
t
)
∈
R
m, dan output terukury
(
t
)
∈
R
q,A
i∈
R
n×n,m n i
R
B
∈
× , danC
i∈
R
q×n. Fij adalah himpunanfuzzy dan r adalah jumlah aturan,
z
1(
t
),
L
,
z
g(
t
)
A2-2
Output dari sistem fuzzy (1) adalah sebagaiberikut:
∑
∑
= = + = r i i r i i i i t z t u B t x A t z t x 1 1 )) ( ( )] ( ) ( ))[ ( ( ) ( µ µ & =∑
= + r i i i i z t Ax t Bu t h 1 )] ( ) ( ))[ ( (∑
∑
= ==
r i i r i i it
z
t
x
C
t
z
t
y
1 1))
(
(
)]
(
))[
(
(
)
(
µ
µ
∑
==
r i i iz
t
C
x
t
h
1)]
(
))[
(
(
(2) dengan∏
==
g j j ij iz
t
F
z
t
1))
(
(
))
(
(
µ
dan∑
==
r i i i iz
t
z
t
z
t
h
1))
(
(
))
(
(
))
(
(
µ
µ
untukz
(
t
)
=
[
z
1(
t
),
L
,
z
g(
t
)]
. Sedangkan Fij(zj(t))merupakan tingkat keanggotaan dari zj(t) dalam Fij.
Asumsikan bahwa
0
))
(
(
z
t
≥
iµ
dan∑
=>
r i iz
t
10
))
(
(
µ
untuk semua t maka diperoleh [6]0
))
(
(
z
t
≥
h
i dan∑
==
r i iz
t
h
11
))
(
(
r
i
1
,
2
,
,
untuk
=
L
.Dalam struktur sistem servo tipe integral, persamaan sinyal input kontrol dan error masing-masing dinyatakan dalam Persamaan (3) dan (4) berikut ini [1].
ξ
Ik
Kx
u
=
−
−
(3)Cx
r
y
r
e
=
−
=
−
=
ξ
&
(4)Sistem linear lokal dalam Persamaan (1) dan digabungkan dengan model integrator (4) diperoleh sistem augmented berikut:
)
(
1
0
)
(
0
)
(
)
(
0
0
)
(
)
(
t
r
t
u
B
t
t
x
C
A
t
t
x
i i i
+
+
−
=
ξ
ξ
&
&
(5)State akhir dari sistem(2)yang dihubungkan secara sekuensial dengan model sinyal (4) diperoleh bentuk sistem berikut:
∑
=
−
=
r i i i it
t
x
C
A
t
z
h
t
t
x
1(
)
)
(
0
0
))
(
(
)
(
)
(
ξ
ξ
&
&
∑
∑
= =
+
+
r i i r i i iu
t
h
z
t
r
t
B
t
z
h
1 1)
(
1
0
))
(
(
)
(
0
))
(
(
(6)Kontroler fuzzy dibangun melalui konsep PDC, yaitu aturan kontroler berfungsi sebagai kompensasi aturan plant yang bersesuaian [6]. Untuk tiap model lokal (5), aturan kontrol state feedback dimodelkan dengan bentuk aturan berikut:
Aturan kontroler ke-i:
IF z1(t) adalah Fi1 dan ··· dan zg(t) adalah Fig
[
]
−
=
)
(
)
(
)
(
t
t
x
k
K
t
u
THEN
i Iiξ
;r
i
=
1
,
2
,
L
,
3. APLIKASI DESAIN PADA PLANT INVERTED PENDULUM
Persamaan state untuk inverted pendulum adalah sebagai berikut [7]:
3 1
x
x
&
=
;x
&
2=
x
4 2 2 4 2 2 2 2 2 2 4 3sin
)
sin
(
cos
sin
.
)
sin
(
x
l
J
x
f
x
g
x
l
x
l
J
x
x
T
F
a
x
c pµ
µ
µ
µ
+
−
+
+
−
−
=
&
2 2 4 2 2 2 2 2 4 2 4sin
sin
sin
.
)
sin
(
cos
x
l
J
x
f
x
g
x
l
J
x
x
T
F
x
l
x
c pµ
µ
µ
µ
+
−
+
+
−
−
=
&
(7)dengan x1 menotasikan posisi kereta (m), x2 adalah
posisi atau sudut batang pendulum (radian), x3
adalah kecepatan (m/s) dari kereta dan x4 adalah
kecepatan angular (rad/s) dari batang pendulum. Tc
adalah gaya gesekan gerakan kereta, g adalah konstanta gravitasi (m/s2), J sebagai moment inersia (kgm2) dan F adalah gaya (N) yang diberikan pada kereta. Sedangkan
a
=
l
2+
(
J
/
m
c+
m
p)
danl
m
m
c p)
(
+
=
µ
dengan mc adalah massa kereta(kg), mp adalah massa pendulum (kg), l adalah
panjang (m) dari tengah massa pendulum. Parameter yang digunakan untuk simulasi adalah mc
= 1.12 kg, mp = 0.15 kg, J = 0.0135735 kg.m
2
, g = 9.8 m/s2 danl = 0.0167903 m [7].
Untuk desain simulasi, linearisasi dilakukan pada dua daerah lokal yaitu titik operasi. Hasil linearisasi plant (7) untuk dua titik operasi x2 = 0
derajat dan 20 derajat (0.3491 radian) masing-masing adalah
−
−
=
0079
.
0
0
0329
.
15
0
0001
.
0
0
2524
.
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
1A
;
=
2370
.
1
8272
.
0
0
0
1B
A2-3
−
−
=
0079
.
0
0
9982
.
13
0
0001
.
0
0
1914
.
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
2A
;
=
1589
.
1
8247
.
0
0
0
2B
; dan
=
=
0
0
1
0
0
0
0
1
2 1C
C
.3.1 DESAIN MODEL FUZZY TAKAGI-SUGENO
Model fuzzy Takagi-Sugeno (T-S) digunakan untuk merepresentasikan plant inverted pendulum. Minimisasi usaha dan kompleksitas desain, banyaknya aturan yang digunakan dalam model fuzzy T-S adalah sebanyak dua aturan, yaitu:
Aturan Plant 1:
radian)
0
(sekitar
adalah
)
(
1 2t
F
x
IF
)
(
)
(
)
(
t
A
1x
t
B
1u
t
x
THEN
&
=
+
;)
(
)
(
1 1t
C
x
t
y
=
Aturan Plant 2:radian)
3491
.
0
(sekitar
adalah
)
(
2 2t
F
±
x
IF
)
(
)
(
)
(
t
A
2x
t
B
2u
t
x
THEN
&
=
+
;)
(
)
(
2 2t
C
x
t
y
=
(9)dengan A1, B1, dan A2, B2 merupakan matriks hasil
linearisasi plant. Sedangkan himpunan fuzzy yang digunakan untuk aturan plant 1 dan 2 adalah
+
−
=
−100[ ()− /12] 2 1 20
.
1
0
.
1
0
.
1
))
(
(
x t πe
t
x
F
] 12 / ) ( [ 100 20
.
1
0
.
1
π + −+
⋅
x te
)).
(
(
0
.
1
))
(
(
2 1 2 2x
t
F
x
t
F
=
−
(10)Observer fuzzy, yang digunakan untuk mendapatkan state estimasi, mengikuti konsep PDC yaitu untuk state terukur (x2) berada pada aturan
plant ke-i akan dikompensasi oleh aturan observer yang bersesuaian. Jadi, aturan observer sebagai berikut: Aturan Observer 1: 1 2
(
t
)
adalah
F
x
IF
THEN)]
(
ˆ
)
(
[
)
(
)
(
ˆ
)
(
ˆ
t
A
1x
t
B
1u
t
L
1y
t
y
t
x
&
=
+
+
−
;)
(
ˆ
)
(
ˆ
t
C
1x
t
y
=
Aturan Observer 2: 2 2(
t
)
adalah
F
x
IF
THEN)]
(
ˆ
)
(
[
)
(
)
(
ˆ
)
(
ˆ
t
A
2x
t
B
2u
t
L
2y
t
y
t
x
&
=
+
+
−
;)
(
ˆ
)
(
ˆ
t
C
2x
t
y
=
(11)dengan Li adalah gain observer.
3.2 DESAIN SISTEM KONTROL
Tujuan desain sistem kontrol tracking fuzzy adalah membuat output sistem (kereta) dapat mengikuti sinyal referensi yang diberikan dan sekaligus dapat mempertahankan batang pendulum dalam posisi tegak.Untuk mencapai tujuan tersebut, nilai eigenvalue (pole) yang digunakan untuk memperoleh gain kontrol dan integrator adalah [-4.0 -3.3 -3.2 -3.1 -3.0].
Matriks gain kontrol K dan integrator kI dapat
diperoleh melalui Persamaan (12) berikut:
[
i Ii]
i i ik
K
B
C
A
−
−
0
0
0
(12)Gain kontrol dan integrator tersebut diperoleh dengan menggunakan metode pole placement. Dengan bantuan program Matlab, gain kontrol dan integrator adalah
[
49
.
3197
134
.
1526
32
.
1738
34
.
9290
]
1=
−
−
K
;k
I1=
[
−
32
.
4052
]
[
50
.
1587
136
.
6586
32
.
7578
35
.
8750
]
2=
−
−
K
;k
I2=
[
−
32
.
9562
]
Pole-pole yang digunakan untuk memeroleh gain observer untuk tiap model hasil linearisasi, yaitu
27.06i
27.48
±
−
dan−
18.88
±
1.93i
. Dengan bantuan program MATLAB, gain observer untuk masing-masing model hasil linearisasi diperoleh
=
508.524
523.681
-304.993
762.637
44.314
28.031
-18.619
48.422
1L
;
=
509.335
497.798
-325.842
754.712
44.389
26.653
-19.799
48.347
2L
Berdasarkan nilai gain kontrol dan integral dan state estimasi dari observer, maka aturan kontroler menggunakan hukum state feedback sebagai berikut: Aturan Kontroler 1: 1 2
(
t
)
adalah
F
x
IF
[
][
ˆ
(
)
(
)
]
)
(
u
t
K
1k
I1x
t
t
TTHEN
=
−
ξ
Aturan Kontroler 2: 2 2(
t
)
adalah
F
x
IF
[
][
]
T Ix
t
t
k
K
t
u
THEN
(
)
=
−
2 2ˆ
(
)
ξ
(
)
. Jadi, sinyal kontrol akhir sebagai output dari kontroler fuzzy adalah[
]
[
]
−
−
=
)
(
)
(
ˆ
)
(
)
(
ˆ
)
(
1 1 1 2 2 2t
t
x
K
K
h
t
t
x
K
K
h
t
u
I Iξ
ξ
dengan h1 dan h2 merupakan nilai keanggotaan
A2-4
3.3 SIMULASI SISTEM HASIL DESAINSimulasi sistem kontrol tracking fuzzy dilakukan dengan membandingkan respon sistem dengan sistem kontrol berbasis optimal (Linear Quadratic
Tracking - LQT). Parameter LQT yang digunakan
dalam simulasi adalah Q = 50 dan r = 1. Simulasi pertama dilakukan dengan memberikan sinyal referensi pulsa dengan amplitudo ± 0.1 m dan kondisi awal
x
=
[
0
,
0
.
3
rad,
0
,
0
].
Hasil simulasi terdapat pada Gambar 1. Tampak bahwa sistem kontrol tracking fuzzy mampu menggerakkan kereta (x1) untuk mengikuti sinyal referensi denganspesifikasi respon yang lebih baik dibandingkan dengan respon dari sistem kontrol traking LQT. Sedangkan untuk respon posisi pendulum (x2),
respon sistem kontrol fuzzy juga relatif lebih baik dibandingkan dengan respon sistem kontrol LQT.
Gambar 2 merupakan respon sistem kontrol tracking fuzzy dan LQT untuk sinyal referensi sinus, yaitu 0.1 sin (0.1πt). Dari Gambar 2 ini tampak bahwa sistem kontrol fuzzy memiliki respon lebih baik daripada respon LQT, yaitu overshoot yang lebih kecil dan waktu mengikuti sinyal referensi lebih cepat. Untuk respon posisi pendulum (x2), respon
sistem kontrol tracking fuzzy memiliki spesifikasi respon (yaitu, overshoot dan settling time) lebih baik dibandingkan respon LQT. Selain itu, sistem kontrol fuzzy dan LQT memiliki keterlambatan waktu untuk mengikuti sinyal referensi sinus yang diberikan.
0 5 10 15 20 25 30 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 t(s) x 1 (m ) Reference LQT Fuzzy control 0 5 10 15 20 25 30 -10 -5 0 5 10 15 20 t(s) x 2 (d e g ) LQT Fuzzy control
Gambar 1. Respon posisi kereta (x1) dan pendulum (x2) untuk sinyal referensi pulsa.
0 5 10 15 20 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 t(s) x 1 (m ) Reference LQT Fuzzy control 0 5 10 15 20 -5 0 5 10 15 20 t(s) x 2 (d e g ) LQT Fuzzy control
Gambar 2. Respon posisi kereta (x1) dan pendulum (x2) untuk sinyal referensi sinus.
4. KESIMPULAN
Beberapa kesimpulan yang dapat diambil dari hasil simulasi sistem kontrol tracking fuzzy menggunakan sistem servo tipe integral berbasis observer untuk inverted pendulum adalah
(i) Sistem kontrol tracking fuzzy dapat mengikuti sinyal referensi dalam waktu yang cepat dan mampu menstabilkan pendulum pada posisi tegak.
(ii) Respon sistem kontrol tracking fuzzy memiliki spesifikasi respon lebih baik dibandingkan dengan respon sistem kontrol optimal (LQT).
DAFTAR PUSTAKA
[1] Katsuhiko Ogata (1997), “Modern control
engineering 3rd ed.,” Prentice-Hall Inc., New Jersey.
[2] Huey-Jian Uang and G.S Huang (2004), “A robust fuzzy model following observer-based control design for nonlinear system,” Proc. of the
IEEE International Conference on Control Applications, Taiwan, pp. 171-176.
[3] Chung-Shi Tseng, Bor-Sen Chen, Huey-Jian Uang (2001), “Fuzzy tracking control design for nonlinear dynamic systems via T-S fuzzy model,” IEEE Trans. on Fuzzy System, vol. 9, no. 3, pp. 381-392 .
[4] Xio-Jun Ma and Zeng-Qi Sun (2000), “Output tracking and regulation of nonlinear system based-on Takagi-Sugeno fuzzy model,” IEEE
A2-5
Trans. on Systems, Man, and Cybernetics, vol.
30, no. 1, pp. 47-59.
[5] Tanadari Taniguchi, Kazuo Tanaka, Kazuo Yamafuji, Hua O. Wang (1999), “Nonlinear model following control via Takagi-Sugeno fuzzy model,” Proc. of the American Control Conference, San Diego, California, pp.
1837-1841.
[6] Hua O. Wang, Kazuo Tanaka, and Michael F. Griffin (1996), “An approach to fuzzy control of nonlinear systems: stability and design issues,”
IEEE Trans. on Fuzzy Systems, vol.4, no.1, pp.
14-23.
[7] Feedback Instruments Ltd. (2004), “Control in a
MATLAB environment: MATLAB 6.5 version,”
