Modul Siap UN Matematika SMA Program MIPA

BAB 6

SUKUBANYAK (POLINOMIAL)

A. Bentuk Umum Sukubanyak (Polinomial) z

n = pangkat tertinggi (derajat sukubanyak) a = koefisien n

B. Operasi Hitung Sukubanyak 1. Penjumlahan

d 2. Pengurangan

d

3. Perkalian

d

C. Nilai Sukubanyak 1. Cara substitusi

Contoh:

2. Cara skematik (Horner) Jika ( ) 3 2 2 1 Diambil koefisien dari setiap suku

D. Hasil Bagi dan Sisa Pembagian Sukubanyak

) ( ) ( ). ( )

(x P x H x S x

f  

) (x

f = sukubanyak yang dibagi )

(x

P = sukubanyak pembagi )

(x

H = hasil bagi sukubanyak S (x) = sisa pembagian

E. Penentuan Hasil Bagi dan Sisa Pembagian Sukubanyak 1. Cara pembagian bersusun (porogapit)

Contoh:

Jika ( )_ 3 _2 2 _3 _1 x x x x

f dibagi x2, tentukanlah hasil bagi dan sisanya! Jawab:

11 4

2 _{ }

x x

x – 2 3_2 2 _3 _1 x x x

2 3

2x x 

x x

x x

8 4

1 3 4

2 2

  

22 11

1 11

 

x x

21 2. Cara Skematik (Horner)

Contoh:

Jika ( ) 3 2 2 3 1 x x x x

f dibagi x2, tentukanlah hasil bagi dan sisanya! Jawab:

Pembagi = 0 x – 2 = 0 x = 2

1 3 2 )

(  3  2  

x x x x f

Diambil koefisien dari setiap suku 1 2 3 –1

2 2 8 22

1 4 11 21

sisa koefisien hasil bagi

Jadi, hasil baginya : x2 4x11 dan sisa: 21

F. Penentuan Hasil Bagi dan Sisa Pembagian Sukubanyak dengan Fungsi Linier Bentuk ax + b Contoh:

Jika ( )2 3 2 2 1 x x x x

f dibagi 2x3, tentukanlah hasil bagi dan sisanya! Jawab: Pembagi = 0

2x – 3 = 0 2x = 3

x =

2 3

1 2 2

)

( _ 3 _ 2 _{ }

x x x x f

Diambil koefisien dari setiap suku

2 1 2 –1

2 3

3 6 12

2 4 8 11

sisa –

–

–

hasil bagi

sisa

+ x

+

x

–

Jadi, hasil baginya : 2 4

2 8 4

2 2   _ 2 _{ }

x x x

x

sisa : 11

G. Penentuan Hasil Bagi dan Sisa Pembagian Sukubanyak dengan Fungsi Kuadrat Bentuk ax2 + bx +c

Contoh:

Jika ( )2 5 33 1 x x x x

f dibagi _x2_x2_{, tentukanlah hasil bagi dan sisanya!} Jawab:

Pembagi = 0 0 2

2 _{x }

x

0 ) 1 )( 2

(x x 

1

2  

 x

x

Pembagi 1

1 3 2

)

(  5 3 

x x x x

f

1 3 0 0

2 )

(  5 4 3 2 

x x x x x x

f

Diambil koefisien dari setiap suku

–2 0 –1 0 3 1

2 –4 –8 –18 –36 –66

–2 –4 –9 –18 –33 –65

Sisa 1 –1 2 2 7 11

–2 –2 –7 –11 –22

Koefisien hasil bagi Sisa 2 Jadi hasil baginya : 2x3 2x27x11

sisa : (Pembagi 1 x Sisa 2) + Sisa 1 : ((x2)(22))(65)

: 22x4465

: 22x21

H. Teorema Sisa

1. Jika sukubanyak f(x) dibagi (x – k) maka sisanya f(k)

2. Jika sukubanyak f(x) dibagi (ax – b) maka sisanya 

    

a b f

3. Jika sukubanyak f(x) dibagi (x – a) (x – b) maka sisanya:

b a

a x b f b x a f S



 



 ( )( ) ( )( )

Contoh:

Sukubanyak f(x) dibagi x3 sisa 13, sedangkan f(x) dibagi x5 sisa –3. Tentukanlah

sisa pembagian f(x) oleh 2_2 _15 x

x !

Jawab:

0 15 2

2_{  }

x x

0 ) 5 )( 3

(x x 

Sehingga:

b ax x

S( )  )

3 (

S = 3a + b = 13 )

5 (

S = –5a + b = –3 8a = 16

a

+ x

=

+

x =

2

8 16

 

a a

7 6 13

13 6

13 )

2 ( 3

13 3

  

 

 

 

b b

b b b a

Jadi, sisa = S(x)axb = 2x7

I. Teorema Faktor

Jika f(x) suatu sukubanyak, maka f(k) = 0, jika dan hanya jika (x – k) merupakan faktor dari f(x). Contoh:

Tentukan faktor dari sukubanyak f(x) = x3 – 7x + 6 ! Jawab:

konstantanya 6, berarti faktor-faktornya ±1, ±2, ±3, dan ±6

Coba kita selidiki dengan (x – 1) pada f(x) = x3 – 7x + 6 → f(x) = x3 + 0x2 – 7x + 6 Diambil koefisien dari setiap suku

1 0 -7 6

1 1 1 -6

1 1 -6 0

sisa

sisanya 0, berarti (x – 1) adalah salah satu akar-akar penyelesaiannya sehingga

f(x) = x3 – 7x + 6

= (x – 1) (x2 + x – 6) = (x – 1) (x – 2) (x + 3)

J. Operasi Akar-akar Penyelesaian Sukubanyak 1. Sukubanyak berderajat 3 (ax3 + bx2 + cx + d = 0)

a b x x

x₁  ₂  ₃ 

a c x x x x x

x₁. ₂  ₂. ₃ _{1 3} 

a d x x

x₁. ₂. ₃ 

2. Sukubanyak berderajat 4 (ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0)

a b x x x

x₁  ₂  ₃  ₄ 

a c x x x x x x x x x x x

x₁. ₂  ₁. ₃  _{1 4}  ₂. ₃ ₂. ₄  ₃. ₄ 

a d x

x x x x x x x

x₁. ₂. ₃  ₁. ₂. ₄  ₂. ₃. ₄ 

a e x x x

x₁. ₂. ₃. ₄ 

Pembahasan Soal-soal UN:

1. Sukubanyak 2x35x2axb dibagi x1 sisa 1, sedangkan dibagi x2 sisa 43. Nilai dari ab

adalah .... Pembahasan:

b ax x

x35 2 

2 dibagi x1 sisa 1 → S(1)2(1)35(1)2a(1)b1→ 25ab1

b ax x

x35 2 

2 dibagi x2 sisa 43→S(2)2(2)35(2)2a(2)b43→ 16202ab43

+ x

Dari persamaan di atas:

Pembahasan:

2

Dari persamaan di atas:

0 Pembahasan:

Dari (1) dan (2)

b

a 10

30 

 = 10| x 1 → 30a10b10 b

a 2

2 

 = 6 | x 5 → 10a10b30

40a = 40

40 40

  

a

1



a

Maka:

6 2

2  

 a b

6 2 ) 1 (

2  

 b

6 2

2 

 b

2 6

2  

 b 4 2 

 b 2



b

Jadi, f(x) = ( 2  2)(  )(2 3) x b ax x

x ) (x

f = ( 2  2)((1) (2))(2 3) x x

x x ) (x

f = ( 2  2)( 2)(2 3) x x

x x ) (x

f = ( 3 2 2 2 22 4)(2 3) x x

x x x x ) (x

f = _x3_x22_x1

LATIHAN SOAL UN:

1. Sukubanyak f(x) dibagi x2 sisa 1, sedangkan dibagi x3 sisa –8. Dan sukubanyak g(x) dibagi

2



x sisa 9, sedangkan dibagi x3 sisa 2. Jika h(x) f(x).g(x), maka sisa pembagian h(x) dibagi 6

2_{ }

x

x adalah .... A. 7x1

B. 6x1

C. 5x1 kunci D. 4x1

E. 3x1

2. Salah satu faktor dari persamaan suku banyak 2 3_5 2 _{ }3_0 px

x

x adalah (x1). Faktor lain dari persamaan suku banyak tersebut adalah ....

A. (x2) B. (x2) C. (x3) D. (2x1) E. (2x1)