Risanteki sentaku : kakei rodo kyokyu no moderu to keisoku

Title Sub Title Author Publisher Publication year Jtitle Abstract. Notes Genre URL. Powered by TCPDF (www.tcpdf.org). 離散的選択 : 家計労働供給のモデルと計測 松野, 一彦(Matsuno, Kazuhiko) Keio Economic Observatory (Sangyo Kenkyujo), Keio University 1992 Keio Economic Observatory occasional paper. J No.24 (1992. 5) 離散的選択の観点から家計の非核世帯員についての労働供給モデルを構成し、その測定を行う。 新古典派的な労働供給モデルに代えて、離散的労働供給モデルの一般型式を提示する。この型式 の内で一変量離散的選択と呼べるモデルを詳しく展開する。一変量モデルの応用例として、複数 非核世帯員の雇用就業行動を叙述するいくつかのモデルを導く。そして、各モデルの説明力を確 かめるための測定を行う。更に、測定に伴う統計学的問題を検討する。従来の家計労働供給分析 では対象となる労働供給者は1名であった。この1名が雇用機会に就くか就かないかのモデルが展 開されてきた、Obi(1968)、小尾(1969)を参照。あるいは、この1名の供給者が労働時間の異なるい くつかの雇用機会の内どれに就業するかのモデルが展開されてきた、樋口(1981)、Matsuno(1988) を参照。これらの分析の延長として、本稿では特に家計内に複数名の労働供給者がいる場合を扱 う。例えば、家計の非核世帯員である妻の他に就業可能な子女が1名、あるいは2名いる場合を考 える。従来の分析結果を援用すれば、世帯主所得が上昇すれば非核世帯員の労働供給は減少する と考えられる。しかし、複数名の非核世帯員がいる場合には労働供給の構造はより複雑になる。 複数名の非核世帯員の内で、何名が、あるいは誰が就業するのかが問題になる。展開される数種 類のモデルは複数名の非核世帯員の雇用就業行動を分析するためのものである。このための離散 的労働供給モデルの一般型は第2節で示される。この一般型の一例である一変量離散的選択のモデ ルは第3節で細かく展開される。この結果を用いて、非核世帯員が1 、2あるいは3名いる場合の雇用就業行動モデルが導かれ、その説明力のテストがなされる(第4 、5 、6節)。測定に利用できるデータは1時点の横断面資料であり、したがって測定されるパラメタは モデルの誘導形パラメタである。そのため、厳密なモデルのテストまでは行われず、検証基準は 主として横断面資料に対する適合度となる。むしろ、導かれたモデルを用いて観察結果の整理を し、複数非核世帯員の場合の就業率曲線を得るというのが実証分析の目標である。モデルに登場 する確率的パラメタの分布を測定によって決定する。いくつかの代替的特定化をこころみてその 妥当性を比較する。これは正規分布の特定化と対数正規分布の特定化の比較であり、効用関数の 中のどのパラメタを確率的パラメタとするのかの比較である。種々の特定化におけるモデルの識 別問題が検討され、推定に用いられる尤度関数の性質が検討される。 Technical Report http://koara.lib.keio.ac.jp/xoonips/modules/xoonips/detail.php?koara_id=AN10182218-00000024 -0001.



離散的選択:家. 計労働供給のモデル と計測*). 1992年5月. 松野一彦 中央大学. *)こ. の 論 文 はKEO観 音 崎 シンポジ ウムに 提 出 さ れ た論 文 の 一 部 を 改 訂 し た も の で あ. る 。 シ ン ポ ジ ウ ム で は 種 々 の コ メ ン トを 頂 き 、 そ の 際 の 出 席 者 に 感 謝 す る 。 本 稿 は プ レ リ ミ ナ リー な もの で あ り 、 こ こ に 含 ま れ る 不 備 な 点 や 論 旨 に か か わ る コ メ ン トを 歓 迎 す る 。.

離散的選択:家. 計労働供給 のモデル と計測. 松 野 一彦. 1.. 序. 離散的選択の観点か ら家計の非核世帯員にっいての労働供給 モデルを構成 し、 その測定を行 う。新古典派的な労働供給モデル に代えて、離散的労働供給モ デル の一般型式 を提示する。 この型 式の内で一変量離散的選択 と呼べ るモデルを詳 し く展開する。一変量モ デルの応用例 として、複数非核世帯員の雇 用就業行動 を叙 述 するいくっかのモデ ルを導 く。そして、各モデルの説 明力を確 かめ るため の測 定 を行 う。更 に、測定 に伴 う統計学的問題を検討する。 従来の家計労働供給 分析では対象 となる労働供給者 は1名 で あった。この1名 が 雇 用 機 会 に 就 くか 就 か な い か の モ デ ル が 展 開 さ れ て き た 、Obi(1968)、 69)を. 参 照 。 あ る い は 、 こ の1名. 小 尾(19. の 供 給 者 が 労 働 時 間 の 異 な る い くっ か の 雇 用 機. 会 の 内 ど れ に 就 業 す る か の モ デ ル が 展 開 さ れ て き た 、 樋 口(1981)、 麓atsuno『(1988) を 参照. 。. こ れ らの 分 析 の 延 長 と し て 、本 稿 で は 特 に 家 計 内 に 複 数 名 の 労 働 供 給 者 が い る 場 合 を 扱 う 。 例 え ば 、 家 計 の 非 核 世 帯 員 で あ る 妻 の 他 に 就 業 可 能 な 子 女 が1名 あ る い は2名. 、 い る場 合 を考 え る。従 来 の 分析 結果 を援 用 す れ ば 、 世帯 主 所 得 が 上. 昇 す れ ば 非 核 世 帯 員 の 労 働 供 給 は 減 少 す る と 考 え ら れ る 。 しか し 、 複 数 名 の 非 核 世 帯 員 が い る 場 合 に は 労 働 供 給 の 構 造 は よ り複 雑 に な る 。 複 数 名 の 非 核 世 帯 員 の 内 で 、 何名 が 、あ るい は誰 が 就業 す るの かが 問題 にな る 。. 展開 される数種類の モデルは複数名 の非核世帯員の雇用就業行動を分析 するた め の も の で あ る 。 この た め の 離 散 的 労 働 供 給 モ デ ル の 一 般 型 は 第2節 る 。 こ の 一 般 型 の 一 例 で あ る 一 変 量 離 散 的 選 択 の モ デ ル は 第3節 れ る 。 こ の 結 果 を 用 い て 、 非 核 世 帯 員 が1 、2あ. る い は3名. 行 動 モ デ ル が 導 か れ 、 そ の 説 明 力 の テ ス トが な さ れ る(第4. 一1一. で 示 され. で 細 か く展 開 さ. い る場 合 の 雇用 就業 、5、6節)。.

測定 に利用 で きるデ ータは1時 点の横断面資料であ り、 したが って測定 され る パ ラメタはモデルの誘 導形パラメタである。そのため、厳密なモデルのテス トま で は行われず、検証基準 は主 として横断面資料 に対する適合度 とな る。む しろ、 導 かれたモデル を用 い て観察結果 の整理 をし、複数非核世帯員の場合の就業率 曲 線 を得 るとい うのが実証分析の 目標である。 モデル に登場す る確 率的パラメタの分布を測定によって決定す る。いくっかの 代替的特定化 をこころみてその妥 当性を比較 する。これは正規分布の特定化 と対 数 正規分布の特定化の比較であ り、効用関数 の中の どのパラメタを確率的パ ラメ タ とす るのかの比較で あ る。 種々の特定化 におけ るモデルの識別問題が検討され、推定に用 い られる尤度関 数の性質が検討 され る。. 2.. 離散 的家計労働供給 のモデル. 本節では多変量離散 的選択のモデルの一般型式を提示 してお く。問題の発端 か らして家計労働供給 を例 にして提示 する。このモデルの特殊ケー スが次節で述べ る一変量離散 的選択のモデルであ る。. 2.1. 非 核 世 帯員 労 働 供給 モ デ ル. 勤労者家計を考 え、 この家計 は勤労者である核所得者(夫)と 複数名の非核世 帯員(妻 及び子女)か ら成 るもの とす る。非核世帯員 の内就業可能なものをM名 とす る、ただ し義務教育過程 にあ る就業不可能な児童 を除 く。家 計の余暇=所 得 に関する選好 を効用関 数 CJ=W(X・A・. ・… ・A・). で 表 す 。 こ こ でXは. 家 計 の 総(実. (2 質)所. 得、. m,m=1. ,...,. M,は. 第ID番. .1). 目の非. 核世帯員の余 暇時間で ある。 第m非 核 世 帯 員 が 賃 金 率Wrn労 ら 、 所 得 と余 暇 は. 働 時 間hmの. _2. 雇 用 就 業機 会 に就 い た とす るな.

H X=1+ΣWrn h rn m=1 A船=T-hn,. (2.2a 0=1,_,. x,. と い う予 算 制 約 式 で 表 さ れ る 。 こ こ で 核 所 得1は の 収 入 を 示 し 、Tは. 家 計 の 非労 働 所 得及 び 核 所得 者. 非 核 世 帯 員 の 共 通 な 総 持 ち 時 間 で あ る 。労 働 時 間 が 供 給 者 の. 自 由 な 裁 量 に 任 さ れ る な ら 、 最 適 労 働 時 間 は 、 制 約(2.2)の. も と で 効 用(2,1). を最 大 化 す る こ とに よ って得 られ る 。この 最 適労 働 時 間 は次 の限 界 効 用 均等 式 を 満 たさな けれ ば な らな い、 Wmaω/∂X=dω/δAm,. m=1,_,M.. (2.3). も し労 働 時 間 は プ ラ ス の 値 し か 採 らな い 、 そ し て 労 働 時 間 はTを う 条 件 を 考 慮 に入 れ る な ら 、(2.3)の. 解hmが. 越 えな い とい. 非 正 の と き最 適 労 働 時 間 は ゼ ロ と. す る 。解 が ゼ ロ 以 上 でT以. 下 の 値 な らば 、 そ の 値 が 最 適 労 働 時 間 で あ る 。 そ し て. 解 がTを. 最 適 労 働 時 間 で あ る 。 こ の よ うな モ デ ル を 新 古 典 派 労. 越 え る な ら、Tが. 働 供 給 モ デ ル と 呼 ん で お く 。詳 し くはSmith(1980)に. お け る諸 論文 を参照 。. こ の 新 古 典 派 モ デ ル で は 、 あ る労 働 供 給 者 に提 示 さ れ た 賃 金 率W.の. 就業機会. は こ の 供 給 者 だ け に 開 か れ て い る と仮 定 しな け れ ば な ら な い 。 さ も な け れ ば 、 労 働 時 間 が 調 整 可 能 で あ る 場 合 、 す べ て の 供 給 者 は 皆 賃 金 率 が 最 大 で あ る就 業 機 会 に 集 中 し て 、 よ り 低 い 賃 金 率 の 就 業 機 会 に 就 く者 は い な くな る 。 一 番 高 い 賃 金 率 の も とで の 最 適 労 働 時 間 を 選 択 し て し ま う 。 以 下 で 述 べ る モ デ ル で は 市 場 に 提 示 さ れ て い る 就 業 機 会 が す べ て の 供 給 者 に 開 か れ て い る と して も 、 結 果 と し て 種 々 の 賃 金率 へ の就 業 が 並 存 しう る。. 2.2. 離 散 的 労 働供 給 モ デ ルの 一般型. 次 に述 べ る の は 、 上 の よ うな 新 古 典 派 労 働 供 給 モ デ ル と は 異 な り 、労 働 時 間 の 自 由な 調整 はで きな い とす るもの で あ る。非 核 世帯 員 は雇 用就 業 機 会 に直面 し 、 需 要 側 か ら提 示 さ れ た 就 業 条 件 を 拒 否 す る か 受 諾 す る か だ け の 選 択 が 可 能 で あ る と す る 。 こ の 就 業 機 会 に お い て 賃 金 率Wm 条 件 で あ る 。 第m番. 、 労 働 時 間hmは. 需 要 側 か ら与 え られ た. 自 の 非 核 世 帯 員 の 供 給 行 動 は0と1の2っ. 変 数 δ 。 で 表 さ れ る 。 δ 。=0は. 就 業機 会 の 拒 否 、. モデルは. 一3一. m-1は. の 値 を と る2項. 受 諾 を 表 す 。 この 時の.

W=W(X,A1,_,. A口),. M X=1+Σ 腎mhmδ,,, m=1. (2.4). n.m-T一}lmCS m, δ 。=0ま. た は1,. a=1,...,H,. と な る 。 予 算 制 約 は 連 続 的 な 領 域 で は な く 、2” 個 の 離 散 的 な 点 か ら の 選 択 を 意 味 す る 。対 応 し て 、効 用 は CJ=CeJ(1+Σwrn. h rn. δ.の. 関数. m,...,T-hmδm,...). =ωi(δ1,...,δM). (2。5). に な る 。 効 用 最 大 を 求 め る に は2”. 個 の 点 に 於 け る効 用 の 値 を 比 較 しな け れ ば な. ら な い 。 な お 、 い ま ま で の 記 号 法 に お け るX」 合 はx(ji)と. の 添 え 字jが. 二 重 のjiに. 書 く事 に す る 。. 上 の モ デ ル を 一 般 化 し 、 少 し 形 式 を 変 え て 書 く 。 第ID番. 目 の 非 核 世 帯 員 にJ.. 個 の 就 業 機 会 が 開 か れ て い る 場 合 を 考 え る こ と に す る 。 第ID非 た 第j・. な る場. 就 業 機 会 の賃 金 率 と労働 時 間の 組 合 わ せ は. だ し 、 炉1,...,K,. j,nr1,...,J。. とす る。変 数. 核 世 帯 員 に 開 かれ. 【w(j。),h(j.)1で. δ(j。)は. ある。た. 離 散 的 な0と1の. 値. を と り、 モ デ ル は ω=ω(X,A1,_,. M),. Jm X=1+Σ. Σw(jn)h(1m)δ(jm), ID=1. J rn=1 .1rn. m=T一. Σ. h(jm)δ(jm),. (2.6). j。=1 δ(Jm)=o,1,. jm=1,...,Jrn,. Jnt Σ. δ(jm)=1,. m=1,..りM,. 」。=1. と書 かれ る 。 この 場合 な ら. m=iMJm個. の 点 に於 け る 効 用 の 比 較 を す る こ と に な. る 。. 複 数 非 核 世 帯 員 の モ デ ル(2.4)あ. る い は(2.6)の. 一4一. 解 を求 め る の は今 の と ころ.

ま だ その 内 の特 殊 ケ ー ス にっ い て だ け可 能 で あ る 。 これ を一 変 量 離 散 的選 択 の モ デ ル と呼 ぶ 。 し た が っ て こ こ で は 、 特 に 非 核 世 帯 員 が1名. の 場合 に限 ってモ デル. の 展 開 を 行 う 。 す な わ ち 効 用 関 数(2.6)が ω=ω(X,A1). (2.7). と な っ て い る 場 合 で あ る 。 こ れ が 次 節 以 降 の 課 題 で あ る 。 た だ し複 数 名 の 非 核 世 帯 員 に っ い て の 分 析 で あ っ て も 、 上 の 枠 組 に 納 ま る よ う に構 成 す る こ とが で き る 場 合 が 多 い 。 そ の 意 味 で は 非 核 世 帯 員 を1名 る 。 第4節. と したモ デ ル で も 十分 に一般 的 で あ. 以 降 は複 数 名 の非 核 世 帯 員 を も対 象 と した種 々の 労 働 供給 モ デ ル を提. 示 し そ の 検 証 を 行 うが 、 い ず れ の モ デ ル も 一 変 量 モ デ ル の 応 用 例 に な っ て い る 。. 3.. 一 変量 離 散 的 選 択 のモ デ ル. 本節では一変量離散 的選択のモデルの型 を提示 し、このモデルの諸性質を示 し て お く 。 こ の モ デ ル の 応 用 と し て 複 数 非 核 世 帯 員 の 労 働 供 給 モ デ ル が 後 の 第4 、 5・6節 で展 開 され る 。 な お こ こで のモ デ ル と従来 の 離 散 的 選択 のモ デ ル あ るい は 質 的 反 応 の モ デ ル と の 違 い は 松 野(1991a)で. 3.1. 示 され て い る 。. ___.,変 量離散的選択のモデル. い ま属 性(ベ ク トル)S、 例 え ば 核 所 得 等 、 を 持 っ 家 計 を 考 え る 。 こ の 家 計 はJ 個 の 選 択 肢 ξ 」(j謬1,_,J)に 直 面 し 、 そ の 中 か ら効 用 最 大 を も た ら す も の を 選 択 す る と考 え る 。J個. の 選 択 肢 は そ の 属 性(ベ. 働 時 間 、 で 特 徴 付 け ら れ る 。家 計 が 第j選 の 関 数 と し て の 属 性(N次 Z」 ㌔ 【Z1」,Z・ =Z(S,. ク トル)Xj. 、例 えば賃 金 率 や 労 択 肢 を 採 っ た 時 の 状 態 はsとXjと. 元 ベ ク トル). 、,_,Z、j】. Xj),. (s.i) j=1,...,. J. で 特 徴 付 け ら れ る も の と す る 。 そ し て 、 属 性sの ωj=θ1期Zl」+θ =θ1幽Z7j+V1,. 家 計 が 第j選 ・'Z・ 」+…+θ. 択 肢 を 採 っ た と き の 効 用 を. 、・'ZN; j=1,..,. 一5一. J. (s.2).

と 特 定 化 す る 。 効 用 関 数 は パ ラ メ タ θ'お が 、 も との 変 数S,Xに 辺 の 第2項. よび 変 数zに. っ い て一 次 式で あ る. っ い て は 必 ず し も線 形 で は な い 。 こ こ でVlは. 上式の右. 目以 下 を表 し. v;=82'z2;+...+8N'zN;. (3.3). で あ る 。 た だ し 、 一 般 的 に は 必 ず し も θ',Zの. 一次 式 でな くと もよ い 。非 線形. の 場 合 は測定 の計 算 法 が複 雑 にな る 。 パ ラメ タの 内 のひ とっ 、例 えば. θ ド 、 を 密 度 関 数f(8,”)を. 持 っ確率 的パ ラ. メ タ で あ る とす る。 θ1.∼f(θ ユ亀), た だ し 区 間(r,R)は. r<θ1白 〈R,. (3.4). 分 布 の レ ン ジ で あ る 。 他 の パ ラ メ タ θ'は 恒 等 的 に θ に. 等 し い も の と す る 。 分 布 型fと. し ては い ろ い ろな もの が利 用 で き るが 、後 の測 定. で は 正 規 分 布 、 あ る い は 対 数 正 規 分 布 の 特 定 化 が 試 み ら れ る 。(3.2)の. よ うな 線. 形 モ デ ル で 、 正規 分 布 の特 定 化 を 採 用 した場 合 、測 定 は 本 質 的 に は線 形 モ デ ルの 測定 にな る 。 た だ し、 対 数 正規 分 布 の 特定 化 を採 用 し た場合 で は 、非 線 形 モ デ ル の 測 定 に な る 。 な お 、 本 稿 で は 確 率 的 パ ラ メ タが 一 個 だ け の 場 合 を 扱 う 。 複 数 個 の 確率 的 パ ラ メ タを扱 うの が多 変 量 モ デ ルで あ る 。 確 率 的 パ ラ メ タe,. に付 随 す る 変 数zl」. に っ い て は 、 一 般 性 を 失 う事 な く 、. 順 序 付 け られ て 、 Z11>z12>'。 ●>zlJ と す る 。第i選. (3.5). 択 肢 とj選. 択肢 の効 用 の 差 を 計算 す る と. ω ・ 一ω 」・(z1・一zlj)(θ1㌔y・1), た だ し 、 臨 界 値yi」. y・j=(v・ 一v・)/(zlj-z1・),. と 定 義 さ れ る 。vが. (3.6). は i,j=1,_,. J,. i≠j. (3 .7). パ ラ メ タ に っ い て の 線 形 関 数 な ら臨 界 値 もパ ラ メ タ に っ い て. 線 形 関 数 に な る こ とが わ か る 。 そ し て 、 次 の 諸 定 理 が 成 り 立 っ 。 証 明 は 松 野(1984)、Matsuno(1985)を 定 理1:. 家 計 が 順 序 付 け ら れ た 選 択 肢 集 合.,u{ξ. 直 面 し て い る と し 、 家 計 の 所 得=余 タ. θ1.の 分 布 は(3.4)と. 暇 の 効 用 関 数 は(3. す る 。家 計 が選 択 肢. 条件は. 一6一. 亅,...,ξis...,ξ. .2)と. 参照 。 」}に. す る 。確 率 的 パ ラ メ. ξ1を 選 択 す る た め の 必 要 十 分.

R>ylk,. k=2,...,. J. (3.8). で あ る 。 ξj(j=2,...,J-1)に. っ い て の 必 要 十 分 条 件 は. y.j>r, yij>yik>y」k,. i=1,...,. j-1. R>y」k,. k=j+1,...,. (3.9). J. で あ る 。 ξ」 に っ い て は yiJ>r,. i=1,...,. J一・1. (3.10). で あ る 。 定 理2:. 定 理1の. 条 件 の も と で 、 各 臨 界 値y12,. Y13,...,. yJ-1Jが. 定 義 さ. れ 、 条 件 R>y12>y23>y34>…. >yJ-2J-1>yJ_l」>r. (3.11). を 満 た す 時 、 そ し て こ の と き だ けJ個 定 理3:. J個. 全 て の 選 択 確 率 が プ ラ ス に な る 。. が 全 て 選 択 さ れ る 時 、 選 択 肢jが. 選 択 さ れ る 確 率Pjは. R P,=∫. f(θ1.)dθ1亀. Y12 Y]2P. 2=S. f(θ1ゆ)dθ1燈. (3 .12). Y2a. YJ-1J P .,=S. f(θ1宀)dθ1磚 r. ,. と な る 。. パ ラメタ θtを. θユ'は 家 計 の 母 集 団 に 関 して の 確 率 分 布 に 従 い 、 あ る 家 計 は 大 き い. 持 っ て い る し、他 の 家計 は小 さ い. y23とy12の. 間 の 大 き さの. な る 。y34とy23の 家計の選択は. 間 の. θ1'を. も っ て い る 。そ して. θ1噫 を も っ て い る 家 計 は 選 択 肢. θ1吻 を も っ て い る 家 計 は 選 択 肢. 臨界 値. ξ、 を 選 ぷ こ と に ξ、 を選 ぷ. 、等 々 。. θ ジ の 大 き さ に 従 っ て 順 序 付 け ら れ 、 選 択 確 率 は 密 度 関 数fに. っ て 決 定 さ れ る 。 次 の 定 理 で はX;の. 添 え 字iが. 二 重 のijに. な る場 合. 、 x(ij). と書 いて あ る。 定 理4:. 選択 肢 集 合. ξ(j.),_,ξ(j鬥)}を. 菖 のM個. の 要 素 か ら な る 部 分 築 合G={ξ(」1),...,. 考 え 、 変 数z,に. っ い て. 一7一. よ.

z1(j1)〉 ・・。>zt(jm)〉 … >z1(jM). (3.13). と 順 序 付 け ら れ て い る も の と す る 。 そ し て 補 集 合Gｰを 択 確 率 ゼ ロ を 持 っ と す る 。 こ の 時Gの. 考 え 、GCの. 要 素 は 全 て選. 全 ての 要 素が プ ラ スの 選 択 確 率 を持 っ ため. の 必要 十分 条 件 は R>y(j1,. 」2)〉。・。>y(jm-1,. jm)〉 ・・6>y(j門_1,. jM)>r. で あ る 。 ま た 、 こ の と き 、 各 選 択 確 率 は(3.12)の と あ る と こ ろ をy(」. 。一1,j。)に. (3.14) よ う に な る 。(た. だ し 、yj.Ij. 書 き 換 え る 。). 以 上 の モ デ ル の 主 張 は 次 の よ う に ま とめ ら れ る 。 い く っ か の 離 散 的 選 択 肢 が あ る と す る 。 選 択 肢 を そ の 属 性Xjに. よ っ て 順 序 付 け る 。 各 階 層 の 選 択 確 率P,,. P2,_,. 横 軸 に と っ たグ ラフ を考 え る。 この 時 、個 々. P」 を 縦 軸 に と り 属 性Sを. の 選 択 確 率Pjの. 動 き は ど う な る か わ か らな い が 、 集 計 し た選 択 確 率 R. Qm=Pt+…. はSの. +Prn=∫ ym-1m. f(θ1亀)dθ1申. (3.15). 減少 ま たは増 加 関 数 にな る。 どち らにな るか は. ∂ym-1rn/asの. 符 号 に依. 存 す る 。 こ れ が モ デ ル の 帰 結 で あ り 、 こ の こ とが 成 立 し て い る の か ど うか を 調 べ る のが 以 下 で 行 われ る実 証 分 析 の 課題 で あ る 。. 3,2. 尤 度 関数. 属 性Sの. 値 に 応 じ て 家 計 群 をK個. も っ 家 計 の 個 数 をnkと い る も の と す る 。 第k階 n2k個. が. ξ2を. 率(尤. 度 関 数)は. L・・ 賑. の 階 層 に 分 け る 。 属 性Sk(k=1,_,. す る 。 ど の 階 層 に 属 す る 家 計 もJ個 層 のnk個. 選 び 、,..、n」k個. の 家 計 の 内 、 n1レ 個 が 選 択 肢 が. ξJを. K)を. の 選 択肢 に直面 して 9を. 選 び、. 選 ん だ とす る と 、 こ の 事 象 の 確. 多項 分布. !認;7;蕭P1餮lk鎚. 警k…P・. 餮Jk. (3.16). と な る 。 こ こ で. Plk嵩. R ∫ y12k. Y12kP 2k詔 ∫ y23k. f(θ1.1θ1)dθ1・. f(θtilθ1)dθ1由. (3.17). 一8一.

.. .. yJ-1Jk P Jk=S. f(θ1白iθ1)dθ1幽. r で あ る 。 た だ し 、 θ1は. 密 度 関 数fの. yijk=(Vik-V」k)/(zljk-zlik), Vjk=θ2wZ2jk十.● Z」k'・ 【ZiJ、, =Z(Sk,. パ ラ メ タ(ベ i,j=1,...,. ク. J,. ト ル)で. あ る 。 さ ら に 、. i≠j. (3.18). ○十 θN`ZNlk Z2jk,_,. ZNj、1. XJ),. j=1,...,. J. で あ る 。 K個. の 階 層 に っ い て の 実 験 が 独 立 な ら 、 全 体 と し て の 観 測 値 を 得 る確 率 は. K. L=II. Lk. (3.19). k=1 と な る 。 こ の 関 数Lは X2・ …. ・XJ)}を. 、 観 察 値{(nk,. n!k,...,. nJk,. 所 与 と し た 場 合 、 パ ラ メ タ81,θ2. Sklk=1,...,K),(X1 ,...,. BNを. , 推 定 す る た め. の 尤 度 関 数 で あ る 。 こ の 関 数 の 性 質 は 後 で 調 べ る 。. 4. 非核世帯員1名 の雇用就業行動. この 節 で は 非 核 世 帯 員 が1名 で あ る 場 合 の モ デ ル を 構 成 す る 。 こ の モ デ ル の 解 は 前節 の 一変 量 離 散 的 選 択 の モ デ ル の に っ い ての 諸定 理 を利 用 して導 か れ る 。そ して導 か れ たモ デ ル の 測定 結 果 を 提 示 す る 。. 4.1. モデル. 世帯主(夫)が 勤労者 で就業可能な非核世帯員が1名 いる家計 を考 える。家計 は次の所得=余 暇 に関す る効用関数 を最大化するよう非核世帯員(妻)の 就業行 動を決めるもの とする。家計の所 得 と余 暇に関す る効用 関数 を ω畦. γ1のX2+γ2ゆX・. た だ しXは. 家 計 の(実. γ3車XA・Ya”A・. 去 γ ・・A・. 質)所. 非 核 世 帯 員 の余 暇時 間 、 γ爾はパ ラ メ タ. 得 、Aは. 一g一. 、. (4.1).

で あ る 。 効 用 関 数 は 変 数 に 関 し て の2次. 関 数 で あ り 、 パ ラ メ タ に 関 し て は1次. 数 で あ る 。 し たが っ て 前 節 の 効 用 関 数(3.2)の 世 帯 員 に対 し て 賃 金 率wと. 労 働 時 間hの. 形 を して い る 。こ の家 計 の 非 核. 雇 用機 会 が 開 か れ て い る場 合 、非 核 世. 帯 員 が 就 業 す る か し な い の か を 考 え る 。 就 業 の 選 択 肢 は 効 用 場[X,A】 wh, T-h]で. 表 さ れ 、 非 就 業 は 点[1,. 関. T]で. の 点 【1+. 表 され る。. 所 得 の 限 界 効 用 の 切 片 項 γ ゴ 、 あ る い は 余 暇 時 間 の 限 界 効 用 の 切 片 項y4.を 確 率 的 パ ラ メ タ と した場 合 を測 定 す る 。 さ らに は 、確率 的 パ ラ メ タの 分布 と し て 、 正 規 分 布 の 特 定 化 と対 数 正 規 分 布 の 特 定 化 を 採 用 し た場 合 の 測 定 を 行 う 。. 4.2. 正 規 分 布 の特 定 化. 正 規 分 布 の 特 定 化 を 採 用 す る に も2っ の や り方 が あ る 。 イ)前. 節 の 定理 を用 い て 、. G`が. 正規分布. γM∼N(γ2,σ2) 従 い 、 他 のy￣. (4.2) は恒 等 的 に γ に等 しい とい う時 の就 業 確 率 と非 就 業 確率 を計 算. す る。両 確 率 は常 にプ ラス で あ る 。結 果 だ けを整 理 す る と Pr{非 就 業 確 率}=1一 Φ(ξ12) Pr{就 業 確 率}. (4,3). 言Φ(ξ12). と な る こ とが わ か る 。 こ こ で Φ は 標 準 正 規 分 布 の 分 布 関 数 で あ り、 ξ12=一α一βI a=(α. ㌧ γ2)/6. (4.4). a=a'/6 ただし α'=一「 』騨hγ1一(T-h)γ3+(1/w)γ4+{(T一. 歩h)/W}γ5. (4.5). β'=一γ1+(1ノの γ3 で あ る 。方 程 式(4.3),(4.4)が. ク ロ スセ クシ ョンデ ー タを用 い た測 定 の 対 象 に な. る モ デ ル で あ る 。 誘 導 形 パ ラ メ タ α,β 唱が 推 定 さ れ る 。 ロ)次. にya'を. 確 率 的パ ラ メ タで正 規 変 数. γ4“∼N(γ4,s2). (4.6). と す る 場 合 を 考 え て み る 。他 の γ'は 恒 等 的 に γ に 等 しい と す る 。 こ の と き も 前 節 の 諸 定 理 か ら 、2っ. の 選 択 確 率 は 常 にプ ラ ス で あ り 、 選 択 確 率 は. 一10一.

Pr{非 就 業 確 率}31一 Φ(x12) Pr{就. 業 確 率}. (4.7). 詔Φ(Xi2). と 書 か れ る こ とが 分 か る 。 こ こ で x12=a十bI a=(a㌔. γ4)/s. (4.8). b=bソs た だ し、 a`=吉w2hγ1+wy2+w(T-h)γ3一(T一 b￣=wy. 去h)γ5. (4.9). -y3. で あ る 。 こ こ で は パ ラ メ タa,bが ハ)上. の2っ. 測 定 の対 象 にな る 。. の 特 定 化 の い ず れ の 場合 で も、 次の 形 式. Pr{非. 就 業 確 率}=1一 Φ(Z12). Pr{就. 業 確 率}. (4.10). =Φ(Z12). の モ デ ル に 帰 着 す る 。 イ)と. ロ)の. 特 定 化 は 同 じモ デ ル に帰 着 し 、 ク ロ ス セ ク シ. ョ ンデ ー タ に 関 し て 同 等 で あ る 。 こ こ で 臨 界 値 Zi2=A+BI. (4.11). の パ ラ メ タA,Bが. 4.3. ク ロ スセ クシ ョンデ ー タ で測 定 され る。. 識 別 性 と尤 度 関 数 の 検 討. 上 の モ デ ル(4.10),(4.11)の が(3.16),(3.19)で yj_1j. 形 の. 与 え られ 、 臨 界 値 が. =A;_1」+Bj_1jlk,. で あ り 、 分 布fを 3[A12. 識 別 条 件 を 調 べ る 。 一 般 形 で い う と 、 尤 度 関 数. , B12,_, 」=2,A=A,2,. j=2,...,. AJ-1J,. BJ-1J1の. B=B12の. k=1,...,. す る 。 ここ で. θ'. 識 別 条 件 を 検 討 す る 。 上 の モ デ ル は こ の 一 般. ベ ク トル)yの. 同 時 分 布(尤. 度 関 数)を. θ は 分 布 の パ ラ メ タ で 、 パ ラ メ タ 空 間0の. る 。 こ こ で の 分 布Lは(3.16),(3.19)で. 与 え ら れ る 多 項 分 布(の. 次 の よ うに定 義 を す る 。 定 義:. K,. 場 合 で あ る 。. ま ず 諸 概 念 を定 義 す る 。 観 察 値(の L(y,θ)と. J,. 標 準 正 規 分 布 と す る場 合 を 考 え る 。 こ の モ デ ル の パ ラ メ タ. パ ラ メ タ 空 間0の. 一点. θ。 を と り 、. 一11一. 点であ 積)で. あ る。.

L(y,θo)=L(y,θ) と な る 他 の 点 が 存 在 す る 時 、 θ。 と equivalent)で 定 義:. θ は 観 察 値 に 関 し て 同 等(observationally. あ るという。 パ ラ メ タ空 間. θ がOに. ◎. の一点. θ。 を と り 、 θ。 と 観 察 に 関 し て 同 等 に な る. お い て 存 在 しな い 時 、 θ○ は 識 別 可 能 で あ る と い う 。 これ が. 近 傍 に お いて 成 立 す る時. θ。 の. θ○ は 局 所 識 別 可 能 で あ る と い う 。. 識 別 可 能性 を判 定 す る ための 基 準 は次 の定 理 に与 え られ て い る 。 補 助 定 理(Bowden,1978):分. 布L(y,θ)の. パ ラ メ タ θoが 正 則 点 で あ り 、 こ. れ が 局 所 識 別 可 能 で あ る た め の 必 要 十 分 条 件 は 、情 報 行 列Infが に な る こ と で あ る 。(た. 正 値 定符 号行 列. だ し、正 則 点 とは そ の近 傍 で 情 報 行 列 の位 数 が 変 わ らな. い よ う な 点 の こ とで あ る 。) この定 理 を 使 っ て先 の離 散 的 選 択 の モ デ ルが 識 別 可 能 で あ るか を調 べ る 。一 般 的 にJ個. の 選 択 肢 が あ る 場 合 を 扱 っ た前 節 の 尤 度 関 数(3.16),(3.19)を. 情 報 行 列 を 計 算 す る 。 た だ し 、 密 度 関 数fは 列Infを. 正 規 分布 とす る 。基 準 にな る情 報行. 計算 す る と 、. Inf=一E{一. d21agL 一 一一 …一 一}=. K ΣnkZkBkAkBk'Z'5(dθ δ θ, k=1. こ こで. ∵1鰻] Zk,=[1,. も とに. (4 .12). '. Ikj=【1×2】. ∵馴 燗 一12一. (4.13).

Ak=. 1 一一一・. 1 +一 一). =[J-1xJ-1]. -1(. 一一∼. 0. P2kPコk. .... o. -1( ... P34,. O. P2k. 一 LK 2. P. 1 一+一. 1. P2k. Paa:. 一 一). 一…. ●. ・. 0. と な る 。 た だ し. φjk自. 多 項 分 布(3.16)に pF:,=【nlk/nk,。. φ(yj-ljk)で. 1 1 一 一 ・+一 一) PJk. ...(一. (4.15) と き 、. PlkQtk. -PlkP2k. 一P2kPIk. P2kQ^. 一PJkPik. と な る 、Cra皿er(1946,. (4.14). た だ し. 。., nJk/nk]. ck. …. 一P1kPJk. 。・・. 一P2kPJk. ■ ■. o. (4。16). PJkQJk. ● ■. p318)を. =[JXJ]. ■. 参 照 。 た だ しQjk富1-Pjkで. 1`i.k=Ck'WkCk は!nkCk'Pkの. PJ-lk. は 標 準 正 規 密 度 関 数 で あ る 。. 従 う 確 率 ベ ク ト ル!nkPk、. の 共 分 散 行 列 は 、1>Pjk>0の. Wk=. 、 φ. ●. あ る 。 す る と. (4.17) 共 分 散 行 列 に な っ て い る 。 た だ し. 一13一.

1. 1. Plk. P2k. Ck'=. 0. 鐸【工一1xJJ. 0. 1. 1. P2k. P3k. 0. 0. 0. 0. 1. -. 0. i. P,一,k. で あ る 。 し た が っ て 、1>P」k>0の. (4.18). 10 P,. と き 、Akは. 正 値 定 符 号 行 列 で あ る 。 Bkも. 特 異 行 列 で あ る 。 従 っ て こ れ ら の 積 で あ るBkAkBk'も こ こ で 計 画 行 列(design. 非. 正 値 定 符号 行 列 で あ る。. matrix). (4.19) ㌔1L:::}、]=[z置 の 位 数(rank)が2で. ・…. H2XK]. あ れ ば 、 Z kは. フ ル ラ ン ク の 行 列 で 、 情 報 行 列Infも. 正. 値 定 符 号 に な り 、 モ デ ル は 局 所 識 別 可 能 にな る 。 以 上 を ま と め て 定 理5:. 正 規 分 布 の 特 定 化 の も とで 、 条 件. +◎o>vt2k>…. >yJ_1Jk>一. ◎o,. k=1,...,. K. が 成 り 立 っ て い る と す る 。 そ し て 外 生 変 数 の 観 察 行 列Z” 2)で. あ る とす る とパ ラ メ タ空 間. ⑤. の正 則 点. Z噛 が 位 数 を 持 っ た め の 必 要 条 件 はK≧2で こ の 結 果 を モ デ ル(4.10),(4.11)の. θoは. は フ ル ラ ン ク(位. 数が. 局 所 識別 可 能 で あ る 。 なお 底. あ る。. パ ラ メ タA,Bに. も 適 用 す る こ とが で き. る。次 の定 理 を得 る こ ともで きる。 定 理6: 正 規 分 布 の 特 定 化 の も とで 、(3.19)の 尤 度 関 数Lか ら得 られ る 対 数 尤 度 関 数10gLは パ ラ メ タ θ の 強 凹 関 数 で あ る 。 し たが っ て 、 一 意 な 最 大 点 を もっ 。 証 明:. Pratt(1981)の. 方 法 を 用 い る 。 詳 し く は 松 野(1991b)を. 参照 。. こ の 定 理 に よ り・ 最 尤 推 定 値 を 得 る た め の 収 束 計 算 の 初 期 値 と し て ど こ か ら 出. 一14一.

発 して も 、尤 度 方程 式 の 解が 得 られれ ば 、 そ れ は 一意 な 最 大値 を達 成 して い る 、 と い う こ とが わ か る 。 本 稿 で は1時. 点 の ク ロ スセ クシ ョンデー タ を もち い た誘 導 型 パ ラ メ タの 測 定 だ. け を 扱 っ て い る 。数 時 点 に 亘 る ク ロ ス セ ク シ ョ ンデ ー タ が あ れ ば 効 用 関 数 の パ ラ メ タ が 測 定 の 対 象 に な る 。 そ の 場 合 の 識 別 性 の 検 討 も こ こ で の 方 法 を 、 さ ほ ど変 更 す る こ と な く 、適 用 で き る 。 こ こ で の モ デ ル に 最 尤 法 を 適 用 し た場 合 の 性 質 の 検 討 に っ い て は 松 野(1991b)を 参照。. 4.4. 測 定 結 果1一 正 規 分 布 モ デ ル ー. (4.10),(4.11)よ. り測 定 さ れ る モ デ ル は. Pr{就 業}零Φ(Z12). (4.20). Zt2=A+BI と い う形 式 で あ る 。パ ラ メ タA,Bが 54年. 推 定 され る。測 定 に用 い た デー タは 昭和. の 「全 国 消 費 実 態 調 査 」 で あ る 。 こ の デ ー タ の 取 扱 の 詳 細 、 及 び 別 の 分 析. に つ い て は 松 野(1988)を. 参照 。. 勤 労 家 計 で 就 業 可 能 な 非 核 世 帯 員1名(妻)が. い る家 計 を 選 ぶ と 、16236家. に っ い て の デ ー タ が 得 られ る 。 核 所 得 に は 世 帯 主 の 勤 め 先 年 間 収 入(万. 計. 円)'を 用. い 、 こ の 核 所 得 の 値 に 応 じ て 核 所 得 階 層 は15階 層 に分 割 し た 。 パ ラ メ タ の 推 定 に は 最 尤 法 を 用 い 、 モ デ ル の 説 明 力 の テ ス トに は 疋2一検 定 法 を 用 い た 。. 表1. 正規分布モデルの測定結果. =塁彎1蕈冨』==嵩=套⊇=_一____B:一____⊥2三 三_一__d二 」f二__を二値 一 一 一 鴨 輔 嘲 幡 一 口 哺 一 髄 幽 一 零 一・鱒on噂 剛 一 ・噛輙 噛 一 鴫 噸 軸8-csss.=;亀==鬻 1-15 i +.090631 一.0021439 1 21.244 13 .073一.055 1. 【2.811. [一22.21】. 10gL. 露3===. -9270.12. 1. ==躍=====_=__====3=詔2累=3詔===自3=冨. 含3言==冒====零. 謡3. 畧=3零. 署=翳 詔呂 觜2=雷==. パ ラ メ タ を 最 尤 推 定 し た も の を 表1に ま と め て お く 。 表 の 見 出 し で 、A・, B・ は 推 定 値 、x2は 適 合 度 検 定 の 為 の 検 定 量 、 P一値 は 有 意 性 検 定 の た め の も の で あ る 。 ま たd・f・ は κ2一検 定 の た め の 自 由 度 で あ る 。 推 定 値 の 下 の. 一15一. 【1内 の 数 値 は.

漸 近 的t一 値 を 示 す 。 最 大 化 さ れ た 尤 度 関 数 の 値 をlogLと. して掲 げ る 。 こ こで は. デ ー タ を 妻 の 年 齢 等 で 統 御 し て い な い 。統 御 し た 場 合 の 測 定 結 果 に っ い て は 松 野 (1991b)を 参 照 。 こ の 測 定 で はB^=一.0021439と. し て ダ グ ラ スr....有 澤 法 則 と合致 す る負 値 の 推定. 値 が 得 られ て い る 。 ま た 、t一値 は 一22.21で の た め のx2一. 値 は21.24セ. あ り(自. 確 率 す な わ ちP一 値 は.073一.055の は0.01と. あ り非 常 に 有 意 で あ る 。適 合 度 検 定. 由度=13)、x2が. これ 以上 大 きい値 を とる. 間 に あ る 。 従 っ て 、 有 意 水 準 を0.05あ. るい. す る な らば モ デ ル は 適 合 度 の 点 に 関 し て 棄 却 さ れ な い と判 断 で き る 。. ま た系 統 的 な 当 て は め 誤 差 が 生 じ て い る とい う 事 も な い 。 就 業 率 曲 線 の 観 察 値 と モ デ ル か ら の 理 論 値 を 図 に し た も の が 図1で. あ る 。横 軸 は核所 得 を 目盛 って あ. る 。 ロ印 は 観 察 値 を表 し、曲線 は 理 論値 の 軌 跡 で あ る 。. 図1 `).6. 0.5. }馬 一. 皿. 』}一. 一. 一. 一. 一. 一. 一r-. 一一. r_. ⊥. 一 一. 一. 0.4. 正規 分布モデルの理論値 と観察値;. 一. 一一. 一一一. 一 ,7曹. 7一 一 一 一一 一. 一『 一 一一 一. 国 一一. 一一. 一幽 一一. 一一. 一〒__. 一一一 『一. ,一鹵,巳一. 一 一. 一. 一一. 一 『 一一. 一- 3一一. 一. 鴨一. 一一一 鹵. {匸 …. 膠』. 『 一一一. 曽一. 一 畠n』. 一. 非核世帯員1名. 一. 一. _. }雫. 『. __. __,. 冖 一一 一一. _. 一一. 一. 一. 『. 一__⊥. 一曹一 一_. o_z. 一. ＼. 冒一 噛一一一_. 一. π-一一. 一一. 一一一幽層. }一r. 一 一噌一. 一. 黛. 『. 一 一. 一一. 一一. 一9. 一 一一. 巳一. 一一 一」7一 一. 一 一. 辱. 一. 一. 一一一一一}. 巳`・争鹵 一. 一一. 一. 一 - 一' 一__. 毛 一. 触. L. 一一. ＼ 民 一 一 ＼. 一一一 一_. _. 畄 o.3. 一. 一一 畠一一. 7一. 一一. 『. 一r. ■ -一. 一. ユ. _. 一一. 一『一. ＼. 0.1. }{. 一 免一. 一凾一P一_了. 一. 一 一. 一一一=∼. 一冒. 一. 一 醒 皿. 一. 『. ＼. 一. 一 一一曹 『. 『. 一. .丶匿___. 一一一. 一『 一. 儡. }}『. 一 一一 一 一 一_. 一. ＼. 一一. 『 こ=こ=ト o. 『. 冒一. 0. 4.5. 一畠 尸一. 一. 一. 一,. 一. 0.2. 一一. 一一. 一 一. _. 畠 _. }}圏. 0.4. 一尸 騨一. 0.6 (mousands). 含,一 一. 一. 0 .8. 〔幽一皿. 鴨齟一. 『. 尸. 曽『. 竿. 兀. r-一. 一. ー 一∼{ヨ 一 1.2. 対数正規分布 の特定化. ここで は確率的パラ メタの分布 として対数正規分布 を採用 してみ る。対数正規. 一is.

分 布 を 採 用 す る こ と の 理 由 付 け に っ い て は 小 尾(1983,p96)を イ)特. 定 化1:. まず 、. 参照 。. Nを 確 率 的 パ ラ メ タ と し 、 こ れ が 対 数 正 規 分 布 に 従. う も の と す る 。 こ の 時 、 第1選. 択 肢 は 就 業 で あ る 。選 択 確 率 は 、 も し プ ラ ス な ら. ば、 P1=1-F(η. (4.22). ユ2)=就 業 確 率. P2=F(η12). =非 就 業 確 率. と な る 。Fは. 確 率 的 パ ラ メ タy2.の. 分 布 関 数 で あ り、 対 数 正 規 分 布. (4.23). 109γ2“ ∼N(γ2,σ2) と 特 定 化 し て み る 。y2..の. レ ン ジ は(o,+。. 。)で. ある。. 臨 界値 が レ ンジの 外 にあ り 0>η12. (4.24). な らば 、 こ の よ う な. η12を. も た らす 外 生 変 数 の 範 囲 で はPa-Oで. 肢 で あ る 非 就 業 の 可 能 性 は な い(定. 理1)。. あ り第2選. 択. 逆 に 臨 界 値 が レ ン ジ 内 な らば 、2っ. の 選 択 確率 は共 にプ ラ ス で P、=1一 Φ(ξ12)=就 P2=Φ(ξ12) と な る(定. (4.25). 業 確 率 =非 就 業 確 率. 理2)。. た だ し. ξ12={109(η12)一 塁(1/σ)109{α. γ2}/σ ”exp(_y2)+,Q”exp(一. で あ る 。 パ ラ メ タa”exp-y2,β. (4.26). γ2)・1}. 亀exp一 γ2等. が 推 定 の 対 象 に な る. 。. こ こ で 正 規 分 布 関 数 の 性 質 か ら Pr{就. 業}=1一. Φ(ξ12)謬. (4.2?). Φ(12). た だ し ζ12一 ”. 12富Qlo9{α+β1}. Q冨一1/σ α=α. 廟exp(一 γ2). β=β. 噛exp(。 γ2)=(一. (4.2g). γ1+y3/のexp(一. と 書 き 改 め ら れ る 。 こ こ の パ ラ メ タ4は. ロ)特 定 化2:こ. γ2) マ イ ナ ス で あ る. 。. こ で は 、 確 率 的 パ ラ メ タ と し て 対 数 正 規 分 布 に従 う γ べ を. 考 え、. 一17一.

109γd∼N(γ4,s2) と してみ る。. (4。29). ayの. レ ン ジ は(o,+。. 。)で. あ る 。 こ の 時 の 第1選. 択肢 は非 就 業 で. あ る。 も し、 臨 界値 Yi2=a”+b'1 が条件 +oa>y12>0. (4.30). を 満 た す な ら ば 、2っ. の 確 率 は 共 にプ ラ スで あ る。逆 に. 0>y12 で あ る と 、 第2選. 択 肢 で あ る就 業 確 率 は ゼ ロ に な る 。. 条 件(4.30)の. も と で は2っ. の 選 択 確 率 は共 にプ ラ ス で. P・{非 就 業}呂1一 Φ(x、2) P2{就 業}. (4.31). =Φ(x12). と な る 。 こ こ で` Xt2={109(y,2)一. γ4}/s. 3(1/s)10g{a”exp(一. γA)+b”exp(一. γ4)・1}. (4.32). で あ る 。 書 き 改 め る と 、 γ4ゆ の モ デ ル で は. Pr{就 業}3Φ(x12). (4.33). ただ し xlz=010g{a+bl} Q=1/s. (4.34). a=a'exp(一. γ4). b=b`exp(一. γ4)=(wy. と な る 。 こ こ で のQは ハ)前. の γ ゼ. 1一γs)exp(一. γ4). プ ラ スで あ る 。. の モ デ ル(4.27),(4.28)も. 、 γ4の. の モ デ ル(4.33),(4.34)も. 同 じ形 式のモデル Pr{就 業}3Φ(Z12). (4.35). Z12=Qlog{A+BI} を 持 っ モ デ ル に 帰 着 す る 。 事 前 の 制 約 を 考 慮 しな け れ ば 両 モ デ ル は ク ロ ス セ ク シ ョ ンの 観 察 に 関 し て 同 等 で あ る 。 そ こ で 確 率 分 布 の 分 散 あ る い は 標 準 偏 差 は プ ラ ス で あ る か ら 、Qが. マ イ ナ ス の 時 に は 、 臨 界 値(4.35)は. _18. γゼ の モデ ル の そ れ.

に な る 。 逆 にQが. プ ラ ス の と き は 、 γゴ の モ デ ル の 臨 界 値 で あ る と 区 別 さ れ. る 。 し た が っ て 、 パ ラ メ タQが. プ ラスで あ るか マ イ ナ スで あ るの か を推 定 すれ. ば 、対 数 正 規 分 布 の特 定 化 を ど のパ ラメ タ に適 用 す べ きか が判 定 され る。 ど ち ら の パ ラ メ タ を 確 率 パ ラ メ タ と す る の か と い う 問 題 に 関 し て は 、 小 尾(1983,§IV) で 理 論的 な 検 討 が な され てい る 。 正規 分 布 の 特 定 化 を 採 用 した場 合 は、先 に示 した よ う に、密 度 関 数 が左 右 対 称 で あ る か ら 、 ク ロ ス セ ク シ ョ ンデ..oタ に 関 し て は 、 γ20の. モ デ ル と γバ の モ デ. ル が 区別 で きな か っ た 。対 数 正 規 分 布 の場 合 は左右 対 称 で はな い か ら、違 い が 出 て く る 。分 布 関 数 の 左 裾 と右 上 は じ を 就 業 率 曲 線 に 当 て は め る違 い が 出 て く る 。 図2は. 対 数 正 規 分 布 の 分 布 関 数 と 密 度 関 数 で あ る 。 この 曲 線 の 左 下 の 部 分 を(左. 右 逆 転 して)就. 業 率 曲 線 に 当 て は め るの が. (上 下 逆 転 し て)当. て は め る の が γ ゼ の モ デ ル に な る 。 こ こで は ク ロ ス セ ク シ. ョ ン デ ー タ で パ ラ メ タQを. 測定 してみ る 。. 図2 一児 一,曹 -`. (_. 一. 一. 一rPr一. _.一. O.9. 44の モ デ ル で あ り 、 右 上 の 部 分 を. 一. 対数正規分布の密度関数 と分布関数 _. 一冒一. 上_. 『一. 一. 「-一. 曽.. 『}一. 一一凶 舮「 ,`. 皿. 一. 一一. 一一. }}T. 一一. Y. 一.一_一. …. 一一. 一. ;一一『r. 一. 一. 一. o.s. 匣一 一 ,P` 一. 一』. 一. 冖一. 一. 一 一罰 一一. 一__. 一一_一. _. ∠. '. でで._. レ/. 〆`. i. 一一 一___一. G.7. 一 一____.__一. / __/___ /. 一_. ' 一. ■. 一. 一一. 」 冖. 一T-『. 一. 一. 「一一『. 一. 冖. }. 一τ. -一. 一. 一. 幽.一. 一. 一. 一. 一. '. 冖}一. 0.6. 呻一一. 一. 一. 7一 一=『. 一一 一 一 一一 一}. 『. -}-}一. 冖鱈. 一一. 一. 幽. 『 _. 一一. 一一 一一・一 』 』一. 一. ■ 一 一幽一}一. /. '/ -. 4.5. 一一一 一 一一P一牾一 一. 齟 一. 一. 一一. __P. 一一. 噌. 一『. 一. 一一『. 一. 一. 停「. 7一一 一畆一一 一一. 一一一 一. 暫一影 一,一,_〒. _. 一. ,' /. 一一. 0.4. 一剥. '. 一一 一 一一!!1. 0.3. 」一iiζ. ＼. 一 一. 亨L. --. 曽'. 隅一 }皿. 0. _. 一7. -. ＼ 一. 一. 一. 一. G. 0. 亠一. 一 一. ..⊥一■ 三コll. 0.1. 一 一. 一一._`. /,' /i __.. 0.2. 一一 一』. 一. 『. 曹・一一. r噌. 一一一笥騨 冒糟. 一 一`冨. .. 「一. }』. 一. 一一一一一 舸. 一. z. _・一. 一. 駈. 一一. 』r,}. 聡. 一. 『. 一. _. 一一v一. 一. 凾}. 一 一一. 『. 叉. }一. 一 一『. 一. 一. 一 門『3. 一一皿. 一一}. 一. _一___. .＼. q畠. 9_ 冒. 一_冒. 斗. 一19一. 匸『. 一. .幽一. ＼. 一 一. 一. 一. ・}冖7-r,P. }一. -厂.

4.6. 識 別 性 ・尤 度 関 数 の 形. イ)対. 数 正 規 分 布 の 特 定 化 を 採 用 し た場 合 の 識 別 問 題 を 考 え る 。 対 数 正 規 分 布. を 用 い た2っ. の モ デ ル で 、 第k核. Pk=Φ(Z12k)=Pr{就. 業l. 所 得 階 層 の 就業 確 率 は 、. Ik}. (4.36). Z12 =Qlog{A+BIk} と な っ た 。 こ こ で は パ ラ メ タ θ'=【Q,A,. B]の. の 特 定 化 の 場 合 と 異 な り 、 臨 界 値(4.36)は. 識別 性 を検 討 す る 。 先 の正 規 分 布. 面 倒 な非 線 形 性 が含 まれ てい る。対. 数尤度関数は、 K. logL=const+認. 1. で あ る 。 こ こ でn・. M・9(P・)+(n・. は 第k階. 一r・)・1・9(1-P・). 層 で の 家 計 数 で 、rkは. (4・37). そ の 内就 業 してい る家 計 の. 数 で あ る 。パ ラメ タが 正 則 点 で局 所 識 別 可 能 で あ る ため の 必 要 十分 条 件 は 、 この 尤 度 関 数 の 情 報 行 列 が 正 値 定 符 号 行 列(非. 特 異 行 列)に. 分 布 の 特 定 化 の 場 合 と 同 じ よ う に し て 情 報 行 列Infを Inf・ ただし. 峯1n・ 〔_1_P k(1-Pk)〕 φkは. 点Z72kに. 譱 ・ ・[籌. な る こ とで あ っ た 。正 規 計算する と. φ ・2暑 警 器. (4.38). お け る正 規 密 度 関 数 で あ り、 ま た. 響. 籍]. (4.39). A+Blk A+Blk で あ る 。次 の 命題 が 得 られ る 。 補 助 定 理:. 対 数 正 規 分 布 の 特 定 化 の モ デ ル で 、0〈P、〈1と す る 。 パ ラ メ タ θ. が局所識別可能であ るための必要十分条件は行列. (4.40). [::i/k::::]=[Kx3J が 位 数3を. も っ こ とで あ る 。. こ れ を 更 に 展 開 す る 。 任 意 の 定 数 ベ ク トル[c,d,. 一20一. e)を 用 い て.

azk ζ ・rぴ. ●〔c・d・e]'. .c.1。9(A,BI、).d一. 一Q一一.+e」. 亜.. A+Blk. A+Blk. 1 2__..A+Blk{ψ ・ 一γ ・}. (4・41). ただ し ψk=c(A+BIk)109(A+BIk) vk=一dQ-eQIk と関数. ζkを. =. (4.42). 一D-ETk. 定 義 す る 。 この. ゼ ロ の ベ ク ト ル[c,d,. e]が. る 。 以 下 で は0〈P!k〈1と. ζkがk=1,...,Kに. 対 し てゼ ロ にな る よ う な 非. あ る時 、 また その 時 だ け情 報 行 列 は 特 異 行列 にな. し て お く 、 し た が っ て0〈A+Blk〈. 。。,一 。。〈Q〈+。 。 を前 提. に して い る 。 1)B=0の. 場 合;ψk=cAlog(A)=constで. あ るか ら、. d=cAlog(A)/Q. (4.43). e=0 とd≠0・eを. 定 め れ ば 、 ζk=0,k=1,...,. K,と. な る 。 し た が っ て 、 B=0の. 場. 合 、情 報 行 列 は・ 特異 行 列 で あ る 。 2)B≠0の 取 っ た 図3の. 場 合;こ. の 時 、Ikの. よ う に 描 け る(B>0の. 非 線 形 関数 時 、 ψkは. 強 凹 関 数 で あ る 。 〉 一 方 線 形 関 数A+Blkは. ψkの. に. ζk・0)と. のIkの. 下 向 き にIkを. う ち2っ. ≠0で. 目 盛 っ た 図3の. あ り、 情 報 行 列 は 非 特 異 行 列(正. 時は 第4象. 一 次 式 で あ る か ら 第1象 以 上 の1・. ら ば 、3っ. 値 定 符 号)で. 行 列 は 非 特 異 行 列 に な る 場 合 も あ る 。 作 図 で はB,cを. 限の. に 対 し て 、 ψk富 γ 、(故. な る こ と は な い こ と が 解 る 。 さ も な け れ ば 、 ψkは. 関 数 に は な ら な い 。 し た が っ て 、K≧5な. を. 強 凸 関 数 で あ る 。 逆 にB〈0の. 限 の 直 線 と な る 。 さ ら に 線 形 関 数vkはA+BIkの 直 線 に な る 。 図 よ り 、K個. グ ラ フ は 横 軸 にA+BI、. のkに. ある. 強 凸 あ る い は凹. っ い て かな らず. 。 た だ しK=3で. 4、. も情 報. プ ラ ス と想 定 して い る. が 、 符号 が 変 わ っ て も展 開 は 同 じで あ る 。 な お 、Ikの 値 が 大 き い 場 合 に 、 関 数 ψkは 近 似 的 に 直 線 に な る 。 そ し て 、 ψ 、 ≒vkし たが っ て ζk≒0と な る 事 は あ り う る 。 こ の 時 情 報 行 列 は 近 似 的 に 特 異. 一21一.

行 列 で あ り 、 そ の 逆 行 列 の 対 角 要 素 とな る推 定 値 の 分 散 は 計 算 不 能 と な っ た り 、 可 能 で あ っ て も 非 常 に 大 きな 値 と な る 。. 図3. 関数. ψkと. 箔,. 7'. k. 6. vk. 5. 4. 3. 皿. O. 上ー. ﹁. (乙. 1. a+$rk. 一. 一. -IF:. ⋮. ○. 一. 2. 一_.__⊥_一_一___一__⊥. 一__. 」一. ⊥_一____L. 1. 2. _____⊥___. _⊥. 一..____」__.__. 3. 4. 以 上 を 次 の 定 理 に ま とめ て お く 。 定 理7:. 対 数 正 規 分 布 モ デ ル に っ い て 、 パ ラ メ タ 空 間{[Q,A,. B]IB=O}の. 点. は 局所 識 別 不 可 能 で あ る 。 実 際 最 尤 推 定 値 を 得 る ため の 収 束 計 算 の 途 中 で こ の 領 域(の. 近 く)に 入 り 込 ん. だ 場 合 収 束 が 達 成 さ れ な い こ とが あ る 。 定 理8:. 対 数 正 規 分 布 モ デ ル に っ い て 、 パ ラ メ タ 空 間{[Q,A,. 正 則 点 を 考 え る 。 条 件;B≠0か っIkが. B】IB≠0}の. っ0〈P,w:〈1と す る 。 こ の 場 合 、 K≧5で. あ りか. 一 定 で な け れ ば 、 情 報 行 列 は 特 異 行 列 に な る こ と は な く局 所 識 別 可 能 で. あ る 。(K=3,4で. あ っ て も 局 所 識 別 に な り う る 。K≧3は. そ し て ・ パ ラ メ タ 空 間{【Q,A,. B]IB≠0}の. 必 要 条 件 で あ る 。). 全 て の点 は正 則 点 で あ る 。す な わ. ち この パ ラ メ タ 空 間 の ど の 点 で も そ の 近 傍 で 情 報 行 列 の ラ ン ク(位 数 〉 は 一 定 で. _22.

あ る 。 し た が っ て 、 上 記 の 条 件 の も と で 、 パ ラ メ タ 空 間{【Q,A,. BaIB≠0}の. ど. の 点 も局 所 識 別 可 能 で あ る 。 こ こ で は 誘 導 型 パ ラ メ タ の 識 別 性 を 問 題 に し たが 、 効 用 関 数 の パ ラ メ タ の 識 別 性 の 検 討 もこ こでの 展 開 を利 用 し て行 うこ とが で き る。. 図4. 対数正規分布 モデルの対数尤度関数 の形状(1). ●.零呈零 冨竃聟. 脚 k ㌦ 乱袴 ⋮. 暑 .g 星.6..書2i3.●8 .●..=呂=6⋮. ⋮. 6.⋮. 印. , ・ ・ 孟・ 一 隔. ま. . ド ボ! 心. .●竃﹂・. Q. ﹂㌻﹂. 一 籍 }. ・⋮i . ■ ⋮ 詈-`⋮ ・⋮ . 冒⋮ ⋮蟹⋮ ⋮ー 啣. ⋮ ㌔ ㌦ A. ㌦ 騎. - 塙蓋. ⋮ ⋮. ー. ー. 一 ⋮惹. 瓢⋮ ◎ 齢 嘩. 鴨 . 嶋 ﹃ 嚇. 卿. τ溺 r 旨.. 鴇 . ﹃ ... 日董 ⋮ ⋮ 日⋮ ⋮婦 冖. ⋮ ⋮ ⋮. ε二 ー..垂. ー. -⋮. ー ー、 口. ⋮ ⋮ ⋮. 8盆﹂﹁23 ・22 3.3 馨 .竃 82633 3●竃 電零 8。●33.葦. ㌃霊急”. 獣 “ 醐 ぐ 鱒 鱒 ㌦“. ・ 画 ぜ 贈蝿⋮ ⋮ 騨の 弓 轍. ・ 凾 . . 竃霤. 丶⋮ 櫨冖 界 習霜 ㍉肖消 蝦. 一. ⋮. 一. ー. ﹁8. 瑾. 跳剳. 靉雛一一瓣 一 一皿四酒 !零. 騨 .. ﹂. . :山 . 儡 . =鴨 一. J 旧 い. 嚇堯. コ誌 舜 ⋮ 露⋮ 冖糧臣⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮. 捧 . . . ・ ⋮ .. .F. 幾 碑⋮ ⋮﹂⋮⋮ ⋮. ⋮. づ ⋮} ぬ 拶⋮冖 淆. κ5. L. 1 0 輯π嚊. ﹁. ロ)対 数 尤 度 関 数 を グ ラ フ に し た も の が 図4、5、6で. あ る 。 モデ ル の臨 界 値. Z12k富Qlo9{A+BIk} に お い て3っ 尤 推 定 値B^に. の パ ラ メ タQ,A, 固 定 し 、Q-A平. Bが. あ る が 、 対 数 尤 度 関 数 の 変 数 の う ちBを. 面 上 に10gLを. 一23一. 描 か せ た 図 で あ る 。 図4は. 最. そ の遠.

景 で あ り 、logLは る 。logLが. 際 だ っ た 極 値 を 示 し て い な い 。 図5は. 一15000以. そ の ク ロ ーズ ア ップ で あ. 上 の値 を と る範 囲 で 対数 尤 度 関 数 を 拡 大 して得 たグ ラフ で. あ る 。最 尤 推 定 値 の 近 く に2っ. の 「尾 根 」が 見 られ 、 ま た鞍 点 が 見 ら れ る 。 そ れ. ぞ れ の 尾 根 に 極 大 値 が あ る 。 そ し て 東 北 側 の 尾 根 に 最 大 値 が あ る 。 図6は. こ の近. 傍 にお け る対 数 尤 度 関 数 の 等 高線 を描 い た も ので あ る。 最 大値 は 図 の ◇印 に あ る 。 な おQを. 固 定 して 対数 尤 度 関 数 の 等 高 線 を描 い た場 合 は ほ ぼ 楕 円状 に な る 。. 対 数 正規 分 布 の特 定 化 の場 合 の 尤 度 関 数 の強 凹性 を 示 して いな いが 、以上 の グ ラ フ で 、 少 な く と も この デ ー タ に 限 っ て は 、 局 所 的 最 大 値 従 っ て 最 尤 推 定 値 が 存 在 す る も の と考 え られ る 。. 図5. 対数正規分布 モデルの対数尤度関数 の形状(2). 礁編 一・;… 妻 ㌦.ド:『:ll! 馳 雪;. ...,. _r・ 》・ 「 認. 一 一24. :=ぐ 詞;弼.

図6. 対数 正規分布モ デルの対数尤度関数 の形状;等 高線. ﹁ 、 ⋮ .ー 5!ー ⋮ iー ー . ーー. ⋮ . 7 嫁ノ ぶ 掘 ! '. ♂・ . .. }・冒幽. 測 定 結 果2一. 譱 彈誠. 4.7. ド ⋮ .≒. .;. 一 ナ こごr. d帽 ﹁ 引ヨ .∼ 多. 丶. 0. 乂 、. .ノ. ミ 、. 二:三 ン. ㌧こ. A三. 対 数正 規 分 布 モ デ ル ー. 対 数 正 規 分 布 の 特 定 化 で は 測 定 の 際 に非 線 形 性 が 導 入 さ れ る 。 そ の た め 対 数 正 規 分 布 の モ デ ル に っ い て の 識 別 条 件 が 導 か れ た 。 そ し て 、 実 際 、K=15,. Ik≠l」 で. あ り、 局 所 識 別 可 能 で あ る 為 の 条 件 を 満 た し て い る 。 正 規 分 布 の 特 定 化 と く らべ て 対 数 正 規 分 布 の モ デ ル の ク ロ ス セ ク シ ョ ン デ ー タ に 対 す る説 明 力 が ど の 位 良 くな る の か を 測 定 に よ っ て 確 か め な け れ ば な らな い 。 臨界値 Z123Qlo9{A+BI} の パ ラ メ タQ,A,. (4。44) Bの 測 定 を お こ な う 。. 一25一.

測 定 はQの. 符 号 を 制 約 しな い で 行 っ て お り 、 先 述 の よ う に 、 推 定 さ れ たQの. 符 号 を 見 て 、y2Nの タQ,A,. モデル. と γ ゴ の モ デ ル の 妥 当 性 の 判 断 が で き る 。パ ラ メ. Bの 測 定 結 果 を 表2に. 表2. 冀 里L』 1-15. 二. ま とめ る 。. 対数正規分布のモデルの測定結果. A一 一=___==二 。_叢__。_⊥x2. 1-3.52$4. .94976. 1. 015.29]. [一1.24]. pd.f.logiSL. +.00074027. 1 18 .07. .12一.09. 1. -9269.26. [1.04]. 12. ロ ー 隔 鱒 ■ 一 勵 嗣 一 一 一 〇=====嵩======富===3==冒==冨====3=蟹. 曇 }. O.E. __==. 対数正規分布モデルの理論値 と観測値 T一冖. 曹,一. 一. }一. 一 『. 一 一一一一 一. 一一 一 一 一一_. 「 一}i. 一. ㎜. 0.5. ⊥. 図7. 竃=富===岩=3___. _. E =一. 0.4. {A一. D.3. 一 一山. 一-亠. 一. 匹. 一』. 一一. 一. 一. }一,一. 一. 噛. 曽一. -9辱』. 一. 曹 一,iρ ¶鮎浄一'一. o.z. 舮. 一. 一一. ・ 一. 窯. 一. 一 『」=「. 『 ■一. 一一帽,¶. 一-齟. 一. 一一. 一. 「r一. 一}-曝← 一. 一. 一____一. `一;轄. 」. 幽=一. 一. -. ＼. 、 ミ ＼. 0.1. 一膚 一. 』. 一一. 一,. 一. 一 一匿`一}. 一. 一. 一_一 0 0. 0.2. 『. 0.4. 一町. 一一 叫. =一. 一一. 0.5 Thousands). 一一. 一. ・一. 一一. 一τ一一一 『. 0 .8. 一卩. 一 冖. (. 一. 一. 1. 一 兀. 1.2. この測定 では対数正 規分布のモデルが 、適合度及び尤度の点で、正規分布 のモ デ ル よ り も か な り良 い 結 果 とな っ て い る 。 こ こ で は 提 示 し て い な い デ ー タ で 正 規 分 布 モ デ ル で 適 合 度 検 定 に合 格 し な い 場 合 で も 、 対 数 正 規 分 布 の 特 定 化 で は よ り 良 い適 合 度 を 示 す こ と が あ る 、 松 野(1991b)を. 一2s. 参照. 。 た だ し、 核 所 得 の 係 数Bの.

推 定 値 は 有 意 で は な い 。 正 規 分 布 の 特 定 化 よ り は 尤 度 は 大 き くな り これ らの モ デ ル は 改善 され る余 地 の あ っ た こ とを示 してい る。 そ して 、 この デ ー タ につ い て は Qは マ イ ナ ス に 推 定 さ れ て お り 、 ク ロ ス セ ク シ ョ ン デ ー タ に た い す る 当 て は め で は 、 γ ゼ を 対 数 正 規 分 布 と す る こ とが 適 当 で あ る こ と を 示 し て い る 。 適 合 度 を 見 る た め の グ ラ フ が 図7に. 与 え られ て い る 。. 5.. 非核世帯員2名 の雇用就業行動. 本 節 で は 非 核 世 帯 員 が 複 数 名 い る 場 合 を 考 え て 、 そ れ ら非 核 世 帯 員 の 個 々 の 就 業 背 動 に 関 す る モ デ ル を 構 成 す る 。 こ れ も 第3節. で述 べ た離 散 的選 択 の モ デ ルの. 応 用 と し て 扱 う こ とが で き る 。特 に 非 核 世 帯 員 が2名. い る場 合 に っ い て 、 こ の モ. デ ル の 細 か な 展 開 を 行 い 、 就 業 確 率 の 解 析 を 行 う 。 モ デ ル に従 い 観 察 値 を 整 理 し て 、2名. の非 核 世帯 員 の 就業 行 動 にっ い ての 規 則 性 を見 い だす 。 ただ し、利 用 で. き る デ._..タの 制 約 か ら 、 モ デ ル が 要 請 す る程 の 厳 密 な テ ス トは 行 っ て い な い 。 幾 分 退 い た テ ス トに な ら ざ る を 得 な い 。 こ の 節 で も種 々 の 特 定 化 が 採 用 さ れ 、 そ れ らの 説 明 力 の 比 較 が な さ れ る 。. 5.1. 複 数 非 核 世 帯 員 の モ デ ル ー2名. 一. 勤 労 家 計 を 考 え 、 こ の 家 計 に は 核 所 得 者 の 他 に就 業 可 能 な 非 核 世 帯 員 が2名 (妻 と1名 の 子 女)い る も の と す る 。 こ の2名 の 非 核 世 帯 員 あ 雇 用 就 業 行 動 を 問 題 とす る 。 こ れ ら非 核 世 帯 員 に対 し雇 用 就 業 機 会 が 開 か れ て お り 、2名 の 内 で 誰 が 、 そ して 何 名 就 業 す る の か 、 あ る い は 誰 も 就 業 し な い の か と い う問 題 を 考 え る。 可 能 性 と し て 、第1番 目 の 非 核 世 帯 員 に っ い て 就 業=非 就 業 の2っ の 状 態 が あ り 、 第2番 目 の 非 核 世 帯 員 に っ い て も 就 業 畿 非 就 業2っ の 状 態 が あ る 。 従 っ て2 名 全 員 が 就 業 す る 場 合 か ら初 め て0名 の 就 業 ま で4通 りの 可 能 性 が あ る 。 家 計 全 体 の(実 質)所 得 をXと A1, A2と す る 。 家 計 の 所 得=余 CJ=CJ(X,. し 、2人 の 非 核 世 帯 員 の そ れ ぞ れ の 余 暇 時 間 を 暇 の選 好 を表 す効 用 関 数 を. A 1・A・)・ ω(ξ). (5. _2?_. .1).

と す る 。 た だ し 、 ベ ク トル ξ'羅[0,ξ は3次 CJ. ユ,ξ2】 ≡ 【X,A1,. 元 効 用 場 の1点 2. ただし. (5.2). を 表 す 。 効 用 関 数 は 例 え ば2次. 形 式. 2 z ケΣ Σ m=On=O m=d. γmξm+一 γ 。,ｻ_. γmnむ ξmξn. ..ynm、 で あ る 。 この 効 用 関数 はパ ラ メタ. で あ り 、(3.2)の パ ラメ タ. A21. γ.に. (5.3). つ い て の1次. 関数. 形 を して い る 。. γ 臼'は 所 得 の 限 界 効 用 の 切 片 項 で あ る が 、 こ の パ ラ メ タ を 確 率 的 パ. ラ メ タ とす る 。 そ し て 、 分 布 の 密 度 関 数 は Ye`^一f(ye”)>0,. r<yo'<R =0,そ. の他. で あ る と す る 。 他 のY'は 第m番. (5.4). そ の 平 均 で あ るyに. 目 の 非 核 世 帯 員 に 対 し 賃 金 率Wrn,労. 恒 等 的 に等 しい とす る 。 働 時 間h,、. の雇 用 機 会 が 開 か れ て. い る もの とし、 非 核 世 帯 員 は この 雇用 機 会 を受 諾 す るか 拒 否 す るか の選 択 が 可 能 で あ る 。 非 核 世 帯 員2人. に 対 し て 開 か れ た賃 金 率 と労 働 時 間 に っ い て は次 を 仮 定. す る、 0〈h1,. h2≦T. (5.5). w2h2>翫h1>0. す な わ ち 、 雇 用 機 会 か ら 得 ら れ る 収 入w=Whの. 小 さ い 方 か ら 第1、. 帯 員 の 順 番 を 付 け て い る 。 ま た 、 各 自 の 総 持 ち 時 間 は 共 通 のTで 核 所 得 を1と ξd'=【1,T,. す れ ば 、2人. 第2と ある。. 共 非 就 業 とな る 選 択 肢 は 効 用 場 の 点. T】. (5.6). を 選 択 す る こ と に な る 。 第1非 ξ3'=【1+wユh1,. 核 世 帯 員 だ け が 就 業 す る な ら、 こ れ は 点. (5.7). T-h1,T】. の 選 択 に な る 。 第2非 ξ2㌔ 【1+w2h2,. T,. 核 世 帯 員 だ けが就 業 す るな ら、 こ れ は点 T-h21. の 選 択 に な る 。 も し2名 ξ1'・[1+wlh1州2h、,. 非 核世. (5.8). 共 就 業 す るな ら T-h,,T-h2】. (5.9). を 選 択 す るこ とに な る 。. 全部で4個 の選択肢が選択肢集合 を作 り、家計 はこの内か ら効用最大 になるも. _2g.

の を選 択 す る 。 そ して この選 択 は外 生 変 数 、各 家 計 の もっ 効用 関 数 の パ ラ メ タ 、 特 に 確 率 的 パ ラ メ タyoの. 5.2. 値 に依 存 す る。. 就業確率. 初 め に2個. の 就 業 機 会 が 与 え ら れ 、 そ れ ら は 唖h2>wlh1の. 条 件 を 満 たす も の と. し た 。 こ れ を 出 発 点 と し て 複 数 名 の 非 核 世 帯 員 が 就 業 す る場 合 の 就 業 条 件 が 導 か れ た 。 た と え ば 、2名 X=1+翫h1+w2h2,. 就 業 な ら家 計 の 所 得 と 余 暇 時 間 は. A1瞿 丁一h1,. A2=T-h2,. (5.10). と な る 。 こ の よ う に 複 数 名 の 就 業 も考 慮 し た 選 択 肢 の 集 合 は4個 =1 ,_,4,か. ら 成 る 。 ま た 、 第j選. の選 択 肢. 択 肢 が も た らす 家 計 の 所 得Xjは. 1累X4<1+疑1h1=X3<1+w2h2鶚X2〈1+Nlh1+w2h2=X1. (5.11). と 順 序 付 け ら れ る も の とす る 。 こ こ でXIは2人. が 就 業 の 時 の 所 得 で あ り 、Xqは. 2人 が 非 就 業 で あ る と きの 所 得 で あ る 。定 義 的 に 、 所 得Xが. 最 小 にな る選 択肢 と. 最 大 に な る 選 択 肢 が ど れ で あ る か は 分 か る 。2名 就 業 が 第1選 第4選. 1fj. 択 肢 で0名. 就 業が. 択 肢 で あ る 。 中 間 に位 置 す る 選 択 肢 の 所 得 も順 序 付 け られ る 。. も し、w2h2=曾1hな. らば 、余 暇 時 間 の短 い もの だ けが 選 択 の 可 能 性 を持 っ 。そ. れ 以 外 の も の は 恒 等 的 に 選 択 さ れ な い 。2人. の 内の いず れ の余 暇 時 間 を考 慮 す る. の か は効 用 関 数 のパ ラ メ タ に依 存 す る。恒 等 的 に選択 さ れな い選 択 肢 を選 択 肢集 合 か ら 除 外 す る 。2っ. の 賃 金 率 の 値 が わ か っ て い る な ら こ れ らの 操 作 は 可 能 で あ. る。 第j番. 目 の選 択 肢. ξjは. ξj'≡ …【Xj,A」1,A」21… 持 っ 。(5・11)の j選. 所 得 と 余 暇 時 間 の ベ ク トル … … ≡【ξi4,ξj1,ξ. 」2]. よ う に 所 得 は 順 序 っ け ら れ て お り 、 第3節. 、. (5.12). の 枠 組 み に 納 ま る 。第. 択 肢 を選 ん だ と き の 効 用 は 2 ωj詔 Σ m=O. 2 2 γ,,亀 ξj佩+Σ. Σ. γmn'ξjmn m=On=0. (5.13). ただ し、 ξjmn≡. 十 ξ 」m●ξjn. 、. (5.14). で あ る 。各 効 用 水 準 の 差 を 求 め る と ω 一Wj薯(Xi扁Xj)●(γo㌧. ηij). (5.15). _2g.

とな る 。 これ で 臨界 値. ηij,. 2 Σ γm吻(ξjバ m=1. i,j=1,,..,J,が. 定 義 され て. 2 ξim)+Σ. Σ m=On=0. 2 γmn(ξjmn一 ξimn). (w.一w;) と な る 。 た だ しw.は(5.11)で 勾i=aijゆ. 十βi”1. と な る 。 α'と η12鷁 α η23'GY. 定 義 され る 収 入 で あ る 。 こ れ を 整 理 す る と. β ゆ の 幾 っ か を 明 示 す る と. a12+β12幽1. (5.17). 23+β23'1. η34=α34白+β34'1 と 核 所 得 の 一 次 式 に な る 。 こ こ で 効 用 関 数 の パ ラ メ タ を ま とめ て γ=[γ1,γ2,γOD,γtO,γ20,γ11, と し 、 △=軌h1覗2h2と. Q't2ｫ_[÷. ・・勢. α…[÷. 仙 戦. ・0・蔑 ㌦. β12崩=[0,0,一1,. と な る 。. Co,. μ1黔. イ・凪L黔. 讐 ・気. 』甼 ⊥矍!イ・ 撃. イ ・4・L}}∠ ∼・÷. 1/Wi,. 一[0,0,一1,. a34. (5。18). す れ ば 、 各 誘 導 形 パ ラ メ タ は. α・3・ ・[髪 ・ 寒三物. N23￣. γ12,γ22】. ,07r. ≒1三 ,・ コγ ∼ユ 像 ≧ 皇 彑≧】γ. (5.19). 0,0,0,0]γ. h,/△,一h2/△,0,0,0]γ o,一1,. し た が. liw,,. o,. o,. o,. o]y. っ て. β12◎=β34'. (5.2U). α{2'一a34A=(_yeｩWiW2+γ1②W2+γ20Wi一. γt2)h2/Wi. で あ る 。 他 の 臨 界 値 ηi;=aij吻. η. も. 十βijｻ1. (5.21). と い う 一 次 式 で あ り、 各 誘 導 形 パ ラ メ タ の 関 係 は β13◎ 冨β24亀=一Yee+γzo/w2. (5.22). 一30一.

β14一. 一γ00+γ1gh1/(噺h1-w2h2)+γ2ah2/(恥h1一. α13'一. α24`一(α12”. 一a34の)翫h1/w2. 瞥2h2) ha. と な る 。 そ し て 選 択 確 率P1,_,. Paの. 性 質 を 検 討 す る た め に 第3節. の 諸 定 理 が 利 用 で. き る 。例 え ば 、 全 て の 選 択 確 率 が プ ラ ス に な る た め の 必 要 十 分 条 件 は. r〈rf 34<η23〈. (5.23). η12〈R. で あ り 、 こ の 時 の 各 選 択 確 率 は 、yoの P1=1 P2=F(rf. -F(Tj]2)=2名. 分 布 関 数 をFと. 就 業確 率. 12)一F(η23)5第2非. 核 世 帯=員 就 業 確 率:. Pa-F(・ η23)一F(η34)=第1非. 核 世 帯 員 就 業 確 率:. Pv=F(rJ. 34). して、. =0名. (5.24). 就業確率. と書 け る。. このモデルでは所得 に対 する選好の強い家計 ほど高い収入をもた らす選択 肢を 選ぶ 。これは より多数 の非核 世帯 員が就業す るこ とに通 じる。これは確率的パラ メタを所得の 限界効用 の切片項 に取 ったため である。同 じ所得水準を もた らす選 択 肢が あったな ら、その時 に非核 世帯員の余 暇時間が考慮 に入れ られ る 。どの非 核世帯員 の余 暇時間が考慮 され るかは効用パ ラメタに依存 する。これは先 に述べ た。 こ こ で 述 べ た モ デ ル と は 別 の 設 定 を す る 事 も可 能 で あ る 。 例 え ば 、 非 核 世 帯 員 の 余 暇 の 限界 効 用 の 切 片 項 を確率 的パ ラ メ タ とす る事 も で きる 。 しか し、 この 場 合 で は2個. のパラメタ. γ1',γ2噂 の 内 ど れ を 確 率 パ ラ メ タ に す る の か 問 題 が 残. る 。 一 般 的 に は 、 こ れ ら2個 の パ ラ メ タ が2次. 元 同 時 分 布 に従 う確率 的 パ ラ メ タ. で あ る とす る二 変 量 離 散的 モ デ ルが 必 要 にな る 。. 上のよ うに計算 され る臨界値 η の大小関係で各選択 確率 の性質が決 まる。そ こ で 、 各 臨 界 値 の 大 小 関 係 と し て 、 ど ん な 可 能 性 が あ る か を 調 べ る 。 まず 、 効 用 関 数 の パ ラメ タに対 し幾 っか の 制 約 を科 して、 その 下 で モ デル を展 開 す る ら の 制 約 は 複 数 非 核 世 帯 員 の モ デ ル に お い て ダ グ ラ ス=有 め の 条 件 と い え る 。1名. 。 これ 澤 の法 則 が 成立 す るた. の 非 核 世 帯 の モ デ ル に お け る 条 件 を 単 純 に2名 の 場 合 へ. と拡 張 した も の で あ る 。条 件 は 誘 導形 パ ラ メ タ に関 す る符 号 条 件 で あ っ て. 一31一. 、.

レ66γmγ. ]. 舵]WiW2=一10. (5.25). 0-1[ と マ イ ナ ス の 条 件 を 科 す も の で あ る 。 す る と β12'=β34'>0 β13'鬻. (5.26). β24ゆ>0. β14'詔(w,h1β12恵+wehzl3,s”)!(wlh1+W2hz)>0 β23.謬(Wth!β12㌔w2h2βt3)/△r? Iais”. 一a24”1<la,z”. sgn(α13㌔. 一asa”. α24')=sgn(α7G￣_. 34亀). と い う制 約 が 得 られ る 。 従 っ て 、 こ の 制 約 の も と で 、 η. は1の. 増 加 一 次 関 数 で. あ る 。 係 数a. は 大 ま か に2っ. 24(=a )の. の グ ル ー プ に 分 け ら れ 、 β12幽(・ β34つ. の 組 と. 1'`.. 組 で あ る 。 両 者 の 値 を 先 験 的 に 予 想 す る こ と は で き な い か ら 、 次 の2. っ の 可 能 性 を 考 え る 。 す な わ ち 、 β12。 呂β34'〈 β12・=β34・ の2通. β]3=β24' 〉β13・=. (5.27) 2a. (5.28). りで あ る 。 等 号 の ケ ー ス も 考 え られ る が 、 こ こ で は 扱 わ な い 。 ま たパ ラ メ. タa23*,β14'は. ど ん な 値 を と る か は 制 約 し な い で お く 。. さ ら に 、 パ ラ メ タ. δ. を. δ=一 γ0ｩW7W2+γ10w2+γ20. w1一 γ12. ω隰:i捌[i:1. と 定 め 、 δ>0と す る 。 δ>0あ. δ 〈0の2通 る いは. り の 場 合 を 考 え る 。 δ 躍0の. (5.29). ケ ー ス にっ いて は省 略. δ 〈0の 時 、 そ れ ぞ れ 、. α13。 〉α24・&'α12'〉. α34'. (5。30). α136<α24'&α12'〈. αSQ●. (5.31). 一32一.

と い う符 号 条 件 が 成 り 立 っ 。 以 上 の 様 に パ ラ メ タa” 関 し て2通. に 関 し て2通. り 、(5.27)と(5.28)、. え 、 ηijの. り 、(5.30)と(5.31)、. そして. の 組 合 せ が あ る 。 合 計4通. β.に. りの ケ ー ス を 考. 大 小 関 係 を 調 べ る 。 そ し て 就 業 確 率 の ス ペ ク トル を 導 く こ と に す る 。. こ れ ら は 次 項 で な さ れ る 。組 合 せ を 下 の 表 の よ う に 定 め て お く 。. 極 竺聖 ・ 〈 β13二 躯1壁. Q'13 CX13:;1:i::a,a,:::銑 圭1と 5.3. 型 望哩. ・ バ. ⊥;三ll. 就 業 の諸 形 態. 選 択 確 率:は 各 臨 界 値. η 及 び 分 布 の 上 限R、. 明 の 簡 単 の た め にR=+。. 下 限rの. 大小 関 係 で決 ま るが 、説. 。,r=一 。。、 あ る い は 、 少 な く と もR>ηij>rと. 前 提 して お. く。 ケ ー ス1の α!3'〉 α24.,α1ゼ. 〉α34',β1ゴ=β34'「. 〈β13“=β24噂. で あ る 場 合 の 選 択 確 率 の 性 質 を 調 べ る 。 ηuは して 、 η34は. Lと. η34の. 1.3と. る 平 行 四 辺 形 を 作 る 。 ま た 、 ηkiは て 図 の よ うに各 る各. 核 所 得1の. 勾 配(β つ が 等 し い か ら 、 図8に. 平 行 線 に な る 。 同 様 にrJ. ηijの. η24の M:jと. 所 得1がIbよ. Idと. C,. dに. 定める。. 満 た さ れ な い(定. 理1)。. の 選 択 肢 に つ い て は 条 件R>η12>η24>rが. >0,P2>o,. Pa>0で. あ る(定. -F(71]2)=2名. P2=F(η12)。F(η24)=第2非. 準 にお け. 対応 す る核 所 得. り 小 さ い 場 合 。 図 よ り 、 こ の 範 囲 で は 、 P3>0で. ηi3>・η3kが. η12,. ηi」 の 加 重 平 均 で あ る 。 し た が っ. 残 り の3っ. Pt=1. 見 られ る よ う に. グ ラ フ が 描 か れ る 。 こ れ を も と に 、 特 定 の1水. 水 準 を そ れ ぞ れ1、,Ib,1。,. め の 必 要条 件. 一 次 式で あ っ た 。 そ. 勾 配 も等 しい 。従 って図 に 見 られ. η の 大 小 関 係 が 判 定 で き る 。 こ こ で 図 の 点a,b,. 1)核. (5.32). 理4)。. し た が っ てPa=Oで. あるた ある。. 成 立 す る 。 し た が っ て 、P1. 加 えて 確率 は. 就業確率 核 世 帯 員 就業 確 率 、. 一33一. 1〈1.,. (5.33).

Pa=O. 3第1非 核世帯員就業確率. P4=F(づ724). ・0名 就業確率. と決 ま る 。. 臨界 値. ηijの. 関 係;ケ. 5 4 3. C. G 1. 0. ー ス1. // -. 銃. 6. 核 所 得1と. / 4 /. 図8. 彡f一 一.. 一1. _2. 一3. 一4. 一5. _…L. _6. Ic. ld 3. .. (丁hOUSGnds>. 2)核. 所 得1がIbと1。. の 中 間 に あ る 場 合 。 図 よ り 、 こ の 範 囲 で は 、4っ. 選 択 肢 に つ い て は 条 件R>η12>η23>η34>rが. 成 立 す る 。 これ は全 ての選 択 確 率. が プ ラ ス に な る た め の 必 要 十 分 条 件 で あ っ た(定 P3>Q,. P4>0で. の. あ る 。 加 え て 確 率:は. 一34一. 理2). 。 従 っ て 、P1>0,. P2>0,.