Irisan Dua Lingkaran

IRISAN DUA LINGKARAN

A.Persamaan Lingkaran

Gambar 2. memperlihatkan irisan kerucut berbentuk lingkaran. Pada gambar itu tampak bahwa bidang

datarnya mengiris seluruh bagian dari selimut dan tegak lurus sumbu kerucut.

Gambar 2. Irisan kerucut berbentuk lingkaran.

Tentunya, Anda masih ingat definisi lingkaran yang telah dipelajari di SMP. Agar Anda ingat kembali,

berikut ini disajikan definisi lingkaran.

Pengertian ingkaran !

ingkaran adalah tempat kedudukan titik"titik yang mempunyai jarak yang sama terhadap satu titik

tertentu.

#.

1. Persamaan Lingkaran Berpusat di O (0, 0) dan Berjari-jari r

Amati Gambar $.

Gambar 3. Lingkaran Berpusat di O (0, 0) dan Berjari-jari r.

%iketahui, titik P&', y( adalah titik sebarang pada lingkaran . Apabila titik P dipr)yeksikan pada sumbu"' maka diper)leh titik P* seh ingga segitiga +PP* adalah segitiga siku"siku di P*.

Pada segitiga +PP* berlaku Te)rema Pythag)ras sebagai berikut. +P2_{ &+P*(}2_{- &P*P(}2

 r

2

_{! "}

2

_{# $}

2

ingkaran  dapat dituliskan sebagai berikut.

L!

&', y( / '2

- y2

 r2

0

Pandang titik

%&("&, $&) pada 'O%&%&.

Pada segitiga tersebut berlaku

"&

2

# $&

2

! r

&2

.

Pandang titik

%2("2, $2) pada 'O%2%2.

Pada segitiga tersebut berlaku

"2

2

# $2

2

! r

22

,

dan seterusnya.

Secara umum untuk setiap titik P&', y( pada lingkaran ini berlaku

"

2

_{# $}

2

_{! r}

2

_.

1adi, persamaan lingkaran yang berpusat di +&, ( dan berjari"jari r adalah !

x

2

_{+ y}

2

_{= r}

2

_.

3)nt)h S)al # !

Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di &, ( dengan panjang jari"jari . Pembahasan !

1adi, persamaan lingkaran berpusat di &, ( dengan jari"jari adalah

"

2

_{# $}

2

 #2. 3)nt)h S)al 2 !

Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di titik &, ( dan melalui titik &45, 46(. Penyelesaian !

Persamaan lingkaran berpusat di &, ( dengan jari"jari r adalah !

"

2

_{# $}

2

_{! r}

2_{.... &#(}

+leh karena lingkaran melalui titik &45, 46( maka dengan mensubstitusikan &45, 46( pada persamaan &#(, diper)leh !

"

2

_{# $}

2

_{! r}

2

 (*)

2

_{# (+)}

2

_{! r}

2

 r

2 _{ $5 - 57  #}



.r  #

8emudian,

r

2_{ # substitusikan pada persamaan &#(, diper)leh}

_"

2

_{# $}

2_{ #.}

1adi, persamaan lingkarannya adalah

"

2

_{# $}

2

 #.

2. Persamaan Lingkaran dengan Pusat T (a, b) dan Berjari-Jari r

%iketahui, sebuah lingkaran berpusat di titik T&a,b( dengan jari"jari r seperti diperlihatkan pada Gambar 7.

Gambar . Lingkaran dengan %usat  (a, b) dan Berjari-ari r.

Titik P&', y( adalah titik sebarang pada lingkaran, garis g adalah garis yang melalui titik pusat T&a, b( dan sejajar dengan sumbu"'. Pr)yeksi titik P terhadap garis g adalah titik 9 sehingga segitiga TP9 siku" siku di 9.

%iketahui jarak T9  &' 4 a( dan jarak P9  &y 4 b(. Pada segitiga TP9 berlaku te)rema Pythag)ras sebagai berikut.

%

2

_{! /}

2

_{# %/}

2

_{ r}

2

_{! ("  a)}

2

_{# ($  b)}

2

ingkaran  dapat dituliskan sebagai berikut!

L 1(", $)("  a)

2

_{# ($  b)}

2

_{! r}

2

_

1adi, persamaan lingkaran yang berpusat di T&a, b( dan berjari"jari r adalah !

("  a)

2

_{# ($  b)}

2

_{! r}

2

Selanjutnya, persamaan tersebut dinamakan persamaan lingkaran standar &baku(. 3)nt)h S)al $ !

Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di &2,4#( dengan jari"jari . Persamaan lingkaran standar

("  a)

2

_{# ($  b)}

2

_{! r}

2

:ntuk pusat &2,4#( dengan jari"jari , diper)leh !

("  2)

2

_{# ($  (&))}

2

_!

_{ ("  2 )}

2

_{# ($ # &)}

2

_{! &+}

1adi, persamaan lingkarannya adalah

("  2 )

2

_{# ($ # &)}

2

_{! &+.}

3)nt)h S)al 7 !

Tentukan persamaan lingkaran standar dengan pusat T &$,47( dan menyinggung garis 7' 4 $y 4 7;  . Penyelesaian !

<umus jarak dari titik T

("&, $&)

ke garis a' - by - c   adalah !

1arak dari pusat T &$,47( ke garis 7' 4 $y 4 7;   adalah jari"jari lingkaran, yaitu !

("  3)

2

_{# ($ # )}

2

_{! 2.}

3. Bentuk Umum Persamaan Lingkaran

Anda telah mempelajari persamaan lingkaran yang berpusat di titik T &a, b( dengan jari"jari r, yaitu !

("  a)

2

_{# ($  b)}

2

_{! r}

2

1ika persamaan tersebut diuraikan maka diper)leh ! '2 4 2a' - a2 - y2 4 2by - b2  r2 '2 - y2

4 2a' 4 2by - &a2

- b2

4 r2

(  

"

2

_{# $}

2

_{# 4" # B$ # 5 ! 0}

dengan A  42a= >  42b= dan 3  &

a

2

_{# b}

2

_{ r}

2

(= A, >, dan 3 bilangan real. 1adi,

"

2

_{# $}

2_{- A' - >y - 3  }

adalah persamaan lingkaran yang berpusat di T&a, b( dengan jari"jari r, A  42a, >  42b, 3  a2_{- b}2_{4 r}2_,

A, >, dan 3 bilangan real.

3)balah Anda ubah persamaan lingkaran

"

2

_{# $}

2_{- A' - >y - 3   ke dalam bentuk kuadrat sempurna.}

Tuliskan langkah"langkahnya di buku tugas Anda, kemudian kumpulkan pada guru Anda.

1ika bentuk umum persamaan lingkaran itu diubah dalam bentuk kuadrat sempurna maka diper)leh !

"

2

_{# $}

2_{- A' - >y - 3  }

&

"

2_{- A'( - &}

_$

2_{- >y(  4 3}

%ari persamaan tersebut, diper)leh pusat lingkaran dan jari"jari

lingkaran 3)nt)h S)al ? !

Tentukan pusat dan jari"jari lingkaran

"

2

_{# $}

2_{4 7' - 5y 4 $  .}

1awaban !

"

2

_{# $}

2_{- A' - >y - 3  }

%engan demikian, A  47, >  5, dan 3  4$.

3)nt)h S)al 5 !

Tentukan pusat dan jari"jari lingkaran 2

"

2_{- 2}

_$

2_{4 7' 4#2y  ##.}

Penyelesaian !

:bahlah persamaan pada s)al menjadi bentuk umum, seperti berikut.

2"

2

_{# 2$}

2

_{ "  &2$  &0& ! 0}

↔ '2 - y2 4 2' 4 5y 4 & (  

%engan demikian, A  42, >  45, dan 3  4 & (

4. Posisi Titik terhadap Lingkaran

>entuk ge)metris persamaan lingkaran

(" 2)

2

_{# ($  2)}

2

_{! 6}

Gambar .Bentuk ge7metris persamaan lingkaran (" 2)2_{# ($  2)}2_{! 6.}

Pada gambar itu tampak bahwa titik

%&

&#, $( terletak di dalam lingkaran, titik

%2

&?, 2( terletak pada lingkaran, sedangkan titik

%3

&5, 4$( terletak di luar lingkaran.

Anda dapat mengetahui p)sisi titik P&

"&, $&

( terhadap lingkaran yang berpusat di T&a, b( berjari"jari r hanya dengan mengetahui jarak titik P&

"&, $&

( ke pusat lingkaran T&a, b(.

Gambar *.%7sisi titik %("&, $&) ter8adap lingkaran $ang berpusat di (a, b) berjari-jari r.

@ 1ika jarak titik P&

"&, $&

( ke pusat lingkaran T&a, b( kurang dari jari"jari lingkaran maka titik P&

"&, $

&(

berada di dalam lingkaran seperti diperlihatkan pada Gambar 5&a(. Secara matematis dit ulis /PT/  r

&'# 4 a(2 - &y# 4 b(2  r2 atau,

"&

2

_{# $&}

2

_{# 4"& # B$& # 5 9 0}

"&, $&

( ke pusat lingkaran T&a, b( sama dengan jari"jari lingkaran maka titik P&

"&, $&

( berada pada lingkaran seperti diperlihatkan pada Gambar 5&b(.

Secara matematis, ditulis /PT/  r

&'# 4 a(2 - &y# 4 b(2  r2 atau,

"&

2

_{# $&}

2

_{# 4"& # B$& # 5 ! 0}

"&, $&

( ke pusat lingkaran T&a, b( lebih dari jari"jari lingkaran maka titik P&

"&, $&

( berada di luar lingkaran seperti diperlihatkan pada Gambar 5&c(.

Secara matematis ditulis /PT/ B r

&'# 4 a(2 - &y# 4 b(2 B r2 atau,

"&

2

_{# $&}

2

_{# 4"& # B$& # 5}

B

0

3)nt)h S)al C !

Tentukanlah p)sisi titik A&?, #(, >&7, 47(, dan 3&5, $( terhadap lingkaran dengan persamaan

"

2

_{# $}

2_{4 7'}

- 5y 4 #2  . 1awaban !

Persamaan lingkaran

"

2

_{# $}

2

4 7' - 5y 4 #2   dapat diubah sebagai berikut. '2_{- y}2_{4 7' - 5y 4 #2  }

&'2_{4 7'( - &y}2_{- 5y( 4 #2  }

&'2_{4 7' - 7( - &y}2_{- 5y - ;( 4 #2   - 7 - ; ... kedua ruas ditambah 7 dan ;}

&' 4 2(2

- &y - $(2

4 #2  #$

("  2)2 # ($ # 3)

2

_{! 2}

Titik A &?, #( terletak pada lingkaran sebab

(  2)

2

_{# (& # 3)}

2

_{! 2.}

Titik > &7, 47( terletak di dalam lingkaran sebab !

(  2)

2

_{# ( # 3)}

2

_{9 2.}

Titik 3 &5, $( terletak di luar lingkaran sebab !

(*  2)

2

_{# (3 # 3)}

2

_{: 2.}

?. Posisi Garis terhadap Lingkaran

%iketahui garis g! y  m' - n, dan lingkaran !

L "

2

_{# $}

2

_{# 4" # B$ # 5 ! 0.}

'2_{- y}2_{- A' - >y - 3  } '2 - &m' - n(2 - A' - > &m' - n( - 3   '2_{- m}2_'2_{- 2mn' - n}2_{- A' - >m' - >n - 3  }

(& # m

2

_)"

2

_{# (2mn # 4 # Bm)" # n}

2

_{# Bn # 5 ! 0}

Dilai diskriminan persamaan kuadrat tersebut adalah ! %  b2_{4 7ac}

; ! (2mn # 4 # Bm)

2

_{ (& # m}

2

_{) (n}

2

_{# Bn # 5)}

@ 1ika % B , diper)leh dua buah akar real yang berlainan.

Secara ge)metris, garis g! y  m' - n akan mem)t)ng lingkaran '2

- y2

- A' - >y - 3   di dua titik yang berlainan, seperti pada Gambar C&a(.

@ 1ika %  , diper)leh dua buah akar real yang sama.

Secara ge)metris, garis g! y  m' - n akan mem)t)ng lingkaran '2_{- y}2_{- A' - >y - 3  , di satu titik.}

%ikatakan garis g menyinggung lingkaran tersebut, seperti diperlihatkan pada Gambar C&b(.

@ 1ika %  , diper)leh dua buah akar imajiner yang berlainan. Secara ge)metris, garis g ! y  m' - n tidak mem)t)ng atau menyinggung lingkaran '2

- y2

- A' - >y - 3   seperti diperlihatkan pada Gambar C&c(.

Gambar <. %7sisi Garis ter8adap Lingkaran.

3)nt)h S)al 6 !

%iketahui garis lurus g dengan persamaan y  m' - 2 dan lingkaran  dengan persamaan '2_{- y}2_{ 7. Agar}

garis g mem)t)ng lingkaran  di dua titik yang berbeda, tentukan nilai m yang memenuhi. 1awaban ! y  m' - 2 = maka, y2  &m' - 2(2  m2 '2 - 7m ' - 7 '2_{- y}2_{ 7} ↔ '2 - m2'2 - 7m' - 7  7

 (& # m2)"

2

_{# m" ! 0}

%iskriminan

; ! (m)

2

_{  (& # m}

2

_{) (0)}

%  #5 m2

Agar garis g mem)t)ng lingkaran  di dua titik maka haruslah % B . %engan demikian, #5m2_{B }

↔ m2 B 

 m : 0