41
ANALISIS AKIBAT INTEGRAL CAUCHY Ricky Antonius, Helmi, Yudhi
INTISARI
Analisis kompleks salah satu cabang matematika yang berperan penting di bidang matematika terapan, teknik, fisika dan bidang lainnya. Integral Cauchy merupakan bagian di analisis kompleks yang membantu dalam menyelesaikan rumitnya perhitungan integral. Integral Cauchy merupakan suatu metode yang hanya sebatas integral terhadap lintasan tertutup. Pada penelitian ini mengkaji tentang eksistensi Integral Cauchy dan memaparkan teorema-teorema akibat integral Cauchy. Teorema-teorema akibat integral Cauchy yang dipaparkan adalah teorema Morera, teorema ketaksamaan Cauchy, teorema Liouville, teorema dasar aljabar, teorema Nilai rata-rata Gauss, teorema modulus maksimum, teorema modulus minimum, dan teorema rumus integral Poisson untuk suatu lingkaran.
Kata Kunci: Integral Lintasan Tertutup, Integral Cauchy.
PENDAHULUAN
Analisis kompleks merupakan salah satu bagian dari ilmu matematika di bidang analisis yang mempelajari tentang konsep-konsep dan sifat-sifat dasar bilangan kompleks, topologi bilangan kompleks, limit dan kekontinuan fungsi variabel kompleks, fungsi analitik, pengintegralan kompleks dan lain-lain. Fungsi variabel kompleks dapat ditulis = + , dengan dan merupakan fungsi bernilai real dengan domain yang sama dengan domain fungsi .
Integral Cauchy merupakan salah satu bagian dari analisis kompleks yang membahas tentang integral pada lintasan tertutup. Integral Cauchy pertama kali dikenalkan oleh Augustin Louis Cauchy ilmuan matematika berkebangsaan Perancis pada tahun 1822. Augustin Louis Cauchy memperkenalkan intergral Cauchy dikarenakan rumitnya menyelesaikan perhitungan integral. Rumus integral Cauchy dari fungsi yang analitik pada kurva tertutup dan suatu titik didalam , yaitu
( ) = 1 2
( )
− .
Rumus integral Cauchy merupakan dasar munculnya beberapa teorema, yaitu Teorema Morera, Ketaksamaan Cauchy, Teorema Liouville, Teorema Dasar Aljabar, Teorema Nilai Rata-rata Gauss, Teorema Modulus Maksimum, Teorema Modulus Minimum, Teorema Argumen, Teorema Rouche, Rumus Integral Poisson untuk Lingkaran dan Separuh Bidang. Oleh karena itu penelitian ini mengkaji tentang eksistensi integral Cauchy dan memaparkan keterkaitannya integral Cauchy dengan akibat dari integral Cauchy.
INTEGRAL CAUCHY
Integral Cauchy merupakan rumus yang digunakan untuk memberikan nilai integral dari suatu fungsi analitik yang berada pada domain fungsi tersebut.
Teorema 1 (Integral Cauchy) [1] Jika ( ) analitik di kurva tertutup dan suatu titik didalam ,
di mana arah kurva tertutup sederhana bergerak berlawanan arah jarum jam maka,
( ) = 1 2
( )
− (1) Bukti:
Diambil sebarang lingkaran berjari-jari serta berpusat di yang berada di dalam kurva tertutup dan fungsi ( ) analitik di kurva tertutup sedemikan sehingga didapat
( )
− =
( )
− (2) Untuk persamaan lingkaran adalah | − | = ataupun = + , = dimana 0 ≤ < 2 . Dari persamaan lingkaran akan di substitusikan ke Persamaan (2) sehingga didapat:
( )
− = +
Karena ∮ ( ) = ∮ ( ) akibatnya, ( )
− = +
Dengan melimitkan kedua ruas didapatlah lim → ( ) − = lim→ + ( ) − = 2 ( ) ( ) = 1 2 ( ) − ∎ Dengan menggunakan induksi matematika, bentuk umum untuk formula turunan ke- dari ( ) di = dapat ditulis sebagai:
( )( ) = ! 2
( )
( − ) = 1,2,3, … (3) AKIBAT INTEGRAL CAUCHY
Berikut ini adalah beberapa teorema-teorema yang merupakan akibat integral Cauchy tersebut
Lemma 1 [1] Jika ( ) analitik dalam daerah terhubung sederhana , maka ∫ ( ) tidak bergantung pada lintasan dalam yang menghubungkan titik dan dalam .
Lemma 2 [1] Jika ( ) analitik dalam daerah terhubung dan misalkan dan titik di dalam , maka ( )= ∫ ( ) analitik dalam dan ( ) = ( ).
Suatu teorema memiliki syarat-syarat agar suatu teorema dapat berlaku. Dari teorema integral Cauchy akan dicari syarat perlu dari konvers teorema integral Cauchy sehingga muncul teorema Morera berikut.
Teorema 2 (Morera) [1] Jika ( ) kontinu dalam suatu daerah terhubung dan ∮ ( ) = 0
untuk setiap kurva tertutup sederhana dalam ℛ, maka ( ) analitik dalam . Bukti:
Jika ∮ ( ) = 0 untuk setiap kurva tutup sederhana , maka ( )= ∫ ( ) tidak bergantung pada lintasan yang menghubungkan dan sepanjang lintasan di dalam . Hal ini mengakibatkan ( ) analitik dalam dan ( ) = ( ). Karena ( ) analitik mengakibatkan ( ) juga analitik, dengan kata lain didapat bahwa ( ) analitik dalam .
Suatu fungsi yang terbatas pada interval tertentu maka turunannya akan terbatas juga.
Teorema 3 (Ketaksamaan Cauchy) [1] Jika ( ) analitik di dalam dan pada suatu lingkaran yang
berjari-jari dan berpusat di = dan dipilih konstanta yang merupakan batas dari | ( )| pada
sehingga | ( )| < pada maka,
( )( ) ≤ . ! = 0,1,2, … Bukti:
( )( ) = ! 2
( )
( − ) = 1,2,3, …
Karena lingkaran yang berjari-jari dan berpusat di = dapat ditulis juga dengan | − | = dan panjang lintasan adalah 2 maka:
( )( ) = ! 2 ( ) ( − ) ≤ ! 2 ( )
( − ) (dengan ketaksamaan segitiga) ( )( ) ≤ . ! ∎ Suatu tipe fungsi yang memenuhi syarat fungsi tersebut harus analitik dan terbatas.
Teorema 4 (Liouville) [2] Misalkan ( ) analitik, untuk setiap dalam bidang kompleks ( ) dan ( ) terbatas, yaitu | ( )| < untuk suatu konstanta . Maka ( ) merupakan suatu konstanta. Bukti:
Dengan menggunakan Teorema Ketaksamaan Cauchy yaitu ( )( ) ≤ . ! untuk = 1 diperoleh, | ( )| ≤
Dengan mensubtitusikan = diperoleh,
| ( )| ≤ lim
→ | ( )| ≤ lim→ | ( )| ≤ 0
( ) = 0 Dengan mengintegralkan ke dua ruas didapat
( ) = 0
( ) = ∎ Suatu fungsi memiliki banyaknya penyelesaian sesuai dengan pangkat tertinggi dari fungsi tersebut. Teorema 5 (Dasar Aljabar) [3] Setiap persamaan suku banyak ( )= + + + ⋯ +
berderajat ≥ 1 dan ≠ 0 memiliki paling sedikit satu akar. Ini mengakibatkan bahwa ( ) = 0 memiliki akar.
Bukti:
( ) merupakan fungsi polinomial akibatnya ( ) mempunyai turunan diseluruh . Karena ( ) mempunyai turunan diseluruh titik di peroleh ( ) merupakan fungsi analitik.
Andaikan ( ) tidak memiliki akar, maka ( ) = ( )
Untuk membuktikan ( ) merupakan fungsi terbatas dapat dimisalkan dengan
= + + ⋯ +
Sehingga didapat
( ) = ( + )
Dimisalkan terdapat suatu merupakan nilai positif yang sangat besar. Dengan memutlakkan dan menggunakan ketaksaamaan segitiga diperoleh
| | = + + ⋯ +
| | ≤ + + ⋯ + , untuk | | > Dipilih > 2 , akibatnya < sehingga untuk setiap | |> berlaku,
| | ≤ | | | | < | | 2 < | | 2 , untuk | | > Akibatnya diperoleh, | + | ≥ | | − | | >| | 2 , untuk | | > Dari ketaksamaan tersebut dapat dituliskan dengan,
( ) = | + || | >| | 2 | | > | | 2 , untuk | | > | ( )| = 1 | ( )|< 2 | | , untuk | | > Jadi ( ) merupakan fungsi terbatas.
Karena ( ) tidak memiliki akar persamaan akibatnya ( ) ≠ 0. Karena ( ) ≠ 0 didapat bahwa ( ) = ( ) selalu memiliki turunan disemua nilai . Karena ( ) memiliki turunan disemua nilai diperoleh bahwa ( ) analitik.
Dengan menggunakan Teorema Liouville berakibat bahwa ( ) dan ( ) merupakan konstanta, dan dengan kata lain ini terjadi kontradiksi dengan ( ) merupakan suku banyak. ∎
Suatu nilai-nilai dari suatu fungsi yang terbatas akan memiliki nilai rata-ratanya. Teorema 6 (Nilai Rata-Rata Gauss) [1] Jika ( ) analitik di lingkaran dengan pusat dan
berjari-jari , maka ( ) adalah nilai rata-rata dari ( ) pada , yaitu ( ) = 1
2 +
Bukti:
Dengan rumus pada integral Cauchy yaitu: ( ) = 1
2
( ) −
Diketahui lingkaran berjari-jari maka diperoleh persamaan adalah | − | = dengan kata lain = + . Dengan menurunkan kedua ruas maka diperoleh = .
Karena ( ) analitik di lingkaran C dengan pusat dan berjari-jari , maka dengan menerapkan persamaan integral Cauchy diperoleh
( ) = 1 2 + + − = 1 2 + ∎ Suatu fungsi yang terbatas pada interval, akan memiliki nilai maksimum pada interval tersebut. Teorema 7 (Modulus Maksimum) [1] Jika ( ) analitik di dalam dan pada suatu kurva tertutup
sederhana dan ( ) bukan merupakan konstanta, maka nilai maksimum dari | ( )|terletak pada . Bukti:
Karena ( ) analitik di dalam dan pada suatu kurva tertutup sederhana dan ( ) bukan merupakan konstanta, maka dapat menggunakan Teorema Nilai Rata-Rata Gauss yaitu:
( ) = 1
2 +
Dengan memutlakkan kedua ruas diperoleh, | ( )| = 1
2 +
| ( )| ≤ 1
Andaikan | ( )| adalah suatu nilai maksimum dari | ( )| maka + ≤ | ( )| untuk setiap . Akibatnya + < | ( )| untuk suatu . Tetapi dengan nilai rata-rata ( ) bahwa + lebih besar daripada | ( )| untuk | − | < sehingga terjadi kontradiksi. Dengan demikian haruslah ( ) konstanta. ∎
Suatu fungsi yang terbatas pada interval, akan memiliki nilai minimum pada interval tersebut. Teorema 8 (Modulus Minimum) [1] Jika ( ) analitik di dalam dan pada suatu kurva tertutup
sederhana dan ( )≠ 0 di dalam maka | ( )| mencapai nilai minimum pada . Bukti:
Karena ( ) analitik di dalam dan pada dan juga ≠ 0 di dalam , maka mengakibatkan 1/ ( ) analitik di dalam . Dengan Teorema Modulus Maksimum, 1/ ( ) tidak akan mencapai nilai maksimum di dalam dan akibatnya | ( )| tidak mencapai nilai minimumnya di dalam . Kemudian karena | ( )| memiliki suatu minimum maka nilai minimum tersebut harus tercapai pada . ∎ Suatu nilai fungsi harmonik di dalam suatu lingkaran sebagai suku-suku nilai fungsi tersebut pada batasnya.
Teorema 9 (Rumus Integral Poisson Untuk Suatu Lingkaran) [1] Misalkan ( ) analitik di dalam
dan pada lingkaran yang di definisikan oleh | |= . Jika = suatu titik di dalam , maka = 1
2
( − )
− 2 cos( − ) +
Jika ( , ) dan ( , ) adalah bagian real dan peta dari sedangkan ( , ) dan ( , )
adalah bagian real dan peta dari , maka
( , ) = 1 2 ( − ) ( , ) − 2 cos( − ) + dan ( , ) = 1 2 ( − ) ( , ) − 2 cos( − ) + Bukti:
Karena adalah suatu titik di dalam , maka menurut rumus integral Cauchy diperoleh ( ) = 1
2
( )
− (4) Invers titik terhadap terletak diluar dan di berikan oleh ⁄ .dengan menggunakan Teorema ̅ Cauchy diperoleh
0 = 1 2
( )
− ⁄ ̅ (5) Dengan mengeliminasikan Persamaan (4) dan (5) diperoleh
( ) = 1 2 1 − − 1 − ⁄ ̅ ( )
Misalkan = maka ̅ = dan = . Dengan menurunkan didapat = maka diperoleh = 1 2 1 − − 1 − ⁄ = 1 2 − ( ⁄ ) ( − )( − ( ⁄ ) ) = 1 2 ( − ) ( − )( − ) = 1 2 ( − ) ( − )( − ) = 1 2 ( − ) − 2 (cos( − )) +
Karena = ( , ) + ( , ) dan = ( , ) + ( , ) maka didapat ( , ) + ( , ) = 1 2 ( − ) ( , ) − 2 (cos( − )) + +2 ( − ) ( , ) − 2 (cos( − )) + ∎ PENUTUP
Suatu fungsi ( ) analitik di kurva tertutup dan suatu titik didalam maka ( ) = ∮ ( ) dan formula umum dari turunan ke- diperoleh ( )( ) = ! ∮ ( ( )) untuk = 1,2,3, …, yang di mana arah kurva tertutup sederhana bergerak berlawanan arah jarum jam. Akibat dari rumus integral Cauchy sebagai berikut:
a. Jika ( ) kontinu dalam daerah terhubung ℛ dan ∮ ( ) = 0, untuk setiap kurva tertutup sederhana dalam ℛ, maka ( ) analitik dalam ℛ.
b. Jika ( ) analitik di lingkaran yang berjari-jari dan berpusat di = maka ( )( ) ≤ . ! untuk = 0,1,2, …, di mana suatu konstanta sehingga | ( )| < pada , yaitu suatu batas dari | ( )| pada .
c. Misalkan ( ) analitik untuk setiap dalam bidang kompleks ( ) dan terbatas, yaitu | ( )| < untuk suatu konstanta M. Maka ( ) merupakan suatu konstanta.
d. Setiap persamaan suku banyak ( ) = + + + ⋯ + berderajat ≥ 1 dan ≠ 0 memiliki paling sedikit satu akar. Ini mengakibatkan bahwa ( ) = 0 memiliki akar. e. Jika ( ) analitik di lingkaran dengan pusat a dan berjari-jari , maka ( ) adalah nilai rata-rata
dari ( ) pada , yaitu ( ) = ∫ + .
f. Jika ( ) analitik di suatu kurva tertutup sederhana dan bukan merupakan konstanta, maka nilai maksimum dari | ( )| terletak pada .
g. Jika ( ) analitik di suatu kurva tertutup sederhana dan ( ) ≠ 0 di dalam maka | ( )| mencapai nilai minimum pada .
h. Misalkan ( ) analitik di lingkaran yang di definisikan oleh | | = . Jika = suatu titik di dalam , maka = ∫ cos( ) . jika ( , ) dan ( , ) adalah bagian real dan peta dari sedangkan ( , ) dan ( , ) adalah bagian real dan peta dari
, maka ( , ) = ∫ ( ) ( , )( ) dan ( , ) = ∫ ( ) ( , )( ) .
DAFTAR PUSTAKA
[1]. Spiegel MR. Peubah Komplek [Koko Martono, trans]. Jakarta: Erlangga; 2005.
[2]. Paliouras JD. Peubah Kompleks Untuk Ilmuwan dan Insinyur [Wibisono, Gunawan, trans]. Jakarta: Erlangga; 1987.
[3]. Churchill RV, Brown JW. Complex Variables and Applications. New York: McGraw-hill; 2009.
RICKY ANTONIUS : Jurusan Matematika FMIPA UNTAN, Pontianak, rickystealth@gmail.com HELMI : Jurusan Matematika FMIPA UNTAN, Pontianak, helmi132205@yahoo.co.id YUDHI : Jurusan Matematika FMIPA UNTAN, Pontianak, dhye_dhoank@yahoo.co.uk
