KOMPETENSI STATISTIKA
SKRIPSI
I KETUT PUTRA ADNYANA 1208405010
LEMBAR JUDUL
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS UDAYANA
BUKIT JIMBARAN 2016
ii
LEMBAR PENGESAHAN TUGAS AKHIR
Judul : Peramalan Jumlah Wisatawan Mancanegara yang Berkunjung ke Bali Menggunakan Fungsi Transfer
Kompetensi : Statistika
Nama : I Ketut Putra Adnyana
NIM : 1208405010
Tanggal Seminar :
Disetujui oleh:
Pembimbing II Pembimbing I
Ir. I Komang Gde Sukarsa, M.Si I Wayan Sumarjaya, S.Si, M.Stats NIP. 196501051991031004 NIP. 197704212005011001
Mengetahui:
Komisi Seminar dan Tugas Akhir Jurusan Matematika FMIPA Unud
Ketua,
I Wayan Sumarjaya, S.Si, M.Stats NIP. 197704212005011001
iii
Judul : Peramalan Jumlah Wisatawan Mancanegara yang Berkunjung ke Bali Menggunakan Fungsi Transfer Nama : I Ketut Putra Adnyana
NIM : 1208405010
Pembimbing : 1. I Wayan Sumarjaya, S.Si, M.Stats. 2. Ir. I Komang Gde Sukarsa, M.Si.
ABSTRAK
Tujuan dari penelitian ini adalah untuk mengetahui model dan ramalan jumlah wisatawan mancanegara yang berkunjung ke Bali (𝑦𝑡) menggunakan fungsi transfer berdasarkan nilai tukar USD terhadap IDR (𝑥𝑡) pada bulan Januari 2009 – Desember 2015. Model fungsi transfer merupakan suatu model peramalan deret waktu multivariat yang dapat digunakan untuk mengidentifikasi pengaruh nilai tukar dolar terhadap jumlah kunjungan wisatawan mancanegara ke Bali.
Pada tahap awal dalam model fungsi transfer multivariat yaitu menentukan model ARIMA pada variabel nilai tukar USD terhadap IDR. Model ARIMA terbaik dipilih berdasarkan nilai akaike information criterion (AIC) terkecil. Kemudian dilakukan tahap identifikasi model, pendugaan model fungsi transfer, dan pengujian diagnostik model.
Model fungsi transfer yang dihasilkan menjelaskan bahwa jumlah kunjungan wisatawan mancanegara ke Bali dipengaruhi oleh nilai kurs delapan bulan sebelumnya. Model peramalan enam bulan kedepan menghasilkan nilai mean absolute percentage error (MAPE) sebesar 9,62%. Hasil ramalan jumlah kunjungan wisatawan mancanegara yang berkunjung ke Bali selama enam bulan kedepan dari Januari 2016 sampai Juni 2016 diperoleh hasil ramalan: 343124, 352206, 346427,347478, 344469, dan 385457.
Kata Kunci: ARIMA, Model Fungsi Transfer, Nilai Tukar, Wisatawan Mancanegara yang berkunjung ke Bali
iv
Judul : Forecasting the Number of Tourist Arrivals to Bali Using Transfer Function
Nama : I Ketut Putra Adnyana
NIM : 1208405010
Pembimbing : 1. I Wayan Sumarjaya, S.Si, M.Stats. 2. Ir. I Komang Gde Sukarsa, M.Si.
ABSTRACT
The purpose of the research is to model and forecasting the number of tourist arrivals to Bali (𝑦𝑡) using transfer function model based on exchange rate USD to IDR (𝑥𝑡) from January 2009 – December 2015. Transfer function model is a multivariate time series forecasting model which can be used to identify the effect of the exchange rate to the number of tourist arrivals to Bali.
The first stage in multivariate transfer function model is calculation ARIMA model in exchange rate USD to IDR variable. The best model of ARIMA is chosen based on the value of the akaike information criterion (AIC) is the smallest. Then done stage identification of transfer function model, Estimation of transfer function model, and diagnostic checking of transfer function model.
The resulting transfer function model to explain that the number of tourist arrivals to Bali the effect of the exchange rate of the previous eight months. The forecasting model has a value mean absolute percentage error (MAPE) is equal to 9,62%. The number of tourist arrivals to Bali for the for the next six months from January 2016 – June 2016 is predicted: 343124, 352206, 346427,347478, 344469, and 385457.
v
KATA PENGANTAR
Puji syukur penulis panjatkan kehadapan Tuhan Yang Maha Esa karena berkat rahmat-Nya penulis dapat menyelesaikan proposal tugas akhir yang berjudul “Peramalan Jumlah Wisatawan Mancanegara yang Berkunjung ke Bali Menggunakan Fungsi Transfer” tepat pada waktunya.
Pada kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih kepada berbagai pihak yang telah memberikan bantuan sehingga proposal ini dapat tersusun dengan baik, antara lain:
1. Ibu Desak Putu Eka Nilakusmawati, S.Si, M.Si. selaku Ketua Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana yang telah membantu dalam kelancaran tugas akhir ini.
2. Bapak I Wayan Sumarjaya, S.Si, M.Stats. selaku pembimbing I yang telah banyak membantu dan membimbing dalam pelaksanaan penelitian dan penyusunan tugas akhir ini.
3. Bapak Ir. I Komang Gde Sukarsa, M.Si. selaku pembimbing II yang telah banyak memberikan bimbingan, dukungan, dan arahan, hingga terselesaikannya penelitian dan tugas akhir ini.
4. Dosen penguji yaitu Ibu Made Susilawati, S.Si, M.Si., Ibu I Gusti Ayu Made Srinadi, S.Si, M.Si., dan Bapak Ir. I Putu Eka Nila Kencana, M.T., yang telah memberikan banyak masukan dalam penyempurnaan tugas akhir ini. 5. Bapak/Ibu dari Komisi Seminar dan Tugas Akhir Jurusan Matematika yang
telah banyak membantu dalam kelancaran tugas akhir ini.
vi
memberikan dukungan moral dalam penyelesaian tugas akhir ini.
Penulis menyadari bahwa apa yang telah dipaparkan pada proposal tugas akhir ini masih jauh dari kata sempurna. Oleh karena itu kritik dan saran yang membangun sangat penulis harapkan.
Bukit Jimbaran, September 2016
vii
DAFTAR ISI
Halaman
LEMBAR JUDUL ... i
LEMBAR PENGESAHAN TUGAS AKHIR ... ii
ABSTRAK ... iii
KATA PENGANTAR ... iv
DAFTAR ISI ... vii
DAFTAR TABEL ... x
DAFTAR GAMBAR ... xi
DAFTAR LAMPIRAN ... xii
DAFTAR SIMBOL ... xiii
BAB I PENDAHULUAN ... 1
1.1 Latar Belakang ... 1
1.2 Rumusan Masalah... 4
1.3 Tujuan Penelitian ... 4
1.4 Manfaat Penelitian ... 5
BAB II TINJAUAN PUSTAKA ... 6
2.1 Peramalan ... 6
2.2 Konsep Dasar Analisis Deret Waktu ... 7
2.3 Proses Stokastik ... 7
2.4 Proses Stasioner ... 8
2.5 Fungsi Autokovarians dan Fungsi Autokorelasi ... 11
2.6 Fungsi Autokorelasi Parsial ... 12
2.7 Proses White Noise ... 12
2.8 Model Deret Waktu Stasioner ... 13
2.8.1 Model Autoregresif (AR)... 13
2.8.2 Model Rerata Bergerak (MA) ... 14
viii
2.9 Model Box – Jenkins (ARIMA) ... 15
2.10 Unit Root Test ... 16
2.11 Estimasi Parameter Model ... 18
2.12 Uji Diagnostik... 20
2.13 Akaike Information Criterion (AIC) ... 21
2.14 Fungsi Korelasi Silang... 22
2.15 Konsep dan Model Fungsi Transfer ... 23
2.15.1 Identifikasi Model Fungsi Transfer ... 25
2.15.2 Pendugaan Model Fungsi Transfer ... 27
2.15.3 Pemeriksaan Diagnostik Model Fungsi Transfer... 27
2.16 Konsep Pariwisata ... 29
2.16.1 Pengertian Pariwisata ... 29
2.16.2 Pengertian Wisatawan... 30
2.16.3 Kurs atau Nilai Tukar ... 31
BAB III METODE PENELITIAN... 32
3.1 Jenis dan Sumber Data ... 32
3.2 Variabel Penelitian ... 32
3.3 Langkah-langkah Analisis Data... 32
BAB IV ANALISIS DAN PEMBAHASAN ... 34
4.1 Identifikasi Data Deret Waktu ... 34
4.2 Penentuan Model ARIMA untuk Kurs ... 41
4.2.1 Estimasi Parameter ... 42
4.2.2 Uji Diagnostik ... 44
4.2.3 Pemilihan Model Terbaik Berdasarkan Nilai AIC ... 45
4.3 Identifikasi Model Fungsi Transfer ... 46
4.3.1 Prewhitening Deret Input... 46
4.3.2 Prewhitening Deret Output ... 47
4.3.3 Penghitungan Korelasi Silang Deret Input dan Output yang telah di Prewhitening ... 48
ix
4.3.4 Penetapan nilai (𝑏, 𝑠, 𝑟) untuk model fungsi transfer yang
menghubungkan deret input dan deret output ... 49
4.3.5 Identifikasi Deret noise ... 50
4.3.6 Menetapkan model ARIMA dari deret noise ... 51
4.4 Estimasi Parameter-parameter Model dari Model Fungsi Transfer ... 53
4.5 Uji Diagnostik Model Fungsi Transfer ... 54
4.6 Pemilihan Model Terbaik Berdasarkan Nilai AIC ... 56
4.7 Peramalan Jumlah Kunjungan Wisatawan Mancanegara ... 57
BAB V SIMPULAN DAN SARAN ... 58
5.1 Simpulan ... 58
5.2 Saran ... 58
DAFTAR PUSTAKA ... 59
x
DAFTAR TABEL
Tabel Halaman
4.1 Nilai statistik uji ADF pada Data Kurs yang Stasioner dan t tabel pada taraf α
sebesar 0,01; 0,05 dan 0,1 ... 40
4.2 Nilai statistik uji ADF pada Data Jumlah Kunjungan Wisatawan yang Stasioner dan t tabel pada taraf α sebesar 0,01; 0,05 dan 0,1 ... 40
4.3 Nilai dugaan parameter serta p-value model-model ARIMA ... 43
4.4 Uji Kecukupan Model ARIMA ... 44
4.5 Uji Kenormalan Residual Model ARIMA ... 45
4.6 Kriteria Pemilihan Model Terbaik ... 45
4.7 Penaksiran Bobot Respon Impuls ... 49
4.8 Persamaan Deret Noise untuk Masing-masing Calon Model ... 52
4.9 Model Fungsi Transfer untuk Masing-masing Model Deret Noise ... 52
4.10 Estimasi Parameter Fungsi Transfer ... 53
4.11 Model Fungsi Transfer dengan Parameter yang Telah diestimasi ... 53
4.12 Autokorelasi Residual Model Fungsi Transfer ... 54
4.13 Korelasi Silang Residual dan Deret Input ... 55
4.14 Kriteria Pemilihan Model Terbaik ... 56
4.15 Peramalan Jumlah Kunjungan Wisatatawan Mancanegara pada Bulan Januari 2016 sampai juni 2016 ... 57
xi
DAFTAR GAMBAR
Gambar Halaman
4.1 Plot data kurs bulan Januari 2009 sampai Juni 2015. ... 34 4.2 Plot data jumlah kunjungan setiap bulan wisatawan mancanegara ke Bali
bulan Januari 2009 sampai Juni 2015. ... 35 4.3 Plot dekomposisi klasik data kurs bulan Januari 2009 – Juni 2015. ... 36 4.4 Plot dekomposisi klasik data jumlah kunjungan setiap bulan wisatawan
mancanegara ke Bali bulan Januari 2009 – Juni 2015. ... 36 4.5 Plot ACF dan PACF data kurs bulan Januari 2009 – Juni 2015. ... 37 4.6 Plot ACF dan PACF data jumlah kunjungan setiap bulan wisatawan
mancanegara ke Bali bulan Januari 2009 – Juni 2015. ... 38 4.7 Plot deret waktu Kurs setelah differencing terhadap tren dan musiman ... 39 4.8 Plot deret waktu jumlah kunjungan wisatawan mancanegara ke Bali setelah
differencing terhadap tren dan musiman ... 39 4.9 Plot ACF dan PACF data Kurs hasil differencing terhadap tren dan musiman. ... 41 4.10 Plot korelasi Silang antara Deret Input dengan Deret Output ... 48 4.11 Plot ACF dan PACF deret noise ... 51
xii
DAFTAR LAMPIRAN
Lampiran
1. Data Kurs dan Jumlah Kunjungan Wisatawan Mancanegara
2. Petunjuk Penentuan Nilai Orde Pada Proses ARIMA Berdasarkan Plot ACF dan PACF
3. Luaran Minitab 17 untuk Model ARIMA Kurs
4. Program SAS Fungsi Transfer Kurs terhadap Jumlah Kunjungan Wisatawan Mancanegara
5. Deret Input, Output, Dugaan Awal Noise, dan Residual Model Fungsi Transfer 6. Luaran Program SAS untuk Model Fungsi Transfer
xiii
ACF Fungsi autokorelasi (autocorrelation function) AIC Akaike’s information criterion
AR Proses autoregresif
ARIMA Autoregressive integrated moving average
ARMA Autoregressive moving average
Cov Kovarians
MA Moving average
PACF Fungsi autokorelasi parsial (partial autocorrelation function)
Var (𝑍𝑡) Varians deret waktu 𝑍𝑡
𝑎𝑡 Galat white noise
𝑑 Banyaknya differencing
𝑛 Banyaknya data
𝑝 Orde AR
q Orde MA
𝑡 Indeks waktu
𝑇(𝑍𝑡) Transformasi data ke-t
𝑍𝑡 Nilai variabel Z pada waktu ke-t
∇ 𝑍𝑡 Nilai variabel Z pada waktu t setelah differencing
(1 − 𝐵)𝑑 Differencing orde ke-d
xiv
𝐿 Fungsi likelihood
𝒬 Statistik uji Ljung-Box
𝛾𝑘 Fungsi autokovarians pada lag-k 𝜌𝑘 Fungsi autokorelasi pada lag-k
𝜙𝑝 Koefisien model ARlag-p 𝜃𝑞 Koefisien model MAlag-q
𝜆 Parameter transformasi
𝜇 Rata-rata populasi
𝜎𝑎2 Nilai varians dari residual a
𝜙𝑘𝑘 Fungsi autokorelasi parsial lag-k
1
1.1 Latar Belakang
Peramalan adalah kegiatan untuk memperkirakan apa yang akan terjadi pada masa yang akan datang. Peramalan pada umumnya digunakan untuk memprediksi sesuatu yang kemungkinan besar akan terjadi pada masa depan, menggunakan informasi data-data pada masa lalu. Untuk mendapatkan hasil ramalan yang baik maka diperlukan model yang tepat dari data yang dianalisis. Pemilihan metode peramalan harus dilakukan dengan teliti agar tingkat keakuratan hasil ramalan bisa dipertanggungjawabkan.
Deret waktu (time series) adalah analisis yang mempertimbangkan pengaruh waktu secara beruntun. Data-data yang dikumpulkan berdasarkan urutan waktu seperti, jam, hari, minggu, bulan, kuartal, dan tahun dapat dianalisis menggunakan metode deret waktu. Data deret waktu dapat dijadikan dasar dalam pengambilan keputusan untuk memperkirakan kejadian yang terjadi di masa yang akan datang. Analisis deret waktu tidak hanya dapat dilakukan untuk satu variabel (univariat) tetapi juga dapat dilakukan lebih dari satu variabel (multivariat).
Model deret waktu yang paling populer dan banyak digunakan dalam peramalan deret waktu adalah model Autoregressive Integrated Moving Avarage
atau yang dikenal dengan model ARIMA. Model ARIMA merupakan gabungan dari metode penghalusan, metode regresi, dan metode dekomposisi yang digunakan untuk peramalan deret waktu model univariat. Untuk data deret waktu berganda
tidak dapat dilakukan analisis menggunakan model ARIMA, oleh karena itu diperlukan model-model multivariat. Analisis deret waktu model multivariat antara lain model fungsi transfer (transfer function model), model analisis intervensi (intervention analysis), Fourier analysis, analisis spectral, dan vector time series models.
Model fungsi transfer merupakan metode peramalan yang menggabungkan beberapa karakteristik dari model-model ARIMA dan beberapa karakteristik analisis regresi. Tujuan dari model fungsi transfer adalah untuk mengidentifikasi dan menduga parameter fungsi transfer serta pengaruh lain yang disebut dengan gangguan yang ada berdasarkan pada nilai variabel takbebas dan variabel bebasnya (Wei, 2006). Model fungsi transfer dapat digunakan untuk mendapatkan penentuan ramalan ke depan secara simultan, salah satunya pada bidang pariwisata.
Pariwisata merupakan salah satu sektor utama dalam meningkatkan ekonomi pada suatu negara. Pariwisata memberikan manfaat positif, yakni industri pariwisata mampu meningkatkan kesempatan kerja dan membuka lapangan pekerjaan. Dalam perkembangannya, pariwisata erat kaitannya dengan usaha jasa transportasi, penjualan paket wisata, industri kerajinan tangan, hotel dan restoran, yang tentu mendapatkan manfaat positif dari kemajuan sektor pariwisata. Salah satu daerah di Indonesia yang mendapatkan imbas dari sektor pariwisata adalah Bali.
Bali merupakan salah satu provinsi di Indonesia yang berkembang dominan pada sektor pariwisata. Sebagian besar pendapatan penduduk Bali berasal dari industri pariwisata, sehingga tidak mengherankan industri pariwisata di Bali menjadi pilar pertumbuhan ekonomi. Seiring perkembangan zaman, Bali menjadi
terkenal hampir ke seluruh dunia. Hal ini dibuktikan dengan kegiatan internasional yang sering dilakukan di pulau Bali. Di samping itu, Bali juga memiliki keunggulan dan keunikan, seperti keanekaragaman tempat wisatanya dan keindahan alamnya, keramah tamahan penduduknya, adat istiadat dan budaya serta lainnya. Mengingat semakin mudah promosi yang bisa dilakukan dengan kemajuan teknologi sekarang, sangat mungkin pariwisata di Bali akan berkembang serta jumlah kunjungan wisatawan semakin meningkat.
Sebagai daerah tujuan wisata dengan keunggulan dan keunikan objek atraksi wisata yang dimiliki, budaya yang beranekaragam pada setiap daerah, Bali telah didukung oleh sarana dan prasarana pariwisata yang cukup baik seperti, sarana akomodasi dan sarana transportasi. Motivasi seseorang untuk berkunjung ke Bali cenderung meningkat. Motivasi seseorang dalam melakukan perjalanan wisata sangat dipengaruhi oleh pendapatan, harga atau kurs, kualitas, hubungan politik antara dua negara, perubahan cuaca atau iklim, peraturan pemerintah, dan teknologi pengangkutan atau transportasi (Yoeti, 1985, p. 69).
Kurs atau nilai tukar sangat berpengaruh dalam perjalanan wisata, seseorang akan mempertimbangkan perjalanan wisata terkait dengan kurs. Dengan demikian persiapan dalam melakukan perjalanan wisata terhadap biaya yang dikeluarkan dan harga-harga pariwisata dapat dipertimbangkan. Terkait dengan kegiatan pariwisata, kurs mata uang suatu negara terhadap negara lain dapat memengaruhi minat seseorang untuk melakukan perjalanan wisata. Semakin besar nilai tukar mata uang suatu negara terhadap rupiah, maka kecenderungan warga negara tersebut untuk melakukan perjalanan wisata semakin besar.
Penelitian yang telah dilakukan mengenai metode fungsi transfer adalah pemodelan jumlah penderita HIV/AIDS terkait kunjungan wisatawan di Kabupaten Badung dan Kota Denpasar (Wiradarma, 2011) dan penelitian yang dilakukan oleh Hasanah (2015) yaitu pada pemodelan hubungan curah hujan dengan suhu dan kelembapan untuk meminimalkan kerugian yang diakibatkan bencana banjir.
Memandang kegunaan dari fungsi transfer untuk mengidentifikasi dan menduga parameter fungsi transfer serta pengaruh lain yang disebut dengan gangguan yang ada berdasarkan pada nilai variabel takbebas dan variabel bebasnya, penulis tertarik untuk meneliti tentang peramalan pengaruh kurs dolar terhadap jumlah kunjungan wisatawan mancanegara ke Bali tahun 2016 dengan menggunakan fungsi transfer.
1.2 Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang yang telah diuraikan, rumusan masalah yang diajukan dalam penelitian ini adalah sebagai berikut:
1. Bagaimana model fungsi transfer jumlah kunjungan wisatawan mancanegara ke Bali berdasarkan nilai kurs dolar?
2. Berapa prediksi jumlah wisatawan mancanegara yang akan berkunjung ke Bali bulan Januari 2016 – Juni 2016?
1.3 Tujuan Penelitian
Adapun tujuan dari penelitian ini adalah sebagai berikut:
1. Memodelkan jumlah wisatawan mancanegara yang berkunjung ke Bali menggunakanfungsi transfer.
2. Mengetahui prediksi jumlah wisatawan mancanegara bulan Januari 2016 – Juni 2016 yang berkunjung ke Bali.
1.4 Manfaat Penelitian
Hasil dari peramalan jumlah kunjungan wisatawan mancanegara ke Bali dapat digunakan sebagai pertimbangan bagi pemerintah untuk melaksanakan kebijakan-kebijakan pada bidang pariwisata serta sebagai informasi yang bermanfaat dalam meramalkan jumlah kunjungan wisatawan mancanegara yang akan terjadi pada masa mendatang.
6
Bab ini membahas konsep peramalan, konsep deret waktu, proses white noise, proses stasioner, fungsi autokovarians dan fungsi autokorelasi (ACF), fungsi autokorelasi parsial (PACF), proses white noise, model deret waktu stasioner (AR, MA, ARMA, ARIMA), kriteria Akaike (AIC), estimasi parameter, korelasi silang, konsep model fungsi transfer serta konsep pariwisata.
2.1 Peramalan
Peramalan adalah kegiatan untuk memperkirakan apa yang akan terjadi di masa yang akan datang. Peramalan biasanya dilakukan dengan metode-metode tertentu yang bertujuan untuk mengurangi ketidakpastian terhadap sesuatu yang akan terjadi pada masa yang akan datang. Metode peramalan dibagi ke dalam dua kategori utama yaitu metode kualitatif dan metode kuantitatif (Makridakis, et al., 1999, p. 8).
1. Metode Peramalan Kualitatif
Metode peramalan kualitatif adalah metode peramalan yang dilakukan berdasarkan data kualitatif pada masa lalu (Makridakis, et al., 1999, p. 8). Hasil peramalan yang dibuat sangat bergantung pada orang yang menyusunnya, karena hasil peramalan dipengaruhi oleh pemikiran yang bersifat intuisi, penilaian (judgment), pendapat, pengetahuan serta pengalaman dari penyusunnya.
2. Metode Peramalan Kuantitatif
Metode peramalan kuantitatif adalah metode peramalan yang dilakukan berdasarkan data kuantitatif pada masa lalu. Hasil peramalan bergantung pada metode yang dipergunakan dalam peramalan tersebut.
Metode peramalan kuantitatif dibagi menjadi dua bagian, yaitu metode kausal dan metode deret waktu. Metode kausal didasarkan pada hubungan sebab akibat dan peramalan dilakukan dengan dugaan adanya hubungan antarvariabel yang satu dengan yang lainnya. Pada metode ini dikenal variabel takbebas dan variabel bebas. Metode deret waktu menggunakan data yang dikumpulkan, dicatat, atau diamati berdasarkan urutan waktu dan peramalannya dilakukan berdasarkan pola tertentu dari data. (Makridakis, et al., 1999, p. 9).
2.2 Konsep Dasar Analisis Deret Waktu
Deret waktu adalah himpunan observasi yang terkumpul atau hasil observasi yang mengalami peningkatan waktu (Box, et al., 2016, p. 21). Data deret waktu merupakan suatu data yang dipengaruhi oleh waktu. Data ini dikumpulkan, dicatat ataupun diamati berdasarkan urutan waktu dengan interval waktu yang sama misalnya harian, bulanan, dan tahunan.
2.3 Proses Stokastik
Proses stokastik merupakan rangkaian variabel acak pada suatu indeks waktu dan dinyatakan dalam 𝑍(𝜔, 𝑡) untuk 𝑡 = 0, ±1, ±2, … dengan 𝜔 adalah ruang sampel dan 𝑡 adalah indeks waktu. Deret waktu (𝑍1, 𝑍2, … , 𝑍𝑛) merupakan salah satu bagian dari suatu proses stokastik.
2.4 Proses Stasioner
Makridakis et al. (1999), menggambarkan konsep stasioneritas secara praktis (non-statistik) sebagai berikut:
1. Apabila suatu deret waktu diplot, dan kemudian tidak terbukti adanya perubahan nilai tengah dari waktu ke waktu, deret waktu tersebut dikatakan stasioner pada nilai tengahnya (mean),
2. Apabila plot deret waktu tidak memperlihatkan adanya perubahan ragam (varians) yang jelas dari waktu ke waktu, deret waktu tersebut dikatakan stasioner pada variansnya.
Secara umum, suatu data dikatakan stasioner apabila: 1. fungsi rata-rata dari 𝑍𝑡 adalah konstan yakni𝐸(𝑍𝑡) = 𝜇,
2. fungsi varians dari 𝑍𝑡 adalah konstan yaknivar(𝑍𝑡) = 𝐸(𝑍𝑡− 𝜇)2 = 𝜎𝑎2, dan 3. fungsi kovarians antara 𝑍𝑡 dengan 𝑍𝑡+𝑘 adalah konstan dengan cov(𝑍𝑡, 𝑍𝑡+𝑘) =
𝐸(𝑍𝑡− 𝜇)(𝑍𝑡+𝑘− 𝜇) = 𝛾𝑘.
dengan 𝑍𝑡 menyatakan data ke-t, 𝜇 menyatakan nilai rata – rata dari suatu populasi,
𝜎𝑎2 menyatakan nilai varians dari residual a pada data, dan 𝛾𝑘 menyatakan kovarians pada lag-k (Wei, 2006, p. 7).
Suatu proses stokastik {𝑍𝑡} dikatakan stasioner kuat jika distribusi peluang bersama dari 𝑍𝑡1, 𝑍𝑡2,…,𝑍𝑡𝑛 dan distribusi peluang bersama dari 𝑍𝑡1−𝑘, 𝑍𝑡2−𝑘,…, 𝑍𝑡𝑛−𝑘 adalah sama untuk setiap pilihan dari waktu 𝑡1, 𝑡2,…, 𝑡𝑛 dan setiap pilihan lag waktu 𝑘. Sedangkan deret waktu {𝑍𝑡} dikatakan stasioner lemah jika fungsi rata-rata adalah konstan sepanjang waktu 𝜇𝑡= 𝜇 dan fungsi autokovarians 𝛾𝑡,𝑡−𝑘= 𝛾0,𝑘 untuk setiap waktu 𝑡 dan lag k (Cryer, 1986).
Apabila suatu data deret waktu tidak stasioner dalam rata-rata maka dapat diatasi dengan melakukan pembeda (differencing). Differencing merupakan pengurangan data tertentu dengan data sebelumnya. Operator yang digunakan untuk menggambarkan differencing adalah operator backward shift (B) (Makridakis, et al., 1999, p. 383), yang persamaannya adalah
𝐵𝑍𝑡 = 𝑍𝑡−1. (2.1)
Notasi B yang dipasang pada persamaan (2.1) mempunyai pengaruh menggeser data satu periode waktu ke belakang. Untuk menggeserkan data dua periode waktu ke belakang dapat dilakukan dengan cara yang sama, yaitu melalui persamaan:
𝐵(𝐵𝑍𝑡) = 𝐵2𝑍
𝑡 = 𝑍𝑡−2. (2.2)
Differencing untuk orde pertama dapat dinyatakan dalam persamaan
∇ Z𝑡= 𝑍𝑡− 𝑍𝑡−1 (2.3)
dengan ∇ 𝑍𝑡 adalah nilai variabel Z pada waktu t setelah differencing. Berdasarkan persamaan (2.1), persamaan (2.3) dapat ditulis menjadi
∇ 𝑍𝑡 = (1 − 𝐵)𝑍𝑡. (2.4)
Notasi (1 − 𝐵) pada persamaan (2.4) menyatakan notasi differencing orde pertama. Jika data belum stasioner dalam rata-rata melalui differencing orde pertama, maka dilakukan differencing orde kedua.
Differencing orde kedua adalah differencing pertama dari differencing
pertama sebelumnya (Makridakis, et al., 1999, p. 353), yaitu:
∇(∇ 𝑍𝑡) = ∇2𝑍
𝑡= ∇ 𝑍𝑡− ∇ 𝑍𝑡−1
= (𝑍𝑡− 𝑍𝑡−1) − (𝑍𝑡−1− 𝑍𝑡−2)
= (1 − 2𝐵 + 𝐵2)𝑍 𝑡
= (1 − 𝐵)2𝑍𝑡. (2.5)
Dengan demikian, differencing orde kedua yang ditunjukan pada persamaan (2.5)
dinotasikan oleh (1 − 𝐵)2.
Jika data belum stasioner dalam rata-rata maka dilakukan differencing
kembali sampai data mencapai stasioner dalam rata-rata. Oleh karena itu, secara umum differencing orde ke-d untuk mencapai stasioner, dinotasikan dengan
∇𝑑𝑍𝑡 = (1 − 𝐵)𝑑𝑍𝑡, 𝑑 ≥ 1 . (2.6)
Secara umum, suatu data yang tidak stasioner dalam rata-rata, setelah
differencing orde pertama akan menghasilkan data yang stasioner dalam rata-rata. (Makridakis, et al., 1999, p. 383).
Selain menstasionerkan data terhadap nilai tengah, proses stasioner juga diperlukan terhadap varians. Untuk menstasionerkan data yang belum stasioner dalam varians dapat dilakukan dengan proses transformasi. Secara umum, untuk mencapai stasioner dalam varians dilakukan dengan power transformation (𝜆)
yaitu (Wei, 2006, p. 85): 𝑇(𝑍𝑡)= { 𝑍𝑡(𝜆)−1 𝜆 , 𝜆 ≠ 0, ln 𝑍𝑡, 𝜆 = 0, (2.7)
dengan 𝜆 menyatakan parameter transformasi dan 𝑇(𝑍𝑡) menyatakan transformasi data ke-t.
2.5 Fungsi Autokovarians dan Fungsi Autokorelasi
Menurut Makridakis et al. (1999), statistik kunci dalam analisis deret waktu adalah koefisien autokorelasi. Autokorelasi (ACF) dapat digunakan untuk menetapkan apakah terdapat suatu pola (AR, MA, ARMA atau ARIMA) dalam suatu kumpulan data. Apabila tidak terdapat pola dalam kumpulan data maka kumpulan data tersebut bersifat acak. Autokorelasi galat nilai sisa dapat dihitung untuk menetapkan apakah data tersebut acak setelah suatu model peramalan dipilih.
Pada keadaan stasioner 𝑍𝑡 memiliki nilai rata-rata konstan 𝐸(𝑍𝑡) dan varians yang konstan Var(𝑍𝑡) = 𝐸(𝑍𝑡− 𝜇)2 = 𝜎𝑎2. Fungsi autokovarians dapat didefinisikan oleh
𝛾𝑘 = Cov (𝑍𝑡, 𝑍𝑡+𝑘) = 𝐸(𝑍𝑡− 𝜇)(𝑍𝑡+𝑘− 𝜇), (2.8)
sedangkan korelasi antara 𝑍𝑡 dan 𝑍𝑡+𝑘 didefinisikan
𝜌𝑘= Cov (𝑍𝑡, 𝑍𝑡+𝑘) √Var(𝑍𝑡)√Var(𝑍𝑡+𝑘)
=𝛾𝑘
𝛾0, (2.9)
dengan Var(𝑍𝑡) = Var(𝑍𝑡+𝑘) = 𝛾0. Sebagai fungsi dari 𝑘 maka 𝛾𝑘 disebut fungsi autokovarians dan 𝜌𝑘 disebut fungsi autokorelasi dalam analisis deret waktu. Simbol 𝛾𝑘 dan 𝜌𝑘 berturut-turut menunjukkan kovarians dan korelasi antara 𝑍𝑡 dan
2.6 Fungsi Autokorelasi Parsial
Salah satu tujuan PACF di dalam analisis deret waktu adalah untuk membantu menetapkan model ARIMA yang tepat untuk peramalan. Autokorelasi parsial menyatakan hubungan keeratan antara 𝑍𝑡 dan 𝑍𝑡+𝑘 setelah ketergantungan linear dengan variabel 𝑍𝑡+1, … , 𝑍𝑡+𝑘−1 dihilangkan. Wei (2006, p. 13) menyatakan bentuk umum autokorelasi parsial
𝜙𝑘𝑘 = Cov [(𝑍𝑡− Ẑ𝑡), (𝑍𝑡+𝑘− Ẑ𝑡+𝑘)] √Var(𝑍𝑡− Ẑ𝑡)√Var(𝑍𝑡+𝑘 − Ẑ𝑡+𝑘)
, (2.10)
dengan 𝑍𝑡 merupakan barisan variabel acak, Ẑ𝑡 merupakan dugaan dari 𝑍𝑡, dan 𝑘
merupakan lag.
2.7 Proses White Noise
Menurut Wei (2006, p. 15), suatu proses dikatakan white noise jika terdapat barisan variabel acak yang tidak saling berkorelasi dengan nilai rata-rata konstan
𝐸(𝑎𝑡) = 𝜇𝑎 = 0, dengan Var(𝑎𝑡) = 𝜎𝑎2 serta 𝛾𝑘 = Cov (𝑎𝑡, 𝑎𝑡+𝑘) = 0 untuk semua 𝑘 ≠ 0. Suatu proses white noise dikatakan stasioner apabila nilai fungsi autokovarians, autokorelasi, dan nilai fungsi autokorelasi parsialnya adalah sebagai berikut:
a) Nilai fungsi autokovarians
𝛾𝑘 = { 𝜎𝑎
2, 𝑘 = 0;
b) Nilai fungsi autokorelasi
𝜌𝑘 = { 1, 𝑘 = 0;
0, 𝑘 ≠ 0; (2.12)
c) Nilai fungsi autokorelasi parsial
𝜙𝑘𝑘 = { 1, 𝑘 = 0;
0, 𝑘 ≠ 0; (2.13)
Suatu proses dikatakan white noise apabila nilai ACF dan PACF sama dengan nol.
2.8 Model Deret Waktu Stasioner 2.8.1 Model Autoregresif (AR)
Menurut Wei (2006, p. 33), secara sistematis model ini ditulis dalam bentuk persamaan sebagai berikut:
𝑍𝑡= 𝜙1𝑍𝑡−1+ ⋯ + 𝜙𝑝𝑍𝑡−𝑝+ 𝑎𝑡 (2.14)
atau
𝜙𝑝(𝐵)𝑍𝑡 = 𝑎𝑡 (2.15)
dengan 𝜙𝑝(𝐵) = (1 − 𝜙1𝐵 − ⋯ − 𝜙𝑝𝐵𝑝), 𝑍𝑡 adalah deret waktu, 𝜙 adalah parameter dari AR, 𝑝 merupakan orde dari proses AR, dan 𝑎𝑡 adalah galat pada model autoregresif.
Model autoregresif digunakan untuk mendeskripsikan situasi nilai peramalan pada saat waktu yang akan datang tergantung pada nilai-nilai peramalan sebelumnya. Model autoregresif dengan orde 𝑝 dinotasikan dengan AR(𝑝).
2.8.2 Model Rerata Bergerak (MA)
Model rerata bergerak (moving average) dengan orde 𝑞 dinotasikan dengan MA(𝑞). Nilai variabel takbebas pada waktu ke-t pada model MA(𝑞) dapat dicari melalui persamaan:
𝑍𝑡 = 𝑎𝑡− 𝜃1𝑎𝑡−1− ⋯ − 𝜃𝑞𝑎𝑡−𝑞 (2.16)
dengan 𝜃1, ⋯ , 𝜃𝑞 secara berturut-turut menyatakan koefisien moving average orde ke-1,2, . . . , 𝑞; 𝑎𝑡, 𝑎𝑡−1⋯ , 𝑎𝑡−𝑞 secara berturut-turut menyatakan residual pada waktu 𝑡, 𝑡 − 1, ⋯ , 𝑡 − 𝑞 (Wei, 2006, p. 47).
Dengan menggunakan backward shift, persamaan (2.16) dapat ditulis dalam bentuk
𝑍𝑡 = (1 − 𝜃1𝐵 − 𝜃2𝐵2− ⋯ − 𝜃
𝑞𝐵𝑞)𝑎𝑡 atau
𝑍𝑡 = 𝜃𝑞(𝐵)𝑎𝑡 (2.17)
dengan 𝜃𝑞(𝐵) = (1 − 𝜃1𝐵 − ⋯ − 𝜃𝑞𝐵𝑞), 𝜃𝑞 merupakan polinom orde 𝑞 dan 𝑎𝑡 merupakan galat. Persamaan (2.16) menyatakan bahwa nilai saat ini dipengaruhi oleh nilai-nilai galat sebelumnya.
2.8.3 Model Rerata Bergerak Autoregresif (ARMA)
Model rerata bergerak autoregresif merupakan perpaduan dari model autoregresif dan rerata bergerak. Menurut Box et al. (2016, p. 75), model ARMA(𝑝, 𝑞) merupakan kombinasi dari model AR(p) dan MA(q), yang modelnya dapat ditulis sebagai:
Dengan menggunakan backward shift, persamaan (2.18) dapat ditulis dalam bentuk (1 − 𝜙1𝐵 − 𝜙2𝐵2− ⋯ − 𝜙 𝑝𝐵𝑝)𝑍𝑡= (1 − 𝜃1𝐵 − 𝜃2𝐵2 ⋯ − 𝜃𝑞𝐵𝑞)𝑎𝑡 atau 𝜙𝑝(𝐵)𝑍𝑡 = 𝜃𝑞(𝐵)𝑎𝑡 (2.19)
dengan 𝜙𝑝(𝐵)𝑍𝑡 merupakan model AR dan 𝜃𝑞(𝐵)𝑎𝑡 merupakan model MA.
2.9 Model Box – Jenkins (ARIMA)
Model Box-Jenkins disebut juga ARIMA, yang mempunyai bentuk umum
𝑍𝑡= (1 + 𝜙1)𝑍𝑡−1+ (𝜙2− 𝜙1)𝑍𝑡−2+ ⋯ + (𝜙𝑝− 𝜙𝑝−1)𝑍𝑡−𝑝− 𝜙𝑝𝑍𝑡−𝑝−1+
𝑎𝑡 + 𝜃1𝑎𝑡−1+ ⋯ + 𝜃𝑞𝑎𝑡−𝑞 (2.20) Model ARIMA merupakan gabungan dari model ARMA (p,q) dan proses
differencing, yaitu
𝜙𝑝(𝐵)(1 − 𝐵)𝑑𝑍
𝑡 = 𝜃𝑞(𝐵)𝑎𝑡 (2.21)
dengan (𝐵)(1 − 𝐵)𝑑𝑍𝑡 merupakan deret pembeda sedangkan 𝑝, 𝑑, dan 𝑞 adalah bilangan bulat yang lebih besar atau sama dengan nol. Notasi 𝑝 menunjukkan orde autoregresif (AR), 𝑑 menunjukkan orde differencing, dan 𝑞 menunjukkan orde rerata bergerak (MA). Differencing adalah selisih nilai peramalan saat ini dengan nilai peramalan sebelumnya (Wei, 2006, p. 72). Oleh karena itu secara umum model ini dinotasikan dengan ARIMA(𝑝, 𝑑, 𝑞).
2.10 Unit Root Test
Untuk mengetahui apakah data sudah memenuhi asumsi stasioner atau tidak digunakan Unit Root Test. Terdapat beberapa unit root test, di antaranya Dickey-Fuller (DF) Test dan Augmented Dickey-Fuller (ADF) Test. Konsep uji Dickey-Fuller (DF) adalah menguji apakah suatu deret waktu merupakan proses random walk (proses stokastik yang nonstasioner) atau bukan. Kekurangan dari Dickey-Fuller Test adalah dengan mengasumsikan bahwa variabel gangguan pada waktu ke-t (𝑎𝑡) tidak berkorelasi dengan variabel lain dalam sebuah model. Untuk mengantisipasi adanya korelasi tersebut, Dickey dan Fuller (1981) mengembangkan pengujian Dickey-Fuller Test menjadi Augmented Dickey-Fuller
(ADF) Test (Tsay, 2002, p. 20).
Pada Augmented Dickey-Fuller (ADF) Test, pengujian Dickey-Fuller dapat diperluas untuk model AR dengan order lebih dari satu. Untuk AR(p), bentuk umun dari persamaan Dikey-Fuller yaitu:
∇𝑍𝑡 = 𝜇 + 𝜓𝑝𝑍𝑡−1+ 𝜂2∇𝑍𝑡−1+ 𝜂3∇𝑍𝑡−2+ ⋯ + 𝜂𝑝∇𝑍𝑡−𝑝 + 𝑎𝑡 ∇𝑍𝑡 = 𝜇 + 𝜓𝑝𝑍𝑡−1+ ∑𝑖=2𝑝 𝜂𝑖∇𝑍𝑡−𝑖+1+ 𝑎𝑡 (2.22) dengan 𝜓𝑝 = ∑ 𝜙𝑖 − 1 dan 𝑝 𝑖=1 𝜂𝑖 = − ∑ 𝜙𝑗 𝑝 𝑗=𝑖+1 .
Jika model regresi (2.22) ditambahkan dengan komponen tren waktu maka diperoleh:
dengan 𝜂𝑖∗ = − ∑ 𝜙 𝑗 𝑝
𝑗=𝑖+1 dan (𝑝 − 1) adalah panjang lag. Model regresi (2.23) inilah yang akan diuji dengan metode Augmented Dickey-Fuller (ADF) Test.
Berdasarkan persamaan regresi (2.23), dapat dipilih tiga bentuk model regresi yang akan digunakan untuk melakukan uji Augmented Dickey-Fuller (ADF)
Test, yaitu
1. dengan konstanta (𝜇) dan tren (𝛽), seperti model (2.23), 2. dengan konstanta (𝜇), yaitu:
∇𝑍𝑡 = 𝜇 + 𝜓𝑝𝑍𝑡−1+ ∑𝑝−1𝜂𝑖∗
𝑖=1 ∇𝑍𝑡−𝑖+ 𝑎𝑡, (2.24) 3. tanpa konstanta (𝜇) dan tren (𝛽), yaitu:
∇𝑍𝑡 = 𝜓𝑝𝑍𝑡−1+ ∑𝑝−1𝜂𝑖∗
𝑖=1 ∇𝑍𝑡−𝑖+ 𝑎𝑡. (2.25) Berdasarkan model (2.23) dapat dibuat hipotesis sebagai berikut:
𝐻0:ψ = 0 (data deret waktu tidak stasioner),
𝐻1:ψ < 0 (data deret waktu stasioner).
Statistik uji yang digunakan dalam uji ADF adalah (Tsay, 2002, p. 60):
𝑡 = ∑ 𝜙𝑖−1
𝑝 𝑖=1
SE (∑𝑝𝑖=1𝜙𝑖). (2.26)
Keputusan tolak 𝐻0 apabila mutlak nilai statistik uji 𝑡 lebih besar dari mutlak nilai
t-tabel atau nilai probabilitas pada suatu tingkat 𝛼 yang digunakan lebih kecil dari nilai 𝛼 tersebut yang berarti data deret waktu bersifat stasioner, sedangkan jika mutlak nilai statistik uji 𝑡 lebih kecil dari nilai t-tabel atau nilai probabilitas pada suatu tingkat 𝛼 yang digunakan lebih besar dari nilai 𝛼 tersebut maka hipotesis nol diterima yang berarti data deret waktu bersifat nonstasioner.
2.11 Estimasi Parameter Model
Pendugaan parameter dilakukan untuk menduga nilai dari parameter-parameter yang berpengaruh dalam model. Metode yang digunakan dalam pendugaan parameter adalah metode kemungkinan maksimum (maximum likelihood estimation). Dalam hal ini, analisis dimulai dengan asumsi bahwa galat
𝑎𝑡 berdistribusi normal. Fungsi kepadatan peluang suatu galat 𝑎𝑡 adalah:
𝑓(𝑎𝑡|𝜙, 𝜇, 𝜃, 𝜎𝑎2) = (2𝜋𝜎𝑎2)−
1
2exp (− 𝑎𝑡 2
2𝜎𝑎2). (2.27)
Mengingat galat ini independen, maka distribusi bersama untuk 𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑛 adalah: 𝐿(𝜙, 𝜇, 𝜃, 𝜎𝑎2) = ∏ 𝑓 𝑛 𝑡=1 (𝑎𝑡|𝜙, 𝜇, 𝜃, 𝜎𝑎2) = 𝑓(𝑎1|𝜙, 𝜇, 𝜃, 𝜎𝑎2) … 𝑓(𝑎𝑛|𝜙, 𝜇, 𝜃, 𝜎𝑎2) = (2𝜋𝜎𝑎2)−12exp (− 𝑎1 2 2𝜎𝑎2) … (2𝜋𝜎𝑎 2)−1 2exp (− 𝑎𝑛 2 2𝜎𝑎2) = (2𝜋𝜎𝑎2)−𝑛2 exp (− ∑𝑛𝑡=1𝑎𝑡2 2𝜎𝑎2 ) (2.28) Tiap 𝑎𝑡 dapat dinyatakan dalam bentuk observasi 𝑍, parameter-parameter 𝜙, 𝜇,𝜃, dan 𝜎𝑎2, serta galat-galat sebelumnya yaitu:
𝑎𝑡 = 𝑍𝑡− 𝜙1𝑍𝑡−1− ⋯ − 𝜙𝑝𝑍𝑡−𝑝− 𝜃1𝑎𝑡−1− ⋯ − 𝜃𝑞𝑎𝑡−𝑞 (2.29) Persamaan (2.29) dapat dipandang sebagai hubungan berulang antara 𝑎𝑡 yang berurutan, jika diketahui parameter-parameter dan observasi 𝑍𝑡. Akibatnya, nilai setiap 𝑎𝑡 dapat dihitung sebagai fungsi parameter dan observasi.
Selanjutnya, dengan mensubstitusikan persamaan (2.29) ke dalam persamaan (2.28), akan diperoleh fungsi kepadatan peluang bersama 𝑍 sebagai berikut: 𝑓(𝑍|𝜙, 𝜇, 𝜃, 𝜎𝑎2) = (2𝜋𝜎𝑎2)− 𝑛 2exp (− 1 2𝜎𝑎2 ∑(𝑍𝑡− 𝜙1𝑍𝑡−1− ⋯ − 𝜙𝑝𝑍𝑡−𝑝 𝑛 𝑡=1 − 𝜃1𝑎𝑡−1− ⋯ − 𝜃𝑞𝑎𝑡−𝑞)2). (2.30)
Maka fungsi likelihood untuk parameter-parameternya apabila data observasi tersedia adalah:
𝐿(𝜙, 𝜇, 𝜃, 𝜎𝑎2|𝑍) = (2𝜋𝜎 𝑎2)− 𝑛 2exp (−𝑆(𝜙, 𝜇, 𝜃) 2𝜎𝑎2 ), (2.31) dengan 𝑆(𝜙, 𝜇, 𝜃) = ∑(𝑍𝑡− 𝜙1𝑍𝑡−1− ⋯ − 𝜙𝑝𝑍𝑡−𝑝− 𝜃1𝑎𝑡−1− ⋯ − 𝜃𝑞𝑎𝑡−𝑞)2 𝑛 𝑡=1 . (2.32)
Log-likelihood dari persamaan (2.31) adalah sebagai berikut:
𝑙(𝜙, 𝜇, 𝜃, 𝜎𝑎2|𝑍) = −𝑛 2ln2𝜋 − 𝑛 2ln𝜎𝑎 2− 1 2𝜎𝑎2𝑆(𝜙, 𝜇, 𝜃, ), (2.33) dapat dilihat bahwa parameter-parameter 𝜙, 𝜇, dan 𝜃 hanya masuk dalam bagian jumlah kuadrat fungsi likelihood, dengan demikian untuk memaksimumkan
likelihood, perlu diminimumkan fungsi jumlah kuadrat untuk seluruh nilai parameter-parameter. Setelah MLE dari parameter-parameter tersebut diperoleh, dapat ditunjukkan bahwa MLE untuk 𝜎𝑎2 sebagai berikut:
𝜎̂𝑎2 = (𝜙̂ ,𝜇̂,𝜃̂)
Setelah mendapatkan estimasi parameter dari model ARIMA, sangat perlu untuk dilakukan uji signifikansi parameter. Secara umum misalkan 𝛿 adalah suatu parameter pada model ARIMA, 𝛿̂ adalah estimasi dari parameter tersebut, dan
𝑆𝐸(𝛿̂) adalah galat standar dari nilai estimasi 𝛿̂, maka uji signifikansi parameter model ARIMA dilakukan dengan tahapan sebagai berikut:
a. Hipotesis 𝐻0 ∶ 𝛿̂ = 0, 𝐻1 ∶ 𝛿̂ ≠ 0, b. Statistik uji 𝑡 = 𝛿̂ 𝑆𝐸(𝛿̂) , (2.35)
c. Kriteria pengambilan keputusan
Keputusan, 𝐻0 ditolak apabila |𝑡| > 𝑡𝛼 2;𝑑𝑓=𝑛−𝑛⁄ 𝑝, dengan 𝑛𝑝 menyatakan jumlah parameter.
2.12 Uji Diagnostik
Uji diagnostik adalah salah satu uji yang dapat digunakan untuk mengetahui residual dari model memenuhi sifat white noise serta berdistribusi normal. Untuk melihat suatu residual bersifat white noise dilakukan uji Ljung-Box. Hipotesis dalam pengujian ini adalah
𝐻0: 𝜌1 = 𝜌2 = ⋯ = 𝜌𝑘 = 0 (tidak ada korelasi antar residual),
𝐻1: 𝜌𝑖 ≠ 0, minimum ada satu 𝑖 = 1, 2, . . . , 𝑘 (ada korelasi antar residual). Statistik uji yang digunakan adalah
𝒬 = 𝑛(𝑛 + 2) ∑ (𝑛 − 𝑘)−1𝜌̂ 𝑘2 𝐾
dengan 𝒬 adalah statistik uji Ljung-Box, 𝜌 merupakan autokorelasi, 𝑘 adalah lag
waktu, 𝐾 menyatakan banyaknya sisaan, dan 𝑛 adalah banyaknya parameter yang diduga. Statistik 𝒬 mengikuti distribusi 𝜒2(𝐾 − 𝑛). Kriteria pengambilan keputusan Ho ditolak apabila 𝜒2 > (𝐾 − 𝑛).
Untuk mengetahui residual berdistribusi normal dilakukan dengan uji normalitas residual. Uji normalitas residual dilakukan dengan uji Anderson-Darling, dengan hipotesis:
𝐻0 : residual berdistribusi normal
𝐻1 : residual tidak berdistribusi normal
Statistik uji Anderson-Darling adalah
𝐴2 = −𝑛 − ∑ (2𝑖−1) 𝑛 𝑛 𝑖=1
[ln 𝐹(𝑌𝑖) + ln (1 − 𝐹(𝑌𝑛+1−𝑖))] (2.37)
dengan 𝐹(𝑌𝑖) adalah fungsi sebaran kumulatif dari distribusi normal baku, 𝑌𝑖 adalah data yang telah diurutkan, dan 𝑛 adalah banyaknya data pengamatan. Kriteria pengambilan keputusan dilakukan apabila nilai statistik uji 𝐴 lebih besar dari nilai kritis atau 𝐻0 ditolak apabila 𝑝-𝑣𝑎𝑙𝑢𝑒< 𝛼.
2.13 Akaike Information Criterion (AIC)
AIC merupakan kriteria yang digunakan untuk menguji kompleksitas model bersamaan dengan kelayakan sampel data dan memberi ukuran yang seimbang. Kriteria Informasi Akaike didefinisikan sebagai
dengan 𝑚 menyatakan banyaknya parameter dalam model, 𝜎̂𝑎2 adalah estimasi maksimum likelihood dari 𝜎𝑎2, dan 𝑛 adalah banyaknya pengamatan.
Metode AIC mencoba menemukan model minimal yang dapat menjelaskan data dengan benar. Model yang terbaik adalah model yang memiliki nilai AIC terkecil (Wei, 2006, p. 156)
Metode yang digunakan untuk mengukur ketepatan suatu metode peramalan adalah kriteria Mean Absolute Percentage Error (MAPE)
MAPE = 100% 𝑛 ∑ | 𝑎𝑡 𝑍𝑡| 𝑛 𝑡=1 . (2.39)
2.14 Fungsi Korelasi Silang
Fungsi korelasi silang digunakan untuk mengukur pengaruh dan arah antara dua variabel acak. Menurut Wei (2006, p. 326) fungsi korelasi silang dinyatakan pada persamaan berikut:
𝜌𝑥𝑦(𝑘) =
𝛾𝑥𝑦(𝑘) 𝜎𝑥𝜎𝑦
(2.40)
dengan 𝑘 = 0, ±1, ±2, ±3, …
Notasi 𝛾𝑥𝑦(𝑘) menyatakan kovarians silang dari variabel 𝑥 dan 𝑦, 𝜎𝑋 adalah simpangan baku dari variabel bebas dan 𝜎𝑦 adalah simpangan baku dari variabel takbebas. Nilai kovarians dinyatakan pada persamaan berikut:
𝛾𝑥𝑦(𝑘) = 𝐸[(𝑥𝑡− 𝜇𝑥)]⌊(𝑦𝑡+𝑘− 𝜇𝑦)⌋ (2.41)
Persamaan varians untuk 𝑥 dan 𝑦 dinyatakan:
n t t xx
x
1 2 2
(2.42) dan
n t t yy
y
1 = 2 2
(2.43)2.15 Konsep dan Model Fungsi Transfer
Fungsi transfer merupakan metode peramalan yang menggabungkan beberapa karakteristik dari model-model ARIMA dan beberapa karakteristik analisis regresi. Metode ini merupakan suatu perpaduan metode deret waktu dengan pendekatan kausal. Analisis fungsi transfer terdiri dari variabel bebas dan variabel takbebas. Variabel bebas dilambangkan 𝑥𝑡, dengan 𝑡 merupakan pengaruh waktu sedangkan untuk variabel takbebas dilambangkan 𝑦𝑡.
Pada fungsi transfer deret waktu output 𝑦𝑡, diperkirakan akan dipengaruhi oleh deret waktu input 𝑥𝑡 dan input-input lain yang digabungkan dalam satu kelompok yang disebut noise dilambangkan 𝑛𝑡. Deret input 𝑥𝑡 memberikan pengaruhnya kepada deret output melalui fungsi transfer yang mendistribusikan dampak 𝑥𝑡 melalui beberapa periode waktu yang akan datang. Tujuan pemodelan fungsi transfer adalah untuk menetapkan model yang sederhana yang menghubungkan 𝑦𝑡 dengan 𝑥𝑡 dan 𝑛𝑡.
Analisis fungsi transfer dilakukan melalui beberapa tahap yaitu: tahap identifikasi model, pendugaan model fungsi transfer, dan pengujian diagnostik
model. Menurut Wei (2006, p. 322), model fungsi transfer secara umum dilambangkan sebagai berikut:
𝑦𝑡 = 𝑣(𝐵)𝑥𝑡+ 𝑛𝑡, (2.44)
dengan 𝑦𝑡 merupakan deret output, 𝑥𝑡 merupakan deret input, 𝑛𝑡 adalah pengaruh kombinasi dari seluruh faktor yang memengaruhi 𝑦𝑡 (noise), dan 𝑣(𝐵) adalah koefisien pada model fungsi transfer dan disebut response impulse. Koefisien 𝑣(𝐵)
terdiri atas 𝑣0, 𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣𝑘, sedangkan 𝑘 adalah orde fungsi transfer. Mengingat
𝑣(𝐵) pada fungsi transfer mengandung koefisien yang tak terhingga maka, untuk mengatasi hal tersebut fungsi 𝑣(𝐵) dibuat dalam bentuk pecahan sebagai
𝑣(𝐵) =𝜔𝑠(𝐵)𝐵
𝑏
𝛿𝑟(𝐵)
, (2.45)
dengan 𝜔𝑠(𝐵) = 𝜔0− 𝜔1𝐵 − ⋯ − 𝜔𝑠𝐵𝑠, 𝛿𝑟(𝐵) = 1 − 𝛿1(𝐵) − ⋯ − 𝛿𝑟𝐵𝑟, dan 𝑏 merupakan parameter kelambatan yang menggambarkan lag sebelum mendapatkan reaksi dari variabel bebas terhadap variabel takbebas.
Persamaan (2.45) dapat berubah-berubah sesuai dengan nilai 𝑏, 𝑟, dan nilai
𝑠 pada fungsi transfer. Menurut Wei (2006, p. 324) beberapa aturan yang dapat digunakan untuk menduga nilai 𝑟, 𝑠, 𝑏 dari suatu fungsi transfer:
a. Nilai 𝑏 menyatakan bahwa 𝑦𝑡 tidak dipengaruhi oleh 𝑥𝑡 sampai periode 𝑡 + 𝑏. Besarnya 𝑏 dapat ditentukan dari lag yang pertama kali signifikan pada plot korelasi silang.
b. Nilai 𝑠 menyatakan berapa lama deret output 𝑦𝑡 secara terus menerus dipengaruhi oleh 𝑥𝑡−𝑏−1, 𝑥𝑡−𝑏−2, … , 𝑥𝑡−𝑏−𝑠 sehingga dapat dikatakan bahwa nilai 𝑠 adalah bilangan pada lag plot korelasi silang sebelum terjadinya pola menurun.
c. Nilai 𝑟 menyatakan bahwa 𝑦𝑡 dipengaruhi oleh nilai-nilai masa lalu dari 𝑦𝑡 yaitu 𝑦𝑡−1, 𝑦𝑡−2, … , 𝑦𝑡−𝑟. Terdapat tiga kondisi pada nilai 𝑟 yang mempunyai indikasi pemodelan berbeda, yaitu:
𝑟 = 0, bila ada beberapa lag plot pada korelasi silang yang terpotong.
𝑟 = 1, bila plot pada korelasi silang menunjukkan suatu pola eksponensial menurun.
𝑟 = 2, bila plot pada korelasi silang menunjukkan suatu pola eksponensial menurun dan mengikuti pola sinus.
Persamaan (2.45) dengan nilai 𝑏 = 0, 𝑟 = 0, dan 𝑠 = 0 dapat ditulis sebagai berikut:
𝑣(𝐵)𝑥𝑡 = 𝜔0𝑥𝑡. (2.46)
dengan 𝑣(𝐵) menyatakan koefisien fungsi transfer dan 𝑥𝑡 merupakan input.
2.15.1 Identifikasi Model Fungsi Transfer
Identifikasi model fungsi transfer dilakukan melalui beberapa tahap. Wei (2006, p. 331) menyatakan tahap-tahap identifikasi model fungsi transfer antara lain sebagai berikut:
1. Membuat deret masukan (input) menjadi white noise, dinotasikan dengan
𝛼𝑡 dengan persamaan
𝛼𝑡= 𝜙𝑥(𝐵)
𝜃𝑥(𝐵)𝑥𝑡, (2.47)
dengan 𝛼𝑡 adalah deret white noise dengan rata-rata nol dan nilai varians
𝜎𝛼2.
2. Menghitung deret output dengan membuatnya menjadi white noise
dengan model seperti di bawah ini:
𝛽𝑡 =
𝜙𝑥(𝐵) 𝜃𝑥(𝐵)
𝑦𝑡, (2.48) 3. Menghitung nilai korelasi silang 𝜌̂𝛼𝛽(𝑘) antara 𝛼𝑡 dan 𝛽𝑡 untuk menduga
𝑣𝑘, dengan persamaan berikut:
𝑣̂𝑘 =
𝜎̂𝛽 𝜎̂𝛼
𝜌̂𝛼𝛽(𝑘). (2.49) 4. Mengidentifikasi 𝑏, untuk menduga nilai 𝑣(𝐵) dengan fungsi berikut:
𝑣̂(𝐵) =𝜔̂(𝐵) 𝛿̂(𝐵)𝐵
𝑏. (2.50)
Untuk mengidentifikasi model noise, perhitungan nilai duga deret noise
dilambangkan sebagai
𝑛̂𝑡 = 𝑦𝑡− 𝑣̂(𝐵)𝑥𝑡= 𝑦𝑡−𝜔̂(𝐵) 𝛿̂(𝐵)𝐵
𝑏𝑥
𝑡. (2.51)
Kesesuaian model untuk noise dapat diidentifikasi dengan menguji sampel ACF dan PACF-nya atau dengan deret waktu univariat seperti pada persamaan berikut
2.15.2 Pendugaan Model Fungsi Transfer
Kombinasi dari persamaan (2.50) dan persamaan (2.52) diperoleh model fungsi transfer
𝑦𝑡 = 𝜔(𝐵)
𝛿(𝐵)𝑥𝑡−𝑏 + 𝜃(𝐵)
𝜙(𝐵)𝑎𝑡 , (2.53)
Persamaan(2.51) mengandung parameter-parameter fungsi transfer seperti 𝛿 = (𝛿1, … , 𝛿𝑟)′, 𝜔 = (𝜔0, 𝜔1, … 𝜔𝑠)′, 𝜙 = (𝜙1, … , 𝜙𝑝)′, 𝜃 = 𝜃(𝜃1, … , 𝜃𝑞)′, dimana nilai parameter-parameter ini harus diduga sebelum menentukan model terbaik. Nilai dugaannya diperoleh dari data input dan output sebelumnya. Menurut Abraham dan Ledolter (1983, p. 342) fungsi transfer juga dapat dibuat dalam bentuk persamaan sebagai berikut:
𝛿(𝐵)𝜙(𝐵)𝑦𝑡= 𝜙(𝐵)𝜔(𝐵)𝑥𝑡−𝑏+ 𝜙(𝐵)𝜃(𝐵)𝑎𝑡. (2.54)
Persamaan (2.54) merupakan bentuk lain dari persamaan (2.53).
2.15.3 Pemeriksaan Diagnostik Model Fungsi Transfer
Pemeriksaan diagnostik model fungsi transfer dilakukan untuk menguji validitas model. Model yang sudah diperoleh bisa saja belum sesuai, hal itu dikarenakan seperti yang dikemukakan oleh Box et al.(2016, p. 451) adalah sebagai berikut:
1. Jika model noise tidak tepat maka, 𝜌𝑎(𝑘) ≠ 0 untuk beberapa 𝑘 dan
𝜌𝑎𝑎(𝑘) = 0 untuk semua 𝑘, dengan 𝛼𝑡 merupakan deret input yang white noise sedangkan 𝜌𝑎𝑎 merupakan korelasi antara deret input dan residual.
2. Jika model fungsi transfer tidak cocok, maka 𝜌𝑎(𝑘) ≠ 0, dan 𝜌𝑎𝑎(𝑘) ≠ 0
untuk beberapa 𝑘.
Secara umum langkah-langkah diagnostik model fungsi transfer adalah sebagai berikut:
1. Pemeriksaan Autokorelasi Residual Model
Abraham dan Ledolter (1983, p. 344) menjelaskan bahwa pemeriksaan nilai residual dilakukan untuk mengetahui apakah nilai residual tersebut masih berkorelasi atau tidak.
a) Hipotesis
𝐻0 : 𝜌1 = 𝜌2 = ⋯ = 𝜌𝑘 = 0; (tidak terdapat korelasi antara residual)
𝐻1 : minimal ada satu 𝜌𝑗 ≠ 0, untuk 𝑗 = 1,2, … , 𝑘
b) Statistik Uji
𝒬0 = 𝑚(𝑚 + 2) ∑(𝑚 − 𝑗)−1𝜌̂𝑎2(𝑗) 𝐾
𝑗=1
(2.55)
dengan 𝒬0 adalah statistik uji Ljung-Box, 𝜌 merupakan autokorelasi, 𝐾 menyatakan banyaknya sisaan dan 𝑚 adalah banyaknya parameter yang diduga. Statistik 𝒬0
mengikuti distribusi 𝜒2(𝐾 − 𝑝 − 𝑞) dengan 𝑝 dan 𝑞 adalah parameter dari model
noise.
c) Kriteria pengambilan keputusan
Penolakan 𝐻0 dilakukan jika statistik uji 𝒬0 > 𝜒2(𝐾 − 𝑝 − 𝑞) atau penolakan
𝐻0 juga dapat dilakukan dengan melihat 𝑝-𝑣𝑎𝑙𝑢𝑒. Apabila 𝑝-𝑣𝑎𝑙𝑢𝑒 < 𝛼 = 0,05 maka tolak 𝐻0 yang artinya antar residual masih berkorelasi.
2. Penghitungan korelasi silang residual dengan input prewhitening
Langkah yang digunakan untuk memeriksa apakah deret input bebas, dilakukan dengan memeriksa korelasi silang antara komponen white noise deret noise (𝑎𝑡) dan deret input(𝛼𝑡).
a) Hipotesis
𝐻0 : tidak terdapat korelasi antara input dan residual
𝐻1 : terdapat korelasi antara input dan residual b) Statistik Uji
𝒬1 = 𝑚(𝑚 + 2) ∑(𝑚 − 𝑗)−1𝜌̂𝑎𝑎̂2
𝐾
𝑗=0
(𝑗) (2.56)
dengan statistik 𝒬1 mengikuti distribusi 𝜒2 (𝐾 + 1 − 𝑀), 𝑚 = 𝑛 − 𝑡0+ 1 adalah banyak residual 𝑎̂𝑡 dan 𝑀 adalah banyaknya parameter 𝜔𝑠 dan 𝛿𝑟.
c) Kriteria pengambilan sampel
Penolakan 𝐻0 dilakukan jika uji 𝒬1 > 𝜒2(𝑘 + 1 − 𝑀) atau penolakan 𝐻
0 juga bisa dilakukan dengan melihat 𝑝-𝑣𝑎𝑙𝑢𝑒. Apabila 𝑝-𝑣𝑎𝑙𝑢𝑒 < 𝛼 = 0,05 maka tolak 𝐻0 yang artinya terdapat korelasi antar input dan output.
2.16 Konsep Pariwisata 2.16.1 Pengertian Pariwisata
Pariwisata adalah suatu perjalanan yang dilakukan sementara waktu yang diselenggarakan dari suatu tempat ke tempat lain, untuk menikmati perjalanan tersebut guna bertamasya atau rekreasi, melihat dan menyaksikan atraksi wisata di tempat lain atau untuk memenuhi keinginan yang beraneka ragam, yang mencakup
keseluruhan fenomena alam maupun buatan manusia yang dapat dimanfaatkan bagi kepentingan wisatawan dan kegiatan-kegiatan lain yang ditujukan untuk memenuhi kebutuhan wisatawan, selama melakukan aktivitas perjalanan bukan untuk mencari nafkah (Musanef, 1996).
2.16.2 Pengertian Wisatawan
Orang yang melakukan perjalanan wisata disebut wisatawan atau tourist.
Pacific Area Travel Association memberi batasan bahwa wisatawan sebagai orang-orang yang sedang mengadakan perjalanan dalam waktu 24 jam dan maksimal 3 bulan di dalam suatu negeri yang bukan negeri di mana biasanya ia tinggal, mereka ini meliputi:
a) orang-orang yang sedang mengadakan perjalanan untuk bersenang-senang, untuk keperluan pribadi, untuk keperluan kesehatan,
b) orang-orang yang sedang mengadakan perjalanan untuk pertemuan, konferensi, musyawarah atau sebagai utusan berbagai badan/organisasi,
c) orang-orang yang sedang mengadakan perjalanan dengan maksud bisnis, d) pejabat pemerintahan dan militer beserta keluarganya yang ditempatkan di
negara lain tidak termasuk kategori ini, tetapi bila mereka mengadakan perjalanan ke negeri lain, maka dapat digolongkan wisatawan (Pendit, 1994, p. 38).
Spillane (1987, p. 27) membagi kategori wisatawan menjadi wisatawan dan pelancong. Wisatawan adalah pengunjung sementara yang tinggal sekurang-kurangnya 24 jam sedangkan pelancong adalah yang tinggal kurang dari 24 jam.
2.16.3 Kurs atau Nilai Tukar
Kurs atau nilai tukar adalah nilai tukar mata uang satu negara terhadap mata uang negara lain. Kurs muncul ketika penawaran dan permintaan barang, jasa dan aliran modal berada dalam keadaan seimbang. Berkaitan dengan kegiatan pariwisata, kurs mata uang suatu negara terhadap negara lain dapat mempengaruhi minat seseorang untuk melakukan perjalanan wisata. Tugas pertama yang harus dilakukan oleh seorang wisatawan ketika berkunjung ke suatu negara tujuan wisata adalah menukarkan uangnya dengan mata uang negara tujuannya. Hal ini dapat dilakukan menurut nilai tukar resmi yang ditetapkan oleh masing-masing negara.
32
3.1 Jenis dan Sumber Data
Jenis data yang digunakan dalam penelitian ini adalah data sekunder berupa data kunjungan wisatawan mancanegara ke Bali yang diperoleh dari DISPARDA Provinsi Bali, kurs USD terhadap IDR yang diperoleh dari Bank Sentral Republik Indonesia (BI) pada situs www.bi.go.id. Data yang digunakan adalah data bulanan dari periode Januari 2009 – Desember 2015, dimana data in-sampel mulai Januari 2010 – Juni 2015 sebanyak 78 data, dan data out-sampel mulai Juli 2015 – Desember 2015 sebanyak 6 data.
3.2 Variabel Penelitian
Penelitian ini menggunakan dua variabel yaitu: variabel bebas (𝑥𝑡) dan variabel takbebas (𝑦𝑡). Variabel bebas yang dimaksud adalah kurs dolar dan variabel takbebas adalah wisatawan mancanegara.
3.3 Langkah-langkah Analisis Data
Metode analisis data yang digunakan dalam penelitian ini adalah sebagai berikut:
1. Mempersiapkan deret input (kurs) dan output (jumlah wisatawan mancanegara);
2. Melakukan identifikasi pada plot data deret waktu, ACF, dan PACF dari deret input dan output. Dari ketiga plot ini, dapat dilihat apakah data yang
ada telah stasioner atau belum. Jika tidak stasioner dalam mean maka dilakukan differencing, sedangkan jika tidak stasioner dalam varians maka dilakukan transformasi;
3. Menentukan model ARIMA untuk kurs;
4. Melakukan uji kesesuaian model dengan memenuhi asumsi white noise dan kenormalan.
5. Pemilihan model terbaik berdasarkan nilai AIC terkecil;
6. Melakukan prewhitening pada deret input untuk memperoleh 𝛼𝑡; 7. Melakukan prewhitening pada deret output untuk memperoleh 𝛽𝑡;
8. Menghitung korelasi silang antara deret input dan output yang telah di
prewhitening;
9. Menaksir bobot fungsi transfer;
10.Menetapkan nilai (b,s,r) yang menghubungkan deret input dan output untuk menduga model fungsi transfer;
11.Identifikasi deret noise;
12.Menetapkan (𝑝𝑛, 𝑞𝑛) untuk model ARIMA (𝑝𝑛, 0, 𝑞𝑛) dari deret noise𝑛𝑡; 13.Penaksiran parameter model fungsi transfer;
14.Uji diagnostik model fungsi transfer dengan menghitung autokorelasi untuk nilai sisa model (b,s,r) yang menghubungkan deret output dan deret input
dan menghitung korelasi silang antara nilai sisa dengan residual (𝑎𝑡) yang telah di prewhitening;
15.Meramalkan jumlah kunjungan wisatawan mancanegara yang berkunjung ke Bali pada bulan Januari 2016 – Juni 2016 menggunakan fungsi transfer.
34
4.1 Identifikasi Data Deret Waktu
Pada tahap ini, yang harus dilakukan yaitu membuat plot deret waktu dari deret input yaitu kurs dan deret output yaitu jumlah kunjungan wisatawan mancanegara ke Bali dari bulan Januari 2009 sampai Juni 2015 berdasarkan data pada Lampiran 1. Langkah ini dilakukan untuk menunjukkan secara deskriptif bahwa data yang dianalisis adalah data berpola tren dan musiman. Hasil plot data kurs dan jumlah kunjungan wisatawan mancanegara ke Bali dapat dilihat pada Gambar 4.1 dan Gambar 4.2.
Gambar 4.2Plot data jumlah kunjungan setiap bulan wisatawan mancanegara ke Bali bulan Januari 2009 sampai Juni 2015.
Berdasarkan Gambar 4.1 dan Gambar 4.2, terlihat bahwa data kurs dan jumlah kunjungan wisatawan ke Bali mengandung tren dan musiman. Data berpola tren dilihat dari data yang cenderung meningkat setiap bulan, sedangkan pola musiman dilihat dari data pada bulan Januari yang cenderung lebih besar pada tahun berikutnya.
Metode dekomposisi dilakukan untuk lebih memastikan bahwa data kurs dan jumlah kunjungan setiap bulan wisatawan mancanegara ke Bali berpola tren dan musiman. Hasil dari metode dekomposisi klasik bisa dilihat pada Gambar 4.3 dan Gambar 4.4.
Gambar 4.3 Plot dekomposisi klasik data kurs bulan Januari 2009 – Juni 2015.
Gambar 4.4 Plot dekomposisi klasik data jumlah kunjungan setiap bulan wisatawan mancanegara ke Bali bulan Januari 2009 – Juni 2015.
Plot dekomposisi deret waktu kurs dan jumlah kunjungan wisatawan mancanegara ke Bali bulan Januari 2009 sampai Juni 2015 yang ditunjukkan oleh Gambar 4.3 dan Gambar 4.4 mengindikasikan bahwa terdapat pengaruh tren serta pengaruh musiman yang kuat pada data, sebab memiliki pola yang berulang secara teratur. Adanya pengaruh tren dan musiman menunjukkan bahwa data deret waktu kurs dan jumlah kunjungan wisatawan mancanegara ke Bali tidak stasioner. Dari plot ACF dan PACF terlihat jelas bahwa data kurs dan jumlah kunjungan wisatawan mancanegara ke Bali tidak stasioner.
Gambar 4.6 Plot ACF dan PACF data jumlah kunjungan setiap bulan wisatawan mancanegara ke Bali bulan Januari 2009 – Juni 2015.
Pada Gambar 4.5 dan Gambar 4.6 menunjukkan bahwa plot ACF cenderung turun lambat menuju nol, hal ini berarti bahwa pada data deret waktu nilai kurs dan jumlah kunjungan wisatawan mancanegara ke Bali tidak stasioner dalam mean, sehingga perlu dilakukan differencing. Plot hasil differencing dapat dilihat pada Gambar 4.7 dan Gambar 4.8.
Gambar 4.7 Plot deret waktu Kurs setelah differencing terhadap tren dan musiman
Gambar 4.8 Plot deret waktu jumlah kunjungan wisatawan mancanegara ke Bali setelah differencing terhadap tren dan musiman
72 64 56 48 40 32 24 16 8 1 1000 750 500 250 0 -250 -500 Index
Plot Deret Waktu Nilai Kurs yang Stasioner
72 64 56 48 40 32 24 16 8 1 50000 25000 0 -25000 -50000 -75000 -100000 Index
Berdasarkan Gambar 4.7 dan Gambar 4.8, secara deskriptif tampak bahwa rata-rata dari data mendekati konstan. Namun secara konfirmatif untuk melihat apakah data kurs dan jumlah kunjungan wisatawan mancanegara ke Bali hasil dari
differencing tren dan differencing musiman telah stasioner dalam rata-rata dilakukan kembali uji ADF. Nilai statistik uji ADF dapat dilihat pada Tabel 4.1 dan Tabel 4.2.
Tabel 4.1 Nilai statistik ujiADF pada Data Kurs yang Stasioner dan
t tabel pada taraf α sebesar 0,01; 0,05 dan 0,1
Tabel 4.2 Nilai statistik uji ADF pada Data Jumlah Kunjungan Wisatawan yang Stasioner dan t tabel pada taraf α sebesar 0,01; 0,05 dan 0,1
Dari Tabel 4.1 dan Tabel 4.2 menunjukkan bahwa nilai t-statistik ADF lebih kecil dari nilai t-tabel pada tingkat 5%. Hal ini dipertegas dengan probabilitas pada tingkat 5% lebih kecil dari 0,05. Maka keputusan 𝐻0 ditolak. Jadi data kurs dan jumlah kunjungan wisatawan mancanegara hasil dari differencing tren dan
differencing musiman telah stasioner. Setelah kedua data deret input dan output
stasioner, selanjutnya akan dilakukan penentuan orde dan model sementara nilai kurs yang dibahas pada subbab berikut ini.
t-Statistic Prob.*
Augmented Dickey-Fuller test statistic -5.624707 0.0000 Test critical values: 1% level -2.601596
5% level -1.945987 10% level -1.613496
*MacKinnon (1996) one-sided p-values.
t-Statistic Prob.*
Augmented Dickey-Fuller test statistic -10.06693 0.0000 Test critical values: 1% level -2.602185
5% level -1.946072 10% level -1.613448
4.2 Penentuan Model ARIMA untuk Kurs
Model dan orde ARIMA ditentukan dengan menghitung nilai ACF dan PACF dari data stasioner, yaitu data kurs yang telah di-differencing terhadap tren dan musiman. Selanjutnya ditentukan orde dari AR dan MA nonmusiman serta menentukan orde dari AR dan MA musiman (seasonal). Dalam model, AR musiman biasanya ditulis dengan SAR dan MA musiman ditulis dengan SMA. Untuk menentukan orde masing-masing model, bisa dilihat pada plot ACF dan PACF pada Gambar 4.9.
Gambar 4.9 Plot ACF dan PACF data Kurs hasil differencing terhadap tren dan musiman.
Berdasarkan pada tabel panduan orde pada Lampiran 2, maka plot ACF Gambar 4.9, menunjukan bahwa nilai ACF signifikan pada lag-1 dan lag-12 sehingga orde MA dan SMA adalah 1. Pada Gambar 4.9, plot PACF menunjukan bahwa nilai PACF signifikan pada lag-1 dan lag-12 sehingga orde AR dan SAR
adalah 1. Dari orde yang didapatkan, maka orde-orde yang dibentuk dalam model adalah AR(1), SAR(1), MA(1), dan SMA(1).
Dari orde-orde yang didapatkan, model-model ARIMA sementara yang akan diuji adalah model ARIMA(0,1,0)(0,1,1)12, ARIMA(0,1,0)(1,1,1)12, ARIMA(0,1,0)(1,1,0)12, ARIMA(0,1,1)(0,1,1)12, ARIMA(0,1,1)(1,1,1)12, ARIMA(0,1,1)(1,1,0)12, ARIMA(1,1,1)(0,1,1)12, ARIMA(1,1,1)(1,1,1)12, ARIMA(1,1,1)(1,1,0)12, ARIMA(1,1,0)(0,1,1)12, ARIMA(1,1,0)(1,1,1)12, dan model ARIMA(1,1,0)(1,1,0)12.
4.2.1 Estimasi Parameter
Setelah memperoleh model-model ARIMA sementara, selanjutnya dilakukan estimasi. Tabel 4.3 memperlihatkan 12 buah kandidat model dugaan ARIMA yang memenuhi uji signifikansi parameter. Perhitungan dilakukan berdasarkan data pada Lampiran 3 dengan bantuan software Minitab yang dasar perhitungannya menggunakan MLE. Selanjutnya parameter tersebut di uji menggunakan uji t, dengan hipotesis:
𝐻0: 𝛿̂ = 0 (parameter yang diperoleh tidak signifikan),
