BAB 2
LANDASAN TEORI
2.1 Program Dinamik
Pemrograman dinamik adalah suatu teknik matematis yang biasanya digunakan untuk membuat suatu keputusan dari serangkaian keputusan yang saling berkaitan. Pemrograman dinamik ini pertama kali dikembangkan oleh seorang ilmuwan bernama Richard Bellman pada tahun 1957. Dalam hal ini program dinamik menyediakan prosedur sistematis untuk menentukan kombinasi keputusan yang optimal. Tujuan utama model ini ialah untuk mempermudah penyelesaian persoalan optimasi yang mempunyai karakteristik tertentu.
Pemrograman dinamik memberikan prosedur yang sistematis untuk menentukan kombinasi pengambilan keputusan yang memaksimalkan keseluruhan efektivitas. Berbeda dengan linier programming dalam pemrograman dinamik tidak ada rumus (formula) matematis standar, pemrograman dinamik ini lebih merupakan suatu tipe untuk pemecahan suatu masalah dengan cara pendekatan secara umum. Persamaan khusus yang akan digunakan harus dikembangkan sesuai dengan setiap situasi individual. Stuktur umum masalah program dinamik diperlukan untuk menentukan apakah suatu masalah dapat dipecahkan dengan prosedur-prosedur program dinamik atau tidak dan bagaimana hal itu akan dilakukan. Istilah - istilah yang biasa digunakan dalam program dinamik antara lain:
a. Stage (tahap) adalah bagian persoalan yang mengandung decision variable. b. Alternatif, pada setiap stage terdapat decision variable dan fungsi tujuan yang
menentukan besarnya nilai setiap alternative.
c. State, state menunjukkan kaitan satu stage dengan stage lainnya, sedemikian sehingga setiap stage dapat dioptimisasikan secara terpisah sehingga hasil optimasi layak untuk seluruh persoalan.
keputusan. Salah satu model dari masalah yang dapat dipecahkan secara bertahap ganda dengan membagi masalah menjadi bagian - bagian yang lebih kecil (dekomposisi) dan pada solusi dapat terjawab pada tahap akhir dengan menyatukan keputusan pada tahap-tahap yang ada (komposisi). Program dinamik merupakan teknik pemecahan yang sistematis untuk memperoleh jawaban dari masalah multi stage problem solving ini. Multi stage programming lebih dikenal dengan nama dynamic programming, karena kegunaannya melibatkan pengambilan keputusan yang melewati waktu. Namun, pada situasi lain dimana waktu bukan sebagai faktor.
Adapun beberapa karakteristik problem pemrograman dinamik yaitu:
a. Problem dapat dibagi menjadi beberapa tahap (stage), yang pada setiap tahap hanya diambil satu keputusan.
b. Masing-masing tahap terdiri dari sejumlah status (state) yang berhubungan dengan tahap tersebut. Secara umum, status merupakan bermacam kemungkinan masukan yang ada pada tahap tersebut.
c. Hasil dari keputusan yang diambil pada setiap tahap ditransformasikan dari status yang bersangkutan ke status berikutnya pada tahap berikutnya.
d. Keputusan terbaik pada suatu tahap bersifat independen terhadap keputusan yang dilakukan pada tahap sebelumnya.
e. Adanya hubungan rekursif yang mengidentifikasikan keputusan terbaik untuk setiap status pada tahap k memberikan keputusan terbaik untuk setiap status pada tahap k + 1.
f. Prinsip optimalitas berlaku pada persoalan tersebut.
a. Stage berikutnya tidak seluruhnya ditentukan oleh state dan keputusan pada stage saat ini, tetapi ada suatu distribusi kemungkinan mengenai apa yang akan terjadi.
b. Distribusi kemungkinan ini masih seluruhnya ditentukan oleh state dan keputusan pada stage saat ini.
Struktur dasar yang dihasilkan pemrograman dinamis probabilistik diuraikan secara diagram dalam Gambar 1.
probabilitas
keputusan
keadaan
( , )
Di mana:
a. S melambangkan banyaknya keadaan yang mungkin pada tahap (stage) n + 1
dan keadaan ini digambarkan pada sisi sebelah kanan sebagai 1,2,…,S.
1
2
b. (p1,p2,...ps) adalah distribusi kemungkinan dari terjadinya suatu state berdasarkan state Sn dan keputusan Xn pada stage n
c. Ci adalah kontribusi dari stage n terhadap fungsi tujuan, jika state berubah menjadi state i
d. fn(Sn, Xn) menunjukkan jumlah ekspektasi minimal dari tahap n ke depan, dengan diberikan status dan keputusan pada tahap n masing-masing Sn dan Xn. Oleh karena adanya struktur probabilistik, hubungan antara fn(sn,xn) dan f*n+1(sn,xn) agak lebih rumit dari pada untuk pemrograman dinamik deterministik. Bentuk yang tepat dari hubungan tersebut tergantung pada bentuk fungsi tujuan secara umum. Dalam pemrograman dinamik probabilistik juga terdapat hubungan rekursif yang mengidentifikasi kebijakan optimal. Ada dua prosedur rekursif yaitu:
a. Forward recursive equation (perhitungan dari depan ke belakang). Program dinamis bergerak mulai dari tahap 1 sampai tahap n. Peubah keputusan adalah x1, x2, …, xn.
b. Backward recursive equation (perhitungan dari belakang ke depan). Program dinamis bergerak mulai dari tahap n, terus mundur ke tahap n – 1, n – 2, dan seterusnya sampai tahap 1. Peubah keputusan adalah xn, xn-1, …, x1.
Sebagai ilustrasi, misalkan tujuannya adalah meminimalkan jumlah yang diharapkan dari konstribusi tahap-tahap secara terpisah. Pada kasus ini fn(sn,xn) menggambarkan jumlah minimal yang diharapkan dari tahap n dan seterusnya, bila diketahui bahwa keadaan dan keputusan kebijakan pada tahap n adalah sndan
xn. Akibatnya, fn(sn,xn) = ∑ [ ]
dengan f*n+1(i) =
di mana minimal ini dibuat di atas nilai kelayakan bagi xn+1
Program dinamik memberikan prosedur yang sistematis untuk penentuan kombinasi pengambilan keputusan yang memaksimumkan keseluruhan efektivitas. Berbeda dengan Linier Programming, dalam program dinamik tidak ada rumusan (formulasi) matematis standard. Program dinamik lebih merupakan suatu tipe pendekatan umum untuk pemecahan masalah dan persamaan-persamaan khusus yang akan digunakan harus dikembangkan sesuai dengan setiap situasi individual. (Rangkuti. Aidawayati, 2013.)
2.1.1 Prinsip Program Dinamik
Prinsip dasar pendekatan program dinamik adalah, bahwa masalah dapat dibagi menjadi bagian – bagian yang paling kecil,yang disebut tahap atau titik keputusan.dapat diasumsikan dengan bahwa membagi masalah kedalam sub masalah, suatu masalah dapat dievaluasi sanagat mudah.oleh sebab itu program dinamik disebut juga sebagai model multiproses atau model tahap. Suatu proses keputusan bertahap ganda adalah deterministik apabila hasil dari tiap-tiap keputusan diketahui secara pasti. Proses urutan pembagian masalah dalam model dynamic programming digambarkan sebagai berikut.
Gambar 2.1.1 urutan pembagian masalah
Pendekatan penyelesaian masalah dalam program dinamikdilakukan secara maju. Penyelesaian dimulai pada awal proses dan berjalan maju dengan selalu menggunakan keputusan optimal dari keputusan sebelumnya. Dengan proses penyelesaian semacam ini, maka akan didapatkan suatu set keputusan yang optimal.
Prinsip kedua program dinamik adalah tentang status (state) yang merupakan arus informasi dari satu tahap ke tahap berikutnya.Arus informasi yang masuk ke tahap
berikutnya disebut status input.keputusan pada tahap berikutnya tergantung pada status input dari tahap berikutnya. Status input ini penting karena keputusan pada tahap berikutnya tergantung dari status input sebelumnya. Hubungan antara status input dengan tahap ditunjukkan dalam gambar 2.1.2 berikut ini.
status 1 status 2
input untuk input untuk
tahap 1 tahap 2
Gambar 2.1.2 hubungan status input dengan tahap
Dari gambar 2.1.2 di atas tampak bahwa status input untuk tahap 2 merupakan status output untuk tahap keputusan sebelumnya, yaitu tahap keputusan 1. Sedangkan status output dari tahap keputusan 1 merupakan status input untuk tahap keputusan berikutnya, atau tahap keputusan 2.
Prinsip ketiga program dinamik adalah tentang variable keputusan yang merupakan alternatife yang dipilih pada saat melakukan atau mengambil keputusan pada tahap tertentu.berbagai alterntif yang dapat diambil dalam setiap keputusan dapat dibatasi dengan mengambil pernyataan yang dikenakan dalam struktur masalah.
Prinsip keempat adalah tentang fungsi transformasi yang merupakan bagaimana hubungan antara tahap-tahap keputusan dalam proram dinamik saling berhubungan.fungsi transformasi juga menyatakan tentang hubungan fungsional nilai status tahap keputusan.
Hubungan status dalam tahap yang berurutan bersifat hubungan yang berulang-ulang. Sebagai contoh, jika terdapat tahap keputusan n dan hubungannya dengan tahap keputusan n-1 maka perhitungan nilai status untuk n-1 digunakan nilai status n dan keputusan pada tahap n dengan hubungan yang bersifat berulang. Dalam model dynamic programming, notasi atau simbol yang digunakan meliputi hal-hal sebagai berikut.
Tahap 1
keputusan
Tahap 2
N :Menyatakan banyaknya tahap keputusan, dengan urutan tahapnya adalah 1,2,…,n
Menyatakan status input ke tahap keputusan n. Nilai dari status atau merupakan � nilai yang dihasilkan dari tahap keputusan sebelumnya, yaitu n -1.
Menyatakan alternatif keputusan yang diambil pada tahap keputusan n. : Menyatakan return pada tahap keputusan n.
2.2 Persamaan Regresi Linier dan Koefisien Korelasi
Regresi Linier merupakan analisis statistika yang memodelkan hubungan beberapa variable menurut bentuk hubungan persamaan linier eksplisit. Persamaan linier bentuk eksplisit adalah persamaan linier yang menempatkan suatu peubah secara tunggal pada salah satu persamaan. Metode regresi merupakan salah satu teknik analisis statistika yang digunakan untuk menggambarkan hubungan antara satu variable respon dengan satu atau lebih variable penjelas.sedangkan analisis regresi adalah merupakan suatu teknik untuk membangun persamaaan garis lurus dan menggunakan persamaan tersebut untuk membuat perkiraan.(Algifari.1962)
Model regresi yang paling sederhana yaitu garis lurus. Dalam hal ini terdapat satu apa yang disebut peubah bebas, dinamakan X, dan satu peubah tak bebas yang bergantung pada X , dinamakan Y. (William, 1987.)
Model Regrsi Linier Sederhana dapat dituliskan sebagai berikut : ’ = + �
Dengan :
X = Nilai tertentu dari variabel bebas a = Konstanta (nilai Y‟ bila X = 0)
b = Koefisien regresi (kenaikan atau penurunan Y’ untuk setiap perubahan satu-satuan X ) atau koefisien regresi, mengukur besarnya pengaruh X terhadap Y kalau X naik satu unit.
Nilai dari a dan b pada persamaan regresi dapat dihitung dengan rumus di bawah ini :
�
=∑∑
(1)
= − , � = − dengan … atau
�
= ∑ ∑ ∑∑ ∑ (2)
a =
∑
-
b ∑
(3)
Model regresi tidak terlepas dari koefisien korelasi. Koefisien korelasi (KK) merupakan indeks atau bilangan yang digunakan untuk mengukur keeratan (kuat, lemah, atau tidak ada) hubungan antar variabel. Koefisien korelasi memiliki nilai antara -1 dan +1 (-1 ≤ KK ≤ +1).
a) Jika KK bernilai positif maka variabel-variabel berkorelasi positif. Semakin dekat nilai KK ke +1 semakin kuat korelasinya, demikian pula sebaliknya.
b) Jika KK bernilai negatif maka variabel-veriabel berkorelasi negatif. Semakin dekat nilai KK ke -1 semakin kuat korelasinya, demikian pula sebaliknya.
d) Jika KK bernilai +1 atau -1 maka veriabel-veriabel menunjukkan korelasi positif atau negatif yang sempurna.
Untuk menentukan keeratan hubungan antara korelasi antar variabel tersebut, berikut ini diberikan nilai-nilai dari KK sebagai patokan.
1. KK = 0, tidak ada korelasi
2. 0 < KK ≤ 0,20, korelasi sangat rendah atau lemah sekali
3. 0,20 < KK ≤ 0,40, Krelasi rendah atau lemah tapi pasti
4. 0,40 < KK ≤ 0,70, korelasi yang cukup berarti
5. 0,70 < KK ≤ 0,90, korelasi yang tinggi, kuat
6. 0,90 < KK < 1,00, Korelasi sangat tinggi, kuat sekali, dapat diandalkan
7. KK = 1, korelasi sempurna
2.3 Definisi Algoritma Rekursif
Sebuah objek disebut berulang (rekursif, recursive) jika setiap objek mengandung dirinya sendiri atau didefinisikan dengan dirinya sendiri. Hubungan ini dapat ditemukan tidak hanya dalam matematika, tetapi juga pada kehidupan sehari-hari. Dalam matematika, definisi rekursif sebuah fungsi adalah definisi fungsi yang menggunakan fungsi tersebut. Sebagai contoh, f(n) didefinisikan sebagai berikut:
= ( − 1) (2.3.1)
Bagaimana menentukan nilai (4) ? berdasarkan definisi 2.3.1, (4) dapat dirumuskan sebagai:
4 = 4(3) (2.3.2)
Nilai (3) tidak diketahui, tetapi berdasar definisi, nilai (3) dapat dihitung dengan:
3 = 3(2) (2.3.3)
4 = 4(3)(2) (1) (2.3.4)
Berdasar definisi (2.3.1), perhitungan (4) akan berlanjut tanpa pernah berhenti,
4 = 4 (3)(2)(1)(0)(−1)(−2) (−3) (2.3.5)
Oleh karena itu, untuk melengkapi definisi rekursif harus ditentukan sebuah kondisi kapan perulangan berhenti. Definisi rekursif lengkap fungsi, ( ) di atas adalah :
= ( − 1) untuk n > 1
1 = 1 (2.3.6)
Berdasar definisi baru, (4) dapat dihitung dan berhenti jika pada (1), sehingga
4 = 4f(3) 4 = 4 (3 )f(2) 4 = 4 (3 )(2) f(1)
4 = 4 (3)(2) (1)
4 = 24
Perulangan (recursion) memegang peranan penting dalam banyak definisi matematika. Beberapa contoh definisi matematika tersebut adalah bilangan asli (natural number) dan fungsi faktorial :
1. Bilangan asli
1 adalah bilangan asli
Suksesor bilangan asli adalah bilangan asli
2. Fungsi faktorial, n! (untuk integer on-negatif), seperti contoh fungsi diatas. a. 0! = 1
b. Jika n > 0, maka n! = n(n - 1)! (fathul.2004:223)
2.4 Program Dinamik Deterministik
ditentukan oleh state dan keputusan pada stage ini. Dynamic programming deterministik ini dapat diterangkan dengan diagram berikut:
Stage n stage
State : kontribusi dari Xn
(� ) (� )
Dengan demikian, maka pada stage n, prosesnya akan berada pada state � .Pada state ini dibuat keputusan , kemudian proses bergerak ke state � pada stage
( ). Dari titik ini ke depan, nilai fungsi tujuan untuk keputusan optimumnya
telah terlebih dahulu dihitung, yaitu (� ). Keputusan memilih juga memberikan kontribusi terhadap fungsi tujuan, yang dengan menggabungkan kedua besaran ini akan diperoleh nilai fungsi tujuan (� ) yang berawal pada stage n. minimumkan nilai tersebut dengan memperhatikan sehingga diperoleh = (� ). setelah hal ini dilakukan untuk semua nilai � yang mungkin, maka prosedur penyelesaiannya bergerak kembali pada persoalan dengan satu stage.
Suatu cara untuk mengategorikan persoalan program dinamis deterministik ini adalah dengan melihat bentuk fungsi tujuannya. Sebagai contoh, fungsi tujuannya mungkin meminimumkan jumlah kontribusi dari masing-masing stage atau dapat pula memaksimumkannya atau meminimumkan hasil perkaliannya, dan sebagainya. Cara pengategorian yang lain didasarkan pada keadaan dari kumpulan (set) state pada suatu stage. Artinya, apakah state � dapat direpresentasikan sebagai variabel state diskrit atau kontinu, atau mungkin diperlukan suatu vector state (lebih dari satu variabel), pada bagian ini akan dikemukakan pendekatan program dinamis sebagai persoalan deterministik, di mana state pada stage berikutnya sepenuhnya ditentukan oleh state dan keputusan pada stage ini. (Ahmad. Dimyati,1994.).
Frederick S. Hillier, et al, 2000. pada bukunya yang berjudul ”Introduction to Operation Research” mengatakan bahwa program dinamik adalah suatu teknik matematis untuk pembuatan serangkaian keputusan yang saling berhubungan. Program dinamik menyediakan prosedur sistematis untuk menentukan kombinasi keputusan yang optimal. Pendekatan program dinamik didasarkan pada prinsip optimasi Bellman (1950) yang mengatakan Suatu kebijakan optimal mempunyai sifat bahwa apa pun state dan keputusan awal, keputusan berikutnya harus membentuk suatu kebijakan optimal dengan memperhatikan state dari hasil keputusan pertama. Prinsip ini mengandung arti bahwa:
1. Diperkenankan untuk mengambil keputusan yang layak bagi tahap persoalan yang masih tersisa tanpa melihat kembali keputusan-keputusan masa lalu atau tahap-tahap terdahulu.
2. Dalam rangkaian keputusan yang telah diambil, hasil dari masing-masing tergantung pada hasil keputusan sebelumnya dalam rangkaian.
Masalah Program dinamikdapat dinyatakan dalam bentuk umum :
Maksimumkan: =∑ , � 0
dengan batasan X = ∑ dan 0 … . ) Dimana :
= Penghasilan total dari seluruh kegiatan (tahap)
= Kuantitas sumber daya yang dialokasikan ke kegiatan (tahap) ke-j = penghasilan (reward) dari kegiatan ke-j
� = Jumlah kegiatan-kegiatan (tahap-tahap) bebas (independent) = Sumber daya total yang tersedia untuk � kegiatan-kegiatan
Dalam masalah umum di atas, penghasilan (return) maksimum dari seluruh penghasilan keseluruhan dari � kegiatan-kegiatan dapat dinyatakn oleh suatu urutan, fungsi fungsi sebagai berikut :
Sumber daya total yang tersedia X harus dialokasikan secara berurutan ke semua kegiatan-kegiatan pada tahap-tahap yang berbeda, untuk mencapai hasil yang maksimum. Bila dialokasikan sejumlah dari sumber daya ke kegiatan di mana
0 , akan didapatkan penghasilan dari kegiatan tersebut. Masih
dipunyai sejumlah − sumber daya yang tersedia untuk (n-1) kegiatan. Bila penghasilan total dari (n-1) kegiatan ditunjukkan oleh:
n-1 (X-Xn)=∑ Xj 0
Penghasilan total dari � kegiatan dapat dinyatakan sebagai:
(X) = (Xn)+ − (X-Xn)
Kuantitas sumber daya optimal yang dialokasikan ke-n kegiatan , menentukan nilai − , dan hal ini sebaliknya, akan menentukan nilai maksimum persamaan penghasilan total. Oleh sebab itu, masalah programasi dinamis dapat dinyatakan dalam bentuk fungsi umum sebagai :
= max + − − 3 …
Persamaan ini disebut sebagai recursive equation. Persamaan recursif dapat digunakan baik untuk perhitungan ke depan maupun ke belakang dalam pemecahan masalah-masalah yang multistage. Bila keputusan dibuat dari tahap awal bergerak ke depan sampai tahap terakhir, prosedur perhitungannya disebut metode forward induction. Prosedur kebalikannya disebut metode backward induction. Kedua metode ini mengarahkan ke penyelesaian optimal yang sama dari suatu masalah programasi dinamis. Dan yang penting untuk diperhatikan, bahwa setiap penyelesaian dari submasalah digunakan sebagai masukan (input) untuk penyelesaian sub masalah berikutnya, baik itu bergerak ke depan maupun ke belakang.
Masalah pengendalian persediaan merupakan salah satu masalah penting yang dihadapi oleh perusahaan. Pendekatan-pendekatan kuantitatif akan sangat membantu dalam memecahkan masalah ini. Sejak tahun 1951, para ahli telah memusatkan perhatiannya pada kemungkinan penggunaan pendekatan matematis untuk membantu pengambilan keputusan dalam menentukan tingkat persediaan yang optimal. Mulai saat itu makin berkembang peralatan-peralatan kuantitatif yang dapat digunakan dalam pemecahan masalah pengendalian persediaan.
Alasan utama yang menyebabkan perhatian terhadap masalah pengendalian persediaan demikian besar adalah karena pada kebanyakan perusahaan persediaan
merupakan bagian atau “porsi” yang besar yang tercantum dalam neraca.
Persediaan yang terlalu besar maupun terlalu kecil dapat menimbulkan masalah-masalah yang pelik. Kekurangan persediaan bahan mentah akan mengakibatkan adanya hambatan-hambatan pada proses produksi. Kekurangan persediaan barang dagangan akan menimbulkan kekecewaan pada langganan dan akan mengakibatkan perusahaan kehilangan mereka. Kelebihan persediaan akan menimbulkan biaya ekstra di samping risiko. Sehingga dapat dikatakan bahwa manajemen persediaan yang efektif dapat memberikan sumbangan yang berarti kepada keuntungan perusahaan. Fungsi utama pengendalian persediaan adalah
“menyimpan” untuk melayani kebutuhan perusahaan akan bahan mentah/barang
jadi dari waktu ke waktu. Fungsi ini ditentukan oleh berbagai kondisi seperti : a. Apabila jangka waktu pengiriman bahan mentah relatif lama maka
perusahaan perlu persediaan bahan mentah yang cukup untuk memenuhi kebutuhan perusahaan selama jangka waktu pengiriman. Atau pada perusahaan dagang, persediaan barang dagangan harus cukup untuk melayani permintaan langganan selama jangka waktu pengiriman barang dari supplier atau produsen
c. Apabila permintaan barang bersifat musiman sedangkan tingkat produksi setiap saat adalah konstan maka perusahaan dapat melayani permintaan tersebut dengan membuat tingkat persediaannya ber-fluktuasi mengikuti fluktuasi permintaan. Tingkat produksi yang konstan umumnya lebih disukai karena biaya-biaya untuk mencari dan melatih tenaga kerja baru, upah
d. lembur, dan sebagainya (bila tingkat produksi berfluktuasi) akan lebih besar daripada biaya penyimpanan barang di gudang (bila tingkat persediaan berfluktuasi).
e. Selain untuk memenuhi permintaan langganan, persediaan juga diperlukan apabila biaya untuk mencari barang/bahan pengganti atau biaya kehabisan barang/bahan (Stockout cost) relatif besar (Pangestu.2000:206).
2.6 Komponen-Komponen Biaya Produksi
Masalah utama yang ingin dicapai oleh pengendalian persediaan adalah meminimumkan biaya operasi total perusahaan. Jadi, ada dua keputusan yang perlu diambil dalam hal ini, yaitu berapa jumlah yang harus dipesan setiap kali pemesanan, dan kapan pemesanan itu harus dilakukan. Dalam menentukan jumlah yang dipesan pada setiap kali pemesanan, pada dasarnya harus dipertemukan dua titik ekstrim yaitu memesan dalam jumlah yang sebesar-besarnya untuk meminimumkan ordering cost, dan memesan dalam jumlah yang sekecil-kecilnya untuk meminimumkan carrying cost. Kedua titik ekstrim ini mempunyai pengaruh yang tidak menguntungkan perusahaan. Hasil yang terbaik akan diperoleh dengan mempertemukan keduanya. Berbagai macam biaya yang perlu diperhitungkan di saat mengevaluasi masalah persediaan. Di antara biaya-biaya tersebut, ada tiga kelompok utama, yakni :
Urutan perencanaan produksi dengan program dinamik ditunjukkan pada tahapan berikut :
1) Dekomposisi, permasalahan rencana produksi dipecah menjadi beberapa submasalah dalam penelitian ini dinyatakan dengan tahap 1 sampai tahap 12.
2) Menentukan variabel masukan atau state pada tiap tahapan, dalam hal ini adalah hasil peramalan, kapasitas tersedia, biaya variabel produk, dan biaya simpan.
3) Menentukan variabel keputusan, dalam penelitian ini adalah menentukan jumlah produksi berdasarkan persediaan.
4) Menetapkan fungsi tujuan : Min C = ∑ −
5) Dengan batasan jumlah produksi yang dilakukan tidak melebihi kapasitas produksi yang tersedia. Formulasi matematisnya, yaitu :
� − + �
6) Menetapkan persamaan rekursif
Penyelesaian program dinamik dilakukan dengan perhitungan rekursif yang berulang setiap tahap. Keputusan optimum pada suatu tahap adalah hasil optimum pada tahap tersebut ditambah hasil optimum tahap sebelumnya.
