6.3 PROSES KELAHIRAN DAN KEMATIAN
Penjelasan dari proses-proses kelahiran murni dan kematian murni telah diskusikan pada bagian 6.1 dan 6.2 bahwa X(t) memungkinkan untuk naik ataupun turun. Jadi, apabila pada saat waktu t, proses berada pada state n , setelah bergerak secara acak, bergerak ke state terdekat lainnya n+1 atau n-1. Hasil dari proses kelahiran dan kematian dapat dianggap sebagai analogi waktu kontinu dari sebuah random walk ( bagian 3.53)
proses kelahiran dan kematian merupakan cara yang baik dari permodelan ststistik, ragam model parameter proses kelahiran dan kematian pemodelan adalah sebuah variasi fenomena. pada waktu yang sama metode standar dari analisis berlaku untuk menentukan jumlah ( kuantitas ) seperti distribusi stasioner dan mean ( rata-rata ). Pada Bagian ini berisi beberapa contoh dari proses kelahiran dan kematian dan ilustrasi bagaimana keduanya digunakan untuk menggambarkan kesimpulan tentang fenomena yang bervariasi.
6.3.1 Dalil
seperti pada kasus proses kelahiran murni, diasumsikan bahwa X(t) adalah sebuah proses Markov pada state 0,1,2,... dan dengan probabilitas transisinya Pij(t) sebagai berikut :
Pij(t) = Pr { X(t+s)=j| X(s)=i } untuk semua s ≥ 0 Diasumsikan bahwa Pij(t) sebagai berikut :
1. Pi,i+1(h) = ih + o(h) dengan 2. Pi, i-1(h) = ih + o(h) dengan
3. Pii(h) = 1 – ( h + o(h) dengan 4.
5. dengan i= 0,1, ,,,
o(h) di setiap kasus bergantung pada i, matriksnya sebagai berikut :
A=
disebut INFINITESIMAL GENERATOR dari prosesnya.
esensi untuk panjang interval.
Selama adalah probabilitas, dipunyai Pij ( t ) ≥0 Dan "# ! ...(6.18)
Menggunakan sifat proses Markov, didapatkan turunannya, disebut persamaan Chapman-Kolmogorov
$ "%# % & % $ ..………..(6.19)
Pada persamaan tersebut state bergerak dari state ke state pada saat waktu t $ , ' bergerak melalui state ( pada waktu dan dari ( ke pada waktu $. Ini merupakan analog waktu kontinu dari formula. (3.11)
Sejauh ini kita baru bisa menyebutkan probabilitas transisi . Untuk mendapatkan probabilitas ' ), kita harus menspesifikasikan dimana proses itu berawal atau secara umum distribusi probabailitas untuk state inisial, diperoleh:
*+,' )- ∞# . / Dimana . 0,'
-6.3.2 Waktu Singgah
Dengan asumsi sebelumnya, kita bisa menghitung distribusi variabel random ' dalam state i
dengan 1 adalahwaktu singgah; jika prosesnya dalam state i, berapa distribusi waktu singgah ( 1) pertama kali sampai prosenya meninggalkan state i? Jika kita anggap
0,1 - 2
probabilitas di mana waktu antar kedatangan selanjutnya (waktu tunggu ) ≥ suatu waktu tertentu Jika kita menyesuaikan ini dengan sifat Markov bahwa h↓0
2 2 2 2 3 4 5{postulat 3}
2 3! 5 4
2 4
atau 67 89: ;678
: < =2 4 !
maka2′ < =2
2 >? @ < = A
Contohnya ,1 mengikuti distribusi exponensial dengan mean < =; . Bukti yang ditunjukan tersebut tidak cukup lengkap karena kita harus menggunakan hubungan intuitif
2 4
tanpa pembuktian yang formal.
Menurut postulates 1 dan 2 ,selama durasi waktu sepanjang h, sebuah transisi terjadi dari state i ke i+1 dengan probabilitas 4 dan dari state i ke i-1 dengan probabilitas 4 . Ini disesuaikan berdasarkan intuisi bahwa, jika sebuah transisi ini terjadi pada waktu t, probabilitas yang ditetapkan transisi ini untuk state i+1 adalah B< = dan untuk state i-1 adlh B< =.
Hal itu membawa kita pada sifat proses penting dari proses kelahiran dan kematian, bagaimanapun, didalam deskripsi gerakan ' mengikuti : proses singgah pada state i selama waktu singgahnya mengikuti distribusi exponensial dengan parameter < =. Ketika meninggalkan state i proses memasuki salah satu dari state i+1 dengan probabilitas B<
atau memasuki state i-1 dengan probabilitas B< =. Pergerakannya random kecuali pada pada saat periode waktu yang sudah pasti/ditentukan.
nilai t2 dari distribusi eksonensial dengan parameter
9 9 ,itu merupakan waktu perpindahan yang diperbaiki di state ke dua yang
dikunjungi. Jika partikel di trasisi pertama masuk state i-1, waktu perpindahan selanjutnya adalah t2 yang merupakan observasi dari distribusi eksponensial dengan parameter ;
; . Setelah itu percobaan Berbouli dilakukan untuk memilih state selanjutnya yang akan
disinggahi, dan proses berlangsung pada cara yang sama.
Hasil dari penghitungan prosedur perhitungan sampling proses realisari, bentuknya sebagai berikut buku senlanjutnya. Proses yang diperoleh pada cara ini dinamakan proses asosiasi minimal dengan perhitungan matix A dalam (6.17).
postulat 1 sampai 5 dari sub 6.3.1. Faktanya ada beberapa proses markov yang prosesnya sama dengan pembangkinya yang sangat kecil. Untungnya tak muncul komplikasi dalam model penomena umum. Pada kasus khusus proses kelahiran dan kematian untuk , kondisi
6.3.3. Persamaan diferensial proses kematian dan kelahiran
Seperti pada kasus proses kelahiran dan kematian murni probabilitas transisi (t) cukup pada sistem persamaan turunan diketahui sebagai batas bawah persamaan turunan Kolmograf. Diberikan:
Perpindahan (t) ruas kiri dan kanan dibagi oleh persamaan h ,kita dapatkan setelah
′
; 9
Persamaan batas bawah berada pada interval (0,t+h), dimana h positif dan kecil, pada 2 periode
periode 2.
Dan berdasarka hasil dari kondisi yg kuat,kita dapat dapat menentukan persamaan diferensial selanjutnya
;
9
′
J J J
′
; ; < = 9 9 j≥1 (6.24)
Dengan kondisi inisial yang sama yang diketahui sebagai batas persamaan diferensial Kolmograv. Untuk mendapatkan persamaan tersebut kita ganti t dan h pada persamaan (6.23) dengan diasumsikan pada penambahan postulat 1,2&3 dapat ditunjukan bahwa bentuk akhirnya 0(h). Mengingat pernyataan yang sama sebelumnya akan lebih bermanfaat pada persamaan diferensial .
Kondisi cukup (6.24) adalah @ % AB ! untuk kLj, j-1, j+1 dimana ! cenderung mendekati nol dengan semua batasnya sama dengan k untuk j tertentu sebagaimana h->0. dalam kasus ini kita dapat membuktikan persamaaan ′% % % 4 .
CONTOH
Proses Pertumbuhan linier dengan Imigrasi, kelahiran dan kematian yang disebut proses pertumbuhan linier jika λn = λn + a dan µn = µn dengan λ > 0, µ > 0, dan a > 0. proses tersebut
0
1
2
……..
j-1
j
j+1
.
…
terjadi secara alami dalam studi reproduksi biologi dan pertumbuhan penduduk. Jika n state menggambarkan ukuran populasi saat ini, maka tingkat rata-rata seketika pertumbuhan λn + a. Demikian pula, probabilitas state dari proses penurunan oleh satu setelah berlalu dari h durasi waktu kecil µnh + o(h). λn merupakan faktor pertumbuhan alami penduduk karena ukuran saat ini sedangkan faktor kedua mungkin ditafsirkan sebagai tingkat yang sangat kecil kenaikan penduduk karena sumber eksternal seperti imigrasi. Komponen n yang memberikan tingkat kematian rata-rata sangat kecil dari populasi ini memiliki interpretasi yang jelas. Jika kita pengganti nilai-nilai di atas λn ¬ dan n dalam (6.24) kita memperoleh
P'i0(t) = – aPi0(t) + µPi1(t),
P'ij(t) = [ λ( j – 1) + a ] Pi, j – 1(t) – [(λ + µ)j + a] Pij(t)
+ µ(j + 1) Pi,j+1(t), j ≥ 1
Sekarang jika kita kalikan persamaan j dengan j dan jumlah, berarti nilai yang diharapkan
M3' 5 N K
"
#
memenuhi persamaan diferensial
M '(t) = a + (λ – µ) M (t)
dengan M kondisi awal M(0)=i, if X (0) = i.
Solusi persamaan ini adalah M (t) = at + i if λ = µ, dan
M (t) = { – l} + i if λ ≠ µ. (6.25)
Saat kedua atau mungkin varians dihitung dengan cara yang sama. Sangat menarik untuk dicatat bahwa M (t) → ∞ as t → ∞ if λ ≥ µ, jika λ < µ, sedangkan jika λ < ukuran populasi mean untuk t besar adalah sekitar
jangka panjang dalam beberapa bentuk keseimbangan statistik. Memang dapat ditunjukkan bahwa distribusi probabilitas membatasi {πj} ada yang limt→∞Pij(t) = πj, j = 0, 1, ... membatasi
distribusi tersebut untuk kelahiran umum dan proses kematian adalah subyek dari bagian berikutnya.
1. Sebuah proses kelahiran dan kematian hanya dapat memiliki banya finitely state .
Sebagai contoh sederhana, pertimbangkan kelahiran kedua state dan proses kematian dengan
λ0 = λ, 1 = , dan λ1 = 0 = 0. Tentukan Pij (t) dengan memecahkan persamaan (6,24).
Catatan: P01 (t) = 1 – P00 (t). JAWAB:
<! =
2. Dalam kasus pelayaan praktek dokter diasumsikan kedatangn seoarang pasien mengikuti
proses poison dengan laju kedatangan 2 orang dalam 1jam, daln lama pemeriksaan 15 menit, bagaimana proses poisonya?
Jawab:
OP) OP)
Jika (ketangan pasien persatuan waktu seorang pasien sama dengan 1/rata-rata waktu pelayana untuk seorang pasien)
H
PQ OP) PQR
Maka S
D9S TU &VVVW
