MENELUSURI RUMUS METODE SARRUS
Matriks merupakan salah satu materi bahasan pelajaran matematika di SMA/SMK. Dalam materi ini terdapat pembahasan mengenai determinan suatu matriks. Di SMA/SMK dikenalkan 2 cara menentukan determinan suatu matriks, yaitu metode Sarrus dan metode kofaktor. Seperti yang sudah kita ketahui bersama, metode Sarrus hanya dapat digunakan untuk mencari determinan matriks berordo sampai dengan 3. Tulisan berikut mengajak pembaca untuk sedikit mengetahui asal metode Sarrus.
Jika diberikan matriks maka dengan metode Sarrus kita dapat menentukan
determinan sebagai berikut.
Det ( )
Pertanyaannya adalah: Darimana perkalian elemen-elemen matriks dalam metode tersebut muncul? Bagaimana pula dengan tanda positif dan negatif?
Sebelum menjawab pertanyaan di atas, marilah kita mengingat sekilas tentang permutasi. Permutasi himpunan bilangan bulat adalah susunan yang mungkin dibuat dari bilangan-bilangan bulat dengan urutan berbeda dan tanpa pengulangan.
Contoh:
Terdapat 6 permutasi yang berbeda dari {1, 2, 3} yaitu: (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2), dan (3, 2, 1).
Sebuah inversi permutasi terjadi jika dalam susunan permutasi posisi bilangan yang lebih besar di depan bilangan yang lebih kecil.
Permutasi dikatakan genap jika jumlah inversinya adalah genap. Tanda dari permutasi genap adalah (+). Sedangkan permutasi dikatakan ganjil jika jumlah inversinya adalah ganjil. Adapun tanda dari permutasi ganjil adalah (−).
+ + + −
Misal adalah satu permutasi bilangan bulat, maka untuk menghitung jumlah inversi dari permutasi dapat dilakukan seperti berikut.
Untuk , tentukan banyaknya bilangan , dengan , yang lebih kecil dari , misal banyak bilangan tersebut adalah ,
Untuk , tentukan banyaknya bilangan , dengan , yang lebih kecil dari , misal banyak bilangan tersebut adalah ,
dan seterusnya hingga untuk .
Jumlah inversi dari permutasi adalah jumlah dari .
Contoh:
Tentukan jenis permutasi berikut (genap atau ganjil). a. (1, 2, 3)
b. (2, 1, 3) Penyelesaian:
a. (1, 2, 3)
, banyaknya bilangan di belakang 1 yang lebih kecil dari 1 adalah 0 , banyaknya bilangan di belakang 2 yang lebih kecil dari 2 adalah 0 Jumlah inversi = 0 + 0 = 0 (genap). Jadi (1, 2, 3) merupakan permutasi genap
b. (2, 1, 3)
, banyaknya bilangan di belakang 2 yang lebih kecil dari 2 adalah 1 , banyaknya bilangan di belakang 1 yang lebih kecil dari 1 adalah 0 Jumlah inversi = 1 + 0 = 1 (ganjil). Jadi (2, 1, 3) merupakan permutasi ganjil
Kembali ke matriks, dalam matriks didefinisikan suatu hasil kali elementer sebagai berikut:
Jika adalah matriks , maka hasil kali elementer dari matriks adalah perkalian dari unsur-unsur yang berasal dari baris dan kolom yang berbeda dari matriks A.
Perhatikan contoh berikut.
Karena kolom juga harus berbeda maka isian kolom haruslah 1 2 atau 2 1 sehingga hasil kali elementernya adalah dan . Perhatikan bahwa isian kolom tersebut merupakan permutasi dari {1, 2}.
Begitu pula untuk matriks . Hasil kali elementer berasal dari baris yang
berbeda maka dapat ditulis dalam bentuk
Karena kolom harus berbeda maka isian kolom haruslah (1, 2, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2), (3, 2, 1), (1, 3, 2), dan (2, 1, 3) yang merupakan permutasi dari {1, 2, 3}. Dengan demikian hasil kali elementer yang mungkin
adalah , , .
Tanda (+) atau (–) dari hasil kali elementer mengikuti jenis permutasi kolom. Perhatikan tabel berikut.
Konsep inversi permutasi dan hasil kali elementer di atas digunakan sebagai dasar menghitung determinan suatu matriks yang dikenal dengan metode Sarrus.
Definisi determinan:
Determinan dari suatu matriks persegi didefinisikan sebagai jumlah dari hasil kali bertanda unsur-unsur matriks sedemikian hingga unsur-unsur tersebut berasal dari baris dan kolom yang berbeda. Dengan kata lain determinan adalah jumlah dari hasil kali elementer bertanda.
Berdasarkan definisi determinan di atas, maka determinan matriks adalah
det ( )
Untuk lebih memudahkan mengingat, selanjutnya digunakan strategi menuliskan kembali kolom pertama dan kedua, kemudian menghitung determinan dengan menjumlahkan hasil perkalian pada panah ke kanan lalu mengurangkan dengan jumlah perkalian pada panah ke kiri seperti berikut.
det ( )
Dengan demikian, perkalian unsur-unsur matriks yang terdapat pada metode Sarrus pada dasarnya merupakan hasil kali elementer bertanda, dimana perkalian unsur-unsur matriks tersebut bersesuaian dengan permutasi bilangan bulat serta tanda ( ) dan ( ) menunjukkan jenis permutasi genap atau ganjil.
Semoga bermanfaat!
Referensi
[1] Howard Anton, 1984, Aljabar Linier Elementer Edisi Ketiga (terjemahan), Jakarta: Erlangga [2] http://blog.uad.ac.id/yudiari/files/2008/11/DETERMINAN1.pdf, diakses tanggal 1 feb 2013
+ + + −
