Lingkaran – Persamaan Lingkaran Melalui 3 Titik

Teks penuh

(1)

Lingkaran – Persamaan Lingkaran Melalui 3 Titik

Persamaan lingkaran melalui titik

A

(

x

1

,

y

1

) (

,

B

x

2

,

y

2

)

,

dan

C

(

x

3

,

y

3

)

adalah:

0

1

1

1

1

atau

0

1

1

1

1

matrik

determinan

3 3 2 3 2 3

2 2 2 2 2 2

1 1 2 1 2 1

2 2

3 3 2 3 2 3

2 2 2 2 2 2

1 1 2 1 2 1

2 2

=

+

+

+

+

=

+

+

+

+

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

Cek:

Misalkan persamaan lingkaran adalah

2

+

2

+

+

+

=

0

C

By

x

A

y

x

, maka:

)

1

(

...

0

1 1 2 1 2

1

+

y

+

A

x

+

By

+

C

=

x

)

2

(

...

0

2 2 2 2 2

2

+

y

+

A

x

+

By

+

C

=

x

)

3

(

...

0

3 3 2 3 2

3

+

y

+

A

x

+

By

+

C

=

x

Kita eliminasi:

(

) (

)

0

...

(

4

)

:

)

2

(

)

1

(

x

12

x

22

+

y

12

y

22

+

A

x

1

x

2

+

B

y

1

y

2

=

(

) (

)

0

...

(

5

)

:

)

3

(

)

1

(

x

12

x

32

+

y

12

y

32

+

A

x

1

x

3

+

B

y

1

y

3

=

(2)

(

y

1

y

3

)

(

4

)

:

(

x

12

x

22

+

y

12

y

22

)

(

y

1

y

3

) (

+

A

x

1

x

2

)(

y

1

y

3

) (

+

B

y

1

y

2

)(

y

1

y

3

)

=

0

(

)

(

5

)

:

(

)

(

1 2

) (

1 3

)(

1 2

) (

1 2

)(

1 3

)

0

2 3 2 1 2 3 2 1 2

1

y

x

x

+

y

y

y

y

+

A

x

x

y

y

+

B

y

y

y

y

=

y

_

(

x

12

x

22

+

y

12

y

22

)

(

y

1

y

3

)

(

x

12

x

32

+

y

12

y

32

)

(

y

1

y

2

) (

+

A

x

1

x

2

)(

y

1

y

3

) (

A

x

1

x

3

)(

y

1

y

2

)

=

0

(

)

(

)

(

)

(

)

(

1 2

)(

1 3

) (

1 3

)(

1 2

)

3 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 1 2 3 2 1 2 3 2 1

y

y

x

x

y

y

x

x

y

y

y

y

x

x

y

y

y

y

x

x

A

+

+

=

, atau

(

) (

)

(

) (

) (

)

(

3 2

)

1

(

1 3

)

2

(

2 1

)

3

3 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 3 2 1 2 3 1 2 3 2 2 2 3 2 2

2 3 1 3 2 1 3 2 1 2 3 1

3 2 2 3 2 1 3 2 2 3 2 1 2 2 1 3 1 1 2 2 1 2 1 2 3 2 2 2 1 2 2 3 2 2 1 2 3 1 3 1 1 2 3 1 2 1

y

x

x

y

x

x

y

x

x

y

y

y

x

x

y

y

y

x

x

y

y

y

x

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

y

y

y

y

x

y

x

y

y

y

y

x

y

x

y

y

y

y

y

x

y

x

y

y

y

y

x

y

x

A

+

+

+

+

+

+

+

=

+

+

+

+

+

+

+

+

+

=

Subtitusi A ke persamaan (4)

(

)

(

)(

)

(

)

(

)(

)

(

)(

) (

)(

)

(

)

(

)

[

(

)(

) (

)(

)

]

(

)

(

)(

)

(

)

(

)(

)

(

)(

) (

)(

)

(

)

(

)

(

)(

)

(

)

(

)(

)

(

)(

) (

)(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

1 2

)(

1 3

) (

1 3

)(

1 2

)

2 1 2 3 2 1 2 3 2 1 3 1 2 2 2 1 2 2 2 1

2 1 2

1 3 1 3 1 2 1

2 1 2 1 2 3 2 1 2 3 2 1 2 1 3 1 2 2 2 1 2 2 2 1

2 1 2

1 3 1 3 1 2 1

3 1 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 3 2 1 2 3 2 1 2 1 3 1 3 1 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1

2 1 2

1 3 1 3 1 2 1

3 1 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 3 2 1 2 3 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1

0

0

0

y

y

x

x

y

y

x

x

x

x

y

y

x

x

x

x

y

y

x

x

B

y

y

B

y

y

x

x

y

y

x

x

y

y

x

x

y

y

x

x

y

y

x

x

y

y

x

x

y

y

B

y

y

x

x

y

y

x

x

y

y

x

x

y

y

x

x

y

y

x

x

y

y

x

x

y

y

x

x

y

y

x

x

y

y

x

x

y

y

B

y

y

x

x

y

y

x

x

y

y

x

x

y

y

x

x

y

y

x

x

y

y

x

x

y

y

x

x

+

+

=

=

+

+

+

+

=

+

+

+

+

+

=

+

+

(3)

atau

(

) (

)

(

) (

) (

)

(

3 2

)

1

(

1 3

)

2

(

2 1

)

3

3 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 3 2 1 2 3 2 1 1 2 2 2 3 2 2 2 3

2 3 1 3 2 1 3 2 1 2 3 1

2 3 2 2 1 2 2 3 2 2 2 1 2 3 1 2 1 1 2 3 1 3 1 2 2 3 2 1 3 3 2 2 3 2 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 3 1

y

x

x

y

x

x

y

x

x

x

y

y

x

x

x

y

y

x

x

x

y

y

x

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

x

x

x

x

y

x

y

x

x

x

x

y

x

y

x

x

x

x

x

y

x

y

x

x

x

x

B

+

+

+

+

+

+

+

=

+

+

+

+

+

+

+

+

+

=

Subtitusi A dan B ke persamaan (1)

(

) (

) (

)

(

)

(

)

(

)

(

) (

) (

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

0

0

0

3 1 2 2 3 1 1 2 3

1 3 3 1 2 2 2 1 2 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 3 2 1 2 3 2 1 2 1

3 1 2 2 3 1 1 2 3

1 3 2 2 2 1 2 2 2 1 1 2 2 1 2 3 2 1 2 3 1 1 2 3 2 2 2 3 2 2

3 1 2 2 3 1 1 2 3

3 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 3 2 1 2 3 1 1 2 3 2 2 2 3 2 2 2 1 2 1

1 3

1 2 2 3 1 1 2 3

3 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 3 2 1 2 3 2 1 1 2 2 2 3 2 2 2 3

1 3

1 2 2 3 1 1 2 3

3 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 3 2 1 2 3 1 2 3 2 2 2 3 2 2 2 1 2 1

=

+

+

+

+

+

+

+

+

=

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

=

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

C

y

x

x

y

x

x

y

x

x

y

x

y

x

y

y

x

x

y

x

y

x

y

y

x

x

y

x

C

y

x

x

y

x

x

y

x

x

y

x

y

y

x

x

y

x

y

y

x

x

y

x

y

y

x

x

y

x

x

y

x

x

y

x

x

y

x

y

y

x

x

y

x

y

y

x

x

y

x

y

y

x

x

y

x

C

y

y

x

x

y

x

x

y

x

x

x

y

y

x

x

x

y

y

x

x

x

y

y

x

x

x

y

x

x

y

x

x

y

x

x

(4)

(

)

(

)

(

)

(

)

Subtitusi A, B, dan C ke persamaan lingkaran

(5)

(

)

[

(

)

(

)

(

)

]

[

(

(

) (

)

) (

(

) (

)

) (

(

) (

)

)

]

(

) (

)

(

) (

(

) (

)

) (

(

) (

)

)

[

]

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

[

12 12 3 2 2 3 22 22 1 3 3 1 32 32 2 1 1 2

]

0

3 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 3 2 3 2 1 2 1 1 2 2 2 2 2 3 2 3

3 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 3 2 3 1 2 3 2 3 2 2 2 2 3

1 2 2 3 1 1 2 3 2 2

=

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

x

y

x

y

x

x

y

x

y

x

x

y

x

y

x

y

y

y

x

y

x

y

y

x

y

x

y

y

x

y

x

x

y

x

x

y

x

x

y

x

x

y

x

(

)

[

(

)

(

)

(

)

]

[

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

]

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

[

]

[

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

2 1 1 2

)

]

0

2 3 2 3 1 3 3 1 2 2 2 2 3 2 2 3 2 1 2 1 2 1 2 3 2 3 1 3 2 2 2 2 3 2 2 1 2 1

1 2 2 3 2 3 3 1 2 2 2 2 2 3 2 1 2 1 3

1 2 2 3 1 1 2 3 2 2

=

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

x

x

y

x

x

x

y

x

x

x

y

x

y

y

y

y

x

y

y

y

x

y

y

y

x

x

y

x

x

y

x

x

y

x

x

y

x

Kemudian, perhatikan determinan matrik yang disebutkan di awal,

( )

( )

( )

( )

(

)

3 3 2 3 2 3

2 2 2 2 2 2

1 1 2 1 2 1

3 2 3 2 3

2 2 2 2 2

1 2 1 2 1

3 2 3 2 3

2 2 2 2 2

1 2 1 2 1

3 3

2 2

1 1 2 2

14 4 1 14 13 3 1 13 12 2 1 12 11 1 1 11

14 14 13 13 12 12 11 11

3 3 2 3 2 3

2 2 2 2 2 2

1 1 2 1 2 1

2 2

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

0

1

1

1

1

0

pertama)

baris

dari

(dipilih

0

0

1

1

1

1

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

x

y

x

x

y

x

x

y

x

y

y

y

x

y

y

x

y

y

x

x

y

x

y

x

y

x

y

x

M

a

M

a

M

a

M

a

c

a

c

a

c

a

c

a

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

=

+

+

+

=

+

+

+

=

=

+

+

+

+

+ +

+ +

ij

M

adalah minor elemen

a

ij

pada matrik

A

yang

didefinisikan sebagai determinan sub matrik

A

dengan

menghapus baris ke

i

dan kolom ke

j

.

ij

c

adalah kofaktor elemen

a

ij

pada matrik

A

didefinisikan dengan

( )

ij j i

ij

M

(6)

(

)

(

)

[

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

]

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

[

]

[

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

]

(

)

[

(

)

(

)

(

)

]

[

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

]

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

[

]

[

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

]

(

)

[

(

)

(

)

(

)

]

[

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

]

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

[

]

[

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

2 1 1 2

)

]

2 3 2 3 1 3 3 1 2 2 2 2 3 2 2 3 2 1 2 1 2 1 2 3 2 3 1 3 2 2 2 2 3 2 2 1 2 1

1 2 2 3 2 3 3 1 2 2 2 2 2 3 2 1 2 1 3

1 2 2 3 1 1 2 3 2 2

1 2 2 1 2 3 2 3 3 1 1 3 2 2 2 2 2 3 3 2 2 1 2 1 2 1 2 3 2 3 1 3 2 2 2 2 3 2 2 1 2 1

2 1 2 3 2 3 1 3 2 2 2 2 3 2 2 1 2 1 3

1 2 2 3 1 1 2 3 2 2

1 2 2 1 2 3 2 3 3 1 1 3 2 2 2 2 2 3 3 2 2 1 2 1 2 1 2 3 2 3 1 3 2 2 2 2 3 2 2 1 2 1

2 1 2 3 2 3 1 3 2 2 2 2 3 2 2 1 2 1 2

3 1 2 3 1 1 3 3 2 2 1 2 2

0

0

0

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

x

x

y

x

x

x

y

x

x

x

y

x

y

y

y

y

x

y

y

y

x

y

y

y

x

x

y

x

x

y

x

x

y

x

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

x

x

y

x

x

x

y

x

x

x

y

x

y

y

y

y

x

y

y

y

x

y

y

y

x

x

y

x

x

y

x

x

y

x

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

x

x

y

x

x

x

y

x

x

x

y

x

y

y

y

y

x

y

y

y

x

y

y

y

x

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

=

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

=

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

=

Figur

Memperbarui...

Referensi

Memperbarui...