NAMA : NURIN HIDAYATULLAH NIM : F04112071
20. Tentukan banyaknya “solusi bulat” dari setiap persamaan berikut (a). X1+X2+X3+X4=80, 1≤Xi ≤30,
∀
i
∈
{
1,2,3,4
}
Dari persamaan dapat dibentuk fungsi pembangkit P(X) =
(
x
+
x
2+
x
3+
…
+
x
30)
4=
x
4(
1
+
x
+
x
2+
x
3+
…
+
x
29)
4=
x
4(
1
−
x
30
1
−
x
)
4
=
x
4(
1
−
x
30)
4(
1
−
x
)
−4 = x4.∑
s=0 4
(
−1)
s(
4s
)
x30s.
∑
r=0(
r+4−1
r
)
xr
=
x
4.
∑
s=0 4
(−
1
)
s(
4
s
)
x
30s
.
∑
r=0
(
r
+
3
r
)
x
r
Kita tertarik dengan koefisien x80 dalam P(X). Untuk itu cari s dan r sehingga:
4+30s+r=80
Solusi bulat dari persamaan ini adalah: a). s=0 dan r=76
b). s=1 dan r=46 c). s=2 dan r=16
Sehingga, banyaknya cara yang dimaksud = koefisien x80 dalam
P(X) =
(
4
0
)(
76
+
3
76
)
+(−
1
)
1(
4
1
)(
46
+
3
46
)
+
(−
1
)
2(
4
2
)(
16
+
3
16
)
=
(
4
0
)(
79
76
)
−
(
4
1
)(
49
46
)
+
(
4
2
)(
= (1)(79079)-(4)(18424)+(6)(969) = 79079-73696-5814
=11197 cara
(b). X1+X2+X3=50,Xi≥3,∀i∈{1,2,3}
Dari persamaan dapat dibentuk fungsi pembangkit : P(X) =
(
x
3+
x
4+
x
5+
…)
3=
x
9(
1
+
x
+
x
2+
x
3+
…)
3= x9
(
11−x
)
3
=
x
9∑
r=0
(
r
+
3
−
1
r
)
x
r
= x9
∑
r=0
(
r+2
r
)
xr
=
∑
r=0(
r
+
2
r
)
x
r+9
Banyaknya cara yang dimaksud = koefisien xk dalam P(X) Untuk mencari nilai r:
Kita ketahui dari soal, x50 maka k=50 Koefisien dari
x
k dengan k=r+9 Maka dapat kita dapatkan nilai r, k =r+950 =r+9 r =50-9 r =41 Jadi banyaknya solusi bulat yang dimaksud yaitu:
(
41
+
2
41
)
=(
=
41
!
43
!
(
43
−
41
)
!
=
43
!
41
!
.2
!
=903 cara
(c). X1+X2+X3+…+Xn =k, Xi≥0 , 1≤ i≤ n ;k bulat Dari persamaan dapat dibentuk fungsi pembangkit: P(X) =
(
1
+
x
+
x
2+
x
3+
…)
n=
(
11−x
)
n
=
∑
r=0(
r
+
n
−
1
r
)
x
r
Banyaknya cara yang dimaksud = koefisien xk dalam P(X) Dapat disimpulkan bahwa :
K=r
Maka ,
∑
r=0(
k
+
n
−
1
k
)
x
k
Banyaknya solusi bulat yang dimaksud yaitu
(
k
+
n
−
1
k
)
=(
k
+
n
−
1
)
!
k !
(
k
+
n
−
1
−
k
)
!
=
(
k
+
n
−
1
)
!
k !
(
n
−
1
)
!
21. Sebuah kata sandi yang panjangnya k dibentuk dengan menggunakan huruf-huruf a,b,dan c sedemikian hingga memuat paling sedikit satu a, satu b, dan satu c
Dari pernyataan diatas dapat dibuat fungsi pembangkit :
P(X) =
Maka, koefisien
x
kk !
dalam P(X) menyatakan banyaknya kata sandi dengan panjang kKarena barisan yang memenuhi nilai k adalah
a
n1
b
n2c
n3x
n1+n2+n3Jadi, banyaknya cara membentuk kata sandi (permutasi) dengan panjang k adalah koefisien dari
x
kk !
Yaitu(
n
1+
n
2+
n
3)
!
(
a
n1b
n2c
n3n
1! n
2!n
3!
)
*Karena pertanyaan pada soal membingungkan saya bersangkutan paling sedikit satu a, satu b, dan satu c. Dari pertanyaan tersebut saya dapat menarik 2 kesimpulan
1. Dengan paling sedikit satu a, paling sedikit satu b, paling sedikit satu c 2. Dengan paling sedikit satu a, hanya satu b, dan hanya satu c
Karena sudah dituliskan penyelesaian dari kesimpulan 1 dengan banyaknya cara membentuk kata sandi =
(
n
1+
n
2+
n
3)
!
(
a
n1
b
n2c
n3n
1! n
2!n
3!
)
Kemudian akan dituliskan penyelesaian untuk kesimpulan 2. Dengan P(X) yang dapat dibentuk dengan a sebanyak n
Karena a sebanyak n, maka dapat disimpulkan nilai k=n+2, karena huruf b dan c masing-masing menempati 1 tempat pada kata sandi.
Karena panjang k dengan k=n+2
Maka, koefisien
x
kk !
Adalaha
nbc x
n+2n!
Sama halnya dengan
(
n
+
2
)
!
(
a
n
bc
n !
)
x
n+2(
n
+
2
)
!
Jadi banyaknya cara membentuk kata sandi (permutasi) dengan panjang k adalah koefisien dari
x
kk !
Yaitu(
n
+
2
)
!
(
a
nbc
n !
)
23.
Tentukan banyaknya barisan ternair n-angka yang memuat
(a).
Angka “0” sebanyak ganjil dan “1” sebanyak genap
Fungsi pembangkit dari persamaan ini adalah
P
(
x
)=
(
x
+
x
3
3
!
+
x
55
!
+
…
)(
1
+
x
22
!
+
x
44
!
+
…
)(
1
+
x
22
!
+
x
33
!
+
x
44
!
+
x
55
!
…
)
¿
(
e
x+
e
−x2
)(
e
x−
e
−x2
)
e
x
¿
(
e
x+
e
−x2
)(
e
2x−
1
2
)
¿
(
e
x+
e
−x)(
e
2x−
1
)
4
¿
(
e
3x
+
e
−x−
e
x−
e
−x4
)
=
(
e
3x−
e
−x4
)
¿
1
4
(e
3x−
e
−x)
¿1
4
∑
n=0(
3x)
nn! −
1 4
∑
n=0(
−x)
nn!
Banyaknya barisan yang dimaksud = koefisien dari
x
nP(x)
¿
1
(b) Angka “0” dan “1” masing-masing sebanyak bilangan genap dan “2” sebanyak ganjil
Fungsi pembangkit dari persamaan ini adalah
P
(
x
)=
(
1
+
x
Banyaknya barisan yang dimaksud = koefisien
x
nn!
dalam P(x)
3
n+
1
4
, n
=
ganjil
(c) Angka “0”,”1”dan “2” masing masing sebanyak bilangan genap
=
(
e
2x+
e
−2x+
2
Banyaknya barisan yang dimaksud = koefisien
x
nn!
dalam P(x)
3
n+
3
(d) Angka “0”,”1”dan “3” masing-masing sebanyak bilangan ganjil
Banyaknya barisan yang dimaksud = koefisien
x
n
n!
dalam P(x)
3
n−
3
4
,n
=
ganjil, n
>
1
25. Tentukan banyak cara menempatkan n orang yang berbeda di dalam 100 kamar berbeda
sedemekian hingga
(a) Tidak ada kamar kosong
(a) Karena tidak ada kamar yang kosong, maka fungsi pembangkit dari persoalan tersebut
adalah :
P
(
x
)=
(
x
+
x
2
2
!
+
x
33
!
+
…
)
100
¿
[
(
1
+
x
+
x
2
2
!
+
x
33
!
+
…
)
−
1
]
100
¿
(
e
x−
1
)
100¿
(
100
0
)
e
100x−
(
n
1
)
e
99x+
(−
1
)
k(
100
k
)
e
x(100−k)
+
…
+
(−
1
)
100(
100
100
)
Untuk 0 ≤ k ≤ n koefisien
x
nn!
dalam
e
x(n−k)
adalah
(
n
−
k
)
nMaka koefisien
x
nn!
dalam
P
(
x
)
adalah
¿
∑
k=0 100
(
−1)
k(
100k
)
(
100−k)
n
Jadi, banyaknya cara yang dimaksud adalah
¿
∑
k=0 100(−
1
)
k(
100
k
)
(
100
−
k
)
n
(b) Karena tiap kamar berisi paling sedikit satu dan paling banyak 2 orang, maka fungsi
pembangkit adalah :
P
(
x
)=
(
x
+
x
2
2
!
)
100
Akan dicari koefisien dari
x
nn!
dari dalam
P
(
x
)
untuk mendapatkan banyaknya cara
penempatan n orang yang berbeda di dalam 100 kamar yang berbeda, sehingga :
P
(
x
)=
(
x
+
x
2
2
!
)
100
¿
[
x
(
1
+
x
2
!
)
]
100
¿x100
(
1+ x2!
)
100
¿
x
100∑
k=0
❑
(
100
k
)(
x
2
!
)
¿
x
100∑
k=0
❑
(
100
k
)
(
x
k2
k)
¿
∑
k=0❑
(
100
k
)
1
2
kx
k+100
¿
∑
k=0❑
(
100
k
)
1
2
k1
x
k+100
¿
∑
k=0❑
(
100
k
)
1
2
k(
k
+
100
)
!
(
k
+
100
)
!
x
k+100
¿
∑
k=0❑
(
100
k
)
1
2
k(
k
+
100
)
!
x
k+100(
k
+
100
)
!
¿
∑
k=0❑
(
100
k
)
1
2
k(
k
+
100
)
!
2
kx
k+100(
k
+
100
)
!
Banyaknya cara penempatan objek yang berbeda = koefisien
x
n
n!
dalam P(x). Maka dari
persamaan P(x) yang terakhir diperoleh untuk nilai n dari
x
k+100
(
k
+
100
)
!
Yaitu :
n=k+100
atau
k=n−100Sehingga persamaan P(x) berubah menjadi :
¿
∑
n−100=0❑
(
100
n
−
100
)
n !
2
n−100x
nn !
¿
∑
n=100❑
(
100
n
−
100
)
n !
2
n−100x
nn !
Jadi, banyaknya cara menempatkan n orang yang berbeda di dalam 100 kamar yang berbeda
adalah:
∑
n=100❑
