TEKNIK MEMBILANG
Berikut ini teknik-teknik (cara-cara) membilang atau menghitung banyaknya anggota ruang sampel dari suatu eksperimen tanpa harus mendaftar seluruh anggota ruang sampel tersebut.
A. Prinsip Perkalian I
Perhatikan ilustrasi berikut ini andaikan
H1 = {a1 a2} adalah macam jalur jalan dari kota T ke V H2 = {b} adalah macam jalur jalan dari kota U ke V H3 = {c1 c2 c3} adalah macam jalur jalan dari kota V ke W
Macamnya jalur jalan yang dapat dilewati dari kota T ke kota W melewati kota U dan V adalah S={a1bc1, a1bc1, a1bc1, a1bc1, a1bc1, a1bc1} = H1. H2 . H3 perhatikan bahwa banyaknya jalur yang dimaksudkan adalah n(S) = 5 =2 . 1 . 3 = n(H1) . n(H2) . n(H3). Dengan gambaran tersebut kesimpulan yang diperoleh adalah
Jika ada 2 jalur dari kota T ke U 1 jalur dari kota U ke V
3 Jalur dari kota V ke W
Maka ada
2 . 1 . 3 = 6 jalur jalan yang dapat ditempuh dari kota T ke kota W melewati kota U dan V secara umum berlaku prinsip perkalian.
b a1
a2
T U V W
c1
c2
B. Prinsip Perkalian II
Jika adalah banyaknya cara untuk mengambil keputusan adalah banyaknya cara untuk mengambil keputusan
adalah banyaknya cara untuk mengambil keputusan
adalah banyaknya cara untuk mengambil keputusan
Maka ada :
cara untuk mengambil semua keputusan.
Setelah mengenai prinsip perkalian ini, perhitungan ruang sampel untuk 2 contoh sebelumnya, dapat digambarkan seperti berikut :
Dari Obyek Eksperimen
* +
Perhatikan bahwa :
( ) dapat diperoleh dari urutan pertama 5cara dikalikan urutan kedua 5 cara dan urutan ketiga 5 cara, yakni :
( ) kedua 4 cara dan urutan ketiga 3 cara, yakni :
Pada soal tersebut yang dimaksud dengan objek eksperimen adalah * +
dan eksperimennya adalah menyusun nomor undian berupa bilangan genap tiga angka yang angka-angkanya saling berlainan. Untuk mempersingkat penjelasan dan mempermudah pemahaman diambil kesempatan bahwa penulisan himpunan seperti { 0, 1, 2, 3 } yang dimaksud adalah sama dengan { 0, 1, 3, 4 }. Jika u1, u2, u3, u4 berturut-turut menyatakan urutan angka-angka yang mungkin pada urutan pertama, kedua, ketiga, dan keempat maka u4 yang mungkin adalah angka-angka 0, 2, 4, 6, 8.
u1 u2 u3 u4
Diagram 3
Cara 1 ( dengan penalaran lengkap ).
Jika maka untuk menuliskan angka-angka pada
ada 9 cara sebab * +
ada 8 cara sebab salah satu unsur dari * + sudah ada
yang menempati .
ada 7 cara sebab 2 unsur diantara * + sudah ada
yang menempati dan .
Jika maka untuk menuliskan angka-angka pada
ada 8 cara sebab * +
ada 8 cara sebab salah satu unsur dari * + selain nol sudah ada di
0
2
4
6
ada 7 cara sebab unsur dari * + selain nol sudah ada yang menempati dan .
Demikian seterusnya.
Jika maka untuk menuliskan angka-angka pada
ada 8 cara sebab * +
ada 8 cara sebab salah satu unsur dari * + selain nol sudah ada di
ada 7 cara sebab unsur dari * + selain nol sudah ada yang menempati dan .
Demikian seterusnya. Dengan demikian maka :
Jika maka angka urutan ke 1 2 dan 3 dapat dipilih dalam
9 . 8 . 7 504 cara. Jika maka angka urutan ke 1 2 dan 3 dapat dipilih dalam
8 . 8 . 7 448 cara.
Jika maka angka urutan ke 1 2 dan 3 dapat dipilih dalam 8 . 8 . 7 448 cara.
Jika maka angka urutan ke 1 2 dan 3 dapat dipilih dalam
8 . 8 . 7 448 cara. Jika maka angka urutan ke 1 2 dan 3 dapat dipilih dalam
8 . 8 . 7 448 cara.
Kesimpulan : banyaknya cara yang dimaksud cara
Artinya banyaknya cara adalah n (S) cara.
Cara 2 (cara singkat)
Untuk maka angka urutan ke 1 2 dan 3 dapat dipilih dalam 9 x 8 x 7 cara 504 cara.
Sedangkan untuk ≠ 0 maka angka urutan ke 1 2 dan 3 dapat dipilih dalam 8 x 8 x 7 cara sehingga untuk itu ada 4 x 8 x 8 x 7 1792 cara
PERMUTASI DAN KOMBINASI
A. Notasi Faktorial
Notasi faktorial merupakan materi penunjang yang diperkenalkan pada siswa untuk memudahkan mereka memahami penurunan rumus permutasi dan kombinasi. Contoh yang diberikan misalnya adalah sebagai berikut:
Kasus permutasi adalah eksperimen terhadap suatu obyek berupa himpunan H yang menghasilkan ruang sampel dimana titik-titik sampelnya tidak memungkinkan pengulangan elemen-elemen dalam H namun urutan elemen-elemen H pada setiap titik sampelnya diperhatikan.
Misalkan ada 3 regu peserta tebak tepat tingkat SMA akan bertanding di babak final yang menyediakan 3 macam kategori hadiah (hadiah I, II, dan
III). Ada berapa cara hadiah itu dapat diberikan?
Perhatikan bahwa susunan elemen seperti ABC, ACB, … hingga CBA
Banyaknya permutasi 3 hadiah dari 3 peserta
Apabila pesertanya 3 orang sementara hadiahnya hanya 2 macam (hadiah I dan hadiah II) maka gambaran ruang sampelnya adalah seperti berikut.
I II III
Dari kedua contoh sederhana tersebut mudah dibayangkan bahwa apabila pesertanya 10 orang sementara hadiahnya 3 macam, maka ruang sampel S mempunyai anggota sebanyak
Secara umum menggunakan prinsip perkalian, banyaknya permutasi dari n
Maka, diikuti oleh 7 orang peserta. Untuk menentukan pemenangnya dilakukan dengan mengacak nomor undiannya. Ada berapa cara hadiah-hadiah itu dapat diberikan?
Jawab:
Perhatikan bahwa cara undian seperti itu tidak memungkinkan seseorang mendapatkan lebih dari 1 hadiah (pengulangan elemen H dengan n(H) = 8 tidak dimungkinkan). Selain itu jika pemenangnya ABC artinya A dapat hadiah I, B dapat hadiah II, dan C dapat hadiah III, oleh sebab itu jelas hasil seperti dan lain-lain. Kesimpulannya eksperimen seperti itu merupakan kasus permutasi.
Maka banyaknya cara adalah ( )
C. Penurunan Rumus Kombinasi
Perlu diingat bahwa kasus kombinasi adalah eksperimen terhadap suatu obyek berupa himpunan H yang menghasilkan ruang sampel dimana titik-titik sampelnya juga tidak memungkinkan pengulangan elemen-elemen H tetapi urutan elemen H pada setiap titik sampelnya tidak diperhatikan. Misalkan dari 4 bersaudara Ali (A), Budi (B), Cahya (C), dan Doni (D) diundang 2 orang diantaranya untuk rapat keluarga. Ada berapa cara undangan itu dapat dipenuhi? Bagaimana pula jika yang diundang adalah 3 orang dari 4 bersaudara itu?
Dari permasalahan tersebut yang dimaksud dengan obyek eksperimennya adalah H = {A, B, C, D} sedangkan eksperimennya adalah mengundang hadir dalam rapat keluarga sebanyak 2 orang wakilnya. Sesudah itu eksperimennya diganti mengundang hadir dalam rapat keluarga sebanyak 3 orang wakilnya. Ruang sampel dari masing-masing eksperimen itu adalah himpunan dari semua hasil yang mungkin terjadi pada eksperimen itu. Penalaran selengkapnya adalah seperti berikut.
No Obyek Eksperimen Cara Eksperimen Hasil-hasil yang Mungkin
1. * +
Rangkaian hasil-hasil eksperimen yang mungkin terjadi seperti misalnya
AB, AC, AD pada contoh 1 di atas disebut kombinasi 2 elemen dari 4 elemen. Sedangkan ABC, ABD, ACD, BCD pada contoh 2 disebut kombinasi 3 elemen dari 4 elemen.
Banyaknya kombinasi adalah banyaknya semua rangkaian elemen-elemen dalam H yang mungkin terjadi dalam eksperimen itu. Banyaknya kombinasi
2 elemen dari 4 elemen yang tersedia dilambangkan dengan atau ( )
atau . /.
Dari kedua contoh itu diperoleh dan
Selanjutnya dalam hubungannya dengan permutasi dan penggunaan notasi faktorial penurunan rumusnya dilakukan seperti berikut.
( )
Untuk (kombinasi 2 dari 4)
Dengan pemikiran yang sama, ternyata secara umum berlaku bahwa :
Sementara itu dalam setiap pertemuan arisan ditetapkan 4 peserta berhak mendapat hadiah masing-masing sebesar Rp 75.000,00. Jika diadakan undian, ada berapa cara hadiah arisan itu dapat diberikan?
2 faktor
Jawab :
Perhatikan bahwa dengan aturan undian seperti itu tidak mungkin seseorang untuk mendapatkan hadiah lebih dari satu kali (pengulangan elemen H dengan ( ) tidak dimungkinkan). Karena hadiahnya sama bagi para pemenang maka jika pemenangnya ABCD maka A, B, C, dan D masing-masing akan menerima hadiah yang sama (yakni sebesar Rp
75.000,00), itu berarti hasil seperti dan lain-lain. Artinya urutan pemenang tidak diperhatikan, sehingga eksperimen seperti itu merupakan kasus kombinasi. Maka banyaknya cara adalah
( ) ( )
D. Segitiga Pascal
Segitiga Pascal ialah segitiga yang dibentuk oleh bilangan-bilangan yang bersesuaian dengan koefisien-koefisien pangkat bulat non negatif dari suatu suku dua ( ) Perhatikan bahwa seterusnya itulah yang kemudian membentuk pola bilangan yang terkenal dengan nama segitiga Pascal, suatu penghormatan kepada matematikawan Perancis bernama Blaise Pascal yang hidup pada tahun 1623 – 1662.
Dengan adanya kesesuaian itu maka perhitungan-perhitungan kombinasi yang hanya melibatkan bilangan-bilangan kecil langsung dapat dilakukan berdasarkan kesesuaiannya dengan bilangan yang ada pada segitiga Pascal.
Contoh
Jawab:
PIGEONHOLE PRINCIPLE (Prinsip Sarang Merpati)
Teorema :
Jika merpati ditempatkan dalam sarang dengan , maka paling sedikit ada satu sarang yang berisi dua atau lebih merpati.
Bukti :
Burung merpati diberi nomor dari 1 sampai n dan sarangnya diberi nomor dari 1 sampai m.
Sekarang masukan merpati nomor satu ke sarang nomor satu, merpati nomor 2 ke
sarang nomor 2, dan seterusnya hingga merpati nomor n ke sarang nomor m
sehingga tersisa ( – ) merpati yang belum mendapat sarang. Oleh karena itu,
pasti ada paling tidak satu sarang yang memuat dua atau lebih merpati.
Jika dikaitkan dengan fungsi :
Suatu fungsi dari satu himpunan berhingga ke suatu himpunan berhingga yang lebih kecil tidak mungkin menjadi fungsi satu-satu. Ada sekurang-kurangnya dua elemen dalam domain yang mempunyai image yang sama dalam kodomain.
Contoh
1. Diantara delapan orang, pasti ada dua orang yang lahir pada hari yang sama. Bukti :
Nama hari ada 7, nyatakan delapan orang dengan simbol . dan definisikan suatu fungsi A dari himpunan orang ke himpunan tujuh hari seperti di tunjukan dalam diagram berikut:
Orang (merpati) A Hari (sarang)
Senin
Selasa Rabu Kamis
Jadi, terdapat sekurang-kurangnya dua panah yang mengarah pada hari yang sama. Oleh karena itu sekurang-kurangnya terdapat dua orang yang dilahirkan pada hari yang sama.
2. Dari delapan bilangan asli yang pertama, ada 4 pasang yang jumlahnya sembilan, tentukan :
a. Buktikan.
b. Bagaimana bila lima bilangan dipilih secara sembarang dari delapan bilangan asli tersebut. Ada berapa pasang yang jumlahnya sembilan dan ada berapa bilangan yang jumlahnya sembilan.
Penyelesaian :
a. Bukti :
Jadi TERBUKTI. b. Jawaban :
Kesimpulan :
Dari lima bilangan asli dipilih akan membentuk minimal 1 pasang yang berjumlah sembilan dan maksimal 2 pasang yang berjumlah sembilan, apabila terbentuk 1 pasang maka ada dua bilangan dan apabila terbentuk 2 pasang maka ada empat bilangan.
3. Misalkan terdapat banyak bola merah, bola putih, dan bola biru di dalam sebuah kotak. Berapa paling sedikit jumlah bola yang diambil dari kotak (tanpa melihat ke dalam kotak) untuk menjamin bahwa sepasang bola yang berwarna sama terambil.
Jika setiap warna dianggap sebagai sarang merpati, maka n = 3. Karena itu, jika orang mengambil paling sedikit n + 1 = 4 bola (merpati), maka dapat dipastikan sepasang bola yang berwarna sama ikut terambil. Jika hanya diambil 3 buah, maka ada kemungkinan ketiga bola itu berbeda warna satu sama lain. Jadi 4 buah bola adalah jumlah minimum yang harus diambil dari dalam kotak untuk menjamin terambil sepasang bola yang berwarna sama.
4. Misalkan sebuah turnamen basket diikuti oleh n buah tim yang dalam hal ini setiap tim bertanding dengan setiap tim lainnya dan setiap tim menang paling sedikit satu kali. Tunjukkan bahwa paling sedikit ada 2 tim yang mempunyai jumlah kemenangan yang sama.
Penyelesaian :
Jumlah kemenangan setiap tim paling sedikit 1 kali dan paling banyak
kali. Angka berkorespondensi dengan buah sarang merpati untuk
menampung n ekor merpati (tim basket). Jadi, paling sedikit ada 2 tim basket yang mempunyai jumlah kemenangan sama.
5. Dalam sekumpulan n orang di mana setiap orang minimal kenal dengan satu orang di kelompok tersebut, terdapat dua orang yang memiliki banyaknya kenalan di kelompok tersebut yang sama. (Contoh: ada dua orang yang sama-sama memiliki 20 kenalan dalam kelompok tersebut)
Penyelesaian :
Dalam kasus ini jelas bahwa banyaknya kenalan sebagai sarang merpati dan banyaknya orang sebagai merpati.
Sekarang kita buktikan bahwa sarang lebih sedikit daripada merpatinya. Setiap orang minimal kenal dengan satu orang, maka banyaknya kenalan yang mungkin adalah 1 kenalan, 2 kenalan, 3 kenalan, dan seterusnya sampai kenalan. Sehingga ada kemungkinan banyaknya kenalan pada orang di dalam kelompok tersebut. Karena ada orang, maka jelas bahwa
INDUKSI MATEMATIKA
Induksi matematika adalah metode yang dipakai untuk membuktikan pernyataan-pernyataan yang berlaku untuk semua bilangan bulat positif.
Prinsip induksi matematika berbunyi :
Misalkan P(n) adalah bilangan bulat positif dan kita ingin membuktikan bahwa P(n) benar untuk semua bilangan bulat positif n.untuk membuktikannya kita hanya perlu menunjukan bahwa :
1. P(1) benar
2. P(n) benar, maka P(n+1) juga benar untuk setiap n≥1. sehingga P(n) benar
untuk semua bilangan bulat positif n.
Contoh :
1. Gunakan prinsip induksi matematika untuk membuktikan bahwa jumlah n buah bilangan ganjil positif pertama adalah :
Penyelesaian :
Misalkan P(n) menyatakan jumlah n buah bilangan ganjil positif pertama adalah
Akan dibuktikan untuk ( ) benar, yaitu kita peroleh
karena jumlah satu buah bilangan ganjil positif pertama adalah 1. Misalkan ( ) benar, perhatikan bahwa:
Jadi kita dapat asumsikan bahwa:
( ) adalah benar. Akan dibuktikan bahwa ( ) juga benar, yaitu :
( ) ( ) ( ) hal ini dapat kita tunjukan sebagai berikut:
Ruas kiri ( ) ( )
( ) ( )
2. Buktikan bahwa ( ) untuk setiap
bilangan bulat positif !
Bukti :
Langkah 1
Akan diperlihatkan pernyataan benar untuk , untuk maka :
( ) .
Langkah Induksi
Akan ditunjukkan pernyataan benar untuk setiap bilangan bulat ,
apabila pernyataan benar untuk maka pernyataan benar untuk .
Jika diasumsikan pernyataan ( ) benar, maka ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( )(( ) )
Karena kedua langkah induksi telah terpenuhi maka untuk setiap bilangan
positif berlaku bahwa : ( )
3. Buktikan bahwa banyak buah bilangan bulat positif ganjil pertama adalah
Bukti :
Misalkan ( ) merupakan pernyataan yang menyatakan bahwa jumlah buah
bilangan bulat positif ganjil pertama adalah maka :
Langkah 1
Untuk maka maka ( ) benar , karena banyak buah bilangan
ganjil positif pertama adalah
Langkah Induksi
Andaikan untuk pernyataan ( ) benar,
makaakan ditunjukkan bahwa :
( ) ( ) ( ) , yaitu
( ) ( ) *( )+ ( ) ( )
FORMULA DISKRIT BAGIAN 01
Secara umum untuk menentukan fungsi pembangkit dari suatu fungsi adalah menggunakan konsep “Deret Taylor” disekitar , secara umum, yaitu :
( ) ∑ ( ) ( )
( )
Jika diekspansikan menjadi:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
Contoh :
1. Tentukan fungsi pembangkit dari ( ) ( )
( ) ( )
. . .
( )
( )
Jadi fungsi pembangkitnya adalah :
∑
2. Tentukan fungsi pembangkit dari ( )
( )
( )
( )
( )
( )
Jadi fungsi pembangkitnya adalah :
∑( )
Kesimpulan dari kedua contoh diatas adalah :
FORMULA DISKRIT BAGIAN 02
Contoh :
1. Tentukan fungsi pembangkit dari ( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
. . .
( )
( )
Jadi fungsi pembangkitnya adalah :
∑
∑
2. Tentukan fungsi pembangkit dari ( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
. . .
( )
Jadi fungsi pembangkitnya adalah :
∑
( )
∑( )
Kesimpulan dari kedua contoh diatas adalah :
∑
( )
FORMULA DISKRIT BAGIAN 03
Secara umum untuk menentukan fungsi pembangkit dari ( ) ( ) adalah
menggunakan konsep “Deret Taylor” ( ) disekitar , dirumuskan sebagai berikut :
( ) ∑ ( ) ( )
( )
Jika di ekspansikan menjadi:
( ) ( ) ( )
( )
Dengan menggunakan konsep di atas, selanjutnya kita akan menentukan fungsi pembangkit dari ( ) ( ) , dengan teorema Binomilia.
Berikut adalah langkah-langkahnya :
( ) ∑ . /
. / { ( )( )( ) . /
. / ( )
. / ( )( )
( ) ∑ . /
. / ( )
Menentukan fungsi pembangkit dari ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
Kesimpulan :
( ) ( ) ( ) ∑ . /
( )
( ) ∑ . /
( )
Contoh soal :
Tentukan fungsi pembangkit dari ( ) ( ) Penyelesaian:
( ) ( ) ( ) ∑ . /
( )
∑ . / ( )
FORMULA DISKRIT BAGIAN 04
Secara umum untuk menentukan fungsi pembangkit dari ( ) . / adalah
menggunakan konsep “Deret Taylor” ( )disekitar dirumuskan sebagai
berikut :
( ) ∑ ( ) ( )
( )
Jika di ekspansikan menjadi:
( ) ( ) ( )
( )
Dengan menggunakan konsep di atas, selanjutnya kita akan menentukan fungsi
pembangkit dari ( ) . / .
Berdasarkan formula diperoleh :
( ) ∑ . /
Maka diperoleh :
( ) ( ) ( ) ∑ . /
Kesimpulan :
( ) ( )
( ) ∑ . /
( )
Contoh Soal :
1. Tentukan fungsi pembangkit dari ( ) .
/
Penyelesaian :
( ) ( ) ( ) ∑ . /
( )
( ) ( ) ( ) ( )
2. Tentukan fungsi pembangkit dari ( ) .
/
Penyelesaian :
( ) ( ) ( ) ∑ . /
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
FORMULA DISKRIT BAGIAN 05
( ) ( )
FORMULA DISKRIT BAGIAN 06
Secara umum untuk menentukan fungsi pembangkit dari ( ) adalah
menggunakan konsep “Deret Taylor” ( )disekitar dirumuskan sebagai berikut :
( ) ∑ ( ) ( )
( )
Jika di ekspansikan menjadi:
( ) ( ) ( )
( )
Dengan menggunakan konsep di atas, selanjutnya kita akan menentukan fungsi pembangkit dari ( ) .
Berdasarkan formula diperoleh :
(
) Maka diperoleh :
( )
( ) ( )
Kesimpulan :
( )
( ) ( )
Contoh Soal :
Tentukan fungsi pembangkit dari ( )
Penyelesaian :
( ) ( ) ∑
∑( )
( )
( )
FORMULA DISKRIT BAGIAN 07
Dengan konsep “Deret Taylor” di dapat fungsi pembangkit dari bentuk umum :
( )
( ) Contoh :
Cari fungsi pembangkit dari : ( ) ( )
Penyelesaian : ( ) ( )
( )( )( ) (( ) )
BARISAN DARI SUATU FUNGSI PEMBANGKIT BIASA DAN FUNGSI PEMBANGKIT EKSPONENSIAL
Misal ( ) ( ) adalah suatu barisan.
Fungsi pembangkit biasa dari ( ) didefinisikan sebagai berikut :
( ) ∑
Fungsi pembangkit eksponensial dari ( ) didefinisikan sebagai berikut :
( ) ∑
Simpulan :
1. Barisan dari suatu Fungsi Pembangkit Biasa adalah :
( ) ∑
( )
2. Barisan dari suatu Fungsi Pembangkit Eksponensial adalah :
( ) ∑
( )
Contoh :
1. Carilah barisan dari fungsi pembangkit biasa (FPB) dari :
( ) ∑
2. Carilah barisan dari fungsi pembangkit biasa (FPB)
Misal :
∑ ( )
( ) ( )
∑ . /
( ) ( )
{( )( ) Jadi barisannya adalah * +
3. ( ) adalah fungsi pembangkit biasa dari ( ). Tentukan
a. ( )
Fungsi Pembangkit Biasa
∑
Dengan
Maka untuk ( )
( )
b. ( )
Definisi FPB:
( ) ∑
maka untuk ( )
( )
(∑
)
( )
( )
Berdasarkan definisi FPB, maka diperoleh
( )
c. ( )
Definisi FPB:
( ) ∑
Maka untuk ( )
( )
( )
( )
d. ( ) Definisi FPB:
( ) ∑
Maka untuk ( )
( )
( )
e. ( ) ( )
.
/
( )
f. ( )
( ) ( )
. /
( )
4. Carilah nilai jika p(x) merupakan FPE barisan
a. ( )
Definisi FPE:
( ) ∑
Maka untuk ( )
( ) ∑
∑ ( )
Maka
( ) ∑
Diperoleh ( ) ( )
b. ( )
(∑
) (∑
)
∑( )
( )
c. ( )
∑
( )
∑
∑ ( )
( )
( )
5. Misal ( ) adalah fungsi pembangkit biasa dari barisan ( ).
Tentukan ( ).
Misal,
( )
( ) ( )
∑
Jelas bahwa ( ) adalah fungsi pembangkit biasa dari barisan ( ) ( ) adalah FPB dari barisan ( ) sehingga diperoleh
∑
∑
Dengan demikian ( ) atau
FUNGSI PEMBANGKIT EKSPONENSIAL DARI SUATU BARISAN
Misal : ( ) ( ) adalah suatu barisan.
Fungsi pembangkit eksponensial dari ( ) didefinisikan sebagai berikut :
( ) ∑
Misalnya,
Adalah fungsi pembangkit eksponensial dari barisan ( )
Simpulan :
Fungsi Pembangkit Eksponensial (FPE) dari suatu barisan ( ) adalah :
( ) ∑ Contoh :
1. Tulis fungsi pembangkit eksponensial dari barisan ( ) ( ) Penyelesaian :
( )
(
)
∑
2. Tulis fungsi pembangkit eksponensial (FPE) dari barisan : ( ) ( )
Penyelesaian :
* + * +
* + * +
3. Tulis fungsi pembangkit eksponensial dari barisan berikut
a. ( )
( ) ∑
( )
( )
( )
( ) ( )
b. ( )
( ) ∑
(
) ( )
( ) ( )
c. ( )
( ) ∑
∑
Untuk Maka untuk
( ) ∑
∑
FUNGSI PEMBANGKIT BIASA (FPB) DARI SUATU BARISAN
Misal : ( ) ( ) adalah suatu barisan.
Fungsi pembangkit biasa dari ( ) didefinisikan sebagai berikut :
( ) ∑
Misalnya,
Adalah fungsi pembangkit biasa dari barisan . /
Simpulan :
Fungsi Pembangkit Biasa (FPB) dari barisan ( ) adalah
( ) ∑ Contoh :
1. Tulis fungsi pembangkit biasa (FPB) dari barisan ( ) ( )
( ) ∑
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ∑
Jadi fungsi pembangkit biasa (FPB) dari barisan ( ) ( ) adalah:
( ) ∑
2. Tulis fungsi pembangkit biasa (FPB) dari barisan ( ) ( )
( ) ( )
( ) ∑( )
Jadi fungsi pembangkit biasa (FPB) dari barisan ( ) ( ) adalah:
( ) ∑( )
3. Tulis fungsi pembangkit biasa dari barisan-barisan berikut. a. (0,0,0,1,1,1,1,...)
( )
( ) ( )
( )
b. . /
( )
) ( ) ( )
c. .
/
( )
( )
( )
( )
( )
( ( ))
( )
( )
d. . /
( ) ( )
( )
( )
e. ( )
( )
FUNGSI PEMBANGKIT BIASA UNTUK KOMBINASI DAN FUNGSI PEMBANGKIT BIASA DARI PENEMPATAN OBJEK IDENTIK KE
KOTAK BERBEDA
Dapatkah cara ini diselesaikan dengan fungsi pembangkit ?
Koefisien menunjukkan banyaknya cara yang mungkin dalam menyusun n
huruf, jika dan , maka :
( )
( )( )( )
Fungsi pembangkit untuk adalah ( ) ∑ Dimana :
( ) ( )( )( )
( )
Catatan :
Fungsi pembangkit menentukan banyaknya cara memilih k obyek dari P tipe obyek
1. Tidak diperkenankan pengulangan
( ) ∑ . /
Banyaknya cara memilih . /
. / ( )
2. Diperkenankan pengulangan
( ) ∑ . /
Banyaknya cara memilih . /
Contoh soal :
1. Tentukan fungsi pembangkit untuk banyaknya cara memilih r obyek dari n obyek dimana pengulangan tidak diperkenankan.
Jawaban :
Terdapat n obyek, karena pengulangan tidak diperkenankan maka tiap obyek dapat dipilih 0 atau 1 kali saja. Sehingga fungsi pembangkit yang diminta adalah :
( ) ( )( )( ) ( )
( )
∑ . /
2. Dengan beberapa cara 60 obyek yang identik dapat ditempatkan didalam 4 sel (kotak) yang berbeda sedemikian sehingga setiap kotak mendapat paling
sedikit satu obyek. Jawaban :
Karena ada 4 kotak dan tiap kotak mendapat paling sedikit satu obyek, maka fungsi pembangkit untuk permasalahan ini adalah :
( ) ( ) ( )
( ) | |
∑ . /
∑ . /
Jadi banyaknya cara memilih 60 obyek yang identik dalam 4 kotak yang berbeda sedemikian sehingga tiap kotak mendapat paling sedikit satu obyek :
( ) .
FUNGSI PEMBANGKIT EKSPONENSIAL UNTUK PERMUTASI
Ada tiga jenis huruf akan dibuat kata “sandi” yang terdiri dari 4 huruf yang berasal dari huruf-huruf dengan syarat :
Huruf a Terpilih paling banyak 2 kali
Huruf b Terpilih paling banyak 2 kali
Huruf c Terpilih paling banyak 1 kali
Kemungkinan yang terjadi :
* +
* +
* +
Total ada : 6 12 12 30
Dapatkah cara ini diselesaikan dengan fungsi pembangkit ?
a. Terpilih paling banyak 2 kali b. Terpilih paling banyak 2 kali
c. Terpilih paling banyak1 kali
A. Dengan FPB
( ) ( )( )( )
Banyaknya cara yang dimaksud ditunjukkan oleh koefisien dalam ( ) . Sedangkan yang diharapkan 30 cara.
B. Dengan FPE
( ) *( ) ( ) ( ) + *( ) ( ) ( ) + *( ) ( ) +
* + * + 0 1
( ) ( )
( )
( ) ( )
Koefisien
( ) ( )
Sehingga,
* +
( )
Jadi, koefisien dalam ( ) adalah :
( )
Kesimpulan :
Contoh soal :
1. Tentukan banyaknya kata sandi dengan panjang k yang dapat dibentuk dari huruf-huruf pembentuk kata “DISKRIT”
Jawaban :
DISKRIT 6 huruf yang berlaku
( ) * + * + * +
* + * + * +
* +
( )
∑( )
∑
∑
∑
PRINSIP INKLUSI - EKSKLUSI
Misalkan A dan B adalah sembarang himpunan, maka : | A | banyaknya elemen pada A
| B | banyaknya elemen pada B
| | banyaknya elemen pada
Prinsip Inklusi – Eksklusi dinyatakan dalam bentuk : | | | | | | | | Contoh soal :
1. Dalam sebuah kelas terdapat 25 mahasiswa menyukai matematika diskrit, 13 mahasiswa menyukai aljabar linier dan 8 diantaranya menyukai
kedua-duanya. Berapa mahasiswa terdapat dalam kelas tersebut : Jawab :
|A| 25 |B | 13
| | 8
Maka :
| | | | | | | |
Jadi, terdapat 30 orang mahasiswa dalam kelas tersebut.
2. Berapa banyak bilangan bulat positif yang tidak melampaui 1000 yang habis dibagi oleh 7 atau 11 ?
Jawab :
Misalkan P himpunan bilangan bulat positif tidak melampaui 1000 yang habis dibagi 7 dan Q himpunan bilangan bulat positif tidak melampaui 1000 yang
habis dibagi 11. Dengan demikian | | adalah himpunan bilangan bulat
| | ⌊ ⌋
| | ⌊ ⌋
| | ⌊ ( )⌋ ⌊ ⌋
| | | | | | | |
Jadi, terdapat 220 bilangan bulat positif tidak melampaui 1000 yang habis dibagi 7 atau habis dibagi 11. Ilustrasi dari penghitungan tesebut dapat dilihat pada diagram di bawah ini.
3. Dalam sebuah program studi pendidikan matematika yang terdiri atas 350
mahasiswa, terdapat 175 mahasiswa yang mengambil mata kuliah persamaan diferensial dan 225 mahasiswa yang mengambil mata kuliah analisis
kompleks, dan 50 mahasiswa yang mengambil mata kuliah persamaan diferensial dan analisis kompleks. Ada berapa mahasiswa di dalam perkuliahan itu jika setiap mahasiswa mengambil mata kuliah persamaan diferensial, analisis kompleks, atau kedua-duanya?
Jawab :
Misalkan A adalah banyaknya mahasiswa yang mengambil mata kuliah persamaan diferensial dan B menyatakan mahasiswa yang mengambil mata kuliah analisis kompleks. Maka merupakan himpunan mahasiswa yang
mengambil kedua mata kuliah tersebut. Banyaknya mahasiswa di dalam kelas itu yang mengambil mata kuliah persamaan diferensial, analisis kompleks, atau kedua-duanya adalah
P Q
| | | |
| | | | | | | | – .
Ini berarti, terdapat 350 mahasiswa di dalam kelas yang mengambil mata
kuliah persamaan diferensial, analisis kompleks, atau kedua-duanya. Karena banyaknya siswa keseluruhan di dalam kelas tersebut adalah 350 mahasiswa, artinya tidak terdapat mahasiswa yang tidak memilih salah satu dari kedua konsentrasi itu. Perhatikan diilustrasi berikut.
A B
