Di dukung oleh :
Portal edukasi Gratis Indonesia
Open Knowledge and Education
http://oke.or.id
Tutorial ini diperbolehkan untuk di copy, di sebarluaskan, di print dan diperbaiki dengan tetap menyertakan nama penulis、tanpa ada tujuan komersial
1
Limit Fungsi
1.
...1 4 2 lim
3 2
= + −
→ x
x x
Jawab :
0 1 8
4 4 1 4 2 lim
3 2
= + − = + −
→ x
x x
2.
....3 18 3 3 lim
2 2
= −
− +
→ x x
x x x
Jawab :
3 3
6 3 ) 3 (
) 3 )( 6 ( 3 lim
= + = −
− +
→ x x
x x x
3.
....4 2 4
lim
= −
−
→ t
t t
Jawab :
4 1 2 2
1 ) 2 )( 2 (
2 4
lim
= + = + −
−
→ t t
t t
4.
....7 4
9 3 lim
2 2
= + −
−
→ x
x x
Jawab :
8 4 4 7
4
) 7 4
)( 7 4
( 3 lim
7 4
) 7 ( 16 3 lim
2 2 2
2 2
= + = +
−
+ + + − →
= + −
+ −
→ x
x x
x x
x x
5.
...1 4 lim
3 2
= + − ∞
→ x
x x
Jawab :
0 1 lim lim
3 2
= ∞ → = ∞
→ x x x
6.
.... ) 1 )( 2 () 2 )( 5 4 ( lim
= − +
− +
∞
→ x x
x x x
Jawab :
5 5 lim
2 2
= − − ∞
→ x
x x
7.
lim 2+ + 5− 2− 2 + 3 = ...∞
→ x x x x
x
Jawab :
2 3
1 2
2 1 3 2 5
lim
2 lim
2 2
2 2
= + = + − − + + ∞ →
− = + + −
+ + ∞
→
x x x
x x
a p b q px ax c bx ax x
8.
...) cos (sin
sin 1 lim
2 2 1 2
1 2
2
= −
−
→ x x
x
x π
Jawab :
2 1 1 sin
1
) sin 1 )( sin 1 ( lim
cos sin 2 cos
sin
) sin 1 )( sin 1 ( lim
2 2
1 2 1 2
1 2 2
1 2 2
= + = −
+ −
→ = −
+
+ −
→ x
x x
x x x x
x
x x
x π π
9.
...2 sin
6 sin 0 lim
=
→ x
x x
Jawab :
3 2 6 2 sin
6 sin 0 lim
= =
→ x
x x
10.
cos2 1 ...0 lim
2 =
−
→ x
x x
Jawab :
2 1 . 1 . 2 sin
. sin . 2 0 lim 1
sin 2 1 0 lim
2 2
− = − = −
→ = − −
→ x
x x
x x
11.
... 4) 2 sin( 2 lim
2− =
−
→ x
x x
Jawab :
4 1 2 2
1 . 1 2 1 . 2
) 2 sin( 2 lim
) 2 )( 2 (
) 2 sin( 2 lim
= + = + −
− →
= + −
−
→ x x
x x
x x
x x
12.
...6 5
6 3
lim
2 2
= + +
− +
→ x x
x x x
Jawab :
5 1 6 15 9
6 3 9 6 5
6 3
lim
2 2
= + +
− + = + +
− +
→ x x
x x x
13.
...2 3
1 2
1 lim
2 2
= − −
− −
→ x x
x x x
Jawab :
5 3 1 6
1 4 1 lim
= − −
→ x
x
x (Menggunakan bantuan turunan)
14.
...1 1 1
lim 2
= − −
→ x
x x
Jawab :
2 1
2 1 lim
− = − →
x x
15.
...1 2 2 1
lim 2
= −
−
→ x
x x
Jawab :
4 1 4 1 lim
= →
16.
... 6 8 2lim
2 3
= − +
−
→ t t
t t
Jawab :
5 12 1 2
3 2
lim 2
= +
→ t
t t
17.
...5 4
4 ) 1 3 ( 1 lim
2 2
= − +
− −
→ x x
x x
Jawab :
2 6 12 4 2
6 18 1 lim
= = +
−
→ x
x x
18.
...4 2
2 2
8 2 2
lim 2 2
=
− − + −
−
→ x
x x x
x x
Jawab :
9 2 2 4 4 ) 2 ( 2
) 2 ( 2
) 4 2 )( 2 ( 2 lim
= + + =
− − + −
+ −
→ x
x x x
x x
x
19.
...2 1 4 6 2 lim
2 =
− − − −
→ x x
x x
Jawab :
2 1 4
2 ) 2 )( 2 (
) 2 ( 2 2 lim
− = − = + −
− −
→ x x
x x
20.
...2 4 6 0 lim
2 2
= + −
→ x x
x x x
Jawab :
4 1
4 1 4
4 12 0 lim
− = − = +
−
→ x
21.
... 11 1
lim
= −
−
→ x
x x
Jawab :
2 1 1
1 lim
2 1 2
1 = − = −
− →
x
x
22.
...4 16 4
lim 2
= − −
→ x
x x
Jawab :
0 8 . 0 ) 4 ( 4 4
lim
4 ) 4 ( ) 4 ( 4
lim 2
= = + − →
= −
+ −
→ x x x x
x x
x
23.
3 2 9 ...0 lim
= + −
→ x
x x
Jawab :
3 1 3 3
2
) 9 2 3 (
9 2 9 0 lim
9 2 3
9 2 3 . 9 2 3 0 lim
− = + − = + +
− − →
= + +
+ + + −
→ x x
x x
x x x
x x
24.
...5 16
9 3
lim
2 2
= − +
−
→ x
x x
Jawab :
10 5 5 5
16
) 5 16 )(
5 16 (
3 lim
2 2 2
= + = −
+
+ + −
+
→ x
x x
x
25.
...0 lim
= + −
→ x x
x x x
Jawab :
1 0 1
0 1
) 1 (
) 1 ( 0 lim
= + − = + −
→ x x
x x
26.
... 37 3 2 6 3 lim
= −
+ − −
→ x
x x
x
Jawab :
8 3 ) 7 3 2 6 )( 3 (
) 3 ( 3 3
lim
7 3 2 6
7 3 2 6 . 3
7 3 2 6 3 lim
= + + − −
− →
=
+ + −
+ + − −
+ − − →
x x
x
x x
x x
x x
x x x
x
27.
...9 3
5 2 0
lim 2
= + −
−
→ x
x x x
Jawab :
30 1
) 3 3 ( 5 ) 9 3 )( 5 2 (
9 3
9 3 . 9 3
5 2 0
lim 2
= −
+ − = −
+ + − =
+ +
+ + + −
−
→ x
x x
x
x x
x x x x
28.
...1
1 3
1 lim
2 2
= −
− − +
→ x
x x
x
Jawab :
4 1
) 1 3
)( 1 )( 1 (
) 1 ( 2 1
lim
) 1 ( 3
) 1 ( 3 .
1
) 1 ( 3 1
lim
2 2
2
2 2
= + + + +
−
− →
= + + +
+ + + −
+ − +
→ x x x x
x x
x x
x x
x x x
x
29.
...) 1 (
1 2 1
lim
2 3 3 2
= −
+ −
→ x
x x
x
Jawab :
9 1 ) 1 1 1 (
1
) 1 )(
1 (
) 1 ( 1
lim
2 2
3 3 2 3
2 3
= + + = + + −
−
→ x x x
x x
30.
...3 27 27
lim
3 − =
−
→ x
x x
Jawab :
27 9 9 9 3
) 9 3 (
) 3 ( 27 lim
3
3 3 2 3
= + + = −
+ + −
→ x
x x
31.
lim = ...− −
→ a b
b b a a b a
Jawab :
b b b b b b
a
b ab a b a b
a . 3
) )(
( lim
= + +
= −
+ + −
→
32.
Jika
4 3 4
4 lim
= −
− +
→ x
x b ax
x
maka tentukan a + b
Jawab :
Bentuk di atas jika x = 4 maka harus berbentuk
0 0
.
Jadi 4a + b – 2 = 0 atau 4a + b = 2 ………….. (1) Dengan menggunakan bantuan turunan maka :
1 2 1
2 2
1 . 4
1 4
3 4 1 4
3 1
4
lim 21
− = − = +
− = ⇔ = +
= ⇔ = − ⇒ = − →
b a
b b
a a
a
x
x
33.
...) 1 (
) 1 )( 1 3 2 ( 1 lim
2 =
−
− +
−
→ x
x x
x x
Jawab :
4 1 ) 1 1 (
1 2
) 1 ( ) 1 (
) 1 2 ( ) 1 ( 1 lim
2 2
2
= +
− = + −
− −
→ x x
x x
x
34.
...1 1
1 1
0 lim
3 + − =
− +
→ x
x x
Jawab :
2 3 1 1
1 1 1
) 1 1
)( 1 1 (
) 1 1
) 1 ( )( 1 1
( 0 lim
6 6
6
6 2
6
= +
+ + = +
+ −
+
+ + + + −
+
→ x x
x x
35.
2 2 ... 0lim
= − − +
→ x
x x
x
Jawab :
2 2 1
2 2
2
) 2 2
(
2 0
lim
2 2
2 2
. 2 2
0 lim
= + = − + + →
=
− + +
− + + −
− + →
x x
x
x x
x x
x x
x
x x
x
36.
...8 2 3 4
2 2 lim
2
2 =
− + − −
→ x x x
x
Jawab :
24 1 ) 4 )( 2 )( 2 (
) 2 ( 2
lim
) 4 )( 2 )( 2 (
) 2 ( 3 ) 4 ( 2 2 lim
− = + + −
− − →
= + + −
+ − +
→ x x x
x x
x x x
x x
x
37.
lim (2 − 5)(2 + 1)− (2 − 5)= ...∞
→ x x x
x
Jawab :
3 4
2 ) 20 ( 8 25 20 4
5 8 4
lim 2 2
= − − − = + − −
− − ∞
→ x x x x
x
38.
lim 2 3 ...2 2
= − + ∞
→ x x
x x x
Jawab :
∞ = ∞ → = ∞
→ x x x
x
x 2
lim 2
lim
2 2
39.
(4 5) 4 3 ...5
lim 2
= + −
+
→ x x x
x
Jawab :
4 5
4 2
0 5 3 0 4 5 4 5
lim 2 2
= − = + + −
+
→ x x x x
40.
lim ( + )( + ) − = ...∞
→ x a x b x
x
Jawab :
2 1
2 0 0
) (
lim 2 2 a b a b
x x ab x b a x x
+ = − + = + − + + + ∞ →
41.
...cos sin
2 cos lim
4
= −
→ x x
x
x π
Jawab :
2 1
2 2
) sin (cos
) sin )(cos sin (cos lim
2 1 2 1
4
− = −
+ =
− −
+ −
→ x x
x x x x
x π
42.
...sin sin 0 lim
=
→ bx
ax x
Jawab :
b a b a b
a bx bx ax
ax x
b a ax bx bx ax
x→ = → .sin . = 1.1. =
sin 0 lim .
. sin sin 0 lim
43.
...9 2 3
2 sin 0 lim
= + −
→ x
x x
Jawab :
6 1
) 3 3 .( 1 . 1 1
) 9 2 3 .( cos . sin 0 lim
9 2 3
9 2 3 . 9 2 3
cos sin 2 0 lim
− = −
+ =
− + + →
=
+ +
+ + + − →
x x
x x x
x x
x x x x
44.
...2 sin
cos 1 0 lim
= −
→ x x
x x
Jawab :
4 1 2 . 1 2 sin sin . sin 0 lim
2 sin sin 2 0 lim
2 1 2
1
2 1 2 1 2
1 2
= = →
=
→ x
x
x x x
x x
45.
... 2cos 1
tan 0 lim
= −
→ x
x x x
Jawab :
2 1 sin tan . sin . 2 1 0 lim
sin 2
tan 0 lim
2 = → =
→ x
x x x x
x x x x
46.
...2 tan 0 lim
2+ =
→ x x
x x
Jawab :
2 1 2 1 . 1 2 1 . tan 0 lim
= = +
→ x x
x x
47.
...5 cos 1 0 lim
2 =
−
→ x
x x
Jawab :
10 1 2 1 . 2 1 . 5 2 5
sin 2 0 lim
2 2 1 2
= =
→ x
x x
48.
...1 1
sin 0 lim
= − −
→ x
x x
Jawab :
2 1
1 1 . 1 1
1 1 . sin 0 lim
1 1
1 1 . 1 1
sin 0 lim
− = −
+ = −
+ − →
= + −
+ − − − →
x x
x x
x x
x x x
49.
...2 cot
cot 0 lim
=
→ x
x x
Jawab :
2 tan
2 tan 0 lim
0 lim
2 tan
1 tan 1
= →
=
→ x
x x
x x
50.
... cos3
2 sin 4 sin 0 lim
= +
→ x x
x x
x
Jawab :
2 1 . 2 cos
3
cos 3 sin 2 0 lim
= =
→ x x
x x x
51.
...4 cos 1
sin 0 lim
= −
→ x
x x x
Jawab :
8 1 2 1 . 2 1 . 2 1 2 sin
sin . 2 sin . 2 1 0 lim
2 sin 2
sin 0 lim
2 = → = =
→ x
x x x x
x x x x
52.
...2 tan
1 4 cos 0 lim
= −
→ x x
x x
Jawab :
4 2 2 . 1 2 . 2 2 tan
2 sin . 2 sin . 2 0 lim
2 tan
2 sin 2 0
lim 2
− = −
= −
→ = −
→ x
x x
x x
x x
x x
53.
...2 cos
2 sin 0 lim
2 2
=
→ x x
x x
Jawab :
4 1 1 . 1 2 . 1 2 2 cos
1 . 2 sin . 2 sin 0 lim
= =
→ x x
x x
x x
54.
...3 tan
) 2 sin( 7
0 lim
2 2 2
= +
→ x
x x
x
Jawab :
1 9 2 9 7 ) 3 (tan
) 2 sin( )
3 (tan
) 7 ( 0 lim
2 2
2 2
= + = +
→ x
x x
55.
... 3cos 5 cos
1 4 cos 0 lim
= −
−
→ x x
x x
Jawab :
1 1 2 . 4 2 sin
2 sin . 4 sin
2 sin 0 lim
sin 4 sin 2
2 sin 2 0
lim 2
= =
→ = −
−
→ x
x x
x x
x x
x x
56.
...3 sin 4 0 lim
= +
→ x x
x x
Jawab :
1 1 1
0 lim 1
0 lim
4 3 4 1 4
3 sin 4 1 4
3
sin = → + = + =
→ +
x x x
x
x x
x
57.
...3 sin
) 2 sin( 0 lim
2 2
2
= +
→ x x
x x
Jawab :
5 1 1 1
0 lim
2 9 2 1 ) 2 sin(
3 sin 2
sin 2
2 2
2 =
+ = +
→
x x x
x
x
58.
...2 cos . 3 sin . 2
6 3 tan . 4 sin 0 lim
2
3 2
= +
→ x x x
x x x
x
Jawab :
7 1 . 3 1 . 1 . 3 1 . 2 9 . 3 4
2 cos
1 . 3 sin . . 2 6 2 cos
1 . ) 2 (
3 tan . 3 sin
4 sin 0 lim
2 2
2 2
= +
=
+
→ x x
x x x x x
x x
x x
59.
1 cos cos sin ...0 lim
4
2 2
= −
−
→ x
x x x
x
Jawab :
2 1 ) .( 1 . 2 sin
. sin . 2 0 lim )
cos 1 ( sin 0
lim 2
2 1 2 2
2 1 2
2 2
4 2
= =
→ = −
→ x
x
x x x
x x x
60.
... 1) 1 ( cos ) 1 ( sin 1
lim 1 1
= −
− −
→ x
x
x x
Jawab :
1 1 . 1 ) 1 ( cos . 1
) 1 ( sin
1 lim
) 1 (
) 1 ( cos ) 1 ( sin
1
lim 1
1 1
1 1 1
= = − −
− →
= −
− −
→ x x x
x
x
x x
x x x
61.
...) (
cos ) 1 (
) (
sin 1 lim
= − −
−
→ π π
π π
x x
x x
Jawab :
π π π π
π = =
− −
−
→ cos( ) .1
1 . 1
) 1 ( sin 1 lim
x x
x x
62.
...2 2 ) ( sin lim
= − + −
−
→ x k k x
k x k
x
Jawab :
1 2 1
1 1
lim
) ( 2 )
sin( − = − = −
→ −−
− −
k x
k x k x
k x
k x
63.
...12 12 3
) 2 ( cos 1 2 lim
2 2
= + −
− −
→ x x
x x
Jawab :
3 1 3 1 . 2
) 2 sin( . 2
) 2 sin( 2 lim
) 6 3 )( 2 (
) 2 ( sin 2
lim 2
= −
− −
− →
= − −
−
→ x
x x
x x
x x
x x
64.
...10 3
) 2 ( sin ) 6 ( 2 lim
2 − − =
+ +
−
→ x x
x x
x
Jawab :
7 4 2
) 2 ( sin . 5 6 2 lim
− = +
+ −
+ −
→ x
x x
x x
65.
lim sin2 ...2
= −
→ π x π
x x
x
Jawab :
2 2 2
2 2 0 1
2 cos 2 2 sin 2 lim
π π
π = + =
+ →
x x
